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1、 第一課時集合－集合的概念 教學目的： （ 1）使學生初步理解集合的概念，知道常用數集的概念及記法 （ 2）使學生初步了解“屬于”關系的意義 （ 3）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義教學重點： 集合的基本概念及表示方法 教學難點： 運用集合的兩種常用表示方法——列舉法與描述法，正確表示 一些簡單的集合 授課類型： 新授課 課時安排： 1 課時羅華的手稿 1831 年 1 月伽羅華在 教 具： 多媒體個結論，他寫成論文提交給法國科、實物投影儀 內容分析： 1 ．集合是中學數已證明的一個結果可以表明伽羅華

2、學的一個重要的基本概念在小學數 學中， 就滲透了集合的初步概念， 到了初議科學院否定它 1832 年 5 月 30 日中，更進一步應用集合的語言表述一些問題例如， 在代數中用到的有數集、 解忙寫成后， 委托他的朋友薛伐里葉集等； 在幾何中用到的有點集至于邏輯， 可以說， 從開始學習數學就離不開對造福人類 1832 年 5 月 31 日離開了邏輯知識的掌握和運用，基本的邏輯知識在日常生活、學習、工作中，也是認識，他死后 14 年，法國數學家劉維問題、研究問題不可缺少的工具這些可以幫助學生認識學習本章的意義，也是于劉維爾主編的《數學雜志》上本章學習的基礎 把集合的初步知識與簡易邏輯知識

3、安排在高中數學的最開始， 是因為在高中數學中， 這些知識與其他內容有著密切聯(lián)系， 它們是學習、 掌握和使用數學語言的基礎例如， 下一章 講函數的概念與性質，就離不開集合與邏輯 本節(jié)首先從初中代數與幾何涉及的集合實例入手，引出集合與集合的元素的概念， 并且結合實例對集合的概念作了說明然后， 介紹了集合的常用表示方法， 包括列舉法、 描述 法，還給出了畫圖表示集合的例子 這節(jié)課主要學習全章的引言和集合的基本概念學習引言是引發(fā)學生的學習興趣，使 學生認識學習本章的意義本節(jié)課的教學重點是集合的基本概念 集合是集合論中的原始的、 不定義的概念在開始接觸集合

4、的概念時， 主要還是通過 實例，對概念有一個初步認識教科書給出的“一般地， 某些指定的對象集在一起就成為一個 集合，也簡稱集”這句話，只是對集合概念的描述性說明 教學過程： 一、復習引入： 1．簡介數集的發(fā)展，復習最大公約數和最小公倍數，質數與和數； 2．教材中的章頭引言； 3．集合論的創(chuàng)始人——康托爾（德國數學家） （見附錄）； 4．“物以類聚” ，“人以群分” ； 5．教材中例子（ P4） 二、講解新課： 閱讀教材第一部分，問題如下： （ 1）有那些概念？是如何定義的？ （ 2）有那些符號？是如何表示的？

5、（ 3）集合中元素的特性是什么？ （一）集合的有關概念： 用心 愛心 專心 1 由一些數、一些點、一些 形、一些整式、一些物體、一些人 成的 . 我 ，每 一 象的全體形成一個集合，或者 ，某些指定的 象集在一起就成 一個 集合 ， 也 稱 集 . 集合中的每個 象叫做 個集合的元素 . 定 ： 一般地，某些指定的 象集在一起就成 一個 集合． 1、集合的概念 （ 1）集合 ：某些指定的 象集在一起就形成一個集合（ 稱 集） （ 2）元素 ：集合中每個 象叫做 個集合的元素 （ 3）元素 于集合的隸屬關

6、系 （ 4）集合中元素的特性 確定性 ：按照明確的判斷 準 定一個元素或者在 個集合里，或者不在，不能模棱兩可 在 稱屬于，即 a 是集合 A 的元素，就 a 屬于 A， 作 a∈ A 集合通常用大寫的拉 丁字母表示，如 A、B、C、P、Q??元素通常用小寫的拉丁字母表示，如 a、b、c、p、q?? “∈”的開口方向，不能把 a∈A 倒 來寫 不在 稱，不屬于：如果 a 不是集合 A 的元素，就 a 不屬于 A， 作 a A 互異性 ：集合中的元素沒有重復 無序性 ：集合中的元素沒有一定的 序（通常用正常的 序寫出） 2 、集合的表示方法

7、： （ 1）列 法：在大括號內將集合中的元素一個個列 出來，元素之 用逗號隔開，具體又分以下三種情況： ①元素個數少且有限 ，全部列 ；如 {1 ， 2， 3} ②元素個數多且有限 ， 可以列 部分， 中 用省略號表示， 列 幾個元素，取決于能否 普遍看出其 律，稱中 省略列 。如“所有從 1 到 10000 的自然數全體”可以表示 {1 ， 2， 3，??， 10000} ； ③三是當元素個數無限但有 律 ， 也可以用 似的省略號列 ， 如：自然數構成的集合， 可以表示 {0 ， 1， 2， 3， 4，?? } ，稱端省略列 。 ⑵描述法

8、 它又可 分 文字描述及屬性描述法兩 ：前者是在大括號內用文字寫出集合的屬性，由于括號本身含有了“所有” 、“全部”的意 ，故 似的量 要去掉，如：全體自然數構成 的集合寫成 { 自然數 } 而不寫成 { 全體自然數 } ：特征描述法是集合中最廣泛、 最抽象的一種表 示方法，其格式一般 { 元素的一般形式 | 元素的特征 } ，如：{(x,y)|y=x 2,x ∈ R}={ 拋物 y=x2 上 的 點 } ， 而 {y|y=x 2,x ∈ R} 表 示 函 y=x 2 的 y 的 取 值 范 圍 ； 方 程 x2-1=0 的 解 集 為 {x|x 2-

9、1=0}={-1,1}, 不是 {x 2-1=0} （它 是用列 法表示的一個集合， 個集合中只有一 個元素，就是方程 x2-1=0, 不是它解的集合。 （ 3） 示法 一是一 數 表示， 如初中 段所學的不等式解集表示方法， 其原理是數 的定 與數 上的點與 數一一 ；二是直角坐 表示，如 { （ x,y ） |y=x 2 }; 三是 Venn ，即畫個 圈表示集合（有的 上稱文氏兔、文斯 ） ； （ 4）符號表示法分 符號法及區(qū) 表示法：常用數集及 法 非 整數集 （自然數集）：全體非 整數的集合 作 N， N 0,1,2,

10、正整數集 ：非 整數集內排除 0 的集 作 N* 或 N+ N * 1,2,3, 用心 愛心 專心 2 整數集 ：全體整數的集合記作 Z , Z 0， 1， 2， 有理數集 ：全體有理數的集合記作 Q , Q 整數與分數 實數集 ：全體實數的集合記作 R R 數軸上所有點所對應的 數 不含任何元素的集合稱空集，符號為 注：（ 1）自然數集與非負整數集是相同的，也就是說，自然數集包括 數 0 （ 2）非負整數集內排除 0 的集記作 N* 或 N+ Q、 Z、 R 等其它

11、 數集內排除 0 的集，也是這樣表示，例如，整數集內排除 0 的集，表示成 Z* 3，集合的分類： 有限集（元素的個數有 限個，含有空集） 按元素的個數分作 無限集（元素的個數有 無限個） 三、練習題： 1、下列各組對象能確定一個集合嗎？ （ 1）所有很大的實數（不確定） （ 2）好心的人 （不確定） （ 3） 1， 2， 2，3， 4， 5．（有重復） a b _-2,0,2__ 2、設 a,b 是非零實數，那么 可能取的值組成集合的元素是 a b 3、由實數 x, －x, ｜ x｜ , x 2 ,

12、 3 x3 所組成的集合，最多含（ A ） （ A）2 個元素 （ B） 3 個元素 （C） 4 個元素 （ D）5 個元素 4、設集合 G中的元素是所有形如 a＋ b 2 （ a∈ Z, b ∈ Z）的數，求證： (1) 當 x∈ N時 , x ∈ G; (2) 若 x∈ G， y∈ G，則 x＋ y∈G，而 1 不一定屬于集合 G x 證明 (1) ：在 a＋ b 2 （a∈ Z, b ∈ Z）中，令 a=x∈N,b=0, 則 x= x ＋ 0* 2 = a ＋ b 2 ∈ G,即 x∈ G 證明

13、(2) ：∵ x∈G， y∈ G， ∴ x= a ＋ b 2 （a∈ Z, b ∈ Z） ,y= c ＋ d 2 （ c∈ Z, d ∈ Z） ∴ x+y=( a ＋ b 2 )+( c ＋ d 2 )=(a+c)+(b+d) 2 ∵ a∈ Z, b ∈ Z,c ∈ Z, d ∈Z ∴ (a+c) ∈ Z, (b+d) ∈ Z 用心 愛心 專心 3 ∴ x+y =(a+c)+(b+d) 2 ∈ G， 又∵ 1 1 ＝ a 2b2 a2 b 2

14、 x a b 2 a2 2b 2 且 a , b 不一定都是整數， 2 2b 2 2 2b 2 a a ∴ 1 1 ＝ a a 2 b 2 不一定屬于集合 G x a b 2 a2 2b 2 2b2 四、小結： 本節(jié)課學習了以下內容： 1．集合的有關概念： 確定性，互異性，無序性 列舉法 2．集合的表示 描述法 圖示法 符號表示法 五、

15、課后作業(yè) ：教材 P7____1~5 第二課時 集合表示法的轉換 教學目的：（ 1）進一步理解集合的有關概念，熟記常用數集的概念及記法 （ 2）使學生初步了解有限集、無限集、空集的意義 （ 3）會運用集合的兩種常用表示方法 教學重點： 集合的表示方法 教學難點： 運用集合的列舉法與描述法，正確表示一些簡單的集合 授課類型： 新授課 課時安排： 1 課時 教學過程： 一、復習引入： 上節(jié)所學集合的有關概念 1、集合的概念 集合 ：某些指定的對象集在一起就形成一個集合集合具有 （ 1）確定性 ：按照明

16、確的判斷標準給定一個元素或者在這個集合里，或者不在，不能模棱兩可 （ 2）互異性 ：集合中的元素沒有重復 （ 3）無序性 ：集合中的元素沒有一定的順序（通常用正常的順序寫出） 2、集合的表示方法 列舉法（含全部列舉、 中間省略列舉、端省略 列舉） 描述法（含文字描述及 特征描述） 圖示法（含數軸、直角 坐標、 Venn圖表示） 符號表示法（常用數集 及空集） 二，新課 1，其實，在符號表示法中還有一種方法——區(qū)間表示法 用心 愛心 專心 4 集合 區(qū)間 讀法 {x|a

17、

18、： 列舉法 具體化 文字描述法 熟悉化 屬性描述法 簡單化 符號表示法 直觀化 圖示法 數學解題的關鍵也是這“四化” 3，典型例題 例 1、已知集合 A={a-2,2a 2+5a,10}, 且 -3 ∈ A, 求 a 解： a-2=-3 或 2a2 +5a=-3 故 a=-1 或 a=-3/2 當 a=-1 時， 2a2+5a=a-2=-3 與集合的互異性矛盾，舍去 當 a=-3/2 時，滿足條件 總之， a=-3/2 [ 說明 ] 由于解題過程中用到了不等價變形，所

19、以要進行檢驗 例 2 、已知集合 {1,a,b}={a,a 2 ,ab}, 求實數 a,b 1 b a2 ab (a 1)( a b 1) 0 解[ 方法一 ] 1.b a2 ab ( a3 1)b 0 因 a≠1 故 a=-1,b=0 [ 方法二 ] 由已知 a 2 1 a2 b ∵a≠ 1 ∴a=-1,b=0 ab b 或 1 ab 練習： {m,m+d,m

20、+2d}={m,mq,mq 2}, 求 q （答案： q=-1/2 ） 例 3，已知集合 A={x|(a 2-1)x 2+(a+1)x+1=0,x ∈ R} 中僅有一個元素，求實數 a 的值 解：本題分兩類進行 2 時 ,a=1 或 a=-1; 當 a=1 時， A={x|2x+1=0}={-1/2}, 滿足條件；當 a=-1 ⑴當 a -1=0 時,A= ，舍去。 ⑵當 a2-1 ≠ 0 時 ,a ≠ 1 且 a≠ -1 ，△ =0， a

21、=5/3 總之， a=5/3 或 1 例 4，已知 S 是滿足下列兩個條件的實數構成的集合：① 1∈ S; ②若 a∈ S，則 1 ∈ 1 a 用心 愛心 專心 5 S. 請回答下列問題 ⑴若 2∈ S, 求證 S 必有另外兩個數；⑵求證，若 a∈ S，則 1- 1 ∈ S； ⑶ S 中元素能否 a 只有一個？說明理由；⑷求證： S 中至少有三個不同的元素 解⑴ 2∈ S 1

22、1 1 -1 ， =-1 ∈ S =1/2 ∈ S =2∈ S,S 中必有另外兩個數 1 2 1 ( 1) 1 1 1/2 2 ⑵證明： a∈ S  1 ∈ S 1 1 = a 1 =1- 1 ∈ S 1 a 1 a a a 1 ⑶假設 S 中元素只有一個，則 1 1 =a,a 2-a+1=0 有實數解，與 a2-a+1=0 沒有實數解矛 盾，故 S 中的元不能只

23、有一個 a ⑷由⑵ S 中，至少有 a, 1 ,1- 1 三個不同的元，只要證明三者兩兩不等。假設 1- 1 = 1 1 a a ，有 a2-a+1=0 但它沒有實數解，矛盾。同理，三者兩兩不等，從而 S 中至少有 a 1 a 三個不同的元素 4，總結： 本節(jié)主要在符號表示法上又加了區(qū)間表示的概念， 同時，集合表示法之間的轉化體現(xiàn)了數學解題的四大原則性思想 作業(yè)：見補充習題 用心 愛心 專心 6