《【數(shù)學(xué)建模】第4講_線性規(guī)劃模型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【數(shù)學(xué)建?！康?講_線性規(guī)劃模型（30頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 線 性 規(guī) 劃 模 型數(shù) 學(xué) 建 模 基 本 內(nèi) 容2. 用 數(shù) 學(xué) 軟 件 包 MATLAB求 解 線 性 規(guī) 劃 問 題 .4. 實(shí) 驗(yàn) 作 業(yè) .1. 兩 個(gè) 引 例 .3. 建 模 案 例 ： 投 資 的 收 益 與 風(fēng) 險(xiǎn) . 問 題 一 ： 任 務(wù) 分 配 問 題 ： 某 車 間 有 甲 、 乙 兩 臺(tái) 機(jī) 床 ， 可 用于 加 工 三 種 工 件 .假 定 這 兩 臺(tái) 車 床 的 可 用 臺(tái) 時(shí) 數(shù) 分 別 為 800和900， 三 種 工 件 的 數(shù) 量 分 別 為 400、 600和 500， 且 已 知 用 三 種不 同 車 床 加 工 單 位 數(shù) 量 不 同 工 件 所

2、 需 的 臺(tái) 時(shí) 數(shù) 和 加 工 費(fèi) 用 如下 表 .問 怎 樣 分 配 車 床 的 加 工 任 務(wù) ， 才 能 既 滿 足 加 工 工 件 的 要求 ， 又 使 加 工 費(fèi) 用 最 低 ？ 單 位 工 件 所 需 加 工 臺(tái) 時(shí) 數(shù) 單 位 工 件 的 加 工 費(fèi) 用 車 床 類 型 工 件 1 工 件 2 工 件 3 工 件 1 工 件 2 工 件 3 可 用 臺(tái) 時(shí) 數(shù) 甲 0.4 1.1 1.0 13 9 10 800 乙 0.5 1.2 1.3 11 12 8 900 兩 個(gè) 引 例 解 設(shè) 在 甲 車 床 上 加 工 工 件 1、 2、 3的 數(shù) 量 分 別 為 x1、 x2、 x

3、3，在 乙 車 床 上 加 工 工 件 1、 2、 3的 數(shù) 量 分 別 為 x4、 x5、 x6,可 建 立 以下 線 性 規(guī) 劃 模 型 ： 解 答 問 題 二 ： 某 廠 每 日 8小 時(shí) 的 產(chǎn) 量 不 低 于 1800件 .為 了 進(jìn) 行 質(zhì) 量控 制 ， 計(jì) 劃 聘 請(qǐng) 兩 種 不 同 水 平 的 檢 驗(yàn) 員 .一 級(jí) 檢 驗(yàn) 員 的 標(biāo) 準(zhǔn) 為 ：速 度 25件 /小 時(shí) ， 正 確 率 98%， 計(jì) 時(shí) 工 資 4元 /小 時(shí) ； 二 級(jí) 檢 驗(yàn) 員的 標(biāo) 準(zhǔn) 為 ： 速 度 15件 /小 時(shí) ， 正 確 率 95%， 計(jì) 時(shí) 工 資 3元 /小 時(shí) .檢驗(yàn) 員 每 錯(cuò) 檢 一

4、 次 ， 工 廠 要 損 失 2元 .為 使 總 檢 驗(yàn) 費(fèi) 用 最 省 ， 該 工廠 應(yīng) 聘 一 級(jí) 、 二 級(jí) 檢 驗(yàn) 員 各 幾 名 ？解 設(shè) 需 要 一 級(jí) 和 二 級(jí) 檢 驗(yàn) 員 的 人 數(shù) 分 別 為 x1、 x2人 ,則 應(yīng) 付 檢 驗(yàn) 員 的 工 資 為 ： 2121 24323848 xxxx 因 檢 驗(yàn) 員 錯(cuò) 檢 而 造 成 的 損 失 為 ： 2121 1282)%5158%2258( xxxx 故 目 標(biāo) 函 數(shù) 為 ： 212121 3640)128()2432(min xxxxxxz 約 束 條 件 為 ： 0,0 1800158 1800258 18001582

5、58 21 21 21xx xx xx 線 性 規(guī) 劃 模 型 ： 21 3640min xxz 1 21 21 25 3 459s.t. 150, 0 x xxxx x 解 答返 回 線 性 規(guī) 劃 模 型 的 一 般 形 式 11min , 1,2,., .s.t. 0, 1,2,., .n i iin ik k ikiu cxa x b i mx i n 目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計(jì)變量的線性函數(shù). min. s.t u cxAx bvlb x vub矩 陣 形 式 ： 實(shí) 際 問 題 中的 優(yōu) 化 模 型 T1min( max) ( ), ( , , )s.t. ( ) 0, 1,

6、2, , niz f x x x xg x i m 或x是 決 策 變 量 f(x)是 目 標(biāo) 函 數(shù) gi(x)0是 約 束 條 件數(shù) 學(xué) 規(guī) 劃線 性 規(guī) 劃 (LP)二 次 規(guī) 劃 (QP)非 線 性 規(guī) 劃 (NLP) 純 整 數(shù) 規(guī) 劃 (PIP)混 合 整 數(shù) 規(guī) 劃 (MIP)整 數(shù) 規(guī) 劃 (IP)0-1整 數(shù) 規(guī) 劃一 般 整 數(shù) 規(guī) 劃連 續(xù) 規(guī) 劃 優(yōu) 化 模 型 的 分 類 用 MATLAB優(yōu) 化 工 具 箱 解 線 性 規(guī) 劃min z=cX s.t. AX b1. 模 型 ：命 令 ：x=linprog（c, A, b） 2. 模 型 ： min z=cX s.t.

7、 AX b beqXAeq 命 令 ：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注 意 ： 若 沒 有 不 等 式 ： 存 在 ， 則 令 A= ， b= .bAX 3. 模 型 ： min z=cX s.t. AX b beqXAeq VLBXVUB命 令 ： 1 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB） 2 x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0） 注 意 ： 1 若 沒 有 等 式 約 束 : , 則 令 Aeq= , beq= . 2其 中 X 0表 示 初 始 點(diǎn) beqXAeq 4. 命 令 ：x,fval=linp

8、rog()返 回 最 優(yōu) 解 及 處 的 目 標(biāo) 函 數(shù) 值fval. 解 編 寫 M文 件xxgh1.m如 下 ：c=-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6; A=0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08; b=850;700;100;900; Aeq=; beq=; vlb=0;0;0;0;0;0; vub=;x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 解 : 編 寫 M文 件xxgh2.m如 下 ： c=

9、6 3 4; A=0 1 0; b=50; Aeq=1 1 1; beq=120; vlb=30,0,20; vub=; x,fval=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)123m in (6 3 4 ) xz xx 32120030 xxx 1231 1 1 1 2 0s.t. 0 1 0 5 0 xxx s.t. Xz 8121110913min 9008003.12.15.0000 00011.14.0 X改 寫 為 ：例 3 問 題 一 的 解 答 問 題 編 寫 M文 件xxgh3.m如 下 :f = 13 9 10 11 12 8;A = 0.4 1.1 1

10、 0 0 0 0 0 0 0.5 1.2 1.3;b = 800; 900;Aeq=1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1;beq=400 600 500;vlb = zeros(6,1);vub=;x,fval = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 結(jié) 果 :x = 0.0000 600.0000 0.0000 400.0000 0.0000 500.0000fval =1.3800e+004 即 在 甲 機(jī) 床 上 加 工 600個(gè) 工 件 2,在 乙 機(jī) 床 上 加 工 400個(gè) 工 件 1、500個(gè) 工 件 3， 可 在 滿

11、足 條 件 的 情 況 下 使 總 加 工 費(fèi) 最 小 為 13800. 例 2 問 題 二 的 解 答 問 題 213640min xxz s.t. )45(35 2 1 xx改 寫 為 ： 編 寫 M文 件xxgh4.m如 下 ：c = 40;36;A=-5 -3;b=-45;Aeq=;beq=;vlb = zeros(2,1);vub=9;15; %調(diào) 用linprog函 數(shù) ：x,fval = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub) 結(jié) 果 為 ：x = 9.0000 0.0000fval =360即 只 需 聘 用 9個(gè) 一 級(jí) 檢 驗(yàn) 員 . 注 ： 本 問

12、題 應(yīng) 還 有 一 個(gè) 約 束 條 件 ： x1、 x2取 整 數(shù) .故 它 是一 個(gè) 整 數(shù) 線 性 規(guī) 劃 問 題 .這 里 把 它 當(dāng) 成 一 個(gè) 線 性 規(guī) 劃 來 解 ，求 得 其 最 優(yōu) 解 剛 好 是 整 數(shù) ： x 1=9， x2=0， 故 它 就 是 該 整 數(shù)規(guī) 劃 的 最 優(yōu) 解 .若 用 線 性 規(guī) 劃 解 法 求 得 的 最 優(yōu) 解 不 是 整 數(shù) ，將 其 取 整 后 不 一 定 是 相 應(yīng) 整 數(shù) 規(guī) 劃 的 最 優(yōu) 解 ， 這 樣 的 整 數(shù)規(guī) 劃 應(yīng) 用 專 門 的 方 法 求 解 . 返 回 投 資 的 收 益 和 風(fēng) 險(xiǎn) 二 、 基 本 假 設(shè) 和 符 號(hào)

13、 規(guī) 定 三 、 模 型 的 建 立 與 分 析1.總 體 風(fēng) 險(xiǎn) 用 所 投 資 的 Si中 最 大 的 一 個(gè) 風(fēng) 險(xiǎn) 來 衡 量 ,即 max qixi|i=1， 2,n 4. 模 型 簡 化 ： 四 、 模 型 1的 求 解 由 于 a是 任 意 給 定 的 風(fēng) 險(xiǎn) 度 ， 到 底 怎 樣 給 定 沒 有 一 個(gè) 準(zhǔn) 則 ， 不 同 的 投 資者 有 不 同 的 風(fēng) 險(xiǎn) 度 .我 們 從 a=0開 始 ， 以 步 長 a=0.001進(jìn) 行 循 環(huán) 搜 索 ， 編 制 程 序 如 下 ： a=0;while(1.1-a)1 c=-0.05 -0.27 -0.19 -0.185 -0.18

14、5; Aeq=1 1.01 1.02 1.045 1.065; beq=1; A=0 0.025 0 0 0;0 0 0.015 0 0;0 0 0 0.055 0;0 0 0 0 0.026; b=a;a;a;a; vlb=0,0,0,0,0;vub=; x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub); a x=x Q=-val plot(a,Q,.)，axis(0 0.1 0 0.5)，hold on a=a+0.001; end xlabel(a),ylabel(Q) 計(jì) 算 結(jié) 果 ： 五 、 結(jié) 果 分 析 返 回4.在 a=0.006附 近 有 一 個(gè) 轉(zhuǎn)

15、 折 點(diǎn) ， 在 這 一 點(diǎn) 左 邊 ， 風(fēng) 險(xiǎn) 增 加 很 少 時(shí) ， 利 潤 增 長 很 快 .在 這 一 點(diǎn) 右 邊 ， 風(fēng) 險(xiǎn) 增 加 很 大 時(shí) ， 利 潤 增 長 很 緩 慢 ， 所 以 對(duì) 于 風(fēng) 險(xiǎn) 和 收 益 沒 有 特 殊 偏 好 的 投 資 者 來 說 ， 應(yīng) 該 選 擇 曲 線 的 拐 點(diǎn) 作 為 最 優(yōu) 投 資 組 合 ， 大 約 是 a*=0.6%， Q*=20% ， 所 對(duì) 應(yīng) 投 資 方 案 為 : 風(fēng) 險(xiǎn) 度 收 益 x0 x1 x2 x3 x4 0.0060 0.2019 0 0.2400 0.4000 0.1091 0.2212 3.曲 線 上 的 任 一

16、 點(diǎn) 都 表 示 該 風(fēng) 險(xiǎn) 水 平 的 最 大 可 能 收 益 和 該 收 益 要 求 的 最小 風(fēng) 險(xiǎn) .對(duì) 于 不 同 風(fēng) 險(xiǎn) 的 承 受 能 力 ， 選 擇 該 風(fēng) 險(xiǎn) 水 平 下 的 最 優(yōu) 投 資 組 合 .2.當(dāng) 投 資 越 分 散 時(shí) ， 投 資 者 承 擔(dān) 的 風(fēng) 險(xiǎn) 越 小 ， 這 與 題 意 一 致 .即 : 冒 險(xiǎn) 的 投 資 者 會(huì) 出 現(xiàn) 集 中 投 資 的 情 況 ， 保 守 的 投 資 者 則 盡 量 分 散 投 資 .1.風(fēng) 險(xiǎn) 大 ， 收 益 也 大 . 實(shí) 驗(yàn) 作 業(yè)1.有 兩 個(gè) 煤 場 A、 B， 每 月 進(jìn) 煤 分 別 不 少 于 60t、 100t

17、,他 們 擔(dān) 負(fù)供 應(yīng) 三 個(gè) 居 民 區(qū) 用 煤 任 務(wù) ， 這 三 個(gè) 居 民 區(qū) 每 月 需 要 用 煤 分 別為 45t、 75t、 40t； A場 離 這 是 哪 個(gè) 居 民 區(qū) 分 別 為 10km、 5km、6km， B廠 離 這 三 個(gè) 居 民 區(qū) 分 別 為 4km、 8km、 15km， 問 這 兩煤 場 如 何 分 配 供 煤 ， 才 能 使 總 運(yùn) 輸 量 最 小 返 回 實(shí) 驗(yàn) 作 業(yè)2.合 理 利 用 線 材 問 題 。 現(xiàn) 要 做 100套 鋼 架 ， 每 套 用 長 為 2.9m, 2.1m和 1.5m的 元 鋼 各 一 根 ， 已 知 原 料 長 7.4m， 問 應(yīng) 該 如 何 下料 ， 使 用 的 原 材 料 最 省 。 返 回 提 示 ： 最 簡 單 做 法 是 ， 在 每 一 根 原 材 料 上 截 取 2.9m，2.1m和 1.5m的 元 鋼 各 一 根 組 成 一 套 ， 每 根 原 材 料 剩 下 料頭 0.9m（ 7.4-2.9-2.1-1.5=0.9)。 為 了 做 100套 鋼 架 ， 需 用 原材 料 100根 ， 共 有 90m料 頭 。 若 改 為 用 套 裁 ， 這 可 以 節(jié) 約原 材 料 。 下 面 有 幾 種 套 裁 方 案 ， 都 可 以 考 慮 采 用 。