5、
作圖：
/ N 1
（2）向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a ? b等于a的長度? a ?與b在a的方向上的投
影I b I cos 0f的乘積。
新知3：由定義得到的數(shù)量積的結(jié)論
設a和b都是非零向量，日是a與b的夾角，則
⑴當a與b垂直時，日二90,即a_Lbu a b =；
1f 1 4 4
⑵當a與b同向時，日二0，a b=；
- 4 4
當a與b反向時，日=180, a b=；
⑶當 a=b,即 a a=,或 a =；
/八 a b
⑷ cos -I =: 口 |a||b|
⑸因為cos耳＜1 ,所以a b a||b| .
三、典型例題
例i已知a[
6、=5, b =4, a和b的夾角為120，求a b ?
變式1 ：右a _Lb ,求a，b.
4 4 4
變式 2 ： a // b ,求 a b.
■+ ■+ 4 4 4 4
變式3：已知a =5, b=4, a b =-10,求a與b的夾角日.
變式4：已知a =5 , b =4, a b =-10 ,求向量a在向量b的方向上的投影
例2.判斷下列命題的真假，并說明理由 .
⑴在MBC中，若羨羨＞0 ,則AABC是銳角三角形；
⑵ MBC為直角三角形，則 AB BC =0.
特別注意：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的，范圍是0W 。w兀
四、總結(jié)提升
1
7、.向量數(shù)量積的定義及幾何意義；
2 .由定義推出的數(shù)量積的相應結(jié)論 .
3 .在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點的，范圍是OW 0W兀
五當堂檢測：
1 .在平行四邊形 ABCD中，AB=4, BC=2,2BAD =120叱則黑，AD為（ ）
A.4 B.-4 C.8 D.-8
2 .設a =12, b =9, a b=-54j2,則a與b的夾角日為（）
A. 451 B. 135； C. 601D. 120:
3 .已知 MBC , AB =a ,品=1,當 3 b =0 時，MBC 為（ ）
A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形
4 .已
8、知平面內(nèi)三個點 A（0,皿）B（3,3）C（1,—1 ）,則向量AB與BC 的夾角為（ ）
A. 0 B. 90」C. 60；| D. 180：
5 .已知a =3 , b =5,且a -b=12,則向量a在向量b的方向上的投影為 .
6 .已知b=3, a在b方向上的投影為z,則ab=；
2 42 4
7.已知向量a滿足a =8 ,則a = .
六、課后作業(yè)
1 .已知a =6, b =4, a與b的夾角為30」，
TH *2 *2
求：⑴a b ；⑵a ；⑶b .
2、已知a1 =12 , b =9 , 2 3 = -5472，求a與b的夾角日.
3、已知a〔=6,e
9、為單位向量，當 a, e之間夾角分別為 45,90，,135”時，畫圖表示a在e方 向上的投影，并求其值.
4.若四邊形ABCD滿足AB+CDl = 0,且^^ ,BC =0 ,則四邊形 ABCD是（ ）.
A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形
4 T T
6、在 MBC 中，a =5,b=8,C =60 ,求 BC CA
課題2 . 4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導學案（2）
學習目標：
1、掌握向量數(shù)量積的運算律，并能熟練運用向量數(shù)量積的運算律進行相關的判斷和運算；
2、體會類比的數(shù)學思想和方法，進一步培養(yǎng)學生抽象概括、推理論證的能力。
學習過程：
10、一、課前準備
復習：
1、設兩向量 a,b的夾角為 H ,則日w；且當 日=時，a//b ；
4 4
當 e =時，a _Lb.
4 4 4 4
2、已知兩個非零向量 a和b ,把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積，
記作，即 ;
4 4 ■> 4 4
3、向量a在b方向上的投影是 ； a b的幾何意義為：數(shù)量積a七等于a的長度
a與b在a方向上的投影 的乘積.
r - 4 4
4、設a和b都是非零向量， 8是a與b的夾角，則
①當a與b垂直時，9 =90s,即a _Lb^ a b =
②當a與b同向時，日=0「a b=；
當a與b反向時，1 =180 , a b=
11、;
③當 a =b ,即 a a=,或 a1 =；
④cosi=
⑤因為cos9| <1 ,所以a鼻 a lb .
二、新課導學
探究1：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？學習了向量數(shù)量積后，這些運算律對向量是 否也適用？（學生猜想并給出解釋說明，錯誤的說明理由）
探究2：你能推導向量數(shù)量積運算律 （a+b ）c=a c+b，c嗎?
（師生共同完成）
新知1 ：已知向量a,b,c和實數(shù)九，則
⑴ a b =b a
⑵ a b = ■ a b =a b
⑶ a b c = a c b c
證明：⑴交換律 設a, b夾角為e,則a ■ b = | a|| b|cos日，b ■
12、 a = | b|| a|cos 6
? a b = b a
(2)數(shù)乘結(jié)合律：(, a) b = ■ (a b) = a( 1 b)
證：若 2 0,(九a) b =九| a|| b|cos 日， 九(a b) =X| a|| b|cos 日，a(九b) =X | a|| b|cos 6,
若,< 0, ( 1 a) b =| a|| b|cos(二”)=一生|a|| b|( -cos 力=■ | a|| b|cos 二(a b) =| a|| b|cos j
a ( 1 b) =| a|| b|cos(二-力= -1| a|| b|( -cos u) = | | a||
13、 b|cos 口
三、典型例題
2 O O O O
例 1、 我們知道，對任思 a, b 匚 R,恒有（a +b ） =a +2ab + b , （a +b a -b）=a -b
對任意向量a,b ,是否也有下面類似的結(jié)論？
-14 2 -12 4 442 j -I 2 22 22
⑴（a +b ） =a +2a b +b ； ⑵（a +b ）\a-b ）=a -b .
例2、 已知a =6, b=4, a與b的夾角為60’，求：
4一 叱、 ^444 4 4
⑴ a b ;⑵ a -b ；⑶（a +2b ） {a -3b ）； （4） a + b .
例3、已知a=3
14、,b=4,且a與b不共線，k為何值時，向量t + kb與a—kb互相垂直？
課堂練習 判斷正誤，并簡要說明理由
①a - 0 = 0；②0,a=o；③0
0-7B = BA；
④ I a - b I = I a | | b I ;
⑤若a w 0,則對任一非零b有a ? b w
o；⑥a?b=o,則a與b中至少有一個為0 ；
⑦對任意向量a , b , c都有（a.b）C = a（b.C）；
⑧a與b是兩個單位向量，則 a 2 = b 2 ；⑨若a b = b c則a = c
解：上述8個命題中只有③⑧正確；
對于①：兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，應有 0 ? a
15、=o；
-4
對于②：應有o ? a = 0 ；
對于④：由數(shù)量積定義有I a ? b |
a I - I b | ? | cos 9 | < | a | | b | ,
a - b | = | a|| b | ；
這里。是a與b的夾角，只有。=o或。=兀時，才有|
對于⑤：若非零向量 a、b垂直，有a - b = o ；
對于⑥：由a ? b =?？芍猘 b可以都非零；
對于⑦：若a與C共線，記a=入C.
則 a ? b =（入 C）? b = x （C? b）=入（b .C）,
.1. （ a - b ） , C = x （b.C）C=（b.C）入 C
16、=（b.C） a
若a與C不共線，則（a.b）Cw（b.C）a,這是因為左端是與C共線的向量，而 右端是與a共線的向量，而一般 a與C不共線.
對于⑨：已知實數(shù) a、b、c（bM）,則ab=bc=a=c.但是a b = b，C* a 二 C
如右圖：a b = | a|| b |cos p = | b||OA| , b C = | b || c |cos a = | b ||OA|
= ab=bC 但 a#c
評述：這一類型題，要求學生確實把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運 上土二
Cj b .
算律.
四、總結(jié)提升
1、向量數(shù)量積的運算律及其應用：
(；，a b - ■ a b
17、 = a 1 b三 R
4一 ■彳
①交換律成立：a b =b3②對實數(shù)的結(jié)合律成立:
③分配律成立：a-b c=a c-b c
特別注意：（i）結(jié)合律不成立：即一般的（a?b）c#a（b-c）；
（2）消去律不成立：即一般的 a,b=bc a = c
- - *
（3）a ? b = o,則a與b中至少有一個為0是錯誤結(jié)論
2、課本中的結(jié)論:
T T T T I? ? a b i ia -b = a -b
■j 2 2 4 4 4 42 *2 4
(a +b ) =a +2a b +b = a +2a
2 2 ~
a a -2a
3 2 2
■b+b
可直接應
18、用
美過自我評價：你完成本節(jié)導學案的情況為（ ）
A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 五、當堂檢測：
1 .若a,b,c為任意向量，mwR,則下列等式不一定成立的是（ ）
A. a b】qc=ai.b c B. a b c=ac bc
廿& 4
C. m a b = ma mb D. a b c = a b c
2.已知a =6, a與b的夾角為60 ,且（a +2b ）《a -3b ）=—72，則b為（
A. 16 B. 6 C. 5 D. 4
4 4 4 4
3 .已知a =1, b =應，且（a —b ）與a垂直，則a與b的夾角為（ ）
A. 601 B.
19、 301 C. 135： D. 451
,+ Hi W 4 “ 4^2
4 . a =3,H =4 ,且 a 與 b 的夾角為 150 ,則（a +b ）= .
5 .已知 a =21b =5,a b=—3,則？+b=, a _b =.
六、課后作業(yè)
1、已知a =3, b|=4,且a與b的夾角e=150：,求：
小 4 1G 唾? ,、d J 2 ,、? J /J -
⑴ a b ;⑵ a -b ；⑶（a +b ）；；⑷ a +b ； （5） （a +2b ），（a -3b ）
2、已知 a1 =2 , b =5 , a b =-3，求 a +b , a -b1 ;
,1
20、4 4 4 4 4 4
3、已知 a =4 , b =3, （2a—3bM2a+b ）=61 ,求 a與 b的夾角8及 a + b 值
、、 i dTwdd"
4 .設m,n是兩個單位向量，其夾角為 60,,求向量a =2m+ n與b =2n -3m的夾角.
5 .已知 a] =7,b =4,a +b| =9 ,求 a -b1.
6 .已知a, b是非零向量，且滿足 （a—2b），a, （b —2a） _L b ,求a與b的夾角.
課題2 . 4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角導學案
學習目標
1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示方法及其變式（夾角公式） ；
2、熟練掌握向
21、量垂直的兩種形式的等價條件；
3.理解模長公式與解析幾何中兩點之間距離公式的一致性 ^
學習過程 A，jni. ?? H ■■
一、課前準備
復習：
1、設兩向量 a,b的夾角為0 ,則日w；且當 日=時，a//b ;
當 9 = 時，a _Lb.
2、已知兩個非零向量a和b,把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積，
記作，即 ;
4 4 4 4 4 4 4
3、向量a在b方向上的投影是 ； a b的幾何意義為：數(shù)量積a，b等于a的長度
a與b在a方向上的投影 的乘積.
4、設a和b都是非零向量，日是a與b的夾角，則
①當a與b垂直時，日=90",即a_Lbu a b=
22、— ? , 廿—
②當a與b同向時，6=0, a b =;
T r 4 4
當a與b反向時，0=180 , a b=;
③當 a =b ,即 a a=,或 a =；
④ COST1 =
⑤因為COS0| <1 ,所以
5、向量數(shù)量積的運算率：
⑴向量數(shù)量積的交換律：
⑵（，a 卜b ==
⑶向量的數(shù)量積的分配律：
2 2 2 -j T t -i
⑷(a +b ) =. (a +b ) (a _b 尸.
二、新課導學
探究1 ：平面向量數(shù)量積的坐標表示
已知兩個非零向量 ：=缶，乂)b = (x2,y2 ),怎1^用a與b的坐標表示3 3呢？
思考1：設i、j是
23、分別與x軸、y軸同向的兩個單位向量，若兩個非零向量 a=(x1,y1),
4 ? ? * *
b = (x2,y2),則向量a與b用i、j分別如何表示？
4 ? 4 ? 4 ?
思考2：對于上述向量i、j ,則i 2=, j 2 =, i j =
根據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)， a b =
新知1：兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和，即 g3 =x1x2 + y1y2].
探究1：由平面向量數(shù)量積的坐標表示可以得到哪些結(jié)論呢？
思考1：設向量a=(x,y),利用數(shù)量積的坐標表示，I a I =
思考2：如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為 (x1, y1),
24、(x2,y2),那么向
量a的坐標如何表示？ I a I = 思考3：設向量a = (x1，必)，b = (x2, y2),若a，b ,則x1，y1，x2, y2之間的關系如何？
反之成立嗎？
思考4 ：設a、b是兩個非零向量，其夾角為 。，若a = (x1, y1), b = (x2, y2),那么
cos 0如何用坐標表示？
新知2：
4 4 2 彳
2 2 2 2
⑴右 a =(x, y，則 a =x +y ，或 a = %?x + y .
? — T ； 2 2
⑵右 A(x1,y1), B(x2,y2 )，則 AB =d—x1, y2 — y),則 AB
25、=｛色-x[)+必-y ).
? 葉 胃.
⑶若 a 二(%,弘)b=(x2，y2 ),則 a_Lbu xp2 +y〔y2=0.
⑷兩個非零向量a=(x1,y1)b=(x2,y2 a是a與b的夾角，
則 d 河二一 Jy1y2一 ab1 .x； y2、x； y2
三、典型例題
例1、(1)已知a =(々,4 )b=(5,2%求 丸b , a b及a,b之間夾角8余弦值.
4 4 4 44 44^4 444 ^4
(2)已知 a=(2,3 )b=(—2,4)c =(—1,-2 卜求a b, (a+b) (a-b) , a(b + c), (a+b)2
例2、已知A(1,2 ),
26、 B(2,3 ), C(—2,5 ),試判斷AABC的形狀，并給出證明。
變式：在4ABC中，AB=(1,1), AC =(2, k),且△ ABC的一個內(nèi)角為直角，求 k值。
小結(jié)：向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應的兩條線段或直線是否垂直的重要方法之一 .
■ ^ ^444
例3、已知 a=(—3,—2), b=(T,k ),若(5a —b )(b—3a )= —55 ,試求 k 的值.
四、總結(jié)提升
1 .用坐標表示向量的數(shù)量積，模，夾角等 .
什* 4 附v
(1)若 a =(x〔，y[)，b =(x2,yz),則|a 匕=為*2 +丫7
， M 2 0c ■
27、+ I r r
(2)若 a =(x,y ,則 a =x +y ,或 a =Jx +y .
,、什， ? — T , 2 2
(3)右 A(x1，y1)，B(x2,y2 ),則 AB =x 2?[y 2 ) 1 )，則 AB =丫一為)十2—y1).
? 4 4 4
⑷兩個非零向量a =(x,y1 1b =口2, y2 )日是a與b的夾角，
則 COST J^=—X2 y1y2
a b X12 y2 \ x2 y2
H~~4
)，則 a!buab= 0u *涇+丫1丫2 = 0
_ 4 H
2.兩向量垂直的兩種表不： 若a =x y，1bJ x 2,2
空另一自我
28、評價： 你完成本節(jié)導學案的情況為(
A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 五、當堂檢測
叫 叫 4 4
1 .已知a =(4,41b =(5,2,則a b等于( )
A. 23 B. 7 C. -23 D. -7
■ 用 4 4
2 .若a=(Y4 ), b =(5,12),則a與b夾角的余弦為( )
A. 63 B.丑 C. .33 d -63
65 65 65 65
■ ■ T 2 T ■
3 .若 a=(<3 > b=(5,6 卜則 3a —4a b 等于(
A. 23 B. 57 C. 63 D. 83
4 . a =(2,3), b =(-2,4 ),則(
29、a+b >{a—b 戶一
5.已知向量OA=(—1,2〉
OB=(3,m ),若 OA_l7B,則 m =
17
六、課后作業(yè)
1、
若 a 二( — 3
4)
b =(5,
A.23
B.7
C. —23
D. -7
2、
若 a 二( — 3
4)
b =(5,
12),則a與b夾角的余弦值為(
1.
63
A. 一
65
33
B. 一
65
33 C. — —
65
D.
63
65
已知 a =(3,Y), b =(2,x),
c =(2,y )，且 a// b , a _l_c ,求⑴ b -c ;⑵ b
30、、c 的夾角.
4、已知平面向量a =(1 , - 3), b =(4 , — 2),若九a+b與a垂直，== ；
2.已知點A(1,2劉B(4,—1 ),問能否在y軸上找到一點C ,使』ACB=90 ,若不能，說
明理由；若能，求C點坐標.
3、已知a=(4,3), b=(—1,2), m=a_>bn=2，+b,按下列條件求實數(shù)九的值.
(i)mn； (2)m〃n ； (3)m=1n
4、已知四點 A(1,0), B(5,—2), C(8,4卜D(4,6)求證：四邊形 ABCD是直角梯形.
5、已知a =(%2 )b =(—2,5 ),且a與b的夾角是鈍角，求 人的取值范圍。
平面向量數(shù)量積導學案(3課時)
