計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)李子奈潘文卿版計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)答案
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1、第二章 L為廿公計(jì)品經(jīng)講學(xué)模型的理總?cè)f程中必須包翁隨機(jī)十就項(xiàng)? 解答計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型考察的是具有因果關(guān)系的隨機(jī)變量間的具體聯(lián)系 方式.由于是隨機(jī)變量,意味著影響被解釋變量的因素是復(fù)雜的,除了解釋變 量的影響外,還有其他無法在模型中獨(dú)立列出的各種因素的影響,這樣,理論 模型中就必須使用一個(gè)稱為隨機(jī)干擾項(xiàng)的變量來代表所有這些無法在模型中獨(dú) 立表示出來的影響因素,以保證模型在理論上的科學(xué)性。 ,下列計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方程哪些是正確的?哪些是錯(cuò)謾的?為什么? (1)匕=& + /?乂,"Lz…??; ⑵工=戊+ %+乂,r=】2,、s 0)匕=應(yīng)+ 凡+4,r = IA-sn; (4) 弋內(nèi)、t =
2、 ],2 …f (5)匕=巾 + /其,[ = 1,2,???/: (6)1三4+ /胃,E = 1,Z…,八 (7)匕=位+力兌+自,F(xiàn) = l,2,…,月: (8) =在+ /氏+啟,F(xiàn)=L工…赤. 其中帶”口酢者表示M估計(jì)值二 解答計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型有兩種類蟄:一是總體回歸模型;另一是樣本回歸 模型.兩類回歸模型都具有確定形式與隨機(jī)形式兩種表達(dá)方式; 總體回歸模型的確定形式 打門才卜聞十片刀 總體回歸模型的隨機(jī)形式 丁工自+卬C + H 樣本回歸模型的確定形式 心樂+ BX 樣本回歸模型的隨機(jī)形式 Y = A+B\XZ 除此之外,其他的表達(dá)形式均是錯(cuò)誤的,因此判
3、斷如下1(1)錯(cuò)誤;(2)正確: (3)錯(cuò)誤:(4)錯(cuò)誤;(5)錯(cuò)誤;(6)正確;(7)正確:(8)錯(cuò)誤. 4.線性回歸模型 %=。+ 夕%+自,i = l,2,…/ 的零均值假設(shè)是否可以表示為工從=o?為什么? n M 解答 線性回歸模型中的零均值假設(shè)(4)=0可以表示為 e(4)=o, E3)=o, e的)=o,… 但是不能表示為=0 ,理由是 n f-1 I " 念必=3)二。 嚴(yán)格說來,隨機(jī)干擾項(xiàng)的零均值假設(shè)是關(guān)于X的條件期望為零: e(mIX)=o,其含義為在X取值為用的條件下,所有其他因素對(duì)y的各種可 能的影響平均下來為零。因此,上(從)與工兒是兩個(gè)完全不同的
4、概念. 5.假設(shè)已經(jīng)得到關(guān)系式丫=4+4★的最小二乘估計(jì),試回答: (1)假設(shè)決定把才變量的單位擴(kuò)大10倍,這樣對(duì)原回歸的斜率和截距會(huì)有 什么樣的影響?如果把y變量的單位擴(kuò)大io倍,又會(huì)怎樣? (2)假定給x的每個(gè)觀測(cè)值都增加2,對(duì)原回歸的斜率和截距會(huì)有什么樣 的影響?如果給y的每個(gè)觀測(cè)值都增加2,又會(huì)怎樣? 解答(1)記才?為原變量x單位擴(kuò)大10倍的變量,則丫=工,于是 10 Y = Bdx 如磋 10 可見,解釋變量的單位擴(kuò)大10倍時(shí),回歸的截距項(xiàng)不變,而斜率項(xiàng)將會(huì)成為原 回歸系數(shù)的二, 10 同樣地,記E為原變量了單位擴(kuò)大io倍的變量,則^ 二卷,于是 Y 元
5、=鳳+隊(duì)X 即 F =10 4+1001* 可見,被解釋變量的單位擴(kuò)大10倍時(shí),截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)都會(huì)比原回歸系數(shù)擴(kuò)大 10倍. (2)記=X + 2,則原回歸模型變?yōu)? Y = B.+BiX、 , 二煤+雙『-2) 記『=/ + 2,則原回歸模型變?yōu)? y* - 2 =鳳+旦片 L+2)+" 可見,無論解釋變量還是被解釋變量以加法的形式變化,都會(huì)造成原回歸模型 的截距項(xiàng)變化,而斜率項(xiàng)不變. 6.假使在回歸模型耳=乩+4氏+向中,用不為零的常數(shù)6去乘每一個(gè)X 值,這會(huì)不會(huì)改變F的擬合值及殘差?如果對(duì)每個(gè)X都加大一個(gè)非零常數(shù)8, 又會(huì)怎樣? 解答 記原總體模型對(duì)應(yīng)的樣本回歸模型為k
6、=A+Am+e,,則有 衣三辛率, 瓦三?-》 y的擬合值與殘差分別為 記藥,■6局.則有 素=生,或 工土 =上;-X = 6xi 記新總體模型對(duì)應(yīng)的樣本回歸模型為 %= +型;+; 則有 kkk - -必/ a0 = y - 1 x* = y -^-pxsx o =q-BH=Bo 于是在新的回歸模型下,丫的擬合值與殘差分別為 8=2 +4乂 =A+jA^Xj o =A)+Kxi e;=K-(4+M:) =丫「0+。2 xj = K - + BiX) 可見,對(duì)x乘非等常數(shù)后,不改變丫的擬合值與模型的殘差。 如果記x;=M+6,吧 x9 =X + S , X:
7、三七 于是新模型的回歸參數(shù)分別為 % Z咆% =丫 -姓-B\6=Bo-冰 在新的回歸模型下,丫的擬合值與殘差分別為 1=&+一萬. =(良-肱)+A(x”) =Bo + BiX* e:=匕 - 0 + ) =匕-[(瓦-魏)+ (% + 5)] =V「0+B兇) 可見,對(duì)X都加大一個(gè)非零常數(shù)后,也不改變Y的擬合值與模型的殘差。 7.假設(shè)有人做了如下的回歸: 其中,片,巧分別為匕,用關(guān)于各自均值的離差。問a和自將分別取何值? 解答 記三二12/,則易知》=》=o,于是 n n a _ (% -初y -刃 _ …Z(Q以=EF 及=亍-6示=。 可見,在離差形
8、式下沒有截距項(xiàng),只有斜率項(xiàng)。 9.記樣本回歸模型為Z=A+Xj + /,試證明: (D估計(jì)的y的均值等于實(shí)測(cè)的y的均值: (2)殘差和為零,從而殘差的均值為零:_ -0j e=0 (3)殘差項(xiàng)與X不相關(guān): .2科=0 (4)殘差項(xiàng)與估計(jì)的Y不相關(guān): 工=0 證(1)由于 =(9冷幻+% 故 這里用到了 — 1 y=y+A:z(%T)=y 2 %=( 乂一方)=0 由一元回歸中正規(guī)方程組中的第一個(gè)方程 Z 化-5lX)=o Ze/=0 巨,馬=0 n (3) 由一元回歸中正規(guī)方程組中的第二個(gè)方程 (工-4)-癡為=0 e
9、禺=0 由(2)及(3)易知 心值+6%) = A)Zq +AZe,M 1 .多元線性回歸模型的基本假設(shè)是什么?試說明在證明最小二乘估計(jì)量 的無偏性和有效性的過程中,哪些基本假設(shè)起了作用? 解答多元線性回歸模型的基本假定仍然是針對(duì)隨機(jī)干擾項(xiàng)與針對(duì)解釋 變量?jī)纱箢惖募僭O(shè).針對(duì)隨機(jī)干擾項(xiàng)的假設(shè)有:零均值,同方差,無序列相關(guān) 且服從正態(tài)分布,針對(duì)解釋變量的假設(shè)有;解釋變量應(yīng)具有非隨機(jī)性,如果是 隨機(jī)的,則不能與隨機(jī)干擾項(xiàng)相關(guān);各解釋變量之間不存在(完全)線性相關(guān) 關(guān)系。 在證明最小二乘估計(jì)量的無偏性中,利用了解糅變量非隨機(jī)或與隨機(jī)干擾 項(xiàng)不相關(guān)的假定
10、:在有效性的證明中,利用了隨機(jī)干擾項(xiàng)同方差且無序列相關(guān) 的假定。 2 .在多元線性回歸分析中,,檢驗(yàn)與尸檢驗(yàn)有何不同?在一元線性回歸分 析中二者是否有等價(jià)的作用? 解答在多元線性回歸分析中,/檢驗(yàn)常被用作檢驗(yàn)回歸方程中各個(gè)參數(shù) 的顯著性,而尸檢驗(yàn)則被用作檢驗(yàn)整個(gè)回歸關(guān)系的顯著性。各解釋變量聯(lián)合起 來對(duì)被解釋變量有顯著的線性關(guān)系,并不意味著每一個(gè)解釋變量分別對(duì)被解釋 變量有顯著的線性關(guān)系。在一元線性回歸分析中,二者具有等價(jià)作用,因?yàn)槎?者都是對(duì)共同的假設(shè)一解釋變量的參數(shù)等于零——進(jìn)行檢驗(yàn)。 4.在一項(xiàng)調(diào)杳大學(xué)生一學(xué)期平均成頊(丫)與每同在學(xué)習(xí)(乂)、睡覺(入2)、 娛樂(入3)與其他各種活
11、動(dòng)(Z)所用時(shí)間的關(guān)系的研究中,建立如下回歸模型: 丫=4+4 % * 不 %+乩 %%〃 如果這些活動(dòng)所用時(shí)間的總和為一周的總小時(shí)數(shù)168。問:保持其他變量不變, 而改變其中一個(gè)變量的說法是否有意義?該模型是否有違背基本假設(shè)的情況? 如何修改此模型以使其更加合理? 解答 由于X1+X2 + X3+ *4=168,當(dāng)其中一個(gè)變量變化時(shí),至少有一個(gè) 其他變量也得變化,因此,保持其他變量不變,而改變其中一個(gè)變量的說法是 無意義的。 顯然,由于四類活動(dòng)的總和為一周的總小時(shí)數(shù)168,表明四個(gè)X間存在完 全的線性關(guān)系,因此違背了解釋變量間不存在(完全)多重共線性的假設(shè)。 可以去掉其中的一個(gè)變量
12、,如去掉代表“其他”活動(dòng)的變量元,則新構(gòu) 成的三變量模型更加合理。如這時(shí)自就測(cè)度了當(dāng)其他兩變量不變時(shí),每周增加 1小時(shí)的學(xué)習(xí)時(shí)間所帶來的學(xué)習(xí)成績(jī)的平均變化。這時(shí),即使睡覺和娛樂的時(shí) 間保持不變,也可以通過減少其他活動(dòng)的時(shí)間來增加學(xué)習(xí)的時(shí)間。而這時(shí)三個(gè) 變量間也不存在明顯的共線性問題C 5.考慮下列兩個(gè)模型: (a) %=%+1入11+,占,+% (b) %- %產(chǎn)?0 +自治+。迷3q (1)證明:自=4-1, 8q=&q,&二4。 (2)證明:兩個(gè)模型的最小二乘殘差相等,即對(duì)任何L有& =包。 (3)在什么條件下,模型e)的雙小于模型(a)的&2? 解答(1)對(duì)模型⑸變形如下:
13、 X = A)+(A + i)招 + 夕2招+4 因此,在與模型(a)有相同的樣本下進(jìn)行OLS估計(jì),有 =自 + 1, Bq=&0, B?= &2 或 6=4-1, Bq=&q, B】=&) (2)在(1)成立的條件下, -—- =Z-A-(a+i)x「Ax, 三y「X[「b「6ML A*2=a Vu2 (3)對(duì)模型(a) 對(duì)模型(b) Rj 一 E___ "zu-居)sqF_ . 由⑵知2年=2>,故只有當(dāng)Z【(x-居)-江-凡)]2<2代一斤時(shí), 即模型co的總變差(解釋變量的離差平方和)小于模型⑥的總變差(解釋變量的 離差平方和)時(shí),才會(huì)有模型(b)的配小于模型⑥的公
14、。 7.考慮以下過原點(diǎn)回歸: * : % = B\Xm + %Xm+ “ (1)求參數(shù)的OLS估計(jì)量; (2)對(duì)該模型,是否仍有結(jié)論 E產(chǎn) 0 9 = 09 >入射=0 解答。)根據(jù)最小二乘原理,需求適當(dāng)?shù)淖?,A,使得殘差平方和最小: Min 2蠟=2億-自居-A%)? 正規(guī)方程組: 或 由微積分的知識(shí),對(duì)上式分別關(guān)于與,后求偏導(dǎo),并令導(dǎo)數(shù)值為零,得如下 a-瓦樂-無4)招=0 Z(x-瓦玉-&居)為產(chǎn)。 32尤 +82^X11X21 = >,X“Yi AZx居+AZ居=2居匕 解得 ,二居xx,后) * ■/Z 扃-(為。2 a 二(Z-Z典)-(2丫再x
15、Zx居) 2" ,蜀 ZM「(ZxdJ (2)由(1)中的正規(guī)方程組知,對(duì)該模型,仍有 工與凡=0 E%X2t = 0 但不存在W> =0 ,即過原點(diǎn)的殘差和不一定為零。 8.對(duì)下列模型: (a) Yf =a + 0X. + 2Zj + % (b) Y*=a + pX「pZ盧 ” 求出/?的最小二來估計(jì)值,開籽結(jié)果與卜面的三變量回歸方程的最小二來估計(jì) 值作比較二 : Yt-a + pXi + 浮$ + % 你認(rèn)為哪一個(gè)估計(jì)值更好? 解答將模型⑶改寫成 Yi-2Zi = a + B% + 叼 則/的估計(jì)值為 將模型(b)改寫成 5^ =a + 趴X「ZJ
16、 + a 則的估計(jì)值為 對(duì)模型(c), /?的估計(jì)值為 , _(Zm.)(ZX)吊NZ占巧) 顯然,模型⑷與模型(b)分別是模型(C)的參數(shù)在如下約束下的變形式; 7=2* y = + 因此,如果限制條件正確,則三個(gè)回歸結(jié)果相同,當(dāng)然,從參數(shù)估計(jì)的表達(dá)式 上看.模型(與模型(b)的回歸算法更簡(jiǎn)潔,但如果限制條件不正確,則模型(a) 與模型(b)的回歸參數(shù)是有偏的。 第四章 1.對(duì)一元回歸模型 Y廣。o+PiX> 內(nèi) (1)假如其他基本假設(shè)全部滿足,但丫”(4)=。;工。2,試證明估計(jì)的斜蟀 項(xiàng)仍是無偏的,但方差變?yōu)? (2)如果Var(M)=,Kj,試證明上述方差的表達(dá)式為
17、 .Var(A)=X?*TT 該表達(dá)式與在同方差假定下的方差Var(自)之間有何關(guān)系?分K,.大于1與小于 1兩種情況討論。 解答(1)在一元線性回歸中,已知有 5 防 d 、—看必 因此, E(A)= E(0J + Z 去 e(m) = Bi Var(4)= Var(/?l) + Var *上⑷2去備c" * -(W (2)由(1)中結(jié)果進(jìn)一步得 v皿6)= Ex"k* =.,國 3)(正育育 而在同方差下,丫/病)=工>,它與Var(自)相差一個(gè)乘子柒I"。如果 二2 % X,- >1,則該乘子大于1,出現(xiàn)Var(自)>Var(/j:如果0<(<1,則出現(xiàn)
18、 Var0)<Var 聞。 2.對(duì)題1中的一元回婦模型,如果已知Var(〃j) =。:,則可對(duì)原模型以權(quán) 上相乘后變換成如下的二元模型: ‘ LQ+貯+比 5 5 5 5 對(duì)該模型進(jìn)行OLS估計(jì)就是加權(quán)最小二乘法。試證明該模型的隨機(jī)干擾項(xiàng)是同 方差的,并求出片的上述加權(quán)最小二乘估計(jì)量. 解答由于 Var(% = J Var3)= 3。:=1 巴 5 巧 因此,變換后的模型是同方差的。 記變換后的模型的樣本函數(shù)的離差式為 "=離上+ K^ + e; 5 5 對(duì)該式的OLS回歸,就是求適當(dāng)?shù)钠?;,以使 最小。再對(duì)該式關(guān)于離,夕:求偏導(dǎo),并令偏導(dǎo)數(shù)為零,得如下正規(guī)方程組
19、 耳Z w:+夕;Z嗎%=z w力 房=2 嗎 XX 解線性方程組,則容易得到參數(shù)的OLS估計(jì)量為 」_0>,)(1>/工)一(1>區(qū))(!>.) 其中,^^二/。 進(jìn)一步令 且 則上述估計(jì)式可簡(jiǎn)化為 Y?=匕-廣,再?=乂-產(chǎn) 3.對(duì)一元線性回歸模型 (1)假如其他基本假設(shè)全部滿足,但Cov(m.,〃JxO,試證明,估計(jì)的斜率 項(xiàng)仍是無偏的;??? ? (2)若自變量存在正相關(guān),且隨機(jī)干擾項(xiàng)存在如下一階序列相關(guān): 成證明估計(jì)的斜率項(xiàng)的方差為 | 并就0>0與夕<0,Xf存在正序列相關(guān)或負(fù)序列相關(guān)時(shí)與模型滿足所有基本假 定
20、下的OLS估計(jì)Var(自)的大小進(jìn)行比較。 解答⑴由于 I 心答叩會(huì) 因此, E 通)= E(G + E 這里未涉及到隨機(jī)干擾項(xiàng)的序列相關(guān)性」 (2)由⑴知 Var(g)=Var(自)+ Var W^Var(口〃,) ,1 (W 1 ,, + 夕 XiXt+n-l ,=1 3r 。- 2 /?再演.1+/2%乙.2+? /1-2 2"/r+2 再怎 Z x"ara ) + 2g gCov3,4) 「 : 1VSJ 由于 Var(從)=" , Cov(4,卜$) = ps~la2 故V皿陽=余+昌7駛砧 上式中,右邊第一項(xiàng)是無自相關(guān)
21、時(shí)自的OLS估計(jì)的方差,第二項(xiàng)包含 兩個(gè)因素:隨機(jī)干擾項(xiàng)從的自相關(guān)系數(shù)夕和刻畫Xt的序列相關(guān)性的給二。
如果
XgXs
(a)—>0,岸-X),即從與%均存在正序列相關(guān);p<0,
即4與X均存在負(fù)序列相關(guān),則有
Var信)〉Var (方)
(b) p>0,岸口-<0,或"<0,岸口->0,即4與X序列,一個(gè)正相關(guān), 一個(gè)負(fù)相關(guān),則有
Var(給
22、一方法能否消除原模型中匕T與4的相關(guān)性?為什么?
解答 能消除.在基本假設(shè)下,X“,X"與",應(yīng)是不相關(guān)的,由此知, 由X*與匕,估計(jì)出的Z應(yīng)與民不相關(guān)。
6 .對(duì)于一元回歸模型匕=用+④;+4,假設(shè)解釋變量X;的實(shí)測(cè)值X,與 之有偏誤:X=X;+e,,其中耳是具有零均值,無序列相關(guān),且與X;及從不 相關(guān)的隨機(jī)變量。試問:
0)能否將X;=X-e,代入原模型,使之變換成匕=自+4%+4后進(jìn), 估計(jì)?其中,q為變換后模型的隨機(jī)干擾項(xiàng)。
(2)進(jìn)一步假設(shè)從與綺之間,以及它們與胃之間無異期相關(guān),那么 E(X.向)=0成立嗎? X與%”相關(guān)嗎?
(3)由(2)的結(jié)論,你能尋找什么樣的工具變量 23、以對(duì)變換后的模型進(jìn)行 估計(jì)?
解答(1)不能.因?yàn)樽儞Q后的模型為
匕二月+自藥+(凡一片4)
顯然,由于4與%同期相關(guān),則說里變換后的模型中的隨機(jī)干擾項(xiàng)q與用同 期相關(guān),
(2) E(X.]q) = [(X;t + 1)3 -今J
=E(%4M ) 一 片 E(M_ ) + E(2L)-月 )= 0
多數(shù)經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間序列,除非它們是以一階差分的形式或變化率的形式 出現(xiàn),往往具有較強(qiáng)的相關(guān)性,因此,當(dāng)4與4一直接表示經(jīng)濟(jì)規(guī)?;蛩降?經(jīng)濟(jì)變量時(shí),它們之間很可能相關(guān):如果變量是一階差分的形式或以變化率的 形態(tài)出現(xiàn),則它們間的相關(guān)性就會(huì)降低?但仍有一定程度的相關(guān)性.
(3)由Q)的結(jié) 24、論知,夙尤_山卜0,即X.]與變換后的模型的隨機(jī)干擾項(xiàng) 不相關(guān),而且萬川與其有較強(qiáng)的相關(guān)性,因此,可用Kt作為用的工具變量 對(duì)變換后的模型進(jìn)行估計(jì).
第 五 章
1 .回歸模型中引入虛擬變量的作用是什么?有哪幾種基本的引入方式, 它們各適用于什么情況?
解答在模型中引入虛擬變量,主要是為了尋找某(些)定性因素對(duì)解釋變 量的影響。加法方式與乘法方式是最主要的引入方式,前者主要適用于定性因 素對(duì)截距項(xiàng)產(chǎn)生影響的情況,后者主要適用于定性因素對(duì)斜率項(xiàng)產(chǎn)生影響的情 況。除此外,還可以加法與乘法組合的方式引入虛擬變量,這時(shí)可測(cè)度定性因 素對(duì)截距項(xiàng)與斜率項(xiàng)同時(shí)產(chǎn)生影響的情況。??? ? ?? ?
2 25、 .在一項(xiàng)對(duì)北京某大學(xué)學(xué)生月消費(fèi)支出的研究中,認(rèn)為學(xué)生的消費(fèi)支出 除受其家庭的每月收入水平外,還受在學(xué)校中是否得到獎(jiǎng)學(xué)金,.來自農(nóng)村還是 城市,是經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)還是欠發(fā)達(dá)地區(qū),以及性別等因素的影響。試設(shè)定適當(dāng) 的模型,并導(dǎo)出如下情形下學(xué)生消費(fèi)支出的平均水平
(1)來自欠發(fā)達(dá)農(nóng)村地區(qū)的女生,未得到獎(jiǎng)學(xué)金;
(2)來自欠發(fā)達(dá)城市地區(qū)的男生,得到獎(jiǎng)學(xué)金;. ..
(3)來自發(fā)達(dá)地區(qū)的農(nóng)村女生,得到獎(jiǎng)學(xué)金;
(4)來自發(fā)達(dá)地區(qū)的城市男生,未得到獎(jiǎng)學(xué)金。
解答 記學(xué)生月消費(fèi)支出為其家庭月收入水平為*,則在不考慮其他 因素的影響時(shí),有如下基本回歸模型:
,Y產(chǎn) 內(nèi)
其他定性因素可用如下虛擬變量 26、表示:
J, 有獎(jiǎng)學(xué)金 人」1,:來自城市
M = [o,..無獎(jiǎng)學(xué)金,-2 = [0,來自農(nóng)村 .
[L 來自發(fā)達(dá)地區(qū) 11,男性
L[o, 來自欠發(fā)達(dá)地區(qū) 女性
則引入各虛擬變量后的回歸模型如下,
匕1 " So + + aQu + %馬,+ 3f + jD4t 十內(nèi)
由此回歸模型,可得如下各種情形下學(xué)生的平均消費(fèi)支出:
(1)來自欠發(fā)達(dá)農(nóng)村地區(qū)的女生,未得到獎(jiǎng)學(xué)金時(shí)的月消費(fèi)支出:
E(K | 局,4 - 4fH D里=。制=0)=& + B、X\
(2)來自欠發(fā)達(dá)城市地區(qū)的男生.得到獎(jiǎng)學(xué)金時(shí)的月消費(fèi)支出:
E(匕 I 二?!懂a(chǎn) L 與==o)= (A + / + 4 27、)+用 X.
(3)來自發(fā)達(dá)地區(qū)的農(nóng)村女生,得到獎(jiǎng)學(xué)金時(shí)的月消費(fèi)支出:
| Xj,Du=D革=1,D*= 4=0)=應(yīng) + &1 + %) + △%
(4)來自發(fā)達(dá)地區(qū)的城市男生,未得到獎(jiǎng)學(xué)金時(shí)的月消費(fèi)支出:
夙工 I X*Dg = h = Dq產(chǎn) L 4門 A = )=(& % + % ) + 自北
3.滯后變量模型有哪幾種類型?分布滯后模型使用OLS方法存在哪些 問題? ]
解答滯后變量模型有分布滯后模型和自回歸模型兩大類,前者只有解釋 歸量及其滯后變量作為模型的解釋變量,不包含被解釋變量的滯后變量作為模 型的解釋變量:而后者則以當(dāng)期解釋變度與被解釋變量的若干期滯后變量作為 模 28、型的解釋變量.分布滯后模型有無限期的分布滯后模型和有限期的分布滯后 模型:自回歸模型又以Coy”模型、自適應(yīng)預(yù)期模型和局部調(diào)整模型最為多見.
分布滯后模型使用。LS法存在以下問題Ml)對(duì)于無限期的分布滯后模型, 由于樣本觀測(cè)值的有限性,使得無法直接對(duì)其進(jìn)行估計(jì). (2)對(duì)于有限期的分 布滯后模型,使用OLS方法會(huì)遇到:沒有先驗(yàn)準(zhǔn)則確定滯后期長(zhǎng)度,對(duì)最大滯 后期的確定往往帶有主觀隨意性:如果滯后期較長(zhǎng),由于樣本容量有限,當(dāng)滯 后變量數(shù)目增加時(shí),必然使得自由度減少,將缺乏足夠的自由度進(jìn)行估計(jì)和檢 較』同名變量滯后值之間可能存在高度線性相關(guān),即模型可能存在高度的多重
第六章
1 .為什么要建立 29、聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型?聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型適 用于什么樣的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象?
解答 經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象是極為復(fù)雜的,其中諸因素之間的關(guān)系,在很多情況下, 不是單一方程所能描述的那種簡(jiǎn)單的單向因果關(guān)系,而是相互依存,互為因果 的,這時(shí),就必須用聯(lián)立的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)方程才能描述清楚。所以與單方程適用 于單一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的研究相比,聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型適用于描述復(fù)雜的經(jīng)濟(jì) 現(xiàn)象,即經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)。
2 .聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的識(shí)別狀況可以分為幾類?其含義各是什么? 解答聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的識(shí)別狀況可以分為可識(shí)別和不可識(shí)別, 可識(shí)別又分為恰好識(shí)別和過度識(shí)別。如果聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中某個(gè)結(jié)構(gòu) 方程不具有確定的統(tǒng)計(jì)形 30、式,則稱該方程為不可識(shí)別,或者根據(jù)參數(shù)關(guān)系體系, 在已知簡(jiǎn)化式參數(shù)估計(jì)值時(shí),如果不能得到聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型中某個(gè)結(jié) 構(gòu)方程的確定的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)值,稱該方程為不可識(shí)別。.如果一個(gè)模型中的所 有隨機(jī)方程都是可以識(shí)別的,則認(rèn)為該聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型系統(tǒng)是可以識(shí) 別的。反過來,如果一個(gè)模型系統(tǒng)中存在一個(gè)不可識(shí)別的隨機(jī)方程,則認(rèn)為該 聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型系統(tǒng)是不可以識(shí)別的。如果某一個(gè)隨機(jī)方程具有唯一 一組參數(shù)估計(jì)量,稱其為恰好識(shí)別;如果某一個(gè)隨機(jī)方程具有多組參數(shù)估計(jì)量, 稱其為過度識(shí)別。
3 .聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的單方程估計(jì)有哪些主要的方法?其適用條 件和統(tǒng)計(jì)性質(zhì)各是什么?
解答單方程估 31、計(jì)的主要方法有:狹義的工具變量法(IV),間接最小二乘 法(ILS),兩階段最小二乘法(2SLS)。
狹義的工具變量法(IV)和間接最小二乘法(ILS)只適用于恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方 程的估計(jì)。兩階段最小二乘法(2SLS)既適用于恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程,又適用于 過度識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程。
用工具變量法估計(jì)的參數(shù),一般情況下,在小樣本下是有偏的,但在大樣 本下是漸近無偏的。如果選取的工具變量與方程隨機(jī)干擾項(xiàng)完全不相關(guān),那么 其參數(shù)估計(jì)量是無偏估計(jì)量。對(duì)于間接最小二乘法,對(duì)簡(jiǎn)化式模型應(yīng)用普通最 小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量具有線性性、無偏性、有效性。通過參數(shù)關(guān)系體系 計(jì)算得到結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量在小樣本下是 32、有偏的,在大樣本下是漸近 無偏的。采用二階段最小二乘法得到結(jié)構(gòu)方程的結(jié)構(gòu)參數(shù)估計(jì)量在小樣本下是 有偏的,在大樣本下是漸近無偏的。
4 . 一個(gè)有2個(gè)方程構(gòu)成的簡(jiǎn)單商品供求模型如下:
供給方程: Q, = % + %匕+因
需求方程: 0=4+4月+外,
其中,P為均衡價(jià)格,。是供求平衡狀態(tài)下的供給量或需求量。試從模型簡(jiǎn)化 式與結(jié)構(gòu)式關(guān)系體系回答下列問題;
(1)該模型兩個(gè)方程是否可識(shí)別?
(2)如果對(duì)該模型需求函數(shù)增加消費(fèi)者收入變量工,則兩方程的識(shí)別狀態(tài) 有何變化?
(3)如果再在上述模型的供給方程中引入新變量上期商品價(jià)格1t,則兩方 程的識(shí)別狀態(tài)有何變化?
(4)如果在需求函 33、數(shù)中繼續(xù)引入表示消費(fèi)者財(cái)富的變量汐;,則兩方程的識(shí) 別狀態(tài)又有何變化? ’
解答(1)設(shè)簡(jiǎn)化式模型為
0 = %20 +4
則容易推出簡(jiǎn)化式模型與結(jié)構(gòu)式模型的參數(shù)關(guān)系體系:
,a,
a\
可見,在已知后,疔20時(shí),2個(gè)方程不能求得4個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)名,《,自,的確定值, 所以供給方程與需求方程都是不可識(shí)別的。
(2)如果對(duì)需求函數(shù)增加消費(fèi)者收入變量%,則該供求模型變?yōu)?
0 =4+夕山+夕2匕+得
則容易推出該模型的簡(jiǎn)化式模型為
與=為。+%工+%
其中,
。,二町0 + %2lZ + C2t
%-4
,一 Bi
于是,供給方程是可以識(shí)別的,這是因?yàn)?
九11
34、但從整個(gè)參數(shù)關(guān)系體系看,待求的未知結(jié)構(gòu)參數(shù)有5個(gè):%,%邛。,八人,而 參數(shù)關(guān)系式體系中簡(jiǎn)化式參數(shù)只有4個(gè),無法由簡(jiǎn)化式參數(shù)求出全部結(jié)構(gòu)式參 數(shù),也就是說,需求函數(shù)仍無法唯一求出,故需求函數(shù)不可識(shí)別。
(3)如果再在上述模型的供給方程中引入新變量上期商品價(jià)格PtA ,則引入 新變量后的聯(lián)立模型如下:
.2 =夕。+自甘+夕2匕+科, 容易推出此模型的簡(jiǎn)化式為
=%。+為1工+/2匕-1+4
2=叼0+兀21工+町25一1十%
其中,
P1
%-01
聯(lián)立模型含6個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù):%,%,外,劣,四,% 結(jié)構(gòu)參數(shù)與簡(jiǎn)化參數(shù)關(guān)系體系 恰好有6個(gè)方程,可唯一確定6個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù),因此模型系 35、統(tǒng)恰好識(shí)別。
(4)如在需求函數(shù)中再引入表示消費(fèi)者財(cái)富的變量%:聯(lián)立模型可寫成
0, =,+4+。2%+4
此模型的簡(jiǎn)化式為
=90 + 巧 1工 + 巧 2^-1 + 否 3% +
Qt =叼0 +乃21工+町2巴-1 +萬23% + %
其中,
4 _4一,
A
,」4
%
a「P\
巧I =
A
%一區(qū)
兀20
a遙一ag
a「Bi
a2A
, 一夕i
二。也
% 一夕】 這里原供求模型中有7個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)4,照,%,仇,但在結(jié)構(gòu)參數(shù)與簡(jiǎn)化 參數(shù)的關(guān)索體系中有8個(gè)方程,即方程個(gè)數(shù)大于未知數(shù)個(gè)數(shù),其結(jié)果是,雖然 可以求出結(jié)構(gòu)參數(shù)的解,但解并 36、不唯一。例如,.外可由兩個(gè)式子求出:
%=* 或 4=%
孫 巧3
因此,供給方程成為過度識(shí)別的方程。
5 .對(duì)習(xí)題4聯(lián)立模型的每種情況,按結(jié)構(gòu)式識(shí)別條件進(jìn)行識(shí)別。
解答(1)對(duì)原模型,有兩個(gè)內(nèi)生變量。與尸而無先決變量。為了能識(shí)別, 每個(gè)方程至少要排除gH=l個(gè)變量。但實(shí)際情況并非如此,故兩個(gè)方程均不可 識(shí)別。
(2)對(duì)在需求方程加入了變量y后的模型系統(tǒng):
供給函數(shù): 0=%+?]+4
需求函數(shù): 0 =自+夕出+夕2工+世,
內(nèi)生變量仍為。與P,但引入了 一個(gè)先決變量匕對(duì)于供給方程,它排除了 g-l = l 個(gè)變量(變量7),因而可識(shí)別,而且由于左-用=1-0 = 1, g 37、-1 = 2-1 = 1,因 此是恰好識(shí)別的:但對(duì)需求方程,它未排除至少1個(gè)變量,因而不可識(shí)別。
(3)對(duì)于在供給方程中加入了先決變量月.1后的模型:
供給函數(shù): 0, =% +。2匕1 +4
需求函數(shù): 。匕+62匕+,以
內(nèi)生變量仍為。與p,先決變量為丫與甘_】。對(duì)供給方程與需求方程,各自排 除了 g~l = l個(gè)變量(前者排除匕后者排除月_1),因而兩個(gè)方程均可識(shí)別。而且, 對(duì)每個(gè)方程,無-4.=2-1 = 1, g, -1 = 2 -1 = 1,因而是恰好識(shí)別的。
(4)對(duì)于在需求方程中再加入先決變量卬后的模型:
供給函數(shù): +0犬+q2月-1 +4
需求函數(shù): 您= + 38、
內(nèi)生變量仍為。與P,先決變量為匕與瓶。需求方程排除了 gT=l個(gè)變
量(排除Pri)而且A-4=3-2 = 1, g,. — 1 = 2-1 = 1,因而是恰好識(shí)別;而對(duì) 供給方程排除了 2個(gè)變量(排除匕W),而且2-勺=3-1 = 2, M-1 = 2-1=1, 是過度識(shí)別的。
6 .某聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型有3個(gè)方程,3個(gè)內(nèi)生變量(升,為,4), 3個(gè)外生變量(乂,X2, &)和樣本觀測(cè)值始終為1的虛變量。,樣本容量為〃。 其中第2個(gè)方程:
八=% + a1Xx + a2Y3 + a3Z. + 當(dāng)
為恰好識(shí)別的結(jié)構(gòu)方程。
(1)寫出用IV法估計(jì)該方程參數(shù)的正規(guī)方程組:
(2 39、)用ILS方法估計(jì)該方程參數(shù),也可以看成一種工具變量方法,指出工 具變量是如何選取的,并寫出參數(shù)估計(jì)量的矩陣表達(dá)式:
(3)用2sLs方法估計(jì)該方程參數(shù),也可以看成一種工具變量方法,指出八 的工具變量是什么,并寫出參數(shù)估計(jì)量的矩陣表達(dá)式。
解答(1)將方程寫成標(biāo)準(zhǔn)形式
Y2 = %匕+ % + axXi + a3X3 + %
可用工作為K的工具變顯.于是用IV法估計(jì)的正規(guī)方程組為
丫?1?]&2右+&0 +商圈1 +&3*31)入21
i=L f=l
^:2@瑞+&。+4招+名招)
i=l 1=1
匕出二z(24+d+自招+苗招)為
1=1 J=l
n 尸
2B匕 = 40、@4+4 +招 + 邑段
1=1 J=1
(2)用ILS方法估計(jì)方程參數(shù),相當(dāng)于用(C X. X2 X3)依次作為(X c X 丫3)的工具變量。參數(shù)估計(jì)量的矩陣表達(dá)式為
% =[(C X\ x2 &)T(4 c X\ %3)「(c X、x2 *3)Z a\
其中 X尸 X:,尸 1, 2, 3; Y尸:、j=2, 3
? ?
、X? J" ,
性組合 其中
(3)用2SLS方法估計(jì)方程參數(shù),X的工具變量為C,冬,X『X.的線
y3 = x[(xJ xyl xjy2]
x=(c x x2 x3)
參數(shù)估計(jì)量的矩陣表達(dá)式為
二 @ c X\ 3)丁氏 C X\ X3)r( 41、f3 C X、乂)Z
7?下列為一完備的聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型: 匕=片 + + 八 c「++ ui,
"4 + *+/記+/,
其中,m為貨幣供給量,丫為國內(nèi)生產(chǎn)總值,產(chǎn)為價(jià)格總指數(shù),c, /分別為居 民消費(fèi)與投資.
(1)指出模型的內(nèi)生變量、外生變量、先決變最;
。)寫出簡(jiǎn)化式模型,并導(dǎo)出結(jié)構(gòu)式參數(shù)與簡(jiǎn)化式參數(shù)之間的關(guān)系;
(3)用結(jié)構(gòu)式條件確定模型的識(shí)別狀態(tài):
(4)指出ILS, IV, 2sLs中哪些可用于原模型第1, 2個(gè)方程的參數(shù)估計(jì)。 解答(I)內(nèi)生變量為〃,,匕;外生變量為々,C,, /,和常數(shù)項(xiàng);先決 變量為E,G,4和常數(shù)項(xiàng)。
(2)記同化式模型為
X = 42、巧0 +兀遙+%2G +巧+ %
M =乃20 + 乃21月 + 422ct + 叼 3、+ %
容易由原結(jié)構(gòu)式方程變換為以下簡(jiǎn)化式模型:
ZI
容易由原結(jié)構(gòu)式方程變換為以下簡(jiǎn)化式模型:
y - 風(fēng) +%」 >3。1 p 1 7j r Y-i r .
,1一%4 1-麗&0/十為加囹)
M 曳1值+ ,3 尸+,iJ+_J+ (u 〃)
-3 l-q4 , 1 — %同1一。血 %( "%) 于是,結(jié)構(gòu)式參數(shù)與簡(jiǎn)化式參數(shù)之間的關(guān)系體系為
兀 10 二
氏+。01
l-a的
八
1一四仇
71
「a
1-4優(yōu)
1-q%
l-a4
(3)用結(jié)構(gòu)式條 43、件確定模型的識(shí)別狀態(tài),
結(jié)構(gòu)參數(shù)矩陣為
Y M常量PCI
Br=( i- -A -自 o -八 F
一 If 1 -。0 0 0 >
模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量的數(shù)目為g=2.
先決變量的數(shù)目為k=3(包括常數(shù)項(xiàng))。
首先判斷第1個(gè)結(jié)構(gòu)方程的識(shí)別狀態(tài)。對(duì)于第1個(gè)方程,有
k-k[ = 4- 3 = 1 = g(-l
所以,第1個(gè)結(jié)構(gòu)方程為恰好識(shí)別方程。
再看第2個(gè)結(jié)構(gòu)方程,有
8。幾=(一八一力) &("o)= l = g-l 2一&=4-2 = 2>g?-1 所以,該方程可以識(shí)別,但是過度識(shí)別的。綜合以上結(jié)果,該聯(lián)立方程計(jì)量經(jīng) 濟(jì)學(xué)模型是可識(shí)別的。
(4)由于第一個(gè)方程恰好識(shí)別,因此三種方法都可以估計(jì),而且結(jié)果應(yīng)是一致 的;第二個(gè)方種為過度識(shí)別的,所以只能用二階段最小二乘法(2SLS)進(jìn)行估計(jì)。
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