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1、經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)計算題復習資料 一．線性代數(shù) 一）矩陣 1．運算法則：（1）m行n列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m =p, n =q的條件下可以相加減,加減法則：對應(yīng)元素相加減. （2）數(shù)乘 （3）n行m列的矩陣與p行q列的矩陣的矩陣在m=p的條件下可以相乘，得n行q列的矩陣。乘法法則：行列相乘。 如： （4）A的轉(zhuǎn)置，是A的行列互換。 注：A為對稱矩陣的概念 （即A的元素關(guān)于A的主對角線對稱） 如是對稱矩陣 如不是對稱矩陣 （5）逆矩陣：矩陣A的逆矩陣用表示，滿足。（其中I是相應(yīng)于A的單位矩陣，即對角線上的數(shù)全為1，其余的數(shù)全為0的n階矩陣） 逆矩陣求

2、法：A的元素與對應(yīng)I的元素左右放置成n行2n列的矩陣（A I），對矩陣(A I)進行初等行變換，變到左半部分為I時右半部分即為。 初等行變換有三種：①交換某二行 ②某一行乘非零常數(shù) ③某一行每一元素都乘同一非零常數(shù)加到另一行 （6）矩陣的秩：任一矩陣通過初等行變換轉(zhuǎn)化為階梯形矩陣后非零行的行數(shù)就是矩陣的秩，記為秩（A）或r(A) 階梯形矩陣滿足：1.零行（一行中所有元素都是0）在最下面、 2.非零行中每行最前面0的個數(shù)比它前一行的最前面的0的個數(shù)多 典型例題： 說明：這部分考試時不必寫，我只是寫給你看看的，為了容易理解 1．矩陣，求。

3、 下面求的逆矩陣 說明：此題每個箭頭上方的文字考試時可以不寫，我只是寫給你看看的，容易理解 （以下各題也一樣） 2． 分析：A是3行3列的矩陣，即3階矩陣，所以對應(yīng)I為3階單位矩陣，即這里 解： 3．設(shè)矩陣，是3階單位矩陣，求． 解：由矩陣減法運算得 利用初等行變換得 　即　 方法總結(jié)：先從左到右變，使左下方元素變?yōu)?，再從右到左變，使右上方元素變?yōu)?且對角線元素為1。 4．設(shè)矩陣，，求． 解 所以， = 5．設(shè)矩陣，求解矩陣方程． 分析：

4、 即，所以本題還是求逆矩陣，即求 解 因為 所以 且 ． 說明：如果題目改為，則即 所以秩（A）＝3 （也可寫成r（A）＝3） 二）線性方程組 1．齊次線性方程組（即方程右邊常數(shù)項全為0） 解法：第

5、一步 寫出系數(shù)矩陣A 第二步 對系數(shù)矩陣A進行初等行變換（同上面求逆矩陣），化為行簡化階梯形矩陣 第三步 根據(jù)行簡化階梯形矩陣寫出方程組的一般解。 行簡化階梯形矩陣是每一個非零行的第一個非零元素是1，且其上下都是0的階梯形矩陣。 例1．求線性方程組 的一般解． 說明：一般解中的系數(shù)就是方框中的數(shù)的相反數(shù)，如箭頭所示。你考試時不必畫框框和箭頭 一般解為：（其中，是自由未知量） 2．非齊次線性方程組（即方程右邊常數(shù)項不全為0） 解法：第一步 寫出增廣矩陣，即系數(shù)矩陣A再加上一列常數(shù)列

6、 第二步 對增廣矩陣進行初等行變換（同上面求逆矩陣），化為行簡化階梯形矩陣 第三步 根據(jù)行簡階梯形矩陣寫出方程組的一般解。 例：求線性方程組的一般解． 解： 說明：一般解中的系數(shù)就是第一方框中的數(shù)的相反數(shù)，常數(shù)項就是第二方框內(nèi)的數(shù)，如箭頭所示。你考試時不必畫框框和箭頭 于是方程組的一般解是（是自由未知量） 3．含參數(shù)的齊次方程組 用方程組的系數(shù)矩陣A的秩（即通過初等行變換變?yōu)殡A梯形后非零行的行數(shù)）小于未知量的個數(shù)時，方程組有非零解來確定參數(shù)的值，然后寫出一般解。 例：求當λ取何值時方程組有非零解？并求出非零解。 解：將方程的系數(shù)矩陣化為階梯形

7、矩陣 因為方程中末知數(shù)有3個，必須A的秩小于3，方程組才會有非零解，所以λ＝5時方程組有非零解 此時 故一般解為 4．含參數(shù)的非齊次方程組 用方程組系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相等（即兩者通過初等行變換變?yōu)殡A梯形矩陣后非零行的行數(shù)相等）時方程組有解來確定參數(shù)的值，然后求解。 例：求當取何值時線性方程組有解，在有解的情況下求方程組的一般解． 解：將方程組的增廣矩陣化為階梯形矩陣 由此可知當時，方程組有解． 此時 得方程組的一般解為其中是自由未知量． 二．應(yīng)用題 1．主要有兩大類，求平均成本及平均成本最低，求總利潤和總利潤最高。 2．名字解釋 總成

8、本：固定成本加可變成本 邊際成本：總成本的導數(shù) 總收益：生產(chǎn)的產(chǎn)品銷售后得到的收入 邊際收益：總收益的導數(shù)數(shù) 總利潤：總收益減去總成本 邊際利潤：總收益的導數(shù)或邊際收益減去邊際成本 3．已知總成本求邊際成本就是求總成本的導數(shù)，已知邊際成本求總成本就是求邊際成本的積分再加上固定成本；已知總收益（或總利潤）求邊際收益（ 或邊際收益）就是求導數(shù)，已知邊際收益（或邊際利潤）求總收益（或總利潤）就是求邊際的積分。如： 4．解題方法 求平均成本最低的方法：邊際平均成本即平均成本的導數(shù)等于零

9、的產(chǎn)量對應(yīng)的平均成本就是最低平均成本 求利潤最高的方法：邊際利潤即利潤的導數(shù)等于零的產(chǎn)量對就的利潤就是最高利潤。 求總產(chǎn)量變化時成本、平均成本、收益或利潤的增量時用相應(yīng)的邊際函數(shù)的定積分（見例2的第二小題） 應(yīng)用題中的導數(shù)與積分是比較簡單的，以多項式為主，主要公式為： 如： 5．典型例題： 例1 已知某產(chǎn)品的邊際成本（萬元/百臺），為產(chǎn)量（百臺），固定成本為18（萬元）， 求⑴該產(chǎn)品的平均成本．⑵最低平均成本． 解（1） ∴平均成本函數(shù) （說明：若要求產(chǎn)量q=10時的總成本與平均成本，則只要把q=10代入就可以。即 （2），令，解得唯一駐點 因為

10、平均成本存在最小值，且駐點唯一，所以，當產(chǎn)量為300臺時，可使平均成本達到最低。 ∴最低平均成本為（萬元/百臺） 例2 生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本為 (萬元/百臺)，邊際收入為（萬元/百臺），其中為產(chǎn)量，問（1）產(chǎn)量為多少時，利潤最大？ （2）從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺，利潤有什么變化？ 　解： 令 得 （百臺），可以驗證是是的最大值點，即當產(chǎn)量為20（百臺）即臺時，利潤最大． 從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)2百臺，利潤變化為 即從利潤最大時的產(chǎn)量再生產(chǎn)百臺，利潤將減少萬元 三．微積分部分 一）求導數(shù)：以復合函數(shù)求導為主。 1．記住常見函數(shù)的導數(shù)

11、 1 2．求導的四則運算法則：(1)和差的導數(shù) （2）乘積的導數(shù) 特例 （3）商的導數(shù) 3．復合函數(shù)求導方法： 如：。 思路：把 解： （這實際上就是上面公式 等等的應(yīng)用） 典型例題： 1．已知，求． 分析：這首先是乘積的導數(shù),然后求的導數(shù)時是復合函數(shù)的導數(shù). 解： 2．設(shè)，求． 分析：這首先是差的導數(shù),然后求的導數(shù)都是復合函數(shù)的導數(shù). 3． 分

12、析：這首先是商的導數(shù)，然后在求的導數(shù)時是復合函數(shù)的導數(shù) 4． 分析：這是復合函數(shù)的導數(shù)，但有兩層復合。 解： 說明：（1）若題目改為求dy，則只要在求出即可。 （2）若題目改為求，則只要在求出導數(shù)后 如： 二）求積分 1．原函數(shù)定義 2．積分的定義 3．積分公式

13、 4．積分方法 （1）直接法 直接利用公式計算 （而且用到公式） （2）湊微分法 ， 如常用到： （3）分部積分法 （主要掌握以下幾個題型即可） 5．定積分 （1） 即 （要見求定積分實際上是先求不定積分再補是最后一步即可） 如： (2)分部積分法 如： 典型例題： 1．求 解： 2．計算 解： 3．計算 解：=== 上面三題是湊微分法。 3．計算． 4．求 解： 5． 解： 以上三題是積分的分部積分法。 復習課資料9（共9頁）