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高等數學第五章 習題解答

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編號:27738913    類型:共享資源    大?。?span id="kywiwiy4em" class="font-tahoma">1.83MB    格式:DOC    上傳時間:2021-08-20
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高等數學第五章 習題解答 高等數學 第五 習題 解答
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高等數學習題解答 (第五章 定積分) 惠州學院 數學系 習 題 5.1 1.證: 2.解:(1)令,則 得駐點: 由, 得 由性質,得 (2)令,, 所以在上單調增加,,, 即 3.解:(1)當時,有,且不恒等于, ,即 。 (2)當時,有,且不恒等于,,即 。 (3)令,則, 所以在上單調增加,, 且不恒等于,所以 (4)令,則, 所以在上單調增加,, 且不恒等于,所以 4.解:在區(qū)間內:,由比較定理: 5. 證明:考慮上的函數,則 ,令得 當時, 當時, ∴在處取最大值,且在處取最小值. 故,即。 6.解:平均值. 習 題 5.2 1. 解:(1). (2). (3)===. (4) ==. (5) ===. (6)===. 2.解:(1) (2) 3.解: 當,得駐點, 為極小值點, 極小值 4. 解:當時, 當時, 當時, 故 5. 解:令,則, 從而 即, ∴ 6.解:原式 7.解: 習 題 5.3 1.解:(1)= (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9), 其中 解: (10),其中 . 解: 2.解:(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) 3. 解:(1) ∵為奇函數 ∴ (2) 利用定積分的線性性質可得 原式 而前兩個積分的被積函數都是奇數,故這兩個定積分值均為0, 原式 4.證:令,則 左邊右邊 5.證:令,則 左邊=右邊 6.證一: 而 所以的值與無關。 證二:令,則, 所以是與無關的常數。 7.證:令,則 所以是偶函數。 8.證: 即 習 題 5.4 1. 答:不正確.因為在[0,]上存在無窮間斷點 , 故 不能直接應用公式計算,事實上, 所以廣義積分發(fā)散. 2.解:(1) 即廣義積分收斂于. (2) 發(fā)散. (3) 即廣義積分收斂于. (4) 而 所以 (5) (6) (7) (8)令,則,于是 ∴ 從而。 3.解:(1) =+ = (2) 令,于是 4.解:左端 右端 ∴ 解之或。 本章復習題 1. 解:若在幾何上表示由曲線,直線及軸所圍成平面圖形的面積. 若時,在幾何上表示由曲線,直線及軸所圍平面圖形面積的負值. (1)由下圖(1)所示,. 2 A ( 2 ) - 1 - 1 1 1 1 A 1 A ( 1 ) 1 - 1 3 A 4 A 5 A 2 π π ( 3 ) 1 1 (4) (2)由上圖(2)所示,. (3)由上圖(3)所示,. (4)由上圖(4)所示,. 2. 解: 3. 解:任取分點,把分成個小區(qū)間 ,小區(qū)間長度記為=-,在每個小區(qū)間 上任取一點作乘積的和式: , 記, 則. 4. 解:連續(xù)函數,故可積,因此為方便計算,我們可以對 等分,分點取相應小區(qū)間的右端點,故 = = = 當(即),由定積分的定義得: =. 5. 解:先求在上的最值,由 , 得或. 比較 的大小,知 , 由定積分的估值公式,得, 即 . 6. 解:(1) (2)=+==4+. (3)=+==2+2=4. (4)=. 7. 解:(1)=. (2)=. (3). (4)=. 8. 解:(1)此極限是“”型未定型,由洛必達法則,得 == (2) 9. 解: 10.解:原式 11.解:將兩邊對求導得 ∴ 12. 答:(1)不正確,應該為: = (2)不正確,應該為: =2. 13. 解:(1)令=,則,當= 0 時,= 0;當= 4 時,,于是 = (2)==. (3) (4) (5)令,,,時;時,. 于是 (6) 令,則,.當時,,當時,. 原式. 14. 解:(1)== =. (2) = ===1 (3) = = 移項合并得. (4) (5) (6) 15. 解:(1) = (2) 原式 16. 解: 由已知條件得 ,即 ,, 即得。 17. 證明:(1)設.且當時,;當 故 (2)設, = 利用此公式可得:== = =. 18. 證明: 利用分部積分法, = 19. 答:不正確.因為在[,]上存在無窮間斷點 , 不能直接應用公式計算,事實上, ++ + +不存在, 故發(fā)散. 20. 解:(1)=, 發(fā)散. (2)= (3) (4)=. 21.解:(1) 。 (2) 令,,則 22. 證明:當,發(fā)散; 當=。 本章復習題 一、填空題 1. 。 [答案:填] 2. 若,則 。 [答案:填] 令(為常數),則,所以 即 。 3. 設有一個原函數,則 。 [答案:填] 因為,所以 4. 。 [答案:填] 5. 設,則常數 。 [答案:填] 左邊,右邊, 所以 二、選擇題 1.設,其中為連續(xù)函數,則等于 ( )。 (A);(B);(C);(D)不存在。 [答案:選(B)] 應用洛必達法則,有 2.設為連續(xù)函數,且,則等于( )。 (A);(B); (C);(D)。 [答案:選(A)] 3.設函數在閉區(qū)間上連續(xù),且,則方程 在開區(qū)間內的根有( )。 (A)個;(B)個(C)個;(D)無窮多個。 [答案:選(B)] 令,則在閉區(qū)間上連續(xù),且 , 則由零點定理知,方程在內至少有一個根。 又因為當時,有 所以函數在內單調增加,因此方程在內至多有一個根。 綜上,有方程在內只有一個根。 4.下列廣義積分收斂的是( ) (A); (B); (C); (D); [答案:選(C)] 令,則上面四個廣義積分可化為 (A);(B);(C);(D)。 則顯然收斂,因為,而其余的都,發(fā)散。 5.下列廣義積分發(fā)散的是( )。 (A); (B); (C); (D) [答案:選(A)] (A)中,為瑕點,且,由極限斂散性判別法,知(A)中廣義積分發(fā)散。 三、計算題 1. 設函數可導,且,,求 。 解:令,則,于是 2. 設函數連續(xù),且。已知,求的值。 解:令,則,于是 求導得 ,即 取,得。 3. 求極限 解: 4. 求連續(xù)函數使它滿足。 解:令,即,則,所以 ,即 兩邊求導,得 ,即 積分,得 5. 求。 解: 6. 求函數在區(qū)間上的最大值。 解: 因,所以函數在區(qū)間上單增,則 7. 求定積分。 解: 8. 已知,求常數的值。 解: 左邊 右邊 所以有或。 9. 計算 解: 所以 10. 計算。 解: 四、證明題 1.假設函數在上連續(xù)、在內可導,且。記 證明在內。 證明:由在上連續(xù)以及微積分基本定理,知在內可導,且有 又因,則在內單調遞減,所以有,,而,所以 2. 設在區(qū)間上可微,且滿足條件。試證:存在,使 證明:令,則顯然在區(qū)間上可微(也連續(xù)),且 , 因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 ,即 3. 設在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且滿足()。試證:存在,使 證明:令,則顯然在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且 其中。因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 即 ,。 4. 設在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且滿足 。 試證:存在,使得。 證明:令,則顯然在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且 其中。因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 即 ,。 5. 設在上連續(xù),在內可微,且。試證:至少存在一點,使。 證明:由在上連續(xù)和積分中值定理,有 , 因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 6. 設函數在上連續(xù),且。利用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,證明存在一點,使 證明:因為在上連續(xù),且,由最值定理,知在上有最大值和最小值,即 故 由介值定理知,存在,使 ,即 7. 設函數在上連續(xù)單調不減且非負。試證函數 在上連續(xù)單調不減(其中)。 證明:(1)先證的連續(xù)性。當時,由的連續(xù)性可知連續(xù);又因 可見在處右連續(xù)。所以在上連續(xù)。 (2)再證在上單調不減。。當時, , 因在上單調不減,所以,,所以 所以在上單調不減。 8. 設函數在內連續(xù),且,試證: (1)若為偶函數,則也是偶函數; (2)若為單調不增,則單調不減。 證明:(1)因為為偶函數,所以有,則 因此是偶函數。 (2)因為 又為單調不增,則,而,所以 則單調不減。 9. 設在區(qū)間()上連續(xù),為偶函數,且滿足條件(為常數) (1)證明; (2)利用(1)的結論計算定積分。 證明:(1) 而 則 (2)取為偶函數,,因為 (為常數) 特別地,取,有 由(1),得 10. 假設函數在上連續(xù)、在內可導,且。記 證明在內。 證明:由在上連續(xù)以及微積分基本定理,知在內可導,且有 又因,則在內單調遞減,所以有,,而,所以 11. 設在區(qū)間上可微,且滿足條件。試證:存在,使。 證明:令,則顯然在區(qū)間上可微(也連續(xù)),且 , 因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 ,即 12. 設在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且滿足()。試證:存在,使 證明:令,則顯然在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且 其中。因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 即 ,。 13. 設在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且滿足 。 試證:存在,使得。 證明:令,則顯然在區(qū)間上連續(xù),在內可導,且 其中。因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 即 ,。 14. 設在上連續(xù),在內可微,且。試證:至少存在一點,使。 證明: 由在上連續(xù)和積分中值定理,有 , 因此,在區(qū)間上據羅爾定理有,存在,使 15. 設函數在上連續(xù),且。利用閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質,證明存在一點,使 證明:因為在上連續(xù),且,由最值定理,知在上有最大值和最小值,即 故 由介值定理知,存在,使 ,即 26
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