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1、 基于MATLAB切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì) 摘 要 在現(xiàn)代通信系統(tǒng)中，由于信號(hào)中經(jīng)?；煊懈鞣N復(fù)雜成分，所以很多信號(hào)的處理和分析都是基于濾波器而進(jìn)行的。而濾波器的種類很多，從功能上可將濾波器分為低、帶、高、帶阻類型。從實(shí)現(xiàn)方法上可分為FIR、IIR類型 。從設(shè)計(jì)方法上可分為Chebyshev(切比雪夫）,Butterworth（巴特沃茲）。而本次課程設(shè)計(jì)上要用到的切比雪夫?yàn)V波器是在通帶或阻帶上頻率響應(yīng)幅度等波紋波動(dòng)的濾波器。在通帶波動(dòng)的為“I型切比雪夫?yàn)V波器”，在阻帶波動(dòng)的為“II型切比雪夫?yàn)V波器”。 關(guān)鍵詞 模擬；低通濾波器；IIR； 1 引 言 IIR濾波器設(shè)

2、計(jì)技術(shù)依靠現(xiàn)有的模擬濾波器得到數(shù)字濾波器，工程實(shí)際當(dāng)中把這些模擬濾波器叫做濾波器原型。在工程實(shí)際中應(yīng)用最廣泛的有兩種模擬濾波器，即巴特沃斯濾波器和切比雪夫?yàn)V波器。本次課程設(shè)計(jì)就討論切比雪夫?yàn)V波器的特性以及用MATLAB實(shí)現(xiàn)的方法。 1. 1課程設(shè)計(jì)目的 本課程設(shè)計(jì)主要是使學(xué)生增進(jìn)對(duì)MATLAB的認(rèn)識(shí)，加深對(duì)數(shù)字信號(hào)處理理論方面的理解，使學(xué)生了解數(shù)字信號(hào)處理IIR濾波器的設(shè)計(jì)和掌握用MATLAB實(shí)現(xiàn)IIR濾波器的設(shè)計(jì)方法、過程，為以后的工程設(shè)計(jì)打下良好基礎(chǔ)。 1.2 課程設(shè)計(jì)要求 設(shè)計(jì)程序時(shí)，應(yīng)以理論作為指導(dǎo)，構(gòu)思設(shè)計(jì)方案；設(shè)計(jì)完成后應(yīng)進(jìn)行調(diào)試，仿真和分析；處理結(jié)果和分析結(jié)論應(yīng)該

3、一致，而且應(yīng)符合理論；獨(dú)立完成課程設(shè)計(jì)并按要求編寫課程設(shè)計(jì)報(bào)告書。 1.3 課程設(shè)計(jì)內(nèi)容 進(jìn)一步學(xué)習(xí)低通濾波器的原理，在通信系統(tǒng)仿真軟件MATLAB平臺(tái)上，設(shè)計(jì)出IIR模擬低通濾波器，對(duì)設(shè)計(jì)項(xiàng)目進(jìn)行調(diào)試，對(duì)程序進(jìn)行仿真，對(duì)結(jié)果結(jié)合理論進(jìn)行分析。 2 IIR濾波器預(yù)備知識(shí) 2.1 濾波器介紹 IIR濾波器具有無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)，因此能夠與模擬濾波器相匹敵；一般來說，所有的模擬濾波器都有無限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)。因此，IIR濾波器設(shè)計(jì)的基本方法是利用復(fù)值映射將大家熟知的模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器。這一方法的優(yōu)勢(shì)在于各種模擬濾波器設(shè)計(jì)（AFD）表格和映射在文獻(xiàn)中普遍能夠獲得。這個(gè)基本方法也稱為

4、A/D（模擬-數(shù)字）濾波器變換。然而，AFD表格僅對(duì)低通濾波器適用，而同時(shí)也想要設(shè)計(jì)其他頻率選擇濾性波器。為此，需要對(duì)低通濾波器實(shí)行頻帶變換，這些變換也是復(fù)值映射，在各種文獻(xiàn)中也能得到。這種IIR濾波器設(shè)計(jì)的基本方法存在兩種主要途徑。途徑一：1.設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，2.實(shí)行頻帶變換，3.實(shí)行濾波器變換。途徑二：1.設(shè)計(jì)模擬低通濾波器，2.實(shí)行濾波器變換，3.實(shí)行頻帶變換。 模擬濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)以及在模擬濾波器的技術(shù)要求中所用到的幅度平方響應(yīng)，這將導(dǎo)致三種廣泛采用的模擬濾波器特性，即巴特沃茲（Butterworth），切比雪夫（Chebyshev）和橢圓（Elliptic）濾波器。然后

5、再將這些原型模擬濾波器轉(zhuǎn)換到不同的頻率選擇性數(shù)字濾波器。 2.2 相對(duì)線性標(biāo)尺 設(shè)是某個(gè)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，那么低通濾波器在幅度平方響應(yīng)上的技術(shù)指標(biāo)給出為： ，|| ， 式中是通帶波紋參數(shù)，是通帶截止頻率一rad/s（弧度/秒）計(jì)，A是阻帶衰減參數(shù)，以及是阻帶截止頻率以rad/s計(jì)。這些參數(shù)如圖2.1所示。 圖2.1 模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)要求 由圖可見，必須滿足 ， ， 參數(shù)和A是分別與以dB計(jì)的參數(shù)和有關(guān)的，這些關(guān)系是 （2-1） （2-2） 波紋和的絕對(duì)標(biāo)尺是通過下式與和

6、A有關(guān)的： 3 切比雪夫I型濾波器 3.1 切比雪夫?yàn)V波器參數(shù) 切比雪夫I型濾波器的振幅平方函數(shù)為： 式中為有效帶通截止頻率，是與帶通波紋有關(guān)的參量，大，波紋大，0<<1; 為N階切比雪夫多項(xiàng)式。 有關(guān)參數(shù)的確定： （1）預(yù)先給定帶通截止頻率； （2）確定。 通帶波紋表示成： 所以 給定通帶波紋值分貝數(shù)后，可求得。 （3）由阻帶的邊界條件確定階數(shù)N. 設(shè)，為事先給定的邊界條件，即在阻帶中的頻率點(diǎn)處，要求濾波器頻響衰減達(dá)到以上。 即 ， 由此得 因此， , = 因此，要求阻帶邊界頻率出衰減越大，也越大。參數(shù)，，給定

7、后，查閱有關(guān)模擬濾波器手冊(cè)，就可以求得系統(tǒng)函數(shù)。 MATLAB提供了[Z，P，K]=cheblap（N，Rp）函數(shù)來設(shè)計(jì)N階通帶波紋為Rp的歸一化切比雪夫I型模擬原型濾波器，并得到數(shù)組Z和P（即零點(diǎn)和極點(diǎn)）以及增益值K。我們需要一個(gè)具有任意的非歸一化的切比雪夫I型濾波器。這可以通過將這個(gè)歸一化濾波器的數(shù)組P倍乘以來完成。和巴特沃茲原型濾波器相類似，這個(gè)濾波器沒有零點(diǎn)。新的增益K利用式子：=1，N為奇數(shù)或，N為偶數(shù)確定這可通過將原來的K倍乘以非歸一化分母多項(xiàng)式對(duì)歸一化分母多項(xiàng)式的比在s=0的求值來完成。下面的函數(shù)稱為U-chblap（N，Rp，Omegac），用于設(shè)計(jì)一個(gè)非歸一化的切

8、比雪夫I模擬原型濾波器，得到直接的。 function[b，a] = chblap(N，Rp，Omegac); %[b，a] = chblap(N，Rp，Omegac) % b = numerator polynomial coefficients % a = denominator polynomial coefficients % N = order of the elliptic filter % Rp = passband ropple in dB; Rp > 0 % Omegac = cutoff frequency in radians/sec

9、 % [z，p，k] = cheblap（N，Rp）； % a = real(poly(p)); % aNn = a(N+1); % p = p*Omegac; % aNu = a(N+1); % k = k*aNu/aNn; % b0 = k; % B = real(poly(z)); % b = k*B； 3.2 濾波器設(shè)計(jì)方程 已知，，和，有三個(gè)參數(shù)就可以確定一個(gè)切比雪夫I型濾波器，根據(jù)相對(duì)線性標(biāo)尺中的2-1與2-2式我們可得到： 和 根據(jù)上面以前討

10、論的性質(zhì)有： =和 階N給出為 4 濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn) 4.1 濾波器設(shè)計(jì)過程 設(shè)計(jì)一個(gè)低通的切比雪夫I型低通濾波器滿足： 通帶截止頻率：=0.2π；通帶波紋：=1dB 阻帶截止頻率：=0.3π；阻帶波紋：=16dB 我們首先計(jì)算必要的參數(shù)： =0.5088，A= =6.3096 = =0.2π, = =1.5 =12.2429,N=4 現(xiàn)在能確定， = + = 0.41702 a = 0.5 () = 0.3646 b = 0.5( ) = 1.0644 有四個(gè)極點(diǎn)： =（a）(b) = -0.0877j0.6179 =

11、 （a）(b) = -0.2117j0.2559 因此， = 分子是要使得有： = 0.89125 4.2 MATLAB的實(shí)現(xiàn) 已知濾波器的技術(shù)要求，利用U-chblap函數(shù)，我們提供了一個(gè)稱為afd-chb1的函數(shù)用于設(shè)計(jì)一個(gè)模擬切比雪夫I型低通濾波器。這個(gè)函數(shù)給出如后面的目錄所示。 為了展示模擬濾波器的頻域圖，我們提供的一個(gè)稱為freqs_m的函數(shù)，它是有MATLAB提供的函數(shù)freqs的修正形式。這個(gè)函數(shù)以絕對(duì)值和相對(duì)值dB尺度計(jì)算幅度響應(yīng)以及相位響應(yīng)，在freqs_m函數(shù)中響應(yīng)是一直要計(jì)算到最大頻率。freqs_m函數(shù)見附錄。 這個(gè)模擬濾波器的脈沖響應(yīng)

12、ha(t)是用MATLAB的impulde函數(shù)計(jì)算出來的。 通過MATLAB實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)為 這個(gè)Ha(s)與計(jì)算的結(jié)果稍有不同，這是因?yàn)樵谟?jì)算中用了=0.5，而在asfd_butt函數(shù)中是按滿足在的要求選定的，有關(guān)這個(gè)濾波器所畫出的圖如下所示。 圖4-1 幅度響應(yīng) 圖4-2 幅度 圖4-3 相位響應(yīng) 圖4-4 脈沖響應(yīng) 5 結(jié)束語 在這次課程設(shè)計(jì)中，通過查找相關(guān)書籍和相關(guān)資料，使得自己增長(zhǎng)了不少相關(guān)知識(shí)。了解到了濾波器分為兩大類，確定信號(hào)濾波器和隨機(jī)信號(hào)濾波器。通常我們用濾波器是來降低噪聲，估

13、計(jì)信號(hào)的，不過濾波器也可以用來處理一些其它的問題，如圖象壓縮等。濾波器本質(zhì)上是一個(gè)輸入輸出系統(tǒng)，可以是線性的，也可以是非線性的。確定信號(hào)濾波器是指在濾波器設(shè)計(jì)時(shí)沒有用到統(tǒng)計(jì)理論，不考慮信號(hào)與噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。象常見的低通，高通，帶通濾波器等都屬于確定信號(hào)濾波器，它們針對(duì)確定的信號(hào)來進(jìn)行處理。這三種頻域?yàn)V波器設(shè)計(jì)的原理是根據(jù)噪聲與有用信號(hào)的頻率分布是基本分開的，通過確定一個(gè)頻率開關(guān)值，將噪聲的頻率去掉，再進(jìn)行傅立葉反變換就得到有用信號(hào)。上面所提到的低通，高通，帶通濾波器僅適用于有用信號(hào)與干擾信號(hào)在頻譜上具有分離特性的場(chǎng)合，實(shí)際中有另外一些情況，比如干擾是由于信號(hào)本身的回聲所引起的，這時(shí)回聲干擾除了

14、振幅和相位的差別外，基本上跟原信號(hào)是一樣的，因此頻率濾波器無法消除這種干擾。但是我們可以遵循廣泛適用的最小平方準(zhǔn)則設(shè)計(jì)最小平方濾波器，來達(dá)到消除干擾的目的。 通過這次課程設(shè)計(jì)，加強(qiáng)了自己掌握和理解書本知識(shí)的能力，培養(yǎng)了自己的實(shí)際動(dòng)手能力與綜合設(shè)計(jì)能力，并提高了自己的技術(shù)素質(zhì)?；具_(dá)到了了解信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)的任務(wù)，明確了濾波器設(shè)計(jì)的基本原則，掌握了濾波器設(shè)計(jì)的基本方法與任務(wù)。加深了自己對(duì)數(shù)字信號(hào)處理這門課程的理解。希望自己在以后的學(xué)習(xí)生活中不斷加強(qiáng)自我學(xué)習(xí)的能力，努力完善自己。 參考文獻(xiàn) [1]（美）恩格爾，（美）普羅克斯著，劉樹棠譯. 數(shù)字

15、信號(hào)處理. 陜西：西安交通大學(xué)出版社，2002 [2] 韓利竹，王華. MATLAB電子仿真與應(yīng)用. 北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2003 [3] 羅軍輝. MATLAB7.0在數(shù)字信號(hào)處理中的應(yīng)用. 北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2005 [4] 孫祥，徐流美，吳清.MTLAB7.0基礎(chǔ)教程. 北京：清華大學(xué)出版社，2006 [5] 聶祥飛，王寶海，譚澤富. MATLAB程序設(shè)計(jì)及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用. 成都：西南交通大學(xué)出版社，2005 附錄：源程序清單 Wp=0.2*pi;Ws=0.3*pi;Rp=1;

16、As=16; Ripple=10^(-Rp/20);Attn=10^(-As/20); %模擬濾波器設(shè)計(jì)： [b,a]=afd_chb1(Wp,Ws,Rp,As); %**** 切比雪夫-I型濾波器階次=4 %計(jì)算二階環(huán)節(jié)部分： [C,B,A]=sdir2cas(b,a) %%C=0.038 %%B=0 0 1 %%A=1.0000 0.4233 0.1103 %% 1.0000 0.1753 0.3895 %計(jì)算頻率響應(yīng)： [db,mag,pha,w]=freqs_m(b,a,0.5*pi); %計(jì)算脈沖響應(yīng)： [ha

17、,t]=impz(b,a); %Plots subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title(幅度響應(yīng)) xlabel(模擬頻率（單位：pi）);ylabel(|H|);axis([0,0.5,0,1.1]) set(gca,XTickMode,manual,XTick,[0,0.2,0.3,0.5]); set(gca,YTickmode,manual,YTick,[0,Attn,Ripple,1]);grid subplot(2,2,2);plot(w/pi,db);title(幅度(db)) xlabel(模擬頻率（單位：pi）);ylabel(分

18、貝數(shù));axis([0,0.5,-30,5]) set(gca,XTickMode,manual,XTick,[0,0.2,0.3,0.5]); set(gca,YTickmode,manual,YTick,[-30,-As,-Rp,0]);grid set(gca,YTickLabelMode,manual,YTickLabels,[30,16,1,0]) subplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title(相位響應(yīng)) xlabel(模擬頻率（單位：pi）);ylabel(弧度);axis([0,0.5,-1,1]) set(gca,XTickMode,

19、manual,XTick,[0,0.2,0.3,0.5]); set(gca,YTickmode,manual,YTick,[-1,-0.5,0,0.5,1]);grid subplot(2,2,4);plot(t,ha,[0,max(t)],[0,0]);title(脈沖響應(yīng)) xlabel(時(shí)間 秒);ylabel(ha(t));axis([0,max(t),min(ha),max(ha)]) AFD_CHEB1.M Function[b,a]=afd_cheb1(Wp,Ws,Rp,Rs) %切比雪夫I型模擬低通濾波器的設(shè)計(jì) %b為分子多項(xiàng)式的系數(shù) %a

20、為分母多項(xiàng)式的系數(shù) %Wp為以弧度/秒為單位的通帶邊緣頻率；Wp>0 %Ws為以弧度/秒為單位的阻帶邊緣頻率；Ws>Wp>0 %Rp為通帶中的振幅波動(dòng)的dB數(shù) %As為阻帶衰減的dB數(shù) %if Wp<=0 Error (‘通帶必須大于0’) end if Ws<=Wp Error (‘阻帶邊緣必須大于通帶邊緣’) end if (Rp<=0)|(As<0) Error (‘通帶波紋或阻帶衰減必須大于0’) end %ep = sqrt(10^(Rp/10)-1); A = 10^(As/20); OmegaC = Wp; OmegaR = Ws/Wp; g = sqrt(A*A-1)/ep; N = ceil(log10(s+sqrt(g*g-1))/log10(OmegaR+sqrt(OmegaR*OmegaR-1))); Fprintf(‘\n***切比雪夫I型濾波器的階次=%4.0f\n’,N) [b,a] = cheblap_o(N,Rp,Rp,Rs)