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1、同學們已經(jīng)知道，下面的五組成對的數(shù)相加之和都等于10： 　　1+9=10 　　2+8=10 　　3+7=10 　　4+6=10 　　5+5=10 　　巧用這些結(jié)果，可以使計算又快又準。 例1 計算 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 解：對于這道題，當然可以從左往右逐步相加： 　　1+2=3 3+3=6 　　6+4=10 10+5=15 　　15+6=21 21+7=28 　　28+8=36 36+9=45 　　45+10=55 這種逐步相加的方法，好處是可以得到每一步的結(jié)果，但缺點是麻煩、容易出錯；而且一步出錯，以后步步都錯。若是利用湊十法，就能克服這

2、種缺點。 二、湊整法 　　同學們還知道，有些數(shù)相加之和是整十、整百的數(shù)，如： 　　1+19=20 11+9=30 　　2+18=20 12+28=40 　　3+17=20 13+37=50 　　4+16=20 14+46=60 　　5+15=20 15+55=70 　　6+14=20 16+64=80 　　7+13=20 17+73=90 　　8+12=20 18+82=100 　　9+11=20 　　又如： 　　15+85=100 14+86=100 　　25+75=100 24+76=100 　　35+65=100 34+66=100 　　45+55=100

3、 44+56=100等等 　　巧用這些結(jié)果，可以使那些較大的數(shù)相加又快又準。像10、20、 30、40、50、60、70、80、90、100等等這些整十、整百的數(shù)就是湊整的目標。 例2 計算 　　1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 解：這是求1到19共10個單數(shù)之和，用湊整法做： 100 例3 計算 　　2+4+6+8+10+12+14+16+18+20 解：這是求2到20共10個雙數(shù)之和，用湊整法做： 　　110 例4 計算 　　2+13+25+44+18+37+56+75 解：用湊整法： 三、用已知求未知 　　利用已經(jīng)獲得較簡單的知識來解

4、決面臨的更復雜的難題這是人們認識事物的一般過程，湊十法、湊整法的實質(zhì)就是這個道理，可見把這種認識規(guī)律用于計算方面，可使計算更快更準。下面再舉兩個例子。 例5 計算 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 解：由例2和例3，已經(jīng)知道從1開始的前10個單數(shù)之和以及從2開始的前10個雙數(shù)之和，巧用這些結(jié)果計算這道題就容易了。　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17+18+19+20 　　=（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）+（2+4+6+8+10+12+14+16

5、+18+20） 　　=100+110（這步利用了例2和例3的結(jié)果） 　　=210 例6 計算 5+6+7+8+9+10 解：可以利用前10個自然數(shù)之和等于55這一結(jié)果。 　　5+6+7+8+9+10 　　=（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10）-（1+2+3+4） 　?。ㄊ炀毢螅瞬襟E可省略） 　　=55-10=45 　四、改變運算順序 　　在只有加減運算的算式中，有時改變加、減的運算順序可使計算顯得十分巧妙！ 例7 計算 　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 解：這題如果從左到右按順序進行加減運算，是能夠得出正確結(jié)果的。但因為算式較長，多次加減又繁

6、又慢且容易出錯。如果改變一下運算順序，先減后加，就使運算顯得非?！捌痢薄Ｏ率嚼ㄌ栔械乃闶奖硎鞠人悖? 　　10-9+8-7+6-5+4-3+2-1 　　=（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1） 　　=1+1+1+1+1=5 五、帶著“+”、“-”號搬家 例8 計算 　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 解：這題只有加減運算，而且1-2不夠減。我們可以采用帶著加減號搬家的方法解決。要注意每個數(shù)自己的符號就是這個數(shù)前面的那個“+”號或“-”號，搬家時要帶著符號一起搬。 　　1-2+3-4+5-6+7-8+9-10+11 　　=1+3-2+5-4

7、+7-6+9-8+11-10 　　=1+（3-2）+（5-4）+（7-6）+（9-8）+（11-10）[先減后加] 　　=1+1+1+1+1+1 　　=6 　　在這道題的運算中，把“+3”搬到“-2”的前面，把“+5”搬到了“-4”的前面，……把“+11”搬到了“-10”的前面，這就叫帶著符號搬家。巧妙利用這種搬法，可以使計算簡便。 習題一 　　1．計算：13+14+15+16+17+25 　　2．計算：2+3+4+5+15+16+17+18+20 　　3．計算：21+22+23+24+25+26+27+28+29 　4．計算：5+6+7+8+9+10+11+12+13+14

8、+15+16+17+18+19+20 　　5．計算：22-20+18-16+14-12+10-8+6-4+2-0 　　6．計算：10-20+30-40+50-60+70-80+90 　　7．計算：（2+4+6+8+10）-（1+3+5+7+9） 　　8．計算：（2+4+6+…+20）-（1+3+5+…+19） 9．計算：（2+4+6+…+100）-（1+3+5+…+99） 第二講 速算與巧算（二） 例1 哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1塊，妹妹拿2塊；哥哥拿3塊，妹妹拿4塊；接著哥哥拿5塊、7塊、9塊、11塊、13塊、15塊，妹妹拿6塊、8塊、10塊、12塊、14塊、16塊。你說誰拿

9、得多，多幾塊？ 解：方法1：先算哥哥共拿了多少塊？ 　　再算妹妹共拿了多少塊？ 　　72-64=8（塊） 方法2：這樣想：先算每次妹妹比哥哥多拿幾塊，再算共多拿了多少塊。 　(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15) 　　=1+1+1+1+1+1+1+1 　　=8（塊） 　　可以看出方法2要比方法1巧妙！ 平時注意積累，記住一些有趣的和重要的運算結(jié)果，非常有助于速算。比如，請同學記住幾個自然數(shù)相加之和： 　　1+2=3 　　1+2+3=6 　　1+2+3+4=10 　　1+2+3+4+5=15 　　1

10、+2+3+4+5+6=21 　　1+2+3+4+5+6+7=28 　　1+2+3+4+5+6+7+8=36 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 例2 星期天，小明家來了9名小客人。小明拿出一包糖，里面有54塊。小明說：“咱們一共10個人，每人都要分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，誰會分？”結(jié)果大家都無法分，你能幫他們分好嗎？ 解：按小明提的要求確實無法分。 因為要使得每個人都得到糖，糖塊數(shù)人人不等，需要糖塊數(shù)最少的分法是：第一人分到1塊，第二人分到2塊，…第十人分到10塊。但是，這種分法共需要有 1+2+3+4+

11、5+6+7+8+9+10=55（塊） 而小明這包糖一共才54塊，所以按這種方法無法分。如果改變一下，有一人少得1塊糖，比如說，應該得10塊糖的小朋友只分到了9塊，但是這樣一來，他就和另一個先分得9塊糖的那個小朋友一樣多了，這又不符合小明提出“每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多”的要求。 （注意：“按小明提的要求無法分”就是此題的答案。在數(shù)學上“無解”也叫問題的答案。） 例3 時鐘1點鐘敲1下，2點鐘敲2下，3點鐘敲3下，……照這樣敲下去，從1點到12點，這12個小時時鐘共敲了幾下？ 解：這是一道美國小學奧林匹克試題，要求在3分鐘內(nèi)就要得出答案。 方法1：湊十法 方法2：如果能記住從1到10

12、前十個自然數(shù)之和是55，計算會更快。 　?。?+2+3+4+5+6+7+8+9+10）+11+12 　　=55+11+12=78（下） 習題二 1．三個小朋友分5塊糖。要求每人都分到糖，但每人分到的糖塊數(shù)不能一樣多，你能分嗎？ 2．①把16只小雞分別裝進5個籠子里，每個籠子里都要有雞，而且每個籠子里的雞的只數(shù)也不能相同，如何分裝？ ②按同樣要求，把15只小雞裝進5個籠子能辦得到嗎？ ③按同樣要求，把14只小雞分裝到5個籠子能辦得到嗎？ 3．①把100塊糖分給10個小朋友。要求每人都分到單數(shù)塊糖，而且每人分到糖塊數(shù)都不一樣，如何分？ ②把99塊糖按同樣要求分給10個小朋友，你能

13、分嗎？ 4．從1到20這20個數(shù)中，所有的雙數(shù)之和與所有的單數(shù)之和的差是多少？ 5．小方家的鐘除了幾點鐘敲幾下外，每半點鐘也敲一下。比如說，0點半敲1下，1點鐘敲1下，1點半敲1下，2點敲2下，2點半敲1下，……照這樣敲下去，從夜里0點開始，計到白天中午12點鐘，在這12個小時之內(nèi)時鐘共敲了多少下？ 習題二解答 1．答案是不能分。 所需糖塊數(shù)最少的一種分法是：第1個人分1塊，第2個人分2塊，第3個人分3塊，這樣三個人共需要有1+2+3=6（塊），但總的糖塊數(shù)只有5塊，不夠分。如果第3個人也分得2塊，這樣糖是夠分了，但是這樣就有2個人分得糖塊數(shù)一樣多了，又不符合分糖的要求了。 2．①

14、5只籠子裝16只小雞的裝法是1，2，3，4，6。 1+2+3+4+6=16（只） ②5只籠子裝15只小雞的裝法是1，2，3，4，5。 1+2+3+4+5=15（只） ③5只籠子裝14只小雞，要求每籠都有雞，而且籠籠雞數(shù)不等，無法分裝。 3．①記住1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100立即可知100塊糖按要求分給10個人的分法是：各人所得糖塊數(shù)分別為1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。 ②99塊糖按要求分給10個小朋友無法分。 4．解：方法1： 單數(shù)之和：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=100 雙數(shù)之和：2+4+6+8+10+1

15、2+14+16+18+20=110 差：110-100=10 方法2：改變運算順序 　　(2+4+6+8+10+12+14+16+18+20)-(1+3+5+7+9+11+13+15+17+19)　　=(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)+(18-17)+(20-19) =1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 =10 5．解：先記錄時鐘敲的整點數(shù)和半點數(shù)如下： 列算式求和，并改變運算順序： 1+1+1+2+1+3+1+4十1+5+1+6+1+7+1+8+1+9+1+10+1+11+1+12　　=(1+2+

16、3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)+(1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1+1) 　　=78+12 　　=90（下） 第四講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（二） 數(shù)數(shù)與計數(shù)時，注意不應漏掉，不應重復。如果漏掉了，要加上；如果重復了，要減掉。 例1 小朋友排隊，小紅前面4個人，后面3個人，問這隊共有幾個人？ 解：這隊的總?cè)藬?shù)要數(shù)上小紅，所以是4+3+1=8（人）。 例2 排好隊，來報數(shù)，正著報數(shù)我報七，倒著報數(shù)我報九，一共多少小朋友？ 解：見下圖 正著報數(shù)“我”報了一次，倒著報數(shù)“我”又報了一次，所以把兩次報數(shù)加起來時，“我”被加了兩次。因此算這隊的總?cè)藬?shù)時，應從兩次報數(shù)之和

17、減1。 7+9-1=15（人）。 也可以這樣想：正著報數(shù)報到我為止，倒著報數(shù)時，我就不報了，只報到我的后面相鄰的那個人他應該報8，所以全隊總?cè)藬?shù)是： 7+（9-1）=15（人）。 例3 少先隊員排成隊去參觀科技館。從排頭數(shù)起劉平是第20個；從排尾數(shù)起，張英是第23個。已知劉平的前一個是張英。問這隊少先隊員共有多少人？ 解：畫示意圖，用點代表少先隊員。 由圖可見，從排頭數(shù)起時，把張英和劉平數(shù)了一次。由排尾數(shù)起時，又把劉平和張英數(shù)了一次，可見把他兩人多數(shù)了一次，所以點總?cè)藬?shù)時，應減去多數(shù)的那一次才對。 20+23-2=41（人）。 例4 45個小朋友排成一隊去春游。從排頭往后數(shù)

18、，小剛是第19個；從排尾往前數(shù)，小莉是第12個，問小剛和小莉中間有幾個人？ 解：畫示意圖。用點“”代表人 　　由圖可見，小剛和小莉中間的人數(shù)是： 　　45-（19+12）=14（人）。 例5 一班同學做花，做紅花的有38人，做黃花的有39人，沒有做花的有3人。如果全班55人，那么既做紅花又做黃花的有多少人？ 解：畫圖如下： 　　由圖可見，做花的人：55-3=52（人）。 　　圖中陰影部分表示兩色花都做的人： 　　38+39-52=25（人）。 習題四 1．學生排成一隊，在小進的前面有6人，后面有8人，問這隊共有多少人？ 2．12輛汽車組成一列車隊向前行進。從前面數(shù)起，紅色

19、的小轎車是第7輛。問從后面數(shù)它是第幾輛？ 3．游泳池里男生都戴藍帽，女生都戴紅帽。池中一個男生小強邊看邊數(shù)，他看見藍帽4個，紅帽5個。問池中男女生共多少人？ 4．說稀奇、道稀奇，鴨子隊里有只雞。正著數(shù)它第六，倒著數(shù)它第七。請你幫助算一算，小鴨一共有幾只？ 5．一個小組的小學生共有5人，已知他們都做了語文作業(yè)或數(shù)學作業(yè)。又知做完語文作業(yè)的有3人，做完數(shù)學作業(yè)的有4人。問語文和數(shù)學作業(yè)都做完的有幾人？ 6．在100名學生中統(tǒng)計，有65人會騎自行車，有73人會游泳，有10人既不會騎自行車又不會游泳。問既會騎自行車又會游泳的人有多少？ 7．某班有學生45人，訂閱《中國少年報》的有29人，訂閱

20、《小朋友》的有28人，其中兩種都訂閱的有16人，問兩種刊物都沒有訂閱的人有多少？ 習題四解答 1．解 　　由圖可知：總?cè)藬?shù)是 　　6+8+1=15人。 2．解：方法1：數(shù)一數(shù)；先畫示意圖如下，用●代表紅色小轎車，用○代表其他車。 從后面往前數(shù)一數(shù)，紅色小轎車是第6輛。 方法2：算一算；這隊車共有12輛，從前面往后數(shù)，紅色小轎車是第7輛，所以紅色小轎車前面有7-1=6輛車，因此從后面往前數(shù)，紅色小轎車是第12-6=6輛。 3．解：畫示意圖如下： 因為男生小強邊看邊數(shù)時，沒有看見自己的藍帽，他把自己漏數(shù)了。所以算總?cè)藬?shù)時，要把他加上，即 4+5+1=10（人）。 4．解：畫示

21、意圖，用○代表小鴨，用●代表小雞。 由圖可見，正數(shù)算上了小雞，倒數(shù)也算上了小雞。這樣兩數(shù)之和6+7=13中，把小雞計算了兩次。所以求小鴨的數(shù)目時就要減去兩個小雞。 6+7-2=11（只）。 5．解：畫示意圖如下： 兩種作業(yè)都做完的人既算在了做完語文作業(yè)的3人中，又算在了做完數(shù)學作業(yè)的4人中，因此這部分人被多算了一次，（如圖中陰影部分所示）所以兩種作業(yè)都做完的人數(shù)是： 3+4-5=2（人）。 6．解：畫圖如下： 由圖可知：會騎車或是會游泳的總?cè)藬?shù)是 　　100-10=90（人）。 兩種都會的人數(shù)是65+73-90=48（人）。（圖中陰影部分所示） 7．解：畫示意圖如下： 因

22、為至少訂1份刊物的人： 　　28+29-16=41（人）。 　　兩種刊物都沒有訂的人： 　　45-41=4（人）。 第五講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（三） 例1 　　小朋友，張開手，　　五個手指人人有。 　　手指之間幾個“空”，請你仔細瞅一瞅？ （注）“瞅一瞅”就是“看一看”的意思。 解：見右圖看一看、數(shù)一數(shù)可知：5個手指間有4個“空”?！翱铡庇纸小伴g隔”，也就是，人的一只手有5個手指4個間隔。 例2 小朋友在一段馬路的一邊種樹。每隔1米種一棵，共種了11棵，問這段馬路有多長？ 解：畫示意圖如下： 由圖可見，這段馬路的11棵樹之間有10個“空”，也就是10個間隔。每個間隔長1米，10

23、個間隔長10米。也就是說這段馬路長10米。像這類問題一般叫做“植樹問題”?？梢缘贸鲆粋€公式：當兩頭都種樹時： 例3 把一根粗細一樣的木頭鋸成5段，需要4分鐘。 ①如果把這根木頭鋸成10段，需要幾分鐘？ ②如果把這根木頭鋸成100段，需要幾分鐘？ 解：畫出示意圖： 由圖可見，把木頭鋸成5段，只需鋸4次。 所以鋸一次需1分鐘。 ①同樣道理，把這根木頭鋸成10段，只需鋸9次，所以需9分鐘。 ②同理，把這根木頭鋸成100段，只需鋸99次，所以需99分鐘。 例4 鼓樓的鐘打點報時，5點鐘打5下需要4秒鐘。問中午12點時打12下需要幾秒鐘？ 解：畫示意圖。鐘打一下用一個點代表，打5下畫

24、5個點。 由圖可見，鐘打5下中間有4個時間間隔，4個間隔是4秒鐘，每個間隔就是1秒鐘。由此推理鐘打12下時有12-1=11個時間間隔，故用11秒鐘。 習題五 1．一隊男生8人。老師要求在2名男生中間插進1名女生，問可插進多少女生？ 2．小冬用12張紙訂成一個本子。從頭數(shù)起，每隔3紙夾進一片樹葉，問這個本子內(nèi)共放進多少片樹葉？ 3．在一條20米長的小路兩旁種小松樹，如果每隔5米種一棵，而且兩頭都種樹，問這段小路上共種多少棵？ 4．一根鋼管長6米，每分鐘鋸下1米，幾分鐘鋸完？ 5．一根木頭鋸成4段，要付鋸工費1元。如果要把這根木頭鋸成13段，要付鋸工費多少元？ 6．小明與爸爸一同上

25、樓。小明上得快、爸爸上得慢，小明上2層，爸爸上1層。問小明上到五樓時，爸爸上到幾樓？ 7．沿著跑道插著11面旗，旗與旗離得一樣遠，第一面旗插在起點。運動員從起點起跑經(jīng)過6秒鐘到達第6面旗，問運動員到達第11面旗時，需要跑11秒鐘嗎？ 8．三點鐘時，掛鐘打響三下，用了12秒。到六點鐘時，掛鐘打響六下，要用幾秒鐘？ 習題五解答 1．解： 方法1：按老師要求，在2名男生中間插進1名女生后，寫出隊伍的排外情況是： 男女男女男女男女男女男女男女男 數(shù)一數(shù)，可知插進的女生共7人。 方法2：也可以這樣想：這道題中，把男生看成“樹”，把女生看成“間隔”，就能按植樹問題的公式解這道題。因為兩頭都

26、是男生，就像兩頭都有樹一樣，女生數(shù)應等于男生數(shù)減1，即8-1=7（人）。 2．解：畫示意圖如下： 可以這樣想：把每3張紙粘在一起成為一張“厚紙”，12張紙共粘成4張厚紙。按題目要求，相當于每兩張厚紙之間放入一片樹葉，可知共放入3片樹葉。 3．解：畫示意圖如下：（只畫一旁種樹情況） 由圖可見，每5米為一段，20米長的路可分為4段，由于路兩端都要種樹，所以種的棵樹等于段數(shù)加1，即一旁種樹4+1=5（棵），兩旁共種5+5=10（棵）。 4．解：畫示意圖如下： 由圖可見，把6米長的鋼管鋸成1米長的6段，只需鋸6-1=5（次），題中說，每分鐘鋸下1米，就是說鋸1次需要1分鐘，所以鋸5次需5分

27、鐘即5分鐘把鋼管鋸完。 5．解：把一根木頭鋸成4段只需鋸4-1=3次，按題意付鋸工費1元。當把這根木頭鋸成13段時只需鋸13-1=12次，每鋸3次付費1元，鋸12次應付鋸工費4元。 6．解：見右圖當小明跑五樓時，實際上跑過了4層樓梯，所以爸爸此時只走過了2層樓梯，即走到了三樓。 7．解：畫出示意圖： 在起點插著第一面旗，但在起點運動員起跑時，時間是從0秒開始計時的。運動員跑到第六面旗時，實際上是跑了5段間隔，這時他用了6秒鐘的時間；當他跑到第11面旗時，實際上又跑了5段間隔，所以又用了6秒鐘，總起來共用了12秒鐘，而不是11秒鐘。 8．解：“當—當—當”鐘打響了三下，三響之間的間隔是

28、兩次，兩個時間間隔用12秒，一個時間間隔就是122=6（秒）。如果鐘打六下，六響之間的間隔是5次，因而鐘打六下要65=30（秒）。 第六講 數(shù)數(shù)與計數(shù)（四） 本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)。籃子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。 這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。 例1 用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù)？ 解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是： 例2 用分別寫有數(shù)字0，1，2的三張紙片能排出多少個不同的二位數(shù)？ 解：因為“

29、0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是： 1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字： 2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字： 例3 用分別寫有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？ 解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。 共6個不同的三位數(shù)。 例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回……這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？ 解：不妨假設小明先從左邊抽屜拿，把拿出的

30、數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個不同的二位數(shù)。 例5 有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設這群人是： ①兩個人，②三個人，③四個人 解：畫圖。用點“”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么，點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。 ①兩個人： 兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。 ②三個人： 三點之間有三條連線，表示三個人共握3次手。 ③四個人： 四點之間有六條連線，表示四個人共握6次手。

31、 例6 鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多少種？ 解： 如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。 由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。 數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。 例7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復的路線，問有多少種不同的走法？ 解：共有6種不同的走法，見下圖。 習題六 1

32、．用三張數(shù)字卡片，可以排出多少個不同的三位數(shù)？其中最大的比最小的大多少？ 2．有四張數(shù)字卡片從中抽出三張組成三位數(shù)，問這些卡片可能組成多少個不同的三位數(shù)？ 3．用兩套數(shù)字卡片可組成多少個不同的二位數(shù)？ 4．在一次小學數(shù)學競賽的領(lǐng)獎臺上有五名同學上臺領(lǐng)獎，他們每兩個人都互相握了一次手。問他們共握了多少次手？ 5．全區(qū)六所小學舉行小足球賽，每個學校派出一個代表隊，要求規(guī)定每兩個校隊之間都要賽一場，問一共要賽多少場？ 6．右圖是小英家和學校之間的街道圖。問小英去上學時，共有多少種不同的走法？（不準故意繞遠走） 7．如右圖所示，一只螞蟻從一個正方體的A點沿著棱爬向B點，如不故意繞遠，一共有

33、幾種不同的走法？ 習題六解答 1．解：注意，0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共有4個。它們是：407，470，704，740。 最大的數(shù)是740，最小的數(shù)是407。 最大的數(shù)比最小的數(shù)大740-407=333。 2．解：注意0不能當作首位數(shù)字。所能排出的三位數(shù)字共18個。 　　102，104，120，124，140，142； 　　201，204，210，214，240，241； 　　401，402，410，412，420，421。 3．解：共組成25個不同的二位數(shù)。 11，12，13，14，15； 21，22，23，24，25； 31，32，33，34，3

34、5； 41，42，43，44，45； 51，52，53，54，55。 4．解：畫圖。用點代表人，用兩點之間的連線代表兩個人的一次握手。按這種規(guī)定連線的總條數(shù)就是握手的總次數(shù)。數(shù)一數(shù)，共有10條連線，所以共握手10次。 5．解：共賽15場。見下圖。 ①方法1：如右圖所示這樣數(shù)： 一小和二小、三小、四小、五小、六小共賽5場； 二小再和三小、四小、五小、六小共賽4場； （二小不能再和一小賽，因為它們已經(jīng)比賽過了，下同） 三小再和四小、五小、六小共賽3場； 四小再和五小、六小共賽2場； 五小再和六小共賽1場。 比賽場次總數(shù)：5+4+3+2+1=15（場）。 ②方法

35、2：每個學校都要和其他的五個學校各賽一場，共5場。因而六個學校所賽的場次是56=30場。但是這樣計算還有個問題，比如說一小和二小賽了一場，這一場比賽被兩個學校都計算在了自己所賽的場次里，因而被計了兩次。所以總場數(shù)也就多計了一倍。也就是說，六個學校實際賽的總場次數(shù)是302=15（場）。 6．解：小英由家到學校共有6種走法，見下圖粗黑線所示。 7．解：螞蟻沿著棱由A點爬到B點有6種不同的走法，見下圖粗黑線所示。 第七講 填圖與拆數(shù)（一） 例1 如右圖，把3、4、6、7四個數(shù)填在四個空格里，使橫行、豎行三個數(shù)相加都得14。怎樣填？ 解：先看豎行，最上格中已有個5。要使5+（ ）=14，括號

36、里的數(shù)就要填9。把9拆成兩個數(shù)：9=3+6，（因為3和6是題中給出的數(shù)）分別填在豎行的兩個空格里。但進一步想，應該把哪一個填在中間空格里呢？這就需要看橫行。橫行兩頭的空格應填剩下的兩個數(shù)4和7，因為4和7相加和為11，而11+3=14，可見中間空格應填3。 例2 如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上三個數(shù)相加之和都等于12。 解：見下圖（1）、（2）、（3）。把12分拆成三個不同的數(shù)相加之和，得七種分拆方式： 　　12=9+2+1 12=8+3+1 　　12=7+4+1 12=7+3+2 　　12=6+5+1 12=6+4+2 　　12=5+4+3 從各式中選擇有一個相同

37、加數(shù)的兩個式子。12=1+5+6和12=1+4+7兩式，將相同的加數(shù)1填在中間圓圈里，不同的加數(shù)分別填在橫行和豎行的其他圓圈里。答案有很多種不同的填法，這里只填了三種，同學們還可以自己選擇另外的填法。 例3 如右圖所示。把1、2、3、4、5五個數(shù)填入五個圓圈里，要求分別滿足以下條件： （1）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于8； （2）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于9； （3）使橫行、豎行圓圈里的數(shù)加起來都等于10。 解：見下圖（1）、（2）、（3） （1）將8分拆成三個數(shù)之和（注意，這三個數(shù)要從1、2、3、4、5中選?。? 8=1+2+5 8=1+3+4 因為中間圓圈里的數(shù)

38、是要公用的，所以應把“1”填在中間圓圈里其他四個數(shù)填在邊上； （2）解法思路與（1）相同，分拆方式如下： 9=1+3+5 9=2+3+4 （3）解法思路與（1）相同 10=1+4+5 10=2+3+5。 習題七 1．如右圖所示。在正方形的空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的三個數(shù)相加得數(shù)都是18。 2．如右圖所示。在正方形空格里填上適當?shù)臄?shù)，使每一橫行、豎行、斜行的四個數(shù)相加都得34。 3．如右圖所示。把適當?shù)臄?shù)填到三角形的空圈里，使每條直線上3個圈中的數(shù)相加都是10。 4．如圖所示。從2、3、4、5、6中選取適當?shù)臄?shù)填入小圓圈，使同一個大圓上的小圓圈中的四個數(shù)的和①

39、都等于15，②都等于16。 5．如右圖所示，圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都等于10。 6．如圖所示。在圓圈里填上不同的數(shù)，使每條直線上的三個數(shù)相加之和都是15。 7．如下頁圖所示。把1、2、3、4、5、6、7、8、9分為三組，填到三個小三角形的各個角上的圓圈里，使每個小三角形的三個角的圓圈里的數(shù)之和都是15。同時使大三角形三個角的圓圈里的數(shù)之和也是15。 習題七解答 1．在圖中， 用較大的黑體字表示方格中原有的已知數(shù)，如10、6、7三個數(shù)。仔細觀察可知，可以先在第二橫行右邊空格里填2，因為要使橫行三個空格里的數(shù)之和是18，（已有的兩個數(shù)之和是10+6=16）

40、就需要在這個空格中填上18-16=2。當然，也可以先填左下角空格的那個數(shù)，因為它所在的斜行中已有兩個數(shù)7和6，而7+6=13，所以應在這個空格里填18-13=5。接著用同樣的思考方法就可以填出其他空格里的數(shù)了。 2．見圖。 解法思路與第1題相同。因為要求每行的四個數(shù)之和是34，而第三橫行已有的三個數(shù)之和為9+7+12=28，所以此行空格中可填6。也可先填圖中另一斜行，因這斜行中已有的三個數(shù)之和是13+10+7=30，所以，這斜行的空格，也就是圖的左下角的空格中應填4。接著，用同樣的思考方法填出其余所有空格。 3．見圖。 解法與第1題相同。因為三角形的一邊已有兩個數(shù)3和2，其和為3+2=

41、5，要使這邊的三數(shù)之和是10，可知這邊的右下角圓圈中應填10-5=5。其余兩圓圈中的數(shù)可按同樣方法填出。 4．見圖。 ①和是15：因為大圓上有兩個小圓圈中已有了1和7，它們的和是1+7=8，所以同一個大圓上另外的兩個小圓圈中應填的兩個數(shù)之和應是15-8=7，將7分拆成兩個數(shù)有兩種分拆方式： 將2和5填入一個大圓上的兩個空圈中，將3和4填入另一個大圓上的兩個空圈中。②見右圖。和是16，解法思路和①相同。因為 1+7=8， 16-8=8 將8分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式： 將2和6、3和5分別填入大圓上的空圈中。 5．解：見下圖（1）～（4）把10分拆成三個不同的數(shù)的和，共有4種分

42、拆方式： 10=1+2+7=1+3+6=1+4+5 10=2+3+5 選擇有一個共同加數(shù)的兩個式子，把共同的加數(shù)填在中間的圓圈里，其他四個加數(shù)分別填在兩頭的圓圈里就構(gòu)成一種填法。本題有6種符合題目要求的填法，這里只舉其中4種填法，還有2種填法你能找出來嗎？ 6． 解見下圖。把15分拆成三個不同的數(shù)相加之和，共有12種分拆方式： 　　 　　15=1+2+12 15=1+3+11 　　15=1+4+10 15=1+5+9 　　15=1+6+8 15=2+3+10 　　15=2+4+9 15=2+5+8 　　15=2+6+7 15=3+4+8 　　15=3+5+7 15=4+5

43、+6 　　因為題目中已有2、3、8三個數(shù)填在3個圓圈里，觀察上面各式，既用到2、3、8這三個數(shù)，又要有另一個數(shù)是共同的，這樣的式子有如下三個：15=1+2+12，15=1+3+11，15=1+6+8，將三式中共用的加數(shù)“1”寫在中間圓圈里，再在其他三個圓圈里填上適當?shù)臄?shù)。 7．解：見下面兩圖，將15分拆，采取兩步分拆法如下： 適當選取四組數(shù)，填入四個三角形中（3個小三角形與1個大三角形），可以得到一些不同的填法。選法的竅門是：先任選一組數(shù)如3、5、7，將它們分別填在大三角形的三個角頂圓圈中，再找分別包含3、5、7的三組數(shù)填在小三角形中，它們是3，8，4；5，9，1；7，6，2。如上圖所示

44、。 第八講 填圖與拆數(shù)（二） 本講主要介紹在填圖與拆數(shù)中找關(guān)鍵數(shù)的思考方法。 例1 如右圖所示。把三個1、三個2、三個3分別填在九個格內(nèi)，使橫行、豎行、斜行三個數(shù)加起來的和都等于6。 解：找關(guān)鍵數(shù)先填。因為中間格的數(shù)和橫行、豎行、斜行都有關(guān)，所以它是關(guān)鍵數(shù)，確定了它，其他各格就容易填了。 （1）嘗試法：若中間填“1”，再填其他格，如右圖。結(jié)果有一條斜線上的數(shù)都是1，其和為3，不合題目要求。 若中間格填“3”，再填其他格，如右圖結(jié)果有一條斜行上的數(shù)都是3，其和為9，不合題目要求。 若中間格填“2”，再填其他格，經(jīng)檢查，符合題目要求，如圖。 （2）分析法：顯然在每一橫行、豎行和斜行

45、只能填一個“1”或一個“3”。因為若填兩個1后，即使再填一個最大的3，這一行的這三個數(shù)之和才是5，小于6，不符合題目要求；同樣，若填兩個3后，即使再填一個最小的數(shù)1，這一行的三個數(shù)之和就是7，大于6，也不符合題目要求。 如果在一行里填入兩個“2”，即使在此行里再填一個2，這一行的三個數(shù)之和也可等于6，符合題要求。 由此得出，中間方格必須填“2”。中間方格填好之后其他各格中的數(shù)也就容易填出了。 例2 如圖。把1、2、3、4、5填入右圖的圓圈中，使每條斜線上的三個數(shù)相加之和都是8。 解：中間圓圈里的數(shù)是個關(guān)鍵數(shù)，應該首先確定它。如何確定它呢？這樣想：假如我們已經(jīng)按題目要求把1、2、3、4、

46、5填入了五個圓圈中，這樣每條斜線上的三個數(shù)相加都得8。那么當我們把兩條斜線上的數(shù)都加起來，它們的和應為8+8=16， 但是五個圓圈中所填數(shù)之和應為 1+2+3+4+5=15， 兩個和數(shù)之差是1，即：16-15=1。 這個差是如何產(chǎn)生的呢？這是因為把兩條斜線上的和數(shù)相加時，中間圓圈中的數(shù)被加了兩次，即多加了一次。把一個數(shù)多加了一次和就多了1，可見此數(shù)是1。 然后，再求每條斜線兩端的數(shù)?？汕蟪鰞蓴?shù)之和應為8-1=7把7分拆成兩個數(shù)，有兩種分拆方式： 　把2和5填入一條斜線兩端的圓圈中。 把3和4填入另一條斜線兩端的圓圈中。 例3 如圖所示。把1、2、3、4、5、6、7七個數(shù)填在右圖

47、中的七個圓圈里，每個數(shù)只能用一次，使每條線上的三個數(shù)相加之和都等于12。 解：見圖。中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，應該如何確定它呢？ 與例2的想法類似。假設已經(jīng)按題目要求把數(shù)全部填入了圓圈，那么每條線上的三個圓圈中的數(shù)相加應該都得12。我們?nèi)绻M一步把三條直線上的數(shù)都加起來，得數(shù)應為：12+12+12=36。 不難看出，這樣就把中間圓圈里那個數(shù)加了三次。因而它比七個圓圈中的數(shù)相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28 多了 36-28=8 也就是8應是中間圓圈里的數(shù)的2倍所以中間圓圈里的數(shù)應是8的一半， 即 82=4 下面再確定每條線上另外的兩個圓圈里的數(shù)，方法如下：12-4=8 例

48、4 如圖所示。把1、2、3、4、5、6六個數(shù)分別填入右圖的圓 圈里，使三角形每條邊上三個數(shù)之和都等于9。 解：見圖。 三個角上圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們中的每個都是兩條邊上共有的數(shù)。先確定關(guān)鍵數(shù)。這樣想：六個數(shù)之和是1+2+3+4+5+6=21每條邊上三個數(shù)之和是9，9+9+9=27這樣算每個角上圓圈里的數(shù)都被加了兩次，因此角上三個圓圈中的數(shù)之和是 27-21=6 把6分拆成三個數(shù)之和：6=1+2+3； 把1、2、3分別填入三個角上的圓圈里，其余的圓圈里的數(shù)就容易填了。 習題八 1．見圖。把2、3、4、5、6、7、8、9、10、11填入右圖空白 圓圈內(nèi)，使每個大圓上四個小圓

49、圈內(nèi)的數(shù)的和都是29。你能填嗎？ 2．見圖。把2、3、4、6、7、10、11分別填入大圓上的小圓圈內(nèi)，使每個圓上四個小圓圈中的數(shù)字和都是24。你能填嗎？ 3．見圖。把2、3、4、5、6填入右圖的五個方格里，使橫行、豎行的三個數(shù)之和等于：①11、②12、③13。 4．見圖。把5、6、7、8、9、10六個數(shù)分別填入右圖中的六個圓圈里，使三角形每條邊上的三個數(shù)之和都等于21。 5．見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10這十個數(shù)分別填入圓圈里，使每個正方形的四個數(shù)相加之和都等于24。 6．見圖。把1、2、3、4、5、6、7填入右圖圓圈中，使橫行、豎行、斜行三個圓圈中的數(shù)相加之和都等

50、于12。 7．見圖。把11、12、13、14、15、16、17七個數(shù)填入右圖的圓圈中，使橫行、豎行的圓圈中的每三個數(shù)之和都是42。 8．見圖。把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11這十一個數(shù)，分別填入圖中空格內(nèi)，使相鄰的兩個或三個空格內(nèi)的和等于①14、②15。 9．把1、2、3、4、5、6、7、8、9各數(shù)分別填入“七一”圖形中的九個空格內(nèi)，使每一橫行、豎行的四個、三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都等于13。（見下圖） 10．見下圖。把1、2、3、4、5、6、7各數(shù)填入“十一”圖形中的七個空格里，使每一橫行、豎行的三個或兩個空格中的數(shù)相加之和都是10 習題八解答 1．解：見圖。

51、找關(guān)鍵數(shù)先填。三個大圓相交處的小圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。仔細觀察。圖中一個大圓上已有9和7兩個數(shù)，所以 這個大圓上A，B兩個小圓圈（如圖示）所填的兩數(shù)之和應為29-（9+7）=13。把13分拆成兩數(shù)之和（注意要選用題中已給的數(shù)） 只有11+2和8+5兩種分拆方式可供選用；經(jīng)試驗可知8和5這組數(shù)不合用，只能選用11和2這組數(shù)。最后可確定將11填入三個大圓相交處的A圈中。接著可較容易地填上其他數(shù)了。 2．解：見圖。由中間的大圓圈上的三個已知數(shù)1，5，8，可求出這個大圓上的最后一個數(shù)：24-（1+5+8）=10，這樣還剩下2、3、4、6、7、11六個數(shù)未被選用。應把它們分別填入六個小圓圈。仔細觀察

52、可知： 另外的兩個大圓相交處的小圓圈（B圈）中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。而且有一個大圓上已經(jīng)給出了數(shù)9，所以該大圓上其余三個小圓圈所填數(shù)之和應為24-9=15。因而將15分拆成三個數(shù)之和（注意必須選用題中所給的數(shù)） 15=7+6+2 經(jīng)嘗試B圈中只能填6。然后再確定左邊大圓上三個小圓圈應填的數(shù)是11、4和3。 3．解：見下圖，解題思路與例3相同，略寫如下： 2+3+4+5+6=20。 ①11+11-20=2即中間格填2。 ②12+12-20=4即中間格填4。 ③13+13-20=6即中間格填6。 4．解：見圖解題思路與例4相同，略寫如下： 　　21+21+21=63 　　5+6+7+

53、8+9+10=45 　　63-45=18（三個角上的三個數(shù)之和） 分拆18=5+6+7即三個角上的三個圓圈里應填5、6、7。 5．解：見圖， 找關(guān)鍵數(shù)先填，不難看出，標有字母A和B的兩圓圈中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)，因為它們是正方形公用的數(shù)，解法： 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 　　24+24+24=72 　　72-55=17 　　17=10+7=9+8（這就是兩組關(guān)鍵數(shù)10和7，以及9和8）。 6．解：見圖，找關(guān)鍵數(shù)先填。不難看出，中間圓圈里的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。求關(guān)鍵數(shù)： 　　1+2+3+4+5+6+7 　　=28 　　12+12+12=36 　　36-28=8

54、（相當兩個中間圓圈里的數(shù)之和） 　　82=4（就是一個中間圓圈里的數(shù)） 　　12-4=8 　　 　　行三個數(shù)之和他是12。 　　7．解：先求關(guān)鍵數(shù)：橫行和豎行公用的兩個圓圈的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。 　　11+12+13+14+15+16+17=98 　　42+42+42=126 　　126-98=28（28是橫行和豎行公用的兩個圓圈里的數(shù)的和）將28分拆： 　　?。ㄒ娤旅嫒齻€圖）。 　　8．解：先求關(guān)鍵數(shù)。六字的“點”和“橫”公用的方格中的數(shù)是關(guān)鍵數(shù)。 　　方法1： 　　145=70 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11=66 　　公用的方格中的數(shù)是70-66=4再適當選擇其他的數(shù)填入其他空格。 　　方法2：見下圖 　　155=75 75-66=9 　　公用的方格中填9，再適當選擇其他各數(shù)填入方格。 9．解：見下圖，求關(guān)鍵數(shù)即共用方格中的數(shù) 　　1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 　　134=52 52-45=7 10．解：見下圖，先確定“十”字中間方格中的數(shù) 　　1+2+3+4+5+6+7=28 　　103=30 　　30-28=2（中間方格中的數(shù) 39