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1、高二數(shù)學必修⑤
數(shù)列單元測試 (C卷)
一、 選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。
1. 若a、b、c成等差數(shù)列,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與x軸的交點個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.不確定
2. 在等差數(shù)列{an}中,a10<0,a11>0,且a11>|a10|,則{an}的前n項和Sn中最大的負數(shù)為( )
A.S17 B.S18 C.S19 D.S20
3. 某廠2004年12份產值計劃為當年1月份產值的n倍,則該廠2004年度產值的月平
2、均增長率為( )
A. B.-1 C.-1 D.
4. 等差數(shù)列{an}中,已知a1=,a2+a5=4,an=33,則n為( )
A.50 B.49 C.48 D.47
5. 已知數(shù)列{an}的首項a1=1,an+1=3Sn(n≥1),則下列結論正確的是( )
A.數(shù)列a2,a3,…,an,…是等比數(shù)列 B.數(shù)列{an}是等比數(shù)列
C.數(shù)列a2,a3,…,an,…是等差數(shù)列 D.數(shù)列{an}是等差數(shù)列
6.如果,,…,為各項都大于零的等差數(shù)列,公差,則
(A)(B)(C)++(D)=
7. 等差數(shù)列{an}中,a1+a2+…
3、+a50=200,a51+a52+…+a100=2700,則a1等于( )
A.-1221 B.-21.5 C.-20.5 D.-20
8. 已知關于x的方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則|m-n|=( )
A. B. C. D.1
9.等比數(shù)列{an}中,a1=512,公比為-,用∏n表示它的前n項之積,即∏n= a1a2……an,則∏n中最大的是( )
A.∏11 B.∏10 C.∏9 D.∏8
10.已知數(shù)列{an}滿足a0=1,an=a0+a1+…+an-1
4、(n≥1),則當n≥1時,an= ( )
A.2n B.2n-1 C.n(n+1) D.2n-1
11.設數(shù)列{an}是公比為a(a≠1),首項為b的等比數(shù)列,Sn是前n項和,對任意的n∈N*,點(Sn,Sn+1)在直線( )
A.y=ax-b上 B.y=ax+b上 C.y=bx+a上 D.y=bx-a上
12.某班試用電子投票系統(tǒng)選舉班干部候選人.全班k名同學都有選舉權和被選舉權,他們的編號分別為1,2,…,k,規(guī)定:同意按“1”,不同意(含棄權)按“0”,令
其中i=1,2,…,k,且j=1,2,…,k,則同時同
5、意第1,2號同學當選的人數(shù)為( )
A.
B.
C.
D.
二、填空題:本大題共4小題,每小題4分,共16分,把答案填在題中橫線上。
13.在數(shù){an}中,其前n項和Sn=4n2-n-8,則a4= 。
14.已知等差數(shù)列{an}與等比數(shù)列{bn}的首項均為1,且公差d1,公比q>0且q1,則集合{n| an= bn}的元素最多有 個。
15.已知(n∈N+),則在數(shù)列{an}的前50項中最大項的項數(shù)是 。
16.在等差數(shù)列{an}中,當ar=as(r≠s)時,{an}必定是常數(shù)數(shù)列。然而在等比數(shù)列{an}中,對某些
6、正整數(shù)r、s (r≠s),當ar=as時,非常數(shù)數(shù)列的一個例子是____________.
三、解答題:本大題共6小題,共74分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
17.數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且a1=1,,n=1,2,3,……,求
(I)a2,a3,a4的值及數(shù)列{an}的通項公式;
(II)的值.
18.{an}是等差數(shù)列,設fn(x)=a1x+a2x2+…+anxn,n是正偶數(shù),且已知fn(1)=n2,fn(-1)=n。
⑴求數(shù)列{an}的通項公式;
7、
⑵證明
19.某市2003年共有1萬輛燃油型公交車。有關部門計劃于2004年投入128輛電力型公交車,隨后電力型公交車每年的投入比上一年增加50%,試問:
⑴該市在2010年應該投入多少輛電力型公交車?
⑵到哪一年底,電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的?
20.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對
8、于任意的n∈N*,都有Sn=2an-3n .
⑴求數(shù)列{an}的首項a1與遞推關系式:an+1=f(an);
⑵先閱讀下面定理:“若數(shù)列{an}有遞推關系an+1=Aan+B,其中A、B為常數(shù),且A≠1,B≠0,則數(shù)列是以A為公比的等比數(shù)列?!闭埬阍冖诺幕A上應用本定理,求數(shù)列{an}的通項公式;
⑶求數(shù)列{an}的前n項和Sn .
21.某地區(qū)位于沙漠邊緣地帶,到2004年底該地區(qū)的綠化率只有30%,計劃從2005年開始加大沙漠化改造的力度
9、,每年原來沙漠面積的16% ,將被植樹改造為綠洲,但同時原有綠洲面積的4%還會被沙漠化。
⑴設該地區(qū)的面積為1,2002年綠洲面積為,經過一年綠洲面積為……經過n年綠洲面積為求證:
⑵求證:是等比數(shù)列;
⑶問至少需要經過多少年努力,才能使該地區(qū)的綠洲面積超過60%?(取
22.已知點Pn(an,bn)都在直線L:y=2x+2上,P1為直線L與x軸的交點,數(shù)列{an}成等差數(shù)列,公差為1(n∈N*)。
⑴求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
⑵若f(n
10、)=,問是否存在k∈N*,使得f(k+5)=2f(k)-2成立?若存在,求出k的值,若不存在,說明理由;
⑶求證:(n≥2,n∈N*)。
數(shù)列單元測試 (C卷)答案
一、1.D 2.C 3.B 4.A 5.A 6.B 7.C 8.A 9.C 10.D 11.B 12.C
二、13.27 14.2 15.9 16.a,-a,a,-a,…(a≠0),r與s同為奇數(shù)或偶數(shù)
三、17.解:(I)由a1=1,,n=1,2,3,……,得
,,,
由(n≥2),得(n≥2),
又a2=,所以an=(n≥2),
∴ 數(shù)列{an}的通項
11、公式為;
(II)由(I)可知是首項為,公比為項數(shù)為n的等比數(shù)列,∴ =.
18.解:⑴
,∴an=2n-1(n∈N+)
⑵∴通過差比數(shù)列求和可得:
,又可證時為單調遞增函數(shù)。
∴,綜上可證。
19.解:(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an},其中a1=128,q=1.5,
則在2010年應該投入的電力型公交車為a7=a1q6=1281.56=1458(輛)。
(2)記Sn=a1+a2+…+an,依據(jù)題意,得。于是Sn=>5000(輛),即1.5n>,則有n≈7.5,因此n≥8。
∴到2011年底,電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的。
2
12、0.解:⑴令n=1,S1=2a1-3。∴a1 =3 ,又Sn+1=2an+1-3(n+1), Sn=2an-3n,兩式相減得,
an+1 =2an+1-2an-3,則an+1 =2an+3
⑵按照定理:A=2,B=3,∴{ an+3}是公比為2的等比數(shù)列。
則an+3=(a1+3)2n-1=62n-1,∴an =62n-1-3 。
⑶。
21.解:⑴設2004年底沙漠面積為b1,經過n年治理后沙漠面積為bn+1。則an+bn=1。
依題意,an+1由兩部分組成,一部分是原有的綠洲面積減去沙漠化后剩下的面積,
an-4%an=96%an,另一部分是新植樹綠洲化的面積16%
13、bn,于是
an+1=96%an+16%bn =96%an +16%(1-an)=80% an +16%=。
⑵由兩邊減去得,∴是以 為首項,為公比的等比數(shù)列。
⑶由⑵可知,依題意>60%,即,兩邊取對數(shù)得
故至少需要5年才能達到目標。
22.⑴P1(-1,0),an=-1+(n-1)1=n-2,bn=2(n-2)+2=2n-2
⑵f(n)=,假設存在符合條件的k
①若k為偶數(shù),則k+5為奇數(shù),有f(k+5)=k+3,f(k)=2k-2,
如果f(k+5)=2f(k)-2,則k+3=4k-6k=3與k為偶數(shù)矛盾。
②若k為奇數(shù),則k+5為偶數(shù),有f(k+5)=2k+8,f(k)=k-2,
如果f(k+5)=2f(k)-2,則2k+8=2k-6,這樣的k也不存在。
故不存在符合條件的k。
⑶∵Pn(n-2,2n-2),∴|P1Pn|=(n-1),(n≥2)
∴
。
以下考查數(shù)列的增減情況,
,
當時,>0,所以對于數(shù)列有
……………………13分
所以①式不能成立,所以,不可能有兩個點同時在函數(shù)……14
9
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