北師大版高中數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案《分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理》
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1、 1.1分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 學(xué)習(xí)目標(biāo)::①理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理; ②會利用兩個原理提示和解決一些簡單的應(yīng)用問題; 學(xué)習(xí)重點:分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理) 學(xué)習(xí)難點:分類計數(shù)原理(加法原理)與分步計數(shù)原理(乘法原理)的準(zhǔn)確理解 自主學(xué)習(xí) 1 分類加法計數(shù)原理 問題1:用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號,總共能夠編出多少種不同的號碼? 問題2:從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車.如果一天中火車有3班,汽車有2班.那么一天中,乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法? 思考
2、:你能說說以上兩個問題的特征嗎? (2)歸納結(jié)論:分類加法計數(shù)原理 2 分步乘法計數(shù)原理 問題3:用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯?dāng)?shù)字,以,,…,,,…的方式給教室里的座位編號,總共能編出多少個不同的號碼? 用列舉法可以列出所有可能的號碼: 思考:你能說說這個問題的特征嗎? (2)歸納結(jié)論:分步乘法計數(shù)原理 3.注意:分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點 ①相同點:都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題 ②不同點:分類加法計數(shù)原理針對的是“分類”問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法相互獨立,各類中的各
3、種方法也相對獨立,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨完成這件事,是獨立完成;而分步乘法計數(shù)原理針對的是“分步”問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事,只有當(dāng)各個步驟都完成后,才算完成這件事,是合作完成. 展示交流 例1. 書架的第1層放有4本不同的計算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放2本不同的體育書. ①從書架上任取1本書,有多少種不同的取法? ②從書架的第1、2、3層各取1本書,有多少種不同的取法? ③從書架上任取兩本不同學(xué)科的書,有多少種不同的取法? 例2 要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩
4、邊墻上的指定位置,問共有多少種不同的掛法? 例3.給程序模塊命名,需要用3個字符,其中首字符要求用字母 A~G 或 U~Z , 后兩個要求用數(shù)字1~9.問最多可以給多少個程序命名? 提示:要給一個程序模塊命名,可以分三個步驟:第 1 步,選首字符;第2步,選中間字符;第3步,選最后一個字符.而首字符又可以分為兩類. 拓展鞏固 1. .書架上放有3本不同的數(shù)學(xué)書,5本不同的語文書,6本不同的英語書. (1)若從這些書中任取一本,有多少種不同的取法? (2)若從這些書中,取數(shù)學(xué)書、語文書、英語書各一本,有多少種不同的取法? (3)若從這些書中取不同的科目的
5、書兩本,有多少種不同的取法? 2 .如圖,要給地圖A、B、C、D四個區(qū)域分別涂上3種不同顏色中的某一種,允許同一種顏色使用多次,但相鄰區(qū)域必須涂不同的顏色,不同的涂色方案有多少種? 反思與收獲: 1.2.1排列 學(xué)習(xí)目標(biāo):知道排列數(shù)的意義,記住排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法,從中體會“化歸”的數(shù)學(xué)思想,并能運用排列數(shù)公式進(jìn)行計算。 學(xué)習(xí)重點:排列、排列數(shù)的概念 學(xué)習(xí)難點:排列數(shù)公式的推導(dǎo) 自主學(xué)習(xí): 問題1.從甲、乙、丙3名同學(xué)中選取2名同學(xué)參加某一天的一項活動,其中一名同學(xué)參加上午的活動,一名同學(xué)參加下午的活動,有多少種不同的方法? 提示:解
6、決這一問題可分兩個步驟: 第 1 步,確定參加上午活動的同學(xué),從 3 人中任選 人,有 種方法;第 2 步,確定參加下午活動的同學(xué),當(dāng)參加上午活動的同學(xué)確定后,參加下午活動的同學(xué)只能從余下的 人中去選,于是有 種方法. 根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,在 3 名同學(xué)中選出 2 名,按照參加上午活動在前,參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有 = 種 問題2.從1,2,3,4這 4 個數(shù)字中,每次取出3個排成一個三位數(shù),共可得到多少個不同的三位數(shù)? 提示:解決這個問題分三個步驟: 第一步先確定左邊的數(shù),在4個字母中任取 個,有 種方法
7、; 第二步確定中間的數(shù),從余下的 個數(shù)中取,有 種方法; 第三步確定右邊的數(shù),從余下的 個數(shù)中取,有 種方法 由分步計數(shù)原理共有: = 種不同的方法,用樹型圖排出,并寫出所有的排列由此可寫出所有的排法 結(jié)論:排列的概念:從個不同元素中,任?。ǎ﹤€元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列,叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列 說明:(1)排列的定義包括兩個方面:①取出元素,②按一定的順序排列; (2)兩個排列相同的條件:①元素完全相同,②元素的排列順序也相同 排列數(shù)的定義:從個不同元素中,任?。ǎ﹤€元素的所有排列的
8、個數(shù)叫做從個元素中取出元素的排列數(shù),用符號表示 注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同:“一個排列”是指:從個不同元素中,任取個元素按照一定的順序排成一列,不是數(shù);“排列數(shù)”是指從個不同元素中,任?。ǎ﹤€元素的所有排列的個數(shù),是一個數(shù)所以符號只表示排列數(shù),而不表示具體的排列 排列數(shù)公式 全排列: 全排列數(shù):(叫做n的階乘)規(guī)定 0! =1 . 合作探究 例1.某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14個隊參加,每隊要與其余各隊在主、客場分別比賽一次,共進(jìn)行多少場比賽? 展示交流: 練習(xí)
9、1(1)從5本不同的書中選 3 本送給 3 名同學(xué),每人各 1 本,共有多少種不同的送法? (2)從5種不同的書中買3本送給3名同學(xué),每人各1本,共有多少種不同的送法? 練習(xí)2.用0到9這10個數(shù)字,可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?提示:在本問題的。到 9 這 10 個數(shù)字中,因為。不能排在百位上,而其他數(shù)可以排在任意位置上,因此。是一個特殊的元素.一般的,我們可以從特殊元素的排列位置人手來考慮問題 反思與收獲 1.2.2組合 學(xué)習(xí)目標(biāo):理解組合的意義,能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別,能判斷一
10、個問題是排列問題還是組合問題。 學(xué)習(xí)重點:組合的概念和組合數(shù)公式 學(xué)習(xí)難點:組合的概念和組合數(shù)公式 自主學(xué)習(xí) 問題1:從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項活動,其中1名同學(xué)參加上午的活動,1名同學(xué)參加下午的活動,有多少種不同的選法? 問題2:從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項活動,有多少種不同的選法? 組合的概念:一般地,從個不同元素中取出個元素并成一組,叫做從個不同元素中取出個元素的一個組合 說明:⑴不同元素;⑵“只取不排”——無序性;⑶相同組合:元素相同 組合數(shù)的概念: 組合數(shù)公式
11、 規(guī)定: . 合作探究 例1.判斷下列問題是組合還是排列 (1)在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達(dá)航線上,有多少種不同的飛機(jī)票?有多少種不同的飛機(jī)票價? (2)高中部11個班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽,需要進(jìn)行多少場比賽? (3)從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù),有多少種不同的選法?選出三人參加某項勞動,有多少種不同的選法? (4)10個人互相通信一次,共寫了多少封信? (5)10個人互通電話一次,共多少個電話? 問題:(1)1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎?(2)什么樣的兩個組合就叫相同的組合
12、 例2. 一位教練的足球隊共有 17 名初級學(xué)員,他們中以前沒有一人參加過比賽.按照足球比賽規(guī)則,比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問: (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案? (2)如果在選出11名上場隊員時,還要確定其中的守門員,那么教練員有多少種方式做這件事情? 展示交流: 例3.(1)平面內(nèi)有10 個點,以其中每2 個點為端點的線段共有多少條? (2)平面內(nèi)有 10 個點,以其中每 2 個點為端點的有向線段共有多少條? 例4.在 100 件產(chǎn)品中,有 98 件合格品,2 件次品.從這 100 件產(chǎn)品中任意抽
13、出 3 件 . (1)有多少種不同的抽法? (2)抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種? (3)抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種? 拓展鞏固 1.4名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實踐活動小組,問組成方法共有多少種? 2.一個口袋內(nèi)裝有大小不同的7個白球和1個黑球, (1)從口袋內(nèi)取出3個球,共有多少種取法? (2)從口袋內(nèi)取出3個球,使其中含有1個黑球,有多少種取法? (3)從口袋內(nèi)取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法? 反思與收獲: 1.3.1二項式定理 學(xué)習(xí)目標(biāo):記住二項式定
14、理和二項展開式的通項公式 學(xué)習(xí)重點:二項式定理及通項公式的記住及運用 學(xué)習(xí)難點:二項式定理及通項公式的記住及運用 自主學(xué)習(xí): ⑴; ⑵ ⑶. 二項式定理: ⑴的展開式的各項都是次式,即展開式應(yīng)有下面形式的各項: ,,…,,…,, ⑵展開式各項的系數(shù): 每個都不取的情況有種,即種,的系數(shù)是; 恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,……, 恰有個取的情況有種,的系數(shù)是,……, 有都取的情況有種,的系數(shù)是, ∴, 這個公式所表示的定理叫二項式定理,右邊的多項式叫的二項展開式,⑶它有項,各項的系數(shù)叫二項式系數(shù), ⑷叫二項展開式的通項,用表示,即通項. ⑸ 特例: 合作
15、探究 例1.展開. 例2.求的展開式中的倒數(shù)第項 展示交流: 例3.展開. 例4.求(1),(2)的展開式中的第項. 拓展鞏固 1.(1)求的展開式常數(shù)項; (2)求的展開式的中間兩項 2.(1)求的展開式的第4項的系數(shù); (2)求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù) 反思與收獲: 課題:1. 2 排列與組合 【使用說明】獨立完成導(dǎo)學(xué)案所設(shè)計的問題,并在不會或有疑問的地方用紅筆標(biāo)出,規(guī)范書寫. 課上小組合作探究完成,并及時用紅筆糾錯,補(bǔ)充. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 掌握排列、組合問題的解題策略 【學(xué)習(xí)重點】 (1)特殊元
16、素優(yōu)先安排的策略: (2)合理分類與準(zhǔn)確分步的策略; (3)排列、組合混合問題先選后排的策略; (4)正難則反、等價轉(zhuǎn)化的策略; (5)相鄰問題捆綁處理的策略; (6)不相鄰問題插空處理的策略。 【學(xué)習(xí)難點】 綜合運用解題策略解決問題。 【學(xué)習(xí)過程】 一、方法介紹 排列問題的應(yīng)用題是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點,也是高考的必考內(nèi)容,筆者在教學(xué)中排列 問題歸納為三種類型來解決: 特殊方法: (1)特元特位:優(yōu)先考慮有特殊要求的元素或位置后,再去考慮其它元素或位置。 (2)捆綁法:某些元素必須在一起的排列,用“捆綁法”,緊密結(jié)合粘成小組,組內(nèi)外分別排列。
17、 (3)插空法:某些元素必須不在一起的分離排列用“插空法”,不需分離的站好實位,在空位上進(jìn)行排列。 二、合作探究 (一).能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題) 解決此類問題的關(guān)鍵是特殊元素或特殊位置優(yōu)先.或使用間接法.(特殊優(yōu)先) 1.(1)7位同學(xué)站成一排,其中甲站在中間的位置,共有多少種不同的排法? (2)7位同學(xué)站成一排,甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種? (3)7位同學(xué)站成一排,甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種? (4)7位同學(xué)站成一排,其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種? 2.某天課表共六節(jié)課,要排政治、語文、
18、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共六門課程,如果第一節(jié)不排體育,最后一節(jié)不排數(shù)學(xué),共有多少種不同的排課方法? (二).相鄰不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題) 相鄰排列問題一般采用大元素法,即將相鄰的元素“捆綁”作為一個元素,再與其他元素進(jìn)行排列,解答時注意“釋放”大元素,也叫“捆綁法”.不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)一般采用“插空法”. 3.7位同學(xué)站成一排, (1)甲、乙和丙三同學(xué)必須相鄰的排法共有多少種? (2)甲、乙和丙三名同學(xué)都不能相鄰的排法共有多少種? (3)甲、乙兩同學(xué)間恰好間隔2人的排法共有多少種? (三).機(jī)會均等排列問
19、題(即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題)解決機(jī)會均等排列問題通常是先對所有元素進(jìn)行全排列,再借助等可能轉(zhuǎn)化,即乘以符合要求的某兩(或某些)元素按特定的方式或順序排列的排法占它們(某兩(或某些)元素)全排列的比例,稱為“等機(jī)率法”;或?qū)⑻囟樞虻呐帕袉栴}理解為組合問題加以解決. 4. 7位同學(xué)站成一排. (1)甲必須站在乙的左邊? (2)甲、乙和丙三個同學(xué)由左到右排列? 三、反饋練習(xí) 1.(2005遼寧卷)用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復(fù)數(shù)字的八位數(shù),要求1和2相鄰,3與4相鄰,5與6相鄰,而7與8不相鄰,這樣的八位數(shù)共有 個.(用數(shù)字作答) 2
20、.(2004. 重慶理)某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學(xué)參賽,其中一班有3位,二班有2位,其它班有5位,若采用抽簽的方式確定他們的演講順序,則一班有3位同學(xué)恰好被排在一起(指演講序號相連),而二班的2位同學(xué)沒有被排在一起的概率為 ( ) A. B. C. D. 3.(2003京春理)某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單,開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中,那么不同插法的種數(shù)為( ) A.42 B.30 C.20
21、 D.12 4. 7人排成一行,分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)。 (1)甲排中間;(2)甲不排兩端;(3)甲,乙相鄰; (4)甲在乙的左邊(不要求相鄰);(5)甲,乙,丙連排; (6)甲,乙,丙兩兩不相鄰。 對排列組合中的“分配”問題的探究 一、方法介紹 (1)、解決排列組合綜合問題時,必須深刻理解排列組合的概念,能夠熟練確定一個問題是排列還是組合問題,牢記排列數(shù)和組合數(shù)的公式以及組合數(shù)的性質(zhì),容易產(chǎn)生的錯誤主要是在分類的過程中,標(biāo)準(zhǔn)不明確,前后不統(tǒng)一,要么重復(fù),要么遺漏,因此在解題時要認(rèn)真的分析題目的條件,作出正確的分類或分步; (2)、解決排列組合綜合問題時,要
22、注意 ① 把具體問題轉(zhuǎn)化為排列或組合問題。 ② 通過分析確定是采用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理。 ③ 分析題目的條件,避免選取時重復(fù)或遺漏。 ④ 列處計算公式,通過排列數(shù)或組合數(shù)公式計算結(jié)果。 下面對排列組合中的“分配”問題做出簡單的探究 排列組合中的“分配”問題是排列組合中的一類常見問題,如:教師分配到班級中教學(xué);護(hù)士、醫(yī)生分配的學(xué)校給學(xué)生查體;小球放置在有標(biāo)號的盒子里等都是排列組合中的常見“分配問題”;下面通過例題,對常見的幾種“分配”問題簡單作出探究: 二、合作探究 (一).相同元素的“分配”問題 1.有10名三好學(xué)生名額,分配到高三年級的6個班,每班至少一個名額,共
23、有多少種不同的分配方案? (二).不同元素的“分配”問題 分析:不同元素的“分配”問題,有時比較容易混淆,作為分配問題,可以分兩步來完成,先分組后發(fā)放的原則,這樣就對分配問題有更加明確的理解; 2.有不同的6本書分別分給甲、乙、丙三人, ⑴如果甲1本,乙2本,丙3本有多少種方法? ⑵如果一人1本,一人2本,一人3本,共有多少種方法? ⑶平均分成3堆,每堆2本,共有多少種分法? ⑷如果每人2本,共有多少種分法? 3.把6個不同的小球放在編號為的三個盒子里,要求每個盒子都不空,共多少種不同的方法? 對排列組合中的“分配”問題練習(xí) 1.
24、4.把一同排6張座位編號為1,2,3,4,5,6的電影票全部分給4個人,每人至少分1張,至多分2張,且這兩張票具有連續(xù)的編號,那么不同的分法種數(shù)是( ) A.168 B.96 C.72 D.144 2.若,則等于 (A) 14 12 13 15 3.用0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù),2,4不相鄰的有 (B) 360個 408個 504個 576個 4.某外語組有9人,每人至少會英語和日語中的一門,其中7人會英語,3人會日語,從中選取會英語和日語的各一人,則不同的選法有________種. 5.從6名短跑運動員中選出4人參加4 100米接力賽,如
25、果甲、乙兩人都不跑第一棒,那么不同的參賽方案有 A.180種 B.240種 C.300種 D.360種 6.書架上原有5本書,再放上2本,但要求原有書的相對順序不變,則不同的放法有_____________種. 7.某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名,外科醫(yī)生8名,現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊,其中 (1)某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加,共有多少種不同選法? (2)甲、乙均不能參加,有多少種選法? (3)甲、乙兩人至少有一人參加,有多少種選法? (4)隊中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生,有幾種選法? 8.有6本不同的書按下列分配方式分配,問共有多少種不同的分配方式
26、? (1)分成1本、2本、3本三組; (2)分給甲、乙、丙三人,其中一人1本,一人2本,一人3本; (3)分成每組都是2本的三組; (4)分給甲、乙、丙三人,每人2本. 9.課外活動小組共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女各指定一名隊長,現(xiàn)從中選5人主持某種活動,依下列條件各有多少種選法? (1)只有一名女生; (2)兩隊長當(dāng)選; (3)至少有一名隊長當(dāng)選; (4)至多有兩名女生當(dāng)選. 10.有兩排座位,前排11個座位,后排12個座位,現(xiàn)安排2人就座,規(guī)定前排中間的3個座
27、位不能坐,并且這2人不左右相鄰,共有多少種不同排法? 11.某外商計劃在4個候選城市投資3個不同的項目,且在同一個城市投資的項目不超過2個,求該外商不同的投資方案有多少種? 12. 有7名師生站成一排照相留念,其中老師1人,男生4人,女生2人,在下列情況下各有不同站法多少種?(1)2名女生必須相鄰而站;(2)4名男生互不相鄰;(3)老師不站中間,女生不站兩端。 1.3.2“楊輝三角”與二項式系數(shù)的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo):記住二項式系數(shù)的四個性質(zhì)
28、。 學(xué)習(xí)重點:如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題 學(xué)習(xí)難點:如何靈活運用展開式、通項公式、二項式系數(shù)的性質(zhì)解題 自主學(xué)習(xí) 1二項式系數(shù)表(楊輝三角) 展開式的二項式系數(shù),當(dāng)依次取…時,二項式系數(shù)表,表中每行兩端都是,除以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和 2.二項式系數(shù)的性質(zhì): 展開式的二項式系數(shù)是,,,…,.可以看成以為自變量的函數(shù)定義域是,性質(zhì): (1) .與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等 圖象的對稱軸 . (2) . 當(dāng)時,二項式系數(shù)逐漸增大.由對稱性知它的后半部分是逐漸減小的,且在中間取得最大值;
29、 當(dāng)是偶數(shù)時, 取得最大值;當(dāng)是奇數(shù)時, 取得最大值. (3)各二項式系數(shù)和: 合作探究: 例1.在的展開式中,奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和 例2.已知,求: (1); (2); (3). 展示交流: 例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展開式中x3的系數(shù) 例4.在(x2+3x+2)5的展開式中,求x的系數(shù) 拓展鞏固 1.若對于任意實數(shù),有,則的值為( ) A. B. C. D. 2.如果 的展開式中含有非零常數(shù)項,則正整數(shù)n的最小值為(?。? A.3 B.5 C.6 D.10 5. 的展開式中常數(shù)項為 .(用數(shù)字作答) 6.若的二項展開式中的系數(shù)為,則 ?。ㄓ脭?shù)字作答). 反思與收獲: 15
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