《[理學(xué)]高等數(shù)學(xué) 第十二章 無窮級(jí)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《[理學(xué)]高等數(shù)學(xué) 第十二章 無窮級(jí)數(shù)（33頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十二章 無窮級(jí)數(shù) 【教學(xué)重點(diǎn)】 1、級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 6、傅里葉級(jí)數(shù)。 【教學(xué)難點(diǎn)】 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級(jí)數(shù)； 6、 傅里葉級(jí)數(shù)的狄利克雷定理。 第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì) 一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念

2、 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式u1 + u2 + u3 + + un + 叫做常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù), 簡稱常數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為, 即 , 其中第n項(xiàng)u n 叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng). 級(jí)數(shù)的部分和: 作級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和 稱為級(jí)數(shù)的部分和. 級(jí)數(shù)斂散性定義: 如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級(jí)數(shù)收斂, 這時(shí)極限s叫做這級(jí)數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級(jí)

3、數(shù)發(fā)散. 余項(xiàng): 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其部分和s n是級(jí)數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 例1 討論等比級(jí)數(shù)(幾何級(jí)數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級(jí)數(shù)的公比. 解 如果q1, 則部分和 . 當(dāng)|q|<1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)收斂, 其和為. 當(dāng)|q|>1時(shí), 因?yàn)? 所以此時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當(dāng)q=1時(shí), sn =na, 因此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)q=-1時(shí), 級(jí)數(shù)成為

4、 a-a+a-a+ , 當(dāng)|q|=1時(shí), 因?yàn)閟n 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時(shí)級(jí)數(shù)也發(fā)散. 綜上所述，級(jí)數(shù) 例2 證明級(jí)數(shù) 1+2+3+ +n+ 是發(fā)散的. 證 此級(jí)數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級(jí)數(shù) 的收斂性. 提示: . 二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級(jí)數(shù)

5、收斂于和s, 則它的各項(xiàng)同乘以一個(gè)常數(shù)k所得的級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)2 如果級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)3 如果, 則. 性質(zhì)4 如果級(jí)數(shù)、分別收斂于和s、s, 則級(jí)數(shù)也收斂, 且其和為ss. 性質(zhì)5 如果、, 則. 性質(zhì)6 在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng), 不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性. 比如, 級(jí)數(shù)是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的, 級(jí)數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)7 如果級(jí)數(shù)收斂, 則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號(hào)后

6、所成的級(jí)數(shù)收斂, 則不能斷定去括號(hào)后原來的級(jí)數(shù)也收斂. 例如, 級(jí)數(shù) （1-1)+（1-1) + 收斂于零, 但級(jí)數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原來級(jí)數(shù)也發(fā)散. 級(jí)數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)8 如果收斂, 則它的一般項(xiàng)un 趨于零, 即. 應(yīng)注意的問題: 級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級(jí)數(shù) 是發(fā)散的. 證： 假若級(jí)數(shù)收斂且其和為s, sn是它的部分和. 顯然有及. 于是.

7、 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 小結(jié) 1.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念； 2. 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)； 第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法 正項(xiàng)級(jí)數(shù): 各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù). 定理1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 且unvn(k>0, "nN). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 證 設(shè)級(jí)數(shù)收斂于和s, 則級(jí)數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ +unv

8、1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級(jí)數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)必發(fā)散. 因?yàn)槿艏?jí)數(shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級(jí)數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果級(jí)數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)收斂; 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 且當(dāng)nN時(shí)有unkvn(k>0)成立, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級(jí)數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 提示: 級(jí)數(shù)的部分和為 .

9、 因?yàn)? 所以級(jí)數(shù)收斂. p-級(jí)數(shù)的收斂性: p-級(jí)數(shù)當(dāng)p>1時(shí)收斂, 當(dāng)p1時(shí)發(fā)散. 例2 證明級(jí)數(shù)是發(fā)散的. 證 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果(0l<+), 且級(jí)數(shù)收斂, 則級(jí)數(shù)收斂; (2)如果, 且級(jí)數(shù)發(fā)散, 則級(jí)數(shù)發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對(duì), 存在自然數(shù)N, 當(dāng)n>N時(shí), 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論.

10、 例3 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)發(fā)散. 例4 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級(jí)數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達(dá)朗貝爾判別法) 若正項(xiàng)級(jí)數(shù)的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r =1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級(jí)數(shù) 是收斂的. 例6 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 例7 判別級(jí)數(shù)的收斂性.

11、提示: , 比值審斂法失效. 因?yàn)? 而級(jí)數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項(xiàng)級(jí)數(shù), 如果它的一般項(xiàng)un的n次根的極限等于r: , 則當(dāng)r<1時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)r>1(或)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)r=1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級(jí)數(shù)是收斂的. 并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因?yàn)? 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂. 以這級(jí)數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為

12、 + . 例9判定級(jí)數(shù)的收斂性. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項(xiàng)級(jí)數(shù), (1)如果, 則級(jí)數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級(jí)數(shù)收斂. 例10 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)? 故, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 例11 判定級(jí)數(shù)的收斂性. 解 因?yàn)?, 根據(jù)極限審斂法, 知所給級(jí)數(shù)收斂. 二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法 交錯(cuò)級(jí)數(shù): 交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù), 它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的. 交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為, 其中.

13、 例如, 是交錯(cuò)級(jí)數(shù), 但不是交錯(cuò)級(jí)數(shù). 定理7（萊布尼茨定理） 如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級(jí)數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項(xiàng)部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

14、), 所以收斂. 設(shè)s2ns(n), 則也有s2n+1=s2n+u2n+1s(n), 所以sns(n). 從而級(jí)數(shù)是收斂的, 且sn

15、. 值得注意的問題: 如果級(jí)數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級(jí)數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級(jí)數(shù)必定發(fā)散. 這是因?yàn)? 此時(shí)|un|不趨向于零, 從而un也不趨向于零, 因此級(jí)數(shù)也是發(fā)散的. 例14 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 例15 判別級(jí)數(shù)的收斂性. 小結(jié) 1.利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性； 2. 利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法； 3. 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法：Leibniz判別法。 第三節(jié) 冪函數(shù) 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù): 給定一個(gè)定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x

16、)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù), 記為. 收斂點(diǎn)與發(fā)散點(diǎn): 對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)x0, 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂, 則稱點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn). 若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散, 則稱點(diǎn)x0是級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn). 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù), 并

17、寫成. ∑un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)s(x)(n) . 余項(xiàng): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和函數(shù)s

18、(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的余項(xiàng). 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un(x)的余項(xiàng)記為rn (x), 它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 冪級(jí)數(shù): 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都冪函數(shù)的函數(shù) 項(xiàng)級(jí)數(shù), 這種形式的級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數(shù)a0, a1, a2, , an , 叫做冪級(jí)數(shù)的系數(shù). 冪級(jí)數(shù)

19、的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 冪級(jí)數(shù)的一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 冪級(jí)數(shù) 1+x+x2+x3+ +xn + 可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù). 當(dāng)|x|<1時(shí)它是收斂的; 當(dāng)|x|1時(shí), 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域?yàn)?

20、-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0 (x00)時(shí)收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂. 反之, 如果級(jí)數(shù)當(dāng) x=x0時(shí)發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級(jí)數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 簡要證明 設(shè)∑anxn在點(diǎn)x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個(gè)常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因?yàn)? , 而當(dāng)時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂, 所以級(jí)數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級(jí)數(shù)∑anxn絕

21、對(duì)收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|>|x0|使級(jí)數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論 如果級(jí)數(shù)不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂, 也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂, 則必有一個(gè)完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當(dāng)|x|R時(shí), 冪級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)x=R與x=-R時(shí), 冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間

22、(-R, R)叫做冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級(jí)數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級(jí)數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級(jí)數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級(jí)數(shù)對(duì)一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時(shí)收斂域?yàn)?-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級(jí)數(shù)的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù), 則這冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 . 簡要證明: . (1)如果0

23、(2)如果r=0, 則冪級(jí)數(shù)總是收斂的, 故R=+. (3)如果r=+, 則只當(dāng)x=0時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級(jí)數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因?yàn)? 所以收斂半徑為. 當(dāng)x=1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是收斂的; 當(dāng)x=-1時(shí), 冪級(jí)數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域?yàn)?-1, 1]. 例2 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 例3 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 例4 求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑. 解 級(jí)數(shù)缺少奇次冪的項(xiàng), 定理2不能

24、應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑， 冪級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為. 因?yàn)?, 當(dāng)4|x|2<1即時(shí)級(jí)數(shù)收斂; 當(dāng)4|x|2>1即時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級(jí)數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級(jí)數(shù)變?yōu)? 因?yàn)?, 所以收斂半徑R=2. 當(dāng)t=2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)發(fā)散; 當(dāng)t=-2時(shí), 級(jí)數(shù)成為, 此級(jí)數(shù)收斂. 因此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2t<2. 因?yàn)?2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 3). 三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 設(shè)冪級(jí)數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R

25、)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級(jí)數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(an+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+

26、 性質(zhì)1 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級(jí)數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項(xiàng)積分公式 (xI ), 逐項(xiàng)積分后所得到的冪級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式 (|x|

27、 解 求得冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x[-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對(duì)上式從0到x積分, 得 . 于是, 當(dāng)x 0時(shí), 有. 從而. 因?yàn)? , 所以, 當(dāng)x0時(shí), 有, 從而 . 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級(jí)數(shù)的和. 小結(jié) 1.求冪級(jí)數(shù)收斂域和收斂半徑的方法； 2. 冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)。 第四節(jié) 函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 一、泰勒級(jí)數(shù) 要解決的問題: 給定函數(shù)f(

28、x), 要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成冪級(jí)數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個(gè)冪級(jí)數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級(jí)數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級(jí)數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級(jí)數(shù), 而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x). 泰勒多項(xiàng)式: 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級(jí)數(shù): 如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x),

29、 f(x), , f (n)(x), , 則當(dāng)n時(shí), f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式 成為冪級(jí)數(shù) 這一冪級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級(jí)數(shù). 顯然, 當(dāng)x=x0時(shí), f(x)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(x)當(dāng)n0時(shí)的極限為零, 即 . 證明 先證必要性

30、. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前n+1項(xiàng)的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)0(n)對(duì)一切xU(x0)成立. 因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于f(x).

31、 麥克勞林級(jí)數(shù): 在泰勒級(jí)數(shù)中取x0=0, 得 , 此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)一致. 這是因?yàn)? 如果f(x)在點(diǎn)x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根據(jù)冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo), 有 f (x)=a1+2a2x+3a3x2+ +nanxn-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+ + n(n

32、-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , . 應(yīng)注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級(jí)數(shù), 那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(

33、x)在點(diǎn)x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來, 但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù)： f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值： f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 寫出冪級(jí)數(shù)：, 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時(shí)是否Rn(x)0(n).

34、 是否為零. 如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R

35、. (-1

36、 . 例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級(jí)數(shù). 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結(jié): , , , , , . 小結(jié) 1.函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式； 2.常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式； 練習(xí)題 (A) 用定義判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 1． ；2．；3．。 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 4．；5．；6．；7．；8．； 9．；10．。 求下列任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，收斂時(shí)要說明條件收斂或絕對(duì)收斂 11．；12．；13．； 14．； 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半

37、徑和收斂區(qū)間 15．；16．；17．；18．； 19．；20．； 求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù) 21．；22．； 將下列函數(shù)展開成的冪的級(jí)數(shù) 23．，；24．，； 25．，；26．，； (B) 用定義判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 1．；2．；3．； 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 4．；5．；6．，()； 7．，其中()，，，均為正數(shù)； 8．，()；9．； 判斷下列任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性，收斂時(shí)要說明條件收斂或絕對(duì)收斂 10．；11．；12．； 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域 13．；14．，(,)； 15．；16．； 求下列級(jí)數(shù)的和函數(shù) 17．；18．；19．； 20．求證：

38、； 將下列函數(shù)展開成的冪的級(jí)數(shù) 21．，；22．，；23．，； (C) 1．用定義判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 2．設(shè)，，判斷級(jí)數(shù) 的斂散性。 判斷下列正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性 3．；4．；5．； 6．判斷級(jí)數(shù)的斂散性。 求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂區(qū)間 7．；8．； 求下列級(jí)數(shù)的和 9． 10．展開為冪級(jí)數(shù)，并推出。 11．求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間及和函數(shù)。 (A) 1．解：∵，(),∴原級(jí)數(shù)發(fā)散。 2．解：∵，()，∴原級(jí)數(shù)收斂且和為。 3．解：∵ ，()，∴原級(jí)數(shù)收斂且和為。 4．解：∵，∴由比值判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散。 5．解：∵，∴由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。 6

39、．解：∵，∴原級(jí)數(shù)發(fā)散。 7．解：∵，而發(fā)散，∴由比較判別法知原級(jí)數(shù)發(fā)散。 8．解：∵，∴由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。 9．解：∵，∴由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。 10．解：∵，而，故，∴由比值判別法知，原級(jí)數(shù)收斂。 11．解：，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值判別可知，此級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。 12．解：，而發(fā)散，故發(fā)散。因此原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂，又，顯然，，且，故由萊布尼茲判別法知原級(jí)數(shù)條件收斂。 13．解：∵，∴原級(jí)數(shù)發(fā)散。 14．解：此為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，∵，()而級(jí)數(shù)發(fā)散，故發(fā)散，即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂，顯然單調(diào)遞減且趨向于零，故原級(jí)數(shù)條件收斂。 15．解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)

40、數(shù)為收斂。故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 16．解：∵，，∴，收斂區(qū)間為。 17．解：∵，，∴。 18．解：∵，∴。故當(dāng)，即時(shí)收斂，當(dāng)或時(shí)發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，收斂；當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。 19．解：∵，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)收斂，當(dāng)，即或時(shí)發(fā)散，∴。當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)為，發(fā)散，故收斂區(qū)間為。 20．解：∵，，∴，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)，發(fā)散。故收斂區(qū)間為。 21．解：設(shè)，， ∴，。 22．解：設(shè)，，則 ， 即， ∴，。 23．解：，。 24．解： ，。 25．解：， 。 26．解： ，即 (B) 1．解：

41、∵, ，∴原級(jí)數(shù)收斂且和為。 2．解：∵ ，，∴原級(jí)數(shù)收斂且和為。 3．解：∵ ，，∴原級(jí)數(shù)收斂且和為。 4．解：∵，∴由比值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。 5．解：∵，∴由根值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。 6．解：∵當(dāng)充分大時(shí)有，而，故，∴由根值判別法知原級(jí)數(shù)收斂。 7．解：∵，，∴當(dāng)，即 時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；，即 ，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)不定。 8．解：當(dāng)時(shí)，∵，∴級(jí)數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，∵，()，而收斂，∴級(jí)數(shù)發(fā)散。 9．解：∵，∵收斂，∴由比較判別法知級(jí)數(shù)收斂。 10．解：∵，，故也發(fā)散，故也非條件收斂。 11．解：∵，而發(fā)散，故級(jí)數(shù)發(fā)散，即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂，原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，顯

42、然數(shù)列單調(diào)遞減且收斂于零，故由萊布尼茲判別法知，原級(jí)數(shù)條件收斂。 12．解：∵，而發(fā)散，∴發(fā)散，即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂。 記原級(jí)數(shù)為為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，∵ 又，即，故由萊布尼茲判別法知原級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂。 13．解：∵，，故對(duì)，原級(jí)數(shù)收斂，所以收斂半徑為，收斂區(qū)間為。 14．∵，∴，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，故收斂區(qū)間為，其中。 15．解：∵，， ∴當(dāng)，即時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)，即或時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散，當(dāng)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)原級(jí)數(shù)也收斂。故原級(jí)數(shù)收斂半徑為2，收斂區(qū)間為。 16．解：∵，，∴，當(dāng)，即，原級(jí)數(shù)收斂。當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。故原級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為。 17．解：，但 ，故有，

43、。 18．解：∵，，而 ， ∴，。 19．解：∵， ∵ ，故 ，。 20．證明：考慮級(jí)數(shù)，，逐項(xiàng)微分得：，。 ，取，得。 21．解：，，，， 。 ∴，。 22．解： ，()。 23．解：∵ ， ∴，。 (C) 1．解： , 故原級(jí)數(shù)收斂，且和為。 2．證：，由比較判別法知原正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。 3．解：∵，，∴由比值判別法知，原級(jí)數(shù)發(fā)散。 4．解：考慮函數(shù)，，，由得，易知時(shí)的最大值，所以當(dāng)?shù)?，，∴，但為收斂的幾何?jí)數(shù)，∴原級(jí)數(shù)也收斂。 5．解：，∵有；而當(dāng)時(shí)，有，

44、∴當(dāng)時(shí)，，而級(jí)九可判別其是收斂的，∴原級(jí)數(shù)收斂。 6．解：因?yàn)橐阎?jí)數(shù) 條件收斂的級(jí)數(shù)。設(shè)其部分和數(shù)極限為，則有，而級(jí)數(shù)，取其前項(xiàng)，其和與的部分和相等且為，當(dāng)時(shí)，，故原級(jí)數(shù)收斂且和為。 7．解：，，當(dāng)，即時(shí)，收斂；當(dāng)時(shí)發(fā)散。故，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為發(fā)散，故原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椤? 8．解：，由于，而當(dāng)，故；當(dāng)時(shí)，原級(jí)數(shù)為，由于通項(xiàng)不以零為極限，故發(fā)散。所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椤? 9．解：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂。設(shè)，，則，，，，兩邊積分得： ，(∵)； 再積分一次 ，(∵)； ∴，即原級(jí)數(shù)的和。 10．解：∵，∴ 因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 又當(dāng)時(shí)， 故展開式對(duì)所有的均成立，在展開式中令，得 。 11．解：，()，故當(dāng)，即當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為，且 ，。