《《初等數(shù)論》教學(xué)大綱》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《初等數(shù)論》教學(xué)大綱（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、課程名稱(chēng)：初等數(shù)論（Elementary Number Theory） 《初等數(shù)論》教學(xué)大綱 一、課程說(shuō)明 “初等數(shù)論”課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）的一門(mén)專(zhuān)業(yè)選修課。數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)一些初等數(shù)論的基礎(chǔ)知識(shí)可以加深對(duì)數(shù)的性質(zhì)的了解與認(rèn)識(shí)，便于理解和學(xué)習(xí)與其相關(guān)的一些課程。 通過(guò)這門(mén)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生獲得關(guān)于整數(shù)的整除性、不定方程、同余式、原根與指標(biāo)及簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)，掌握數(shù)論中的最基本的理論和常用的方法，加強(qiáng)他們的理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，為今后的學(xué)習(xí)奠定必要的基礎(chǔ)。 本課程屬于數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）的專(zhuān)業(yè)選修課。 本課程的教學(xué)時(shí)間安排：每周2節(jié)課，計(jì)劃教學(xué)周為

2、16周，總課時(shí)數(shù)32學(xué)時(shí)，其中實(shí)踐時(shí)數(shù)0學(xué)時(shí)。 本課程總學(xué)分?jǐn)?shù)為2學(xué)分。 本課程安排在第5學(xué)期開(kāi)設(shè)。 二、學(xué)時(shí)分配表 教學(xué)內(nèi)容 授課學(xué)時(shí) 實(shí)踐學(xué)時(shí) 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 整數(shù)的可除性 不定方程 同余 同余式 二次同余式與平方剩余 6 6 6 6 8 合 計(jì) 32 三、教學(xué)目的與要求 初等數(shù)論是研究整數(shù)性質(zhì)的一門(mén)學(xué)科，歷史上遺留下來(lái)沒(méi)有解決的大多數(shù)數(shù)論難題其問(wèn)題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。本課程的目的是簡(jiǎn)單介紹在初等數(shù)論研究中經(jīng)常用到的若干基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、方法和技巧。 通過(guò)本課程的學(xué)習(xí)

3、，使學(xué)生加深對(duì)整數(shù)的性質(zhì)的了解，更深入地理解初等數(shù)論與其它鄰近學(xué)科的關(guān)系。 四、教學(xué)內(nèi)容綱要 第一章 整數(shù)的可除性（ 6學(xué)時(shí) ） 目的要求： 1、理解整數(shù)整除、公因子、公倍數(shù)的概念及相關(guān)性質(zhì)，理解剩余定理，熟練掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍數(shù)的方法。 　　2、理解素?cái)?shù)與合數(shù)的概念、素?cái)?shù)的性質(zhì)，理解整數(shù)的素?cái)?shù)分解定理，會(huì)用篩法求素?cái)?shù)。 3、了解函數(shù)[x]與{x}的概念、性質(zhì)，n!的素?cái)?shù)分解、組合數(shù)為整數(shù)的性質(zhì)。 難點(diǎn)：定理的證明處理方法，定理的靈活運(yùn)用。 講授內(nèi)容： 1、整除的概念、帶余數(shù)除法 　　（1）整除、因數(shù)；（2）帶余數(shù)除法、不完全商、余數(shù)。 2、最大公

4、約數(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法 　?。?）公因數(shù)、最大公因數(shù)、互素；（2）最大公因數(shù)的性質(zhì)；（3）最大公因數(shù)的求法。 3、整除的進(jìn)一步性質(zhì)及最小公倍數(shù) 　?。?）整除的性質(zhì)；（2）公倍數(shù)、最小公倍數(shù)；（3）最小公倍數(shù)的性質(zhì)。 4、質(zhì)數(shù)、算術(shù)基本定理 （1）質(zhì)數(shù)與性質(zhì)；（2）算術(shù)基本定理；（3）篩法。 5、函數(shù)[x]，{x}及其在數(shù)論中的一個(gè)應(yīng)用 （1）[x]，{x}與性質(zhì)；（2）n!中素因子的指數(shù)。 第二章 不定方程（ 6學(xué)時(shí) ） 目的要求： 1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整數(shù)解的條件，熟練掌握利用剩余定理（輾轉(zhuǎn)相除法）求二元一次不定方程的方法。 　　2、知道

5、多元一次不定方程有解的條件，會(huì)求解簡(jiǎn)單的多元一次不定方程。 3、知道不定方程的整數(shù)解的形式，會(huì)求形如在特定條件下的整數(shù)解。 難點(diǎn)：多元不定方程有整數(shù)解的判定及求解。 講授內(nèi)容： 1、二元一次不定方程 （1）二元一次不定方程的性質(zhì)；（2）二元一次不定方程的求解。 2、多元一次不定方程 （1）多元一次不定方程的一般理論；（2）三元一次不定方程的求解； （3）最大不可表數(shù)問(wèn)題的介紹。 3、勾股數(shù)與費(fèi)馬問(wèn)題介紹 （1）不定方程的一般結(jié)論；（2）費(fèi)馬問(wèn)題的介紹。 第三章 同余（ 6學(xué)時(shí) ） 目的要求： 1、同余的概念及性質(zhì) 　　整數(shù)同余的概念、同余的基本性質(zhì)，整數(shù)具有素因子的

6、條件，利用同余簡(jiǎn)單驗(yàn)證整數(shù)乘積運(yùn)算的結(jié)果。 　　2、剩余系、完全剩余系 　　剩余系、完全剩余系的概念，判斷剩余系的方法，歐拉函數(shù)的定義及性質(zhì)。 　　3、歐拉定理及其應(yīng)用 歐拉定理、Fermat小定理，循環(huán)小數(shù)的判定條件。 難點(diǎn)：簡(jiǎn)化剩余系及歐拉函數(shù)、歐拉定理及其應(yīng)用。 講授內(nèi)容： 1、同余的概念及其基本性質(zhì) （1）同余、模；（2）同余的應(yīng)用。 2、剩余類(lèi)及完全剩余系 （1）剩余類(lèi)、完全剩余系；（2）完全剩余系的性質(zhì)。 3、簡(jiǎn)化剩余系與歐拉函數(shù) （1）歐拉函數(shù)；（2）簡(jiǎn)化剩余系；（3）歐拉函數(shù)表達(dá)式。 4、歐拉定理、費(fèi)馬定理及對(duì)循環(huán)小數(shù)的應(yīng)用 （1）歐拉定理；（2）費(fèi)

7、馬定理；（3）循環(huán)小數(shù)。 第四章 同余式（ 6學(xué)時(shí) ） 目的要求： 1、基本概念及一次同余式 　　同余式的定義，一次同余式有解的條件，求解同余式。 　　2、孫子定理 　　中國(guó)剩余定理，中國(guó)剩余定理的應(yīng)用，求解同余式方程組。 　　3、高次同余式的解數(shù)及解法 　　判斷高次同余式的解個(gè)數(shù)，解高次同余式的方法，模整數(shù)同余式與模素?cái)?shù)同余式的關(guān)系，求解簡(jiǎn)單的（3、4次）同余式。 　　4、質(zhì)數(shù)模的同余式 素?cái)?shù)模同余式的次數(shù)化簡(jiǎn)，Wilson定理，同余式的次數(shù)與解數(shù)的關(guān)系，n次同余式有n個(gè)解的條件。 難點(diǎn)：高次同余式的求解。 講授內(nèi)容： 1、基本概念及一次同余式 （1）

8、同余式；（2）一次同余式 。 2、孫子定理 （1）孫子定理；（2）孫子定理的應(yīng)用。 3、高次同余式的解數(shù)及解法 （1）高次同余式的求解理論；（2）模為 的高次同余式。 4、質(zhì)數(shù)模的同余式 （1）質(zhì)數(shù)模的同余式；（2）wilson定理；（3）解數(shù)定理。 第五章 同余式（ 8學(xué)時(shí) ） 目的要求： 1、一般二次同余式　　 一般二次同余式解的情況，平方剩余、平方非剩余的定義。 2、單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余　　 歐拉判別條件，素?cái)?shù)模的簡(jiǎn)化剩余系的平方剩余與平方非剩余的個(gè)數(shù)。 3、勒讓德符號(hào)　　 勒讓德符號(hào)的定義，二次反轉(zhuǎn)定律。 4、前節(jié)定理的證明

9、 前節(jié)定理3的證明。 5、雅可比符號(hào) 雅可比符號(hào)的定義及計(jì)算。 6、合數(shù)模的情形 重點(diǎn)：定理的證明方法、素?cái)?shù)的平方表示。 講授內(nèi)容： 1、一般二次同余式　　 （1）解的情況，（2）平方剩余、平方非剩余的定義。 2、單質(zhì)數(shù)的平方剩余與平方非剩余　　 （1）歐拉判別條件，（2）素?cái)?shù)模的簡(jiǎn)化剩余系的平方剩余與平方非剩余的個(gè)數(shù)。 3、勒讓德符號(hào)　　 （1）勒讓德符號(hào)的定義，（2）二次反轉(zhuǎn)定律，（3）勒讓德符號(hào)的計(jì)算。 4、前節(jié)定理的證明 （1）前節(jié)定理3的證明。 5、雅可比符號(hào) （1）雅可比符號(hào)的定義，（2）雅可比符號(hào)的計(jì)算。 6、合數(shù)模的情形 (1) 合數(shù)模二次同余式的計(jì)算。 五、課程教材 教材： 閔嗣鶴，嚴(yán)士健:初等數(shù)論[M]，北京：高等教育出版社，2003，第三版 參考書(shū)： 1、潘承淚、潘承彪編：數(shù)論簡(jiǎn)明教程[M]，北京：北京大學(xué)出版社,1998。 2、柯召：數(shù)論講義，北京：高等教育出版社，2004。 六、其他說(shuō)明 本大綱適用于本科數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)（師范）《初等數(shù)論》專(zhuān)業(yè)選修課程。 執(zhí)筆人： 吳晨煌 審核人： 張金輝 審定人：