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1、 黑龍江省哈爾濱市木蘭高級(jí)中學(xué)高中物理 經(jīng)典復(fù)習(xí)資料 氣缸問題的歸類與綜述 　　氣缸類問題是熱學(xué)內(nèi)容的典型綜合題，本文先簡(jiǎn)述解決氣缸類問題的分析方法然后將氣缸問題歸類并加以解析. 　　一、氣缸類問題的分析方法 　　應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程解決問題時(shí)，要明確方程的適用條件，即理想氣體的質(zhì)量不變，氣缸類問題的分析方法是：1.認(rèn)真審題，明確研究對(duì)象，氣缸類問題涉及氣體、氣缸、活塞、水銀等多個(gè)研究對(duì)象，必須選準(zhǔn)研究對(duì)象，2.分折清楚題目所表述的物理過程，若以氣體為研究對(duì)象，要明確氣體的初、末狀態(tài)及分析清楚狀態(tài)的變化過程，選好狀態(tài)參量根據(jù)氣體方程列式，若以氣缸、活塞等物體為研究對(duì)象，必須對(duì)它們進(jìn)行受

2、力分析，根據(jù)它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，選擇合適的力學(xué)規(guī)律列方程，3.注意挖掘題目的隱含條件，列出輔助方程，綜合起來分析的關(guān)鍵在于：找出狀態(tài)參量，其中壓強(qiáng)往往是解題的關(guān)鍵。因?yàn)樗锹?lián)系氣體狀態(tài)和力學(xué)規(guī)律的橋梁，氣缸類問題歸納起來主要有下文的五種類型。 　　二、氣缸與彈簧結(jié)合類問題 　　例1 如圖1(a)所示， 長(zhǎng)為2L的圓形氣缸可沿水平面滑動(dòng)，氣缸與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為u，在氣缸中央有一面積為S的活塞，氣缸內(nèi)氣體的溫度為T，壓強(qiáng)為大氣壓強(qiáng)p0，在墻壁與活塞間裝有勁度系欽為k的彈簧，當(dāng)活塞處于圖(a)中位置時(shí)，彈簧恰處于原長(zhǎng)位置，今要使氣缸內(nèi)氣體的體積增加一倍，問氣體的溫度應(yīng)達(dá)到多少度？(氣缸內(nèi)壁光滑

3、，氣缸和氣體的總質(zhì)量為m，彈簧質(zhì)量忽略，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力) 　　析與解 選缸內(nèi)的氣體為研究對(duì)象，氣體的狀態(tài)參量變化情況是：溫度升高，壓強(qiáng)增大，體積膨脹，活基會(huì)壓縮彈簧，若以氣缸、活塞、彈簧為一整體，受到墻對(duì)此整體向在的彈力，因此氣缸有向左滑動(dòng)的趨勢(shì)，地面對(duì)氣缸有向右的摩擦力，若氣缸不相對(duì)地面滑動(dòng)、彈簧的壓縮長(zhǎng)度不L，如圖(b)所示，此時(shí)氣缸受到的摩擦力為f=F=kL，若氣缸在溫度升高的過程中發(fā)生了滑動(dòng)，彈簧的壓縮量x小于L，如圖(c)，兩種情況下氣體的溫度不相同。 　　1.假設(shè)kL≤umg，氣缸不發(fā)生滑動(dòng)，分析活塞的受力知?dú)怏w的壓強(qiáng)p1為：p1S＝p0S+kL 　　2

4、.假設(shè)kL＞umg，氣缸會(huì)相對(duì)地面發(fā)生滑動(dòng)，當(dāng)氣缸受到的摩擦力f小于umg時(shí)，氣體壓強(qiáng)會(huì)隨溫度升高而增大，當(dāng)f=umg=kx后，氣缸發(fā)生滑動(dòng)，活塞位置保持不變，氣體作等壓變化，分析活塞受力，氣體的 　　小結(jié)1.本題是屬于具有臨界條件類問題，臨界條件是當(dāng)氣體的體積增大1倍時(shí)，氣缸不發(fā)生滑動(dòng)，且靜摩擦力等于最大靜摩擦力，即kL=μmg，2.解決此類問題要對(duì)題意具體分析，先找出諸多可能狀態(tài)的臨界條件，后據(jù)臨界條件列輔助方程求解。 　　例2如圖2(a)所示的氣缸內(nèi)，有上、下兩個(gè)氣缸活塞A和B，質(zhì)量相等，連接兩活塞的輕質(zhì)彈簧的勁度系數(shù)k=50 N/m，活塞A上方的氣體壓強(qiáng)p=100pA不變

5、，平衡時(shí)兩活塞之間的氣體壓強(qiáng)也為p=100pA不變，氣體的長(zhǎng)度l1=活塞B下方的氣體的長(zhǎng)度l2=，氣缸口的截面積S=，起初，氣缸內(nèi)氣體的溫度是T=300K，現(xiàn)讓氣體的溫度緩慢上升，直到溫度都達(dá)到T′=500K，試問在這一過程中活塞A上移了多少距離？ 　　解析由于兩部分氣體的溫度都增大，故兩部分氣體的體積增大，活塞A上升的距離如圖(b)示，關(guān)鍵在于找出后來A、B兩部分氣體的長(zhǎng)度l1′和l2′，研究B下面的氣體，將上面的兩個(gè)活賽和彈簧視為一整體，此部分氣體的壓強(qiáng)保持不變，即作等壓變化， 　　研究AB之間的氣體，分析活塞A的受力，由于上下氣體對(duì)活塞的壓力大小相等，彈簧原長(zhǎng)記為l0，有：

6、 　　升溫后A活塞第二次平衡，設(shè)AB間距離為l1′，活塞A受到四個(gè)力的作用，重力mg，上方氣體壓力pS，封閉氣體向上的壓力p′S，彈簧對(duì)活塞A的彈力假設(shè)為向下的拉力，有： p′S=k(l1′-l0)+mg+pS ② 　　 　　 　　將③式及數(shù)據(jù)代入④式得：l1′＝ 　　A活塞移動(dòng)的距離d=(l1′-l2′)-(l1+l2)= 　　小結(jié) 1.此題的難點(diǎn)在于AB間氣體后來的壓強(qiáng)，此處不知彈簧彈力的方向，在條件不充足的情況下假設(shè)力的方向然后再加以驗(yàn)證，如解題中的②式若彈簧仍是向上的彈力，則k(l1′-l0)＜0，②式仍然成立，2.畫圖是幫助確定A活塞移動(dòng)距離的好方法，分析題目時(shí)，畫出

7、物理過程圖是形象化的好手段。 　　三、氣缸與水銀柱結(jié)合類問題 　　例3 如圖3所示，一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)氣缸，開口端向上豎直放置，有一不計(jì)質(zhì)量和厚度的活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，話塞上端有高h(yuǎn) cm Hg，當(dāng)時(shí)大氣壓強(qiáng)為H水銀柱，氣體溫度保持不變，(1)若從開口端吸一些水銀而不使剩余的水銀溢出，要滿足什么條件？(2)若從開口端再注入一些 　　解析 1.設(shè)吸取一小段在筒內(nèi)長(zhǎng)為△x的水銀，設(shè)活塞的面積為S，分析水銀封閉的氣體的狀態(tài)，初始狀態(tài)p1=H0+h，V1=(l-h)S，取出水銀剩余的水銀不溢出，氣體的壓強(qiáng)p2=H0+h-△x，氣體的最大體積是(l-h＋△x)S，即氣體體積滿足V2≤(l-h+△

8、x)S，根據(jù)玻意耳定律得這：p1V1=p2V2. 　　(H0+h)(l-h)S≤(H+h-△x)(l-h+△x)S 　　化簡(jiǎn)為 △x2-(H0-l+2h)△x≤0 　　按題意，△x＞0，吸取的水銀長(zhǎng)度△x滿足： 　　△x≤H0＋2h-l,且l＜H0＋2h 　　2.設(shè)注入的水銀在筒中的長(zhǎng)度為△x氣體的初始狀態(tài)同1，氣體的壓強(qiáng)變?yōu)镠0+h+△x，氣體的最大體積為(l-h-△x)S，同樣根據(jù)玻意耳定律，水銀不溢出滿足： 　　(H0＋h)(l-h)S≤(H0＋h＋△x)(l-h-△x)S 　　△x2+(H0-l+2h)△x≤0 　　注入的水銀長(zhǎng)度△x滿足：△x≤l-H0-2h 　　按

9、題意△x＞0，且l＞H0-2h 　　小結(jié) 1.此題的解法用了假設(shè)法，此法是為了解圖方便假設(shè)了某些物理?xiàng)l件或物理狀態(tài)，然后在此基礎(chǔ)上解題，本題假設(shè)了氣體的狀態(tài)，即加上水銀后氣體的壓強(qiáng)和體積；2.此題涉及到如何將物理問題數(shù)學(xué)化，水銀不溢出的條件用數(shù)學(xué)公式如何表達(dá)，即氣體在某壓強(qiáng)下體積允許的最大值多大. 　　例4 如圖4所示，堅(jiān)直圓筒固定不動(dòng)，粗筒橫截面幟是細(xì)筒的2倍，細(xì)筒足夠長(zhǎng)，粗筒中輕質(zhì)活塞A下方封有空氣，當(dāng)溫度為時(shí)，氣柱長(zhǎng)L＝活塞A上方的水銀高H＝水銀面與粗筒上端相平，活塞A的厚度及筒壁的摩擦不計(jì)，現(xiàn)將氣體溫能升高至，被封閉氣體的壓強(qiáng)是多少cm水銀柱高？(大氣壓強(qiáng)p0=75cmHg)

10、 　　解析 以氣缸內(nèi)的氣體為研究對(duì)象，當(dāng)溫度升高時(shí)，氣體的壓強(qiáng)會(huì)增大，體積膨脹，活塞將水銀往上推，由于筒的面積變小，水銀的高度增大，隨著溫度的繼續(xù)升高，在活塞剛好到達(dá)細(xì)筒口時(shí)氣體的壓強(qiáng)是大氣壓強(qiáng)加上水銀產(chǎn)生的壓強(qiáng)，壓強(qiáng)值為p＝p0＋2H=85cmHg，若氣體溫度再升高，筒內(nèi)氣體的體積不會(huì)發(fā)生變化，氣體的壓強(qiáng)增大，會(huì)使活塞壓緊細(xì)筒口，氣體的壓強(qiáng)會(huì)大于85cmHg，設(shè)活基恰好到達(dá)細(xì)筒口時(shí)溫度為T，根據(jù)狀態(tài)方程有： 　　代入數(shù)據(jù)得：T=398.4K＜500K，說明活塞已壓緊細(xì)筒口，從溫度T到500K過程氣體作等容變化，根據(jù)狀態(tài)方程有： 　　小結(jié) 1.此題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是認(rèn)為活塞已經(jīng)升至筒

11、口，氣體的壓強(qiáng)是85cmHg；出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤在于沒有考慮到細(xì)筒口對(duì)活塞有向下的壓力；2.若題目給出的最后溫度比398.4K低，則要假設(shè)活塞上移x再找狀態(tài)參量列方程求解，從題目的分析過程應(yīng)體會(huì)到狀態(tài)過程分析解題至關(guān)重要， 　　四、氣缸中活塞將氣體分隔二部分類問題 　　例5 如圖5所示.密封圓柱形容器中有活塞將容器分成AB兩部分，活塞可無(wú)摩擦地上下移動(dòng)，AB兩部分封有同質(zhì)量的同種理想氣體，當(dāng)溫度都為300K時(shí)，A、B兩部分氣體體積之比為4，問當(dāng)氣體的溫度為多少時(shí)，AB兩部分氣體的體積之比為3？ 　　解析 兩部分氣體的質(zhì)量溫度種類相同，由于VA=4V，VB=B，所以：pA=p，pB=4p，

12、AB兩部分氣體壓強(qiáng)不同，說明活塞亦產(chǎn)生壓強(qiáng)，記為△p，分析活塞受力：4pS=pS+△pS，△p=3p，當(dāng)溫度升到T時(shí)，按題意： 　　 　　氣體的總體積不變：Va1+VB1=VA+VB=5V ③ 　　 　　兩部分氣體的壓強(qiáng)關(guān)系滿足： 　　 　　從②④兩式得：pa1=1.5p，pB1=4.5p. 　　 　　代入數(shù)據(jù)：Tx=422K. 　　小結(jié) 1.對(duì)解決狀態(tài)參量多的題目，可以將狀態(tài)參量全部列出來，找出對(duì)解題方便的參量.2.解兩部分氣體有關(guān)聯(lián)的題目，要想方設(shè)法找出兩部分氣體在體積、壓強(qiáng)、溫度方面有什么關(guān)系，用式子表達(dá)出來.3.升溫活塞向上移動(dòng)是因?yàn)? 例6 如圖6所示，水平放置

13、的兩直徑不同的絕熱氣缸中兩個(gè)活塞封閉了兩部分理想氣體，兩活塞用細(xì)長(zhǎng)直桿連接，它們之間是真空的，現(xiàn)在兩活塞都處于靜止?fàn)顟B(tài)，活塞與汽缸內(nèi)壁間密封很好，摩擦不計(jì)，如果讓AB兩部分氣體升高同樣的溫度△T，活塞是否移動(dòng)？若移動(dòng)，朝何方向移動(dòng)？根據(jù)何在？ 　　解析 活塞朝什么方向移動(dòng)，是決定于活塞所受到的合外力，現(xiàn)兩活塞處于靜止?fàn)顟B(tài)，有： pASA=pBSB ① 　　假設(shè)兩活塞沒有移動(dòng)，A、B兩部分氣體體積不變，兩部分氣體的壓強(qiáng)都增大，設(shè)為△pA，△pB，應(yīng)用查理定律的 　 　　兩部分氣體對(duì)活塞的壓力都增大，記為FA、FB有：FA=(pA+△pA)SA，F(xiàn)B=(pB+△pB)，將△pA，△p

14、B代入得： 　　 　　到的合外力為： 　　由于氣缸絕熱，不知原溫度TA、TB的關(guān)系，故討論： 　　1.若TA=TB，F(xiàn)A=FB，活塞不移動(dòng)； 　　2.若TA＞TB，F(xiàn)A＜FB，活塞向左移動(dòng)； 　　3.若TA＜TB，F(xiàn)A＞TB，活塞向右移動(dòng)； 　　小結(jié) 二部分氣體中間隔著靜止的活塞或水銀且要討論活塞或水銀在氣體溫度變化時(shí)怎樣移動(dòng)的問題，方法是：先假設(shè)活塞或水銀不動(dòng)，利用查理定律的等分形式求出壓強(qiáng)的變化量進(jìn)而求出兩部分氣體對(duì)活塞或水銀壓力的變化量，比較它們是否相等，即可確定活塞或水銀如何移動(dòng). 　　五、氣缸與力學(xué)規(guī)律結(jié)合類問題 　　例7 放在光滑水平面上的氣缸，缸體的質(zhì)量為M

15、，活塞的質(zhì)量為m，靜止時(shí)活塞距缸底l0，活塞面積為S，外界大氣壓強(qiáng)為pn，現(xiàn)水平推力向左推活塞，使活塞和氣缸以共同加速度向左加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，活塞到氣缸底的距離變?yōu)閘，若仍然用同樣大的力推活塞使氣缸與活塞以共同的加速度豎直向上運(yùn)動(dòng)，活塞到缸底的距離多大？(假設(shè)氣體的溫度不變) 　　解析 設(shè)推力為F，由于M，m的運(yùn)動(dòng)情況相同，應(yīng)用整體法，水平運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度為a，根據(jù)牛頓第二定律： F=(M+m)a ① 　　用隔離法分析活塞受力，受到封閉氣體的壓力pS，大氣壓力p0S，水平推力F，應(yīng)用牛頓第二定律： F+p0S-pS=ma ② 　　對(duì)氣體應(yīng)用玻意耳定律：p0l0S=plS ③ 　　 　

16、　豎直向上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，共同加速度為a1，應(yīng)用牛頓第二定律：F-(M＋m)g=(M＋m)a1 　　 　　分析汽缸受力，有豎直向下的重力mg，大氣壓力p0S，封閉氣體向上的壓力p1S，應(yīng)用牛頓第二定律： 　　 　　比較③⑥兩式，說明兩種狀態(tài)下壓強(qiáng)相等，故氣體的體積不變，活塞到缸底的距離為L(zhǎng). 　　小結(jié) 當(dāng)封閉氣體的容器處于非平衡狀態(tài)時(shí)，求壓強(qiáng)或加速度往往是選擇與氣體接觸的液柱，活塞或汽缸作為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律列方程，列方程往往繁體法和隔離法交叉使用，應(yīng)用牛頓定建時(shí)氣體的壓力F=pS中的p單位必須是pA，因?yàn)榱Φ膯挝皇荖. 　　例8 如圖8所示，在水平面上固定一個(gè)氣缸

17、，缸內(nèi)由質(zhì)量為m的活塞封閉一定質(zhì)量的理想氣體，活塞與缸體間無(wú)摩擦無(wú)漏氣，活塞到缸底距離為L(zhǎng)，今有一質(zhì)量為M的重物自活塞上方h處自由下落到活塞上，碰撞時(shí)間極短即一起向下運(yùn)動(dòng)，向下運(yùn)動(dòng)過程中活塞可達(dá)到最大速度v，求：活塞向下移動(dòng)達(dá)到最大速度的過程中，被封閉氣體做的功.(假設(shè)被封閉氣體的溫度保持不變，外界大氣壓為p0) 　　解析 求封閉氣體做的功，即是氣體對(duì)活塞向上的壓力所做的負(fù)功，活塞向下壓縮的過程氣體的壓強(qiáng)發(fā)生變化，對(duì)活塞向上的壓力大小發(fā)生變化，變力做功的求法一般用動(dòng)能定理，分析整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程： 1. M作自由落體運(yùn)動(dòng)；2.M與m相互碰撞，由于時(shí)間極短，內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，可認(rèn)為M、m的碰撞過程

18、動(dòng)量守恒；3.M、m以共同的初速度向下加速運(yùn)動(dòng)，加速度不斷變小，速度不斷增大；4.當(dāng)M、m受到的重力、大氣壓力、封閉氣體向上的壓力，三力合力為零時(shí)速度最大. 　　 　　M、m的共同速度為V2，根據(jù)動(dòng)量守恒定律： 　　 　　被封閉氣體的初始?jí)簭?qiáng)為p1，分析活塞受力： 　　 　　　 　　設(shè)活塞下降△L速度量大，根據(jù)玻意耳定律： 　　 　　以活塞為研究對(duì)象應(yīng)用動(dòng)能定理，活塞下降過程有三個(gè)力做功，即重力、大氣壓力和封閉氣體的壓力做功，有： 　　(M+m)g△L＋p0S△L＋W 　　　 　　　 　　將①②⑦式代入⑥式有： 　　小結(jié) 解力學(xué)題目物體運(yùn)動(dòng)過程的分析和物體受力分

19、析是解題的基礎(chǔ)，同樣對(duì)氣缸與力學(xué)規(guī)律結(jié)合的題目，對(duì)活塞或氣缸進(jìn)行受力分析是選用合適物理規(guī)律解題的關(guān)鍵，變力做功的求法一般用動(dòng)能定理或功能關(guān)系. 　　六、氣缸多值解類問題 　　例9 兩端開口的U形氣缸內(nèi)充有空氣，在其筒口將質(zhì)量均為m的兩個(gè)活塞維持在同一高度h處，如圖9所示，左筒橫截面積為2S.右筒及底部橫截面積為S，底部長(zhǎng)度為3h，管內(nèi)空氣壓強(qiáng)等于大氣壓強(qiáng)p0，現(xiàn)放開活塞，求兩個(gè)活塞的穩(wěn)定高度，(不計(jì)活塞與管壁間的摩擦，且活塞的厚度大于水平管的直徑，筒內(nèi)氣體的溫度不變，初始位置時(shí)活塞的下表面與管口相平齊)。 　　解析 氣體的初始狀態(tài)是氣體壓強(qiáng)為p0，體積為6hS，釋放二活塞后，加在左右

20、兩筒氣體的壓強(qiáng)不相同，左筒的壓強(qiáng)是： 　　 　　在豎直筒間，右筒活塞會(huì)下沉到筒最下端封住氣體，左筒的活塞會(huì)停留在什么位置？則應(yīng)討論，但出現(xiàn)的情況只會(huì)有三種：1.仍在原位置；2.下沉到左筒最下端；3.停留在最下端與原位置之間.假設(shè)左筒活塞在原位置，氣體質(zhì)量不變，氣體的壓強(qiáng)為： 　　 　　 　　假設(shè)左筒活塞剛好下沉到最下端，此時(shí)氣體的壓強(qiáng)亦為： 　　　 　　　 　　綜合起來有：右筒活塞沉到最下端。 　　原來的位置； 　　 　　課程教材教法(京)，1999.9.32～35 　　應(yīng)用玻意耳定律： 　　 　　4.當(dāng)m≥2p0gS/g時(shí)，左筒活塞亦下沉到最下端。 　　小結(jié) 此題目隱含的條件是活塞的質(zhì)量面積未確定，活塞產(chǎn)生的壓強(qiáng)未確定，因此氣體最終的體積未確定，才會(huì)使活塞的位置有多值解 15