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1、 2012年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試 2012年長春市高中畢業(yè)班第三次調研測試 數(shù)　　學(理科) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘，其中第Ⅱ卷22題－24題為選考題，其它題為必考題.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回. 注意事項： 1． 答題前，考生必須將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內. 2． 選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚. 3． 請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上

2、答題無效. 4． 保持卡面清潔，不要折疊、不要弄破、不準使用涂改液、刮紙刀. 第Ⅰ卷（選擇題，共60分） 一、選擇題（本大題包括12小題，每小題5分，共60分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確選項填涂在答題卡上）. 1.若集合，則集合 A. B. C. D. 2. 若，則 A. B. C. D. 3.直線：與圓M：相切，則的值為 A.1或-6 B.1或-7 C.-1或7 D.1或 4.對四組數(shù)據進行統(tǒng)計，獲得以下散點圖，關于其相關系數(shù)比較，正確的是 相關系數(shù)為 相關系數(shù)為

3、 相關系數(shù)為 相關系數(shù)為 A. B. C. D. 5.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列， 則 A. B. C. D. 6.函數(shù)的零點個數(shù)為 A.2 B.3 C.4 D.5 7.一個算法的程序框圖如圖所示，若該程序輸出的結果是，則判斷框內應填入的條件是 A.<4 B.>4 C.<5 D.>5 8.函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列，要得到函數(shù)的圖像只需將的圖像 A.向左平移

4、 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 9.給出下列說法： ①命題“若，則”的否命題是假命題； ②命題p：,使，則：； ③“”是“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件； ④命題：“，使”， 命題：“在△ABC中，若,則”.那么命題（）為真命題. 其中正確的個數(shù)是 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10.雙曲線的右是焦點是拋物線的焦點，兩曲線的一個公共點為P，且|PF|=5，則該雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 11.四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內，

5、當此四棱錐的體積取得最大值時，它的表面積等于，則球的體積等于 A. B. C. D. 12.現(xiàn)有4名教師參加說題比賽，共有4道備選題目，若每位選手從中有放回地隨機選出一道題進行說題，其中恰有一道題沒有被這4位選中的情況有 A.288種 B.144種 C.72種 D.36種 第Ⅱ卷（非選擇題，共90分） 　　本卷包括必考題和選考題兩部分，第13題－21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22題－24題為選考題，考生根據要求作答. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在答題卡中的橫線上). 13.二項式的展開式中的系數(shù)是______

6、_____. 14.某長方體的三視圖如右圖，長度為的體對角線在正視圖中的長度為，在側視圖中的長度為，則該長方體的全面積為________________. 15.等比數(shù)列的首項為，公比為，其前項和為，則數(shù)列為遞增數(shù)列的充分必要條件是________________. 16、 如果直線和函數(shù)的圖像恒過同一個定點，且該定點始終落在圓的內部或圓上，那么的取值范圍是_______________. 三、解答題（本大題包括6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）. 17、（本小題滿分12分） 在△中，向量，向量，且滿足. ⑴求角的大??； ⑵求的取值范圍. 18.（本小

7、題滿分12分） 2012年2月份，從銀行房貸部門得到好消息，首套住房貸款利率將回歸基準利率. 某大型銀行在一個星期內發(fā)放貸款的情況統(tǒng)計如圖所示： ⑴求在本周內該銀行所借貸客戶的平均貸款年限（取過剩近似整數(shù)值）； ⑵從本周內該銀行所借貸客戶中任意選取兩位，求他們貸款年限相同的概率； ⑶假設該銀行此星期的貸款業(yè)績一共持續(xù)10個星期不變，在這段時間里，每星期都從借貸客戶中選出一人，記表示其中貸款年限不超過20年得人數(shù)，求. 19.（本小題滿分12分） 已知四棱柱中，, ，，. ⑴求證：； ⑵求二面角的正弦值; （3）求四面體的體積. 2

8、0.（本小題滿分12分） 已知分別為橢圓的左右焦點， 分別為其左右頂 點，過的直線與橢圓相交于兩點. 當直線與軸垂直時，四邊形 的面積等于2，且滿足. ⑴求此橢圓的方程； ⑵當直線繞著焦點旋轉但不與軸重合時，求的取值范圍. 21.（本小題滿分12分） 已知函數(shù). ⑴討論函數(shù)的單調性； ⑵對于任意正實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍； ⑶是否存在最小的正常數(shù)，使得：當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立？給出你的結論，并說明結論的合理性. 請考生在22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分. 22.（本小題滿分10分）選修4－1：幾何證

9、明選講. 自圓外一點引圓的一條切線，切點為，為的中點，過點引圓的割線交該圓于兩點，且，. ⑴求證： 與相似； ⑵求的大小. 23.（本小題滿分10分）選修4－4：坐標系與參數(shù)方程選講. 在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，若以該直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為：（其中為常數(shù)）. ⑴若曲線與曲線只有一個公共點，求的取值范圍； ⑵當時，求曲線上的點與曲線上點的最小距離. 24.（本小題滿分10分）選修4－5：不等式選講. 已知函數(shù) ⑴解不等式； ⑵若關于的方程的解集為空集，求實數(shù)的取值范圍.

10、 2012年東北三省四市教研協(xié)作體等值診斷聯(lián)合考試 2012年長春市高中畢業(yè)班第三次調研測試 數(shù)學(理科)參考答案及評分標準 一、選擇題(本大題包括12小題，每小題5分，共60分) 1.D 2.C 3. B 4. A 5.D 6. B 7.C 8.A 9.B 10.C 11.B 12.B 簡答與提示： 1. D　集合，，則，即.故選D. 2. C 由于. 故選C. 3. B 由題意可知，圓：的圓心到直線：的距離為圓的半徑，由點到直線的距離公式可知或. 故選B. 4. A 由相關系數(shù)的定義以及散點圖所表達的含義可知，故選A. 5. D 由題意，

11、即，可得，或，又已知，即，.故選D. 6. B　在同一坐標系內畫出函數(shù)和的圖像，可得交點個數(shù)為3. 故選B. 7. C　初始值，第一次循環(huán)后，第二次循環(huán)后，第三次循環(huán)后，第四次循環(huán)后，因此循環(huán)次數(shù)應為4次，故可以作為判斷循環(huán)終止的條件. 故選C. 8. A 由函數(shù)的圖像與軸的交點的橫坐標構成一個公差為的等差數(shù)列可知，函數(shù)的周期為，可知，即函數(shù)，，可將化為，可知只需將向左平移個單位即可獲得. 故選A. 9. B　命題“若 ，則”的否命題是“若 ，則”，是假命題，因此①正確；命題 使，則完全符合命題否定的規(guī)則，因此②也正確；“函數(shù)為偶函數(shù)”的充要條件是，即，因此③錯誤；命題，使”中，當時

12、，，即，使”為假命題，而命題中，若，則”為真命題，可知命題（）為真命題，因此④正確.一共有3個正確. 故選B. 10. C 雙曲線的右焦點是拋物線的焦點可知，又可知到拋物線的準線的距離為5，可設，根據兩點間距離公式可得到，將雙曲線方程化為，代入點的坐標并求解關于的一元二次方程，可求得或. 又，可將舍去，可知，即，（或根據雙曲線定義得2a=|PF2|－|PF1|=2），綜上可知雙曲線的離心率為. 故選C. 11. B 由題意可知四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，底面是正方形且和球心在同一平面內，當體積最大時, 可以判定該棱錐為正四棱錐，底面在球大圓上，可得知底面正方形的對角線長度為球的半

13、徑，且四棱錐的高，進而可知此四棱錐的四個側面均是邊長為的正三角形，底面為邊長為的正方形，所以該四棱錐的表面積為， 因此，，進而球的體積. 故選B. 12. B 首先選擇題目，從4道題目中選出3道，選法為，而后再將獲得同一道題目的2位老師選出，選法為，最后將3道題目，分配給3組老師，分配方式為，即滿足題意的情況共有種. 故選B. 二、填空題(本大題包括4小題，每小題5分，共20分) 13. 3 14. 15.且 16. 簡答與提示： 13. 利用分步計數(shù)原理與組合數(shù)公式，符合題目要求的項有和，求和后可得 ，即的系數(shù)為3. 14. 由體對角線

14、長，正視圖的對角線長，側視圖的對角線長，可得長方體的長寬高分別為，2，1，因此其全面積為. 15. 由得，當時，；當時，，即，.綜合可得數(shù)列單調遞增的充要條件是:且. 16. 根據指數(shù)函數(shù)的性質，可知函數(shù)恒過定點，將點代入，可以得. 對作如下變形：. 由于始終落在所給圓的內部或圓上，所以. 由，解得或，這說明點在以和為端點的線段上運動，所以的取值范圍是，從而的取值范圍是，進一步可以推得的取值范圍是. 三、解答題(本大題必做題5小題，三選一選1小題，共70分) 17. (本小題滿分12分) 【命題意圖】本小題借助向量的垂直與數(shù)量積考查三角函數(shù)的化簡，并且考查利用三角函數(shù)的變換與輔

15、助角公式求取三角函數(shù)的值域. 【試題解析】解：⑴由，可知. 然而 ， 所以，，. (5分) ⑵ . (9分) 因為，所以，即，即 所以，即的取值范圍是. (12分) 18. (本小題滿分12分) 【命題意圖】本小題主要考查統(tǒng)計與概率的相關知識，具體涉及到統(tǒng)計圖的應用、二項分布以及數(shù)學期望的求法. 【試題解析】⑴平均年限.

16、 (4分) ⑵所求概率. (8分) ⑶由條件知，所以. (12分) 19. (本小題滿分12分) 【命題意圖】本小題主要考查立體幾何的相關知識，具體涉及到線面的垂直關系、 二面角的求法、空間向量在立體幾何中的應用以及幾何體體積的求法. 【試題解析】解：⑴由四邊形是正方形，所以.又平面，，所以，而，所以平面，.又，所以平面，從而.

17、 (4分) ⑵以為坐標原點，，,為坐標軸建立空間直角坐標系，則易得，設平面的法向量為，則由 ，求得；設平面的法向量為， 則由，求得，則根據,于是可得. (9分) (3) 設所給四棱柱的體積為V,則，又三棱錐的體積等于三棱錐的體積，記為，而三棱錐的體積又等于三棱錐的體積，記為.則由于， ，所以所求四面體的體積為. (12分) 20.

18、(本小題滿分12分) 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到橢圓 方程的求法、直線與圓錐曲線的相關知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識. 【試題解析】⑴當直線與x軸垂直時，由，得. 又,所以，即，又， 解得. 因此該橢圓的方程為. (4分) ⑵設，而， 所以，， ，. 從而有 . (6分) 因為直線過橢圓的焦點，所以可以設直線的方程為，則 由消去并整理，得， 所以，.

19、 (8分) 進而，， 可得 . (10分) 令，則. 從而有，而，所以可以求得的取值范圍是.(12分) 21. (本小題滿分12分) 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)與導數(shù)的綜合應用能力，具體涉及到用導數(shù)來研 究函數(shù)的單調性、極值以及函數(shù)零點的情況. 【試題解析】⑴令,得. 當時，；當時，. 所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增. (3分) ⑵由于，所以. 構造函數(shù)，則令，得. 當時，；當時，. 所以函數(shù)在點處取得最小值，即.

20、因此所求的的取值范圍是. (7分) ⑶結論：這樣的最小正常數(shù)存在. 解釋如下： . 構造函數(shù)，則問題就是要求恒成立. (9分) 對于求導得 . 令，則，顯然是減函數(shù). 又，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，而， ， . 所以函數(shù)在區(qū)間和上各有一個零點，令為和，并且有: 在區(qū)間和上，即；在區(qū)間上，即. 從而可知函數(shù)在區(qū)間和上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增. ，當時，；當時，. 還有是函數(shù)的極大值，也是最大值. 題目要找的，理由是： 當時，對于任意非零正數(shù)，，而在上單

21、調遞減，所以一定恒成立，即題目所要求的不等式恒成立，說明； 當時，取，顯然且，題目所要求的不等式不恒成立，說明不能比小. 綜合可知，題目所要尋求的最小正常數(shù)就是，即存在最小正常數(shù)，當時，對于任意正實數(shù)，不等式恒成立. (12分) ( 注意：對于和的存在性也可以如下處理： 令，即. 作出基本函數(shù)和 的圖像，借助于它們的圖像有兩個交點很容易知道方程有兩個正實數(shù)根和，且，（實際上），可知函數(shù)在區(qū)間和上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.，當時，；當時，. 還有是函數(shù)的極大值，也是最大值. ） 22. (本小題滿分10分) 【命題意圖】本小題主要考查平面幾何的證明

22、及其運算，具體涉及圓的性質以及三角形相似等有關知識內容. 【試題解析】⑴因為為圓的切線，所以. 又為中點，所以. 因為，所以與相似. （5分） ⑵由⑴中與相似，可得. 在中，由， 得. (10分) 23. (本小題滿分10分) 【命題意圖】本小題主要考查極坐標與參數(shù)方程的相關知識，具體涉及到極坐標方程與平面直角坐標方程的互化、直線與曲線的位置關系以及點到直線的距離等知識內容. 【試題解析】對于曲線M,消去參數(shù)，得普通方程為,曲線 是拋物線的一部分； 對于曲線N，化成直角坐標方程為，曲線N是一條直線. (2分) (1)若曲線M,N只有

23、一個公共點，則有直線N過點時滿足要求，并且向左下方平行運動直到過點之前總是保持只有一個公共點，再接著向左下方平行運動直到相切之前總是有兩個公共點，所以滿足要求；相切時仍然只有一個公共點，由，得，求得. 綜合可求得的取值范圍是：或. （6分） (2)當時，直線N: ，設M上點為，，則 ， 當時取等號，滿足，所以所求的最小距離為. (10分) 24. (本小題滿分10分) 【命題意圖】本小題主要考查不等式的相關知識，具體涉及到絕對值不等式及不等式的解法以及函數(shù)等有關知識內容. 【試題解析】解：（1） 當時，由解得：；當時，由得，舍去； 當時，由，解得. 所以原不等式解集為. (5分) （2）由（1）中分段函數(shù)的解析式可知:在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增.并且，所以函數(shù)的值域為.從而的取值范圍是,進而 的取值范圍是.根據已知關于的方程的解集為空集，所以實數(shù)的取值范圍是. (10分) 數(shù)學試題卷（文科）　第14頁（共4頁）