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1、 數(shù)列 一、選擇填空題 1.（江蘇2004年4分）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn=(對(duì)于所有n≥1)，且4=54，則1的數(shù)值是 ▲ . 【答案】2。 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和。 【分析】根據(jù)4=S4－S3列式求解即可： ∵Sn=，4=54，且4=S4－S3， ∴，解得。 2.（江蘇2005年5分）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，則=【 】 A．33 B．72 C．84 D．189 【答案】C。 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)。 【分析】根據(jù)等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)

2、和為21，可求得，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別求得，和代入，即可得到答案： ∵在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)，前三項(xiàng)和為21，∴3+3+32=21?！?2。 ∴?！唷９蔬xC。 3.（江蘇2006年5分）對(duì)正整數(shù)n，設(shè)曲線在＝2處的切線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和的公式是　▲　 【答案】。 【考點(diǎn)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項(xiàng)公式以及等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式。 【分析】∵，∴。 ∴曲線在＝2處的切線的斜率為，切點(diǎn)為（2，）。 ∴所以切線方程為。 把，代入，得?！?。 ∴數(shù)列的前項(xiàng)和為。 4.（江蘇2008年5分）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣： 1 2　3

3、4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 ……………… 按照以上排列的規(guī)律，第行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為　　▲　　 【答案】。 【考點(diǎn)】歸納推理，等比數(shù)列的前項(xiàng)和。 【分析】前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（－1）個(gè)，即個(gè)， ∴第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個(gè)，即為。 6.（江蘇2009年5分）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= ▲ . 【答案】。 【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的應(yīng)用，等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問(wèn)題的能力。 【分析】∵，數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中， ∴有連續(xù)四項(xiàng)在集合中

4、。 ∴按絕對(duì)值的順序排列上述數(shù)值，相鄰相鄰兩項(xiàng)相除發(fā)現(xiàn)－24，36，－54，81成等比數(shù)列，是中連續(xù)的四項(xiàng)，比為。 ∴。 7.（江蘇2010年5分）函數(shù)的圖像在點(diǎn)()處的切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，為正整數(shù)，，則　　▲　　 【答案】21。 【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì), 函數(shù)的切線方程,數(shù)列的通項(xiàng)。 【分析】求出函數(shù)在點(diǎn)()處的切線方程，然后令=0代入求出的值，再結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，再得到的值： ∵函數(shù)在點(diǎn)()處的切線方程為：，當(dāng)時(shí)，解得。 ∴?！?。 8.（江蘇2011年5分）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是　　▲　　 【答案】。

5、 【考點(diǎn)】等差數(shù)列、等比數(shù)列的意義和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)。 【分析】由題意得， ∴要求的最小值，只要求的最小值，而的最小值為1， ∴?！?。 9、（2012江蘇卷6） 現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 ． 【解析】組成滿足條件的數(shù)列為：從中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)共有取法種，其中小于的取法共有種，因此取出的這個(gè)數(shù)小于的概率為. 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型.在利用古典概型解決問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵弄清基本事件數(shù)和基本事件總數(shù)，本題要注意審題，“一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)”，意味著這兩個(gè)數(shù)不能重復(fù)，這一點(diǎn)要特別注意. 10、（2

6、013江蘇卷14）14．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則滿足的最大正整數(shù) 的值為 。 答案： 14．12 二、解答題 1.（江蘇2004年12分）設(shè)無(wú)窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (Ⅰ)若首項(xiàng)，公差，求滿足的正整數(shù)k； (Ⅱ)求所有的無(wú)窮等差數(shù)列{an}，使得對(duì)于一切正整數(shù)都有成立. 【答案】解：（I）當(dāng)時(shí)， 由，即。 又。 （II）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則在中分別取=1，2,得 。 解得。 若成立； 若 故所得數(shù)列不符合題意。 若； 若。 綜上，共有3個(gè)滿足條件的無(wú)窮等差數(shù)列： ①{an} : an=0

7、，即0，0，0，…； ②{an} : an=1，即1，1，1，…； ③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…。 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的性質(zhì)。 【分析】（I）利用等差數(shù)列的求和公式表示出前n項(xiàng)的和，代入到求得。 （Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，在 Sn2=(Sn)2中分別取=1，2求得，代入到前n項(xiàng)的和中分別求得d，進(jìn)而對(duì)和d進(jìn)行驗(yàn)證，最后綜合求得答案。 2.（江蘇2005年14分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且 ，其中A.B為常數(shù) ⑴求A與B的值；（2分） ⑵證明：數(shù)列為等差數(shù)列；（6分） ⑶證明：不等式對(duì)任何正整數(shù)都成立（6分） 【答案】解：（1）由

8、已知，得，，， 由，知 ，即，解得。 （2）由（1）得 ① ∴ ② ②－①得， ③ ∴ ④ ④－③得 。 ∵，∴。 ∵ ，∴ ?！? ，。 又∵ ，∴數(shù)列為等差數(shù)列。 （3）由（2） 可知，， 要證，只要證。 因?yàn)?，? 故只要證， 即只要證。 因?yàn)?， 由于以上過(guò)程是可逆的，所以命題得證。 【考點(diǎn)】數(shù)列的應(yīng)用。 【分析】（1）由題意知，從而解得A=－20，B=－8。 （2）由（Ⅰ）得，所以在式中令，可得 ． 由此入手能夠推出數(shù)列{an}為等差數(shù)列。 （3）由（2）可知，，然后用分析法可以使命題得證。 3

9、.（江蘇2006年14分）　設(shè)數(shù)列、、滿足：，（n=1,2,3,…）， 　　　證明為等差數(shù)列的充分必要條件是為等差數(shù)列且（=1,2,3,…） 【答案】證明：必要性：設(shè)是公差為的等差數(shù)列，則 。 ∴（=1,2,3,…）成立。 又(常數(shù))（=1,2,3,…） ∴數(shù)列為等差數(shù)列。 充分性： 設(shè)數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且（=1,2,3,…）， ∵①，∴ ②， ∴①－②得。 又∵， ∴③。 從而有 ④。 ∴④－③得⑤。 ∵，即, ，， ∴由⑤得（=1,2,3,…）。 由此不妨設(shè)（=1,2,3,…）則 (常數(shù))。 由此⑥， 從而⑦。 ∴⑦－⑥得。 ∴(常數(shù)=1,2

10、,3,…)。 所以數(shù)列是等差數(shù)列。 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，必要條件、充分條件與充要條件的判斷。 【分析】本題主要考查等差數(shù)列、充要條件等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，理解公差的涵義，能把文字?jǐn)⑹鲛D(zhuǎn)化為符號(hào)關(guān)系式．利用遞推關(guān)系是解決數(shù)列的重要方法，，熟練掌握等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及其由來(lái)。 5.（江蘇2007年16分）已知 是等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列，，記為數(shù)列的前項(xiàng)和， （1）若是大于的正整數(shù)，求證：；（4分） （2）若是某一正整數(shù)，求證：是整數(shù)，且數(shù)列中每一項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)；（8分） （3）是否存在這樣的正數(shù)，使等比數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存

11、在，寫出一個(gè)的值，并加以說(shuō)明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（4分） 【答案】解：設(shè)的公差為，由，知，（） （1）證：∵， ∴，。 ∴。 （2）證：∵，且， ∴ 解得，或，但，∴。 ∵是正整數(shù)，∴是整數(shù)，即是整數(shù)。 設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為， 設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=， 現(xiàn)在只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可。 ∵， ∴。 若，則，那么。 當(dāng)時(shí)，∵，只要考慮的情況， ∵，∴，∴是正整數(shù)?！嗍钦麛?shù)。 ∴數(shù)列中任意一項(xiàng)為與數(shù)列的第項(xiàng)相等，從而結(jié)論成立。 （3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，則有 2。 設(shè)，則2。 令，則。 ∵，∴，解得。 即存在使得中有三項(xiàng)

12、成等差數(shù)列。 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】（1）設(shè)的公差為，由，把代入，即可表示出，題設(shè)得證。 （2）利用，可得，整理即可求得，從而可判定是整數(shù)，即是整數(shù)。設(shè)數(shù)列中任意一項(xiàng)為，設(shè)數(shù)列中的某一項(xiàng)=，只要證明存在正整數(shù)，使得，即在方程中有正整數(shù)解即可。 （3）設(shè)數(shù)列中有三項(xiàng)成等差數(shù)列，利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)建立等式，設(shè)，從而可得以2，令，求得。 6.（江蘇2008年16分）（1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來(lái)的順序）是等比數(shù)列． （i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值； （ii）求的所有可能值． （2）求證：對(duì)于給定的正

13、整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)的順序）都不能組成等比數(shù)列． 【答案】解：（1）（i）當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。 若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得。 若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，得。 綜上，得或。 （ii）當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。 若刪去，則，即化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以不能刪去； 當(dāng)n≥6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說(shuō)：當(dāng)n≥6時(shí)，無(wú)論刪

14、去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))。 綜上所述，。 （2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)，存在一個(gè)公差為d的項(xiàng)等差數(shù)列， 其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列， 則，即，化簡(jiǎn)得 （*） 由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0。 當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾； 故與同時(shí)不為0，所以由（*）得。 ∵，且x、y、z為整數(shù)，∴上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。 ∴對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無(wú)理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如項(xiàng)數(shù)列1，，，……，滿足要求。 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì)，等比關(guān)系的確定，等比數(shù)列的性質(zhì) 【分析】（1）根據(jù)題意，對(duì)=4，=5時(shí)數(shù)列中各項(xiàng)的情況逐一討論，利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的

15、性質(zhì)進(jìn)行論證，從而推廣到≥4的所有情況． （2）利用反證法結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行論證即可。 7.（江蘇2009年14分）學(xué)設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【答案】解：（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得。 ∵，∴，即。 又由得，解得，。 ∴數(shù)列的通項(xiàng)公式為；前項(xiàng)和。 （2）∵為數(shù)列中的項(xiàng)， ∴為整數(shù)，且為正整數(shù)，∴。 經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 【考點(diǎn)】數(shù)列的求和，等差數(shù)列的性質(zhì)。 【分析】（1）先把已知條件用及表示，然后聯(lián)立方程求出，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式可求。 （2）

16、先把已知化簡(jiǎn)可得，然后結(jié)合數(shù)列的通項(xiàng)公式可尋求滿足的條件。 8.（江蘇2010年16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）； （2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為。 【答案】解：（1）由題意知：， ， 化簡(jiǎn)，得： ， 當(dāng)時(shí)，，適合情形。 故所求。 （2）， 恒成立。 又，， 故，即的最大值為。 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式。 【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合已知，列出關(guān)于、的方程，求出，從而推出，再利用與的關(guān)系求出。 （2）利用（1）的結(jié)論，對(duì)

17、進(jìn)行化簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)化為基本不等式問(wèn)題求解，求出的最大值的范圍。 9.（江蘇2011年16分）設(shè)M為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)屬于M，當(dāng)>時(shí)，都成立. （1）設(shè)M=｛1｝，，求的值；（2）設(shè)M=｛3，4｝，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，即， ∴。 又，∴當(dāng)時(shí)，，∴的值為8。 (2) 由題設(shè)知, 當(dāng)， 且時(shí)，且， 兩式相減得，即， ∴當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列。 ∴當(dāng)時(shí)， ，且。 ∴當(dāng)時(shí)，，即。 ∴當(dāng)時(shí)，成等差數(shù)列，從而。 ∴由式知，即。 ∴當(dāng)時(shí)，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，從而由式知 ∴，從而， ∴。∴，對(duì)任意都成立。

18、 又由（可知， ∴且。解得。 ∴，。 ∴數(shù)列為等差數(shù)列，由知，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。 【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式，數(shù)列與函數(shù)的綜合。 【分析】（1）由集合M的元素只有一個(gè)1，得到=1，所以當(dāng)大于1即大于等于2時(shí)，都成立，變形后，利用化簡(jiǎn)，得到當(dāng)大于等于2時(shí)，此數(shù)列除去首項(xiàng)后為一個(gè)等差數(shù)列，根據(jù)第2項(xiàng)的值和確定出的等差寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，因?yàn)?大于2，所以把=5代入通項(xiàng)公式即可求出第5項(xiàng)的值； （2）由，利用數(shù)列遞推式得到，從而求出，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式。 10.（江蘇2011年附加10分）設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中，． （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求； （2）記為滿足是整

19、數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求． 【答案】解：（1）∵點(diǎn)的坐標(biāo)滿足條件，∴。 （2）設(shè)為正整數(shù)，記為滿足條件以及的點(diǎn)的個(gè)數(shù)。只要討論的情形。 由,知，且, 設(shè)，其中，則， ∴， 將代入上式，化簡(jiǎn)得， ∴。 【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理，數(shù)列遞推式。 【分析】（1）為滿足的點(diǎn)P 的個(gè)數(shù)，顯然的坐標(biāo)的差值，與中元素個(gè)數(shù)有關(guān)，直接寫出的表達(dá)式即可。 （2）設(shè)為正整數(shù)，記為滿足題設(shè)條件以及的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，討論≥1的情形，推出，根據(jù)的范圍 ，說(shuō)明是3的倍數(shù)和余數(shù)，然后求出。 11.（2012年江蘇省16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，， （1）設(shè)，，求證：數(shù)列是等差數(shù)列； （2）設(shè)，，且是等比數(shù)列，

20、求和的值． 【答案】解：（1）∵，∴。 ∴ ?！? 。 ∴數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。 （2）∵，∴。 ∴。（﹡） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾。 若則，∴當(dāng)時(shí)，，與（﹡）矛盾。 ∴綜上所述，?！?，∴。 又∵，∴是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。

21、 ∴中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾?！?。 ∴。 ∴ 。 【考點(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法。 【解析】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。 從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。 12、（2013江蘇卷19）19．本小題滿分16分。設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記，，其中為實(shí)數(shù)。 （1）若，且成等比數(shù)列，證明： （）； （2）若是等差數(shù)列，證明：。 13．本小題滿分1

22、6分。 設(shè)函數(shù)，，其中為實(shí)數(shù)。 （1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍； （2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。 19．證明：∵是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和 ∴ （1）∵ ∴ ∵成等比數(shù)列 ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴左邊= 右邊= ∴左邊=右邊∴原式成立 （2）∵是等差數(shù)列∴設(shè)公差為，∴帶入得： ∴對(duì)恒成立 ∴ 由①式得： ∵ ∴ 由③式得： 法二：證：（1）若，則，，． 當(dāng)成等比數(shù)列，， 即：，得：，又，故． 由此：，，． 故：（）． （2）， ．

23、 (※) 若是等差數(shù)列，則型． 觀察(※)式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪， 故有：，即，而≠0， 故． 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列． 1、 （2013江蘇卷23）卷Ⅱ 附加題 2、 23．本小題滿分10分。 設(shè)數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，，記，對(duì)于，定義集合 （1）求集合中元素的個(gè)數(shù)； （2）求集合中元素的個(gè)數(shù)。 23．本題主要考察集合．?dāng)?shù)列的概念與運(yùn)算．計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問(wèn)題能力及推理論證能力。 （1）解：由數(shù)列的定義得：，，，，，，，，，， ∴，，，，，，，，，， ∴，，，， ∴集合中元素的個(gè)數(shù)為5 （2）證明：用數(shù)學(xué)歸納法先證 事實(shí)上， ① 當(dāng)時(shí)， 故原式成立 ② 假設(shè)當(dāng)時(shí)，等式成立，即 故原式成立 則：，時(shí)， 綜合①②得： 于是 由上可知：是的倍數(shù) 而，所以是 的倍數(shù) 又不是的倍數(shù)， 而 所以不是的倍數(shù) 故當(dāng)時(shí)，集合中元素的個(gè)數(shù)為 于是當(dāng)時(shí)，集合中元素的個(gè)數(shù)為 又 故集合中元素的個(gè)數(shù)為