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1、 初等數(shù)論第一次作業(yè) 簡答題 1. 敘述整數(shù)a被整數(shù)b整除的概念。 2. 給出兩個整數(shù)a，b的最大公因數(shù)的概念。 3. 敘述質(zhì)數(shù)的概念，并寫出小于14的所有質(zhì)數(shù)。 4. 敘述合數(shù)的概念，并判斷14是否為合數(shù)。 5. 不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是什么？ 6. 列舉出一個沒有整數(shù)解的二元一次不定方程。 7. 寫出一組勾股數(shù)。 8. 寫出兩條同余的基本性質(zhì)。 9. 196是否是3的倍數(shù)，為什么？ 10. 696是否是9的倍數(shù)，為什么？ 11. 敘述孫子定理的內(nèi)容。 12. 敘述算術(shù)基本定理的內(nèi)容。 13.給出模6的一個完全剩余系。 14.給出模8的一個簡化剩余系。

2、 15.寫出一次同余式有解得充要條件。 答： 1.設(shè)a,b是任意兩個整數(shù)，其中b≠0，如果存在一個整數(shù)q使得等式a=bq 成立，我們就稱b整除a或a被b整除,記做b|a。 2.設(shè)a,b是任意兩個整數(shù)，若整數(shù)d是他們之中每一個的因數(shù)，那么d就叫做a,b的一個公因數(shù)。a,b的公因數(shù)中最大的一個叫做最大公因數(shù)。 3.一個大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)只有1和它本身，就叫作質(zhì)數(shù)(或素數(shù))。14的所有質(zhì)數(shù)為2,3,5,7,11,13 4.一個大于1的整數(shù)，如果它的正因數(shù)除了1和它本身，還有其他的正因數(shù)，則就叫作合數(shù)。14的所有正因數(shù)為1,2,7,14，除了1和本身14，還有2和7兩個正因數(shù)，

3、所以14是合數(shù)。 5.不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是。 6.沒有整數(shù)解的二元一次不定方程10x+10y=5。 7.一組勾股數(shù)為3,4,5。 8.同余的基本性質(zhì)為： 性質(zhì)1 m為正整數(shù)，a，b，c為任意整數(shù)，則 ①a≡a（mod m）； ②若a≡b（mod m），則b≡a（mod m）； ③若a≡b（mod m），b≡c（mod m），則a≡c（mod m）。 性質(zhì)3 ①若（mod m），（mod m），則（mod m） ②若a＋b≡c（mod m），則a≡c－b（mod m）。 9.196不是3的倍數(shù)。因為由定義可知 設(shè)a,b是任意兩個整數(shù)，其中b≠0，如果存在

4、一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，則將a叫做b的倍數(shù)。所以a=196，b=3，不存在一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，所以196不是3的倍數(shù)。 10.696不是9的倍數(shù)。因為由定義可知 設(shè)a,b是任意兩個整數(shù)，其中b≠0，如果存在一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，則將a叫做b的倍數(shù)。所以a=696，b=9，不存在一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，所以696不是9的倍數(shù)。 11.孫子定理的內(nèi)容為：設(shè)是k個兩兩互質(zhì)的正整數(shù), (1) 設(shè), 則同余式組(1)的解是 (2) 其中是滿足的任一個整數(shù)，i＝1,2,…,k。 12.任一大于1的整數(shù)能表成質(zhì)數(shù)的乘積，即任一大于1的整數(shù) ，

5、（1） 其中是質(zhì)數(shù)，并且若，,其中是質(zhì)數(shù)，則m＝n，，i＝1，2，…，n。 13.模6的一個完全剩余系為1，2，3，4，5，6。 14.由于8的標(biāo)準(zhǔn)分解式為8=23，所以 φ8=231-12=4 所以模8的一個簡化剩余系由4個數(shù)構(gòu)成，這兩個數(shù)都與8互質(zhì)，并且它們關(guān)于模8不同余。比如1,7就是模8的一個簡化剩余系。 15.一次同余式有解的充要條件是(a,m)|b。 初等數(shù)論第二次作業(yè) 填空題 1．9除28的商是 3 。 2．11除23的余數(shù)是 1 。 3．6的正因數(shù)是 1,2,3,6 。 4．{4.5}=

6、 0.5 。 5．[8.3] +[-8.3] = ﹣1 。 6．30的最小質(zhì)因數(shù)是 2 。 7．在所有質(zhì)數(shù)中，是偶數(shù)的是 2 。 8．在所有質(zhì)數(shù)中，最小的奇質(zhì)數(shù)是 3 。 9．大于4小于16的素數(shù)有___ 5, 7, 11, 13 __ ____。 10．不定方程有整數(shù)解的充分必要條件是 (a,b)|c 。 11．模5的最小非負(fù)完全剩余系是 {0,1,2,3,4,} 。 12．模4的絕對最小完全剩余系是 ﹣1

7、, 0, 1, 2 。 13．的個位數(shù)是 5 。 14．77的個位數(shù)是_______ 3 ________。 15．316的十進位表示中的個位數(shù)字是 1 。 16．66的個位數(shù)是 6 。 17．710被11除的余數(shù)是 1 。 18．（1516，600）= 227400 。 19．6的所有正因數(shù)的和是 12 _。 20．24與60的最大公因數(shù)是 12 。 21．35的最小質(zhì)因數(shù)是

8、 5 。 22．46的個位數(shù)是 6 。 23．8的所有正因數(shù)的和是 7 _。 24．18的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 18=23 。 25．20的歐拉函數(shù)值= 8 。 初等數(shù)論第三次作業(yè) 計算題 1．求169與121的最大公因數(shù)。 解：（169，121）=（169 – 121，121） =（48，121） =（48，121 – 48） =（48，73） =（48，25） =（23，25）

9、 =1 2．求出12!的標(biāo)準(zhǔn)分解式。 解：， ，， ，，， 所以12!的標(biāo)準(zhǔn)分解式為 3．求不定方程3x - 4y = 1的一切整數(shù)解。 解：因為（3,4）= 1，所以不定方程有整數(shù)解。 觀察知x = 3，y = 2是其一個整數(shù)解。 由公式知其一切整數(shù)解為，t為整數(shù)。 4．求不定方程7x + 2y = 1的一切整數(shù)解。 解：因為（7,2）=1,1|1，所以不定方程有解。觀察知其一個整數(shù)解是 。 于是其一切整數(shù)解為，t取一切整數(shù)。 5．解同余式3x 1 (mod 7)。 解：因為（3,7）= 1，所以同余式有解且有一個解。 由3x - 7y = 1得，

10、 所以同余式的解為. 6．解同余式3x 8 (mod 10)。 解：因為（3,10）=1,1|8，所以同余式有解，并且只有一個解。由得一個解，所以同余式的解為. 7．解同余式28x 21 (mod 35)。 解：因為（28，35） = 7，而7|21，所以同余式28x 21(mod 35)有解， 且有7個解。同余式28x 21(mod 35)等價于4x 3(mod 5)，解4x 3(mod 5) 得x 2(mod 5)，故同余式28x 21(mod 35)的7個解為 x 2，7，12，17，22，27，32(mod 35). 8．解同余式組： 。 解：由

11、得，將其代入 得， 解得，即， 所以，所以解為. 9．解同余式組： 。 解：由得，將其代入 得， 解得，即， 所以，所以解為. 10．解同余式組： 。 解：由得，將其代入得 ，即，解得，所以 ，于是。 所以同余式組的解為. 11．解同余式組： 。 解：因為2，3，5兩兩互質(zhì)，所以由孫子定理該同余式組有一個解。由孫子定理可得該同余式組的解為x 1(mod 30). 12．一個數(shù)是5個2，3個3，2個5，1個7的連乘積，這個數(shù)有許多的約數(shù) 是兩位數(shù)，求出這些兩位約數(shù)中最大的那一個。 解：設(shè)這個數(shù)為n，則由已知條件可得。 由于11|99，，97|97，所

12、以99，98，97都不是n的約數(shù)。 又，所以96是n的約數(shù)， 所以n的兩位約數(shù)中最大的為96. 初等數(shù)論第四次作業(yè) 證明題 1．設(shè)n是整數(shù)，證明6 | n(n + 1)(2n + 1)。 證明：若n為偶數(shù)，則n(n + 1)(2n +1)是偶數(shù) 若n為奇數(shù)，則n+1是偶數(shù)，所以n(n + 1)(2n +1)是偶數(shù) 在證這個數(shù)能被3整除， 若n被3整除，則n(n + 1)(2n +1)能被3整除 若n被3除余1，則2n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除 若n被3整余2，則n+1能被3整除，所以n(n + 1)(2n +1)能被3整除

13、 所以6| n(n + 1)(2n + 1). 2．設(shè)n是整數(shù)，證明：。 證明： 由此知 若n=1 則該式＝0 是6的倍數(shù) 若n>1 則該式為三個連續(xù)正整數(shù)乘積 在3個連續(xù)正整數(shù)中 至少有1個是偶數(shù)即可被2整除 在3個連續(xù)正整數(shù)中 必有1個是3的倍數(shù) 即可被3整除 所以該式即可被2*3＝6整除. 3．設(shè)x，y均為整數(shù)。證明：若，則。 證明： 4．設(shè)x，y均為整數(shù)。證明：若，則。 證明： 5．設(shè)x是實數(shù)，n是正整數(shù)，證明：。 證明：令，則由定義有，于是。由于na， n(a+ 1)均為整數(shù)，所以，從而，由定義得，所以。 6．設(shè)p是質(zhì)數(shù)，證明：。 證明：因為p是質(zhì)數(shù)，所以，。于是。 7．證明：若，，則。 證明：由，知存在整數(shù)p，q使得，，所以， 因為pq為整數(shù)，所以由整除的定義知。 8．證明：若，，則。 證明：由得︱，︱，由整除的性質(zhì)得 ︱，即︱，所以. 9．設(shè)a是大于1的整數(shù)，證明是合數(shù)。 證明：= = = 由于﹥1且是整數(shù)，所以﹥1，﹥1，且均為整數(shù)，故當(dāng)是大于1的整數(shù)時，是合數(shù)。 10．設(shè)m為整數(shù)，證明：。 證明：因為是兩個連續(xù)整數(shù)的積，所以。 又2|2，所以由整除的性質(zhì)知.