《高中數(shù)學(xué)必修4 任意角的三角函數(shù)》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué)必修4 任意角的三角函數(shù)（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 任意角的三角函數(shù) 知識與技能： 1.掌握任意角的三角函數(shù)的定義； 2.已知角α終邊上一點，會求角α的各三角函數(shù)值； 3.記住三角函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。 過程與方法： 1理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義； 2樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是以實數(shù)為自變量的函數(shù)； 3通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo)，提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。 2學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué)精神； 教學(xué)重點：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及其確定方法；三角函數(shù)值在各個象限內(nèi)的符號以及誘導(dǎo)公式一 教學(xué)難點：任意角三角函數(shù)的定義． 一．

2、復(fù)習(xí)引入 思考：我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？ 結(jié)論：在Rt△ABC中，設(shè)A對邊為a，B對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦，余弦，正切依次為： 銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù) 思考1:角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義. 你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎? 如圖,設(shè)銳角的頂點與原點重合,始邊與軸的正半軸重合,那么它的終邊在第一象限.在的終邊上任取一點,它與原點的距離.過作軸的垂線,垂足為,則線段的

3、長度為,線段的長度為. 則; ; . 思考2：對于確定的角，這三個比值是否會隨點在的終邊上的位置的改變而改變呢？為什么? 根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角，三個比值不以 點P在的終邊上的位置的改變而改變大小. 我們可以將點P取在使線段的長的特殊位置上， 這樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表示銳角三角函數(shù)： ; ; . 單位圓:在直角坐標系中,我們稱以原點為圓心,以單位長度為半徑的圓稱為單位圓. 上述P點就是的終邊與單位圓的交點, 銳角的三角函數(shù)可以用單位圓上點的坐標表示. 二新課講授 1.任意角的三角函數(shù)的定義 結(jié)合上述銳角的三角函數(shù)值的求

4、法,我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值呢? 顯然,我們可以利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù). 如圖,設(shè)是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點,那么: (1)叫做的正弦(sin),記做, 即 ； （2）叫做的余弦(cos),記做, 即； （3）叫做的正切(tan),記做, 即. 思考3:在上述三角函數(shù)定義中,自變量是什么?對應(yīng)關(guān)系有什么特點,函數(shù)值是什么? 說明:(1)當(dāng)時，的終邊在軸上，終邊上任意一點的橫坐標都等于，所以無意義,除此情況外，對于確定的值，上述三各值都是唯一確定的實數(shù). (2)當(dāng)是銳角時，此定義與初中定義相同；當(dāng)不是銳角時，也能夠找出三角函數(shù)，因為，既然有角

5、，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點，從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值. (3)正弦,余弦,正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù). 2.利用定義求角的三角函數(shù)值 例1.求的正弦,余弦和正切值. 解：在直角坐標系中，作, 的終邊與單位圓的交點坐標為，所以 思考：如果將變?yōu)槟兀? 例2．已知角的終邊過點，求角的正弦,余弦和正切值. 思考：如何根據(jù)例題1解答 思考：一般的，設(shè)角終邊上任意一點的坐標為（x,y）,它與原點的距離為r,則 ，你能自己給出證明嗎？ 思考 如果將題目中的坐標改為（-3a，-4a）,題目又

6、應(yīng)該怎么做？ 3．三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值符號 探究： 請根據(jù)上述任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦，余弦和正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值再各象限的符號填入下表 函 數(shù) 定 義 域 例3. 求證：當(dāng)下列不等式組成立時，角為第三象限角，反之也對 證明：如果成立，那么角的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與軸的非負半軸重合;如果，所以角的終邊可能位于第一或第三象限 所以，角的終邊只能位于第三象限，時第三象限角 反過來，請同學(xué)們自己證明 變式訓(xùn)練（一）判斷下列各式的符號

7、 1. 2. （二）求函數(shù)的定義域 4.誘導(dǎo)公式一 由三角函數(shù)的定義，可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，由此得到一組公式 利用公式一，可以把任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0到的三角函數(shù)值 例4.確定下列三角函數(shù)值的符號： （1） （2） （3） （4） 變式訓(xùn)練（一）求下列各式的值 1. 2. 基礎(chǔ)訓(xùn)練： A組 1．= ( ) A． B． C． D． 2．下列哪個三角函數(shù)值

8、與相等 （ ） A． B． C． D． 3．=________________ 4．化簡：=_____________ 5．若，且，則_______________ 6．，則______________ 7．，且為第三象限角，則=_____________ B組 8．設(shè)A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，則表達式①；②；③；④，其中一定為常數(shù)的是__________________ 9．已知，則=________________ 10．在△ABC中，若，，求△ABC的三內(nèi)角．

9、 11．化簡：，． 參考答案 1．D 命題目的：通過誘導(dǎo)公式熟練掌握與，與之間的關(guān)系； 2．B ，命題目的：復(fù)習(xí)的誘導(dǎo)公式以及正余弦之間的轉(zhuǎn)化。 3．； ， ；命題目的：考核，； 4．；=； 5．；=，又因為，所以． 6． ；，，因為，所以，所以，； 7．；因為，，所以，又因為在第三象限，所以，故． 8．②③④ 9．===7 10．由已知條件得，，則A、B均為銳角，平方相加，即，所以，，則． 11．當(dāng)，時，原式； 當(dāng)，時，原式． ６ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------