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1、數(shù)學模型課程設計 芆薇螃羀節(jié)薆裊芅薁薅羇肈蕆薄肀芄莃薃蝿肆艿蚃袂節(jié)膅螞羄肅蒃蟻蚃芀葿蝕袆肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂羋螅蚄膈膄螄螇羈薃螃罿膆葿螂肁聿蒞螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羆芃蒅衿肈肆莁袈螇芁芇蒅袀肄膃蒄肂荿薂蒃螂膂蒈蒂襖莈莄蒁羆膀芀蒀聿羃薈蕿螈腿蒄蕿袁羂莀薈羃膇芆薇螃羀節(jié)薆裊芅薁薅羇肈蕆薄肀芄莃薃蝿肆艿蚃袂節(jié)膅螞羄肅蒃蟻蚃芀葿蝕袆肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂羋螅蚄膈膄螄螇羈薃螃罿膆葿螂肁聿蒞螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羆芃蒅衿肈肆莁袈螇芁芇蒅袀肄膃蒄肂荿薂蒃螂膂蒈蒂襖莈莄蒁羆膀芀蒀聿羃薈蕿螈腿蒄蕿袁羂莀薈羃膇芆薇螃羀節(jié)薆裊芅薁薅羇肈蕆薄肀芄莃薃蝿肆艿蚃袂節(jié)膅螞羄肅蒃蟻蚃芀葿蝕

2、袆肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂羋螅蚄膈膄螄螇羈薃螃罿膆葿螂肁聿蒞螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羆芃蒅衿肈肆莁袈螇芁芇蒅袀肄膃蒄肂荿薂蒃螂膂蒈蒂襖莈莄蒁羆膀芀蒀聿羃薈蕿螈腿蒄蕿袁羂莀薈羃膇芆薇螃羀節(jié)薆裊芅薁薅羇肈蕆薄肀芄莃薃蝿肆艿蚃袂節(jié)膅螞羄肅蒃蟻蚃芀葿蝕袆肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇螀羄蒆蚇袂膀莂螆羅羂羋螅蚄膈膄螄螇羈薃螃罿膆葿螂肁聿蒞螁螁芄芀螁袃肇蕿螀羆芃蒅衿肈肆莁袈螇芁芇蒅袀肄膃蒄肂荿薂蒃螂膂蒈蒂襖莈莄蒁羆膀芀蒀聿羃薈蕿螈腿蒄蕿袁羂莀薈羃膇芆薇螃羀節(jié)薆裊芅薁薅羇肈蕆薄肀芄莃薃蝿肆艿蚃袂節(jié)膅螞羄肅蒃蟻蚃芀葿蝕袆肅蒞蠆羈莈芁蚈肀膁薀蚇蕿螃芅薅螁羈芁薄袃袁膇薃薃肆肂薃蚅衿莁薂螈肅芇蟻袀袈膃蝕薀肅聿蠆

3、螞袆莈蚈襖肁莄蚈羆羄芀蚇蚆膀膆芃螈羂肂節(jié)袁膈莀芁薀羈芆莁蚃膆膂莀螅罿肈荿羇螂蕆莈蚇肇莃莇蝿袀艿莆袂肆膅蒞薁袈肁蒞蚄肄荿蒄螆袇芅蒃袈肂膁蒂薈裊膇蒁螀膀肅蒀袂羃莂葿薂腿羋葿蚄羂膄蒈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿螃芅薅螁羈芁薄袃袁膇薃薃肆肂薃蚅衿莁薂螈肅芇蟻袀袈膃蝕薀肅聿蠆螞袆莈蚈襖肁莄蚈羆羄芀蚇蚆膀膆芃螈羂肂節(jié)袁膈莀芁薀羈芆莁蚃膆膂莀螅罿肈荿羇螂蕆莈蚇肇莃莇蝿袀艿莆袂肆膅蒞薁袈肁蒞蚄肄荿蒄螆袇芅蒃袈肂膁蒂薈裊膇蒁螀膀肅蒀袂羃莂葿薂腿羋葿蚄羂膄蒈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿螃芅薅螁羈芁薄袃袁膇薃薃肆肂薃蚅衿莁薂螈肅芇蟻袀袈膃蝕薀肅聿蠆螞袆莈蚈襖肁莄蚈羆羄芀蚇蚆膀膆芃螈羂肂節(jié)袁膈莀芁薀羈芆莁蚃膆膂莀螅罿肈荿羇螂蕆莈蚇肇莃莇

4、蝿袀艿莆袂肆膅蒞薁袈肁蒞蚄肄荿蒄螆袇芅蒃袈肂膁蒂薈裊膇蒁螀膀肅蒀袂羃莂葿薂腿羋葿蚄羂膄蒈螇膇肀薇衿羀荿薆蕿螃芅薅螁羈芁薄袃袁膇薃薃肆肂薃蚅衿莁薂螈肅芇蟻袀袈膃蝕薀肅聿蠆螞袆莈蚈襖肁莄蚈羆羄芀蚇蚆膀膆芃螈羂肂節(jié)袁膈莀芁薀 高考志愿選擇策略 目錄 一、 摘要……………………………………………………………………………………2 二、 問題重述………………………………………………………………………………3 三、 模型假設………………………………………………………………………………3 四、 符號說明………………………………………………………………………

5、………4 五、 模型建立與求解………………………………………………………………………5-9 六、 模型推廣………………………………………………………………………………10 七、 模型評價………………………………………………………………………………10 八、 參考文獻………………………………………………………………………………11 摘要 本文主要解決的是在綜合考慮各種因素下如何進行高考志愿選擇的問題。 高考志愿選擇的優(yōu)劣有時對考生今后的發(fā)展起著至關重要的影響。本文主要通過利用層次分析法解決考生高考志愿選擇問

6、題。 首先我們對問題進行合理的假設，做出影響高考志愿諸因素的層次結構圖，然后做出各層的判斷矩陣，對矩陣進行一致性檢驗，算出權向量，最后得到?jīng)Q策層對目標層的權重，從而解決了高考志愿選擇的問題。 關鍵詞 高考志愿 層次分析法 判斷矩陣 一致性檢驗 權重 一、問題重述 一年一度的高考結束后，許多考生面臨估分后填寫志愿的決策過程。這個決策關系重大，如果抉擇不當很可能就會錯過自己心儀的高校。在考生決策的過程需要考慮很多因素，如下表，假設每個考生可填寫四個志愿?，F(xiàn)有北京甲、上海乙、成都丙、重慶丁四所大學?？忌ㄟ^網(wǎng)

7、上信息初步考慮因素重要性主觀數(shù)據(jù)如下表，試建立一個數(shù)學模型，經(jīng)過建模計算，幫考生考慮到各種決策因素使之能輕松應對這一重大決策。 表（1） 相關權數(shù) 北京甲 上海乙 成都丙 重慶丁 校譽 名校自豪感 0.22 0.75 0.7 0.65 0.6 錄取風險 0.198 0.7 0.6 0.4 0.3 年獎學金 0.024 0.6 0.8 0.3 0.7 就業(yè)前景 0.133 0.8 0.7 0.85 0.5 生活環(huán)境 離家近 0.061 0.2 0.4 1 0

8、.8 生活費用 0.064 0.7 0.3 0.9 0.8 氣候環(huán)境 0.032 0.5 0.6 0.8 0.6 學習環(huán)境 專業(yè)興趣 0.132 0.4 0.3 0.6 0.8 師資水平 0.034 0.7 0.9 0.7 0.65 可持續(xù)發(fā)展 碩士點 0.064 0.9 0.8 0.75 0.8 博士點 0.03 0.75 0.7 0.6 0.5 二、模型的假設 1、考生除考慮表中的因素外，其他因素忽略不計。 2、考生通過網(wǎng)絡獲取各高校的信息是全面和權威的。 3、考生根據(jù)各高校的信息做出的主觀數(shù)據(jù)

9、可以真實的反映考生的意愿。 三、符號說明 學校選擇 校譽 生活環(huán)境 學習環(huán)境 可持續(xù)發(fā)展 名校自豪感 錄取風險 年獎學金 就業(yè)前景 離家近 生活費用 氣候環(huán)境

10、 專業(yè)興趣 師資水平 碩士點 博士點 北京甲 上海乙 成都丙 重慶丁 一致性指標 一致性比率 隨機一致性指標 最大特征值 四、模型建立與求解 （一）、構造考生高考志愿決策諸多因素的遞階層次結構 生活費用

11、 學校選擇 校譽 生活環(huán)境 學習環(huán)境 可持續(xù)發(fā)展 名校自豪感 錄取風險 年獎學金 就業(yè)前景 離家近 氣候環(huán)境 專業(yè)興趣 師資水平 碩士點 博士點 北京甲 上海乙 成都丙 重慶丁 （二）、判斷矩陣的尺度 重要性標度 含義 1 兩因素相比，同等重要 3 兩因素相比，前者稍微重要 5 兩因素相比，前者較強重要 7 兩因素相比，前者強烈重要 9 兩因素相比，前者極端重要 2，4，6，8 兩因素相鄰判斷的中間值 倒數(shù) 兩因素前后者重要性之比為a， 1/a就是后者對前者的重要性 (三)、構造

12、兩兩因素成對判斷矩陣 由于矩陣是互反的故只列出上三角同時將其權向量附在其后wk（k=1-17） 權向量的計算見（四） A B1 B2 B3 B4 W1 B1 1 5 5 7 0.575 B2 　 1 1 3 0.157 B3 　 　 1 3 0.166 B4 　 　 　 1 0.094 B1 C11 C12 C13 C14 w2 C11 1 1 9 5 0.4839 C12 1 7 1 0.2928 C13 1 1/5 0.0407 C14 1 0.

13、1826 B2 C21 C22 C23 w5 C21 1 1 5 0.4545 C22 　 1 5 0.4545 C23 　 　 1 0.0910 B3 C31 C32 W3 C31 1 7 0.875 C32 1 0.125 B4 C41 C42 W4 C41 1 5 0.833 C42 　 1 0.167 C11 D1 D2 D3 D4 W6 D1 1 2 3 4 0.48 D2 1 1 2 0.24 D3 1 1 0

14、.16 D4 1 0.12 C12 D1 D2 D3 D4 W7 D1 1 1 3 5 0.3947 D2 1 2 3 0.3947 D3 1 1 0.1316 D4 1 0.790 C13 D1 D2 D3 D4 W8 D1 1 1 3 1 0.3000 D2 1 3 1 0.3000 D3 1 1/3 0.3000 D4 1 0.1000 C14 D1 D2 D3 D4 W9 D1 1 2 1 3 0.

15、3529 D2 1 1/2 2 0.1765 D3 1 1/3 0.3529 D4 1 0.1177 C21 D1 D2 D3 D4 W10 D1 1 1/2 1/7 1/5 0.0667 D2 1 1/3 1/2 0.1334 D3 1 2 0.4669 D4 1 0.3335 C22 D1 D2 D3 D4 W11 D1 1 3 1/2 1 0.2308 D2 1 1/5 1/3 0.1154 D3 1 2 0.4

16、616 D4 1 0.2308 C23 D1 D2 D3 D4 W13 D1 1 1/2 1/3 1/2 0.1250 D2 1 1/2 1 0.2500 D3 1 2 0.3750 D4 1 0.2500 C31 D1 D2 D3 D4 W12 D1 1 1 1/2 1/3 0.1429 D2 1 1/3 1/2 0.1429 D3 1 2 0.2858 D4 1 0.4287

17、 C32 D1 D2 D3 D4 W15 D1 1 1/2 1 1 0.20 D2 1 2 3 0.40 D3 1 1 0.20 D4 1 0.20 C41 D1 D2 D3 D4 W16 D1 1 1 2 3 0.3529 D2 1 2 1 0.3529 D3 1 1/2 0.1765 D4 1 0.1176 C42 D1 D2 D3 D4 W17 D1 1 2

18、3 4 0.48 D2 1 2 3 0.24 D3 1 2 0.16 D4 1 0.12 （四）、權向量求法和一致性檢驗 B1 C11 C12 C13 C14 C11 1 1 9 5 C12 1 1 7 1 C13 1/9 1/7 1 1/5 C14 1/5 1 5 1 判斷矩陣較多，這里試舉一例 上面的判斷矩陣利用matlab求出最大特征值和特征向量 >> A=[1 1 9 5;1 1 7 1;1/9 1/7 1 1

19、/5;1/5 1 5 1]; >> [a,b]=eig(A); maxeignvalue=max(max(b)) index=find(b==max(max(b))); eigenvector=a(:,index) maxeignvalue = %求最大特征根 4.2481 eigenvector = %求特征向量 0.8123 0.4916 0.0683 0.3065 A=[0.8123;0.4916;0.068

20、3;0.3065]; %定義特征向量 a= A./repmat((sum(A)),size(A,1),1) %對特征向量歸一化得到權向量 a = 0.4839 0.2928 0.0407 0.1826 所以一致性指標 = == 查表得 易得 所以構造的判斷矩陣符合一致性 （五）、層次總排序 總排序是指每個判斷矩陣各因素針對目標層的相對權重。這一權重的計算采用從上而下的方法。 很顯然，B對A的權重就是總排序，設為P1。則C層的11個元素相對B層的單排序分別就是（二）

21、中的權向量W2-W5，記W1=（W1,W2,W3,W4）,所以C層的總排序P2= W1 *P1 。同樣的計算方法，求出D層對A的總排序P3。 B層對A層總排序P1 B1 B2 B3 B4 0.575 0.16 0.166 0.094 由B層計算得C層對A層排序P2 C11 C12 C13 C14 C21 C22 C23 C31 C32 C41 C42 0.2782 0.1684 0.0234 0.105 0.0727 0.0727 0.0146 0.1453 0.0208 0.079 0.015 由C層計算

22、得D層A層排序P3 D1 D2 D3 D4 0.3275 0.2411 0.2458 0.1856 所以根據(jù)考生考慮的因素，四所高校的排序為北京甲、成都丙、上海乙、重慶丁 綜上所述所以考生應該選擇北京甲 五、模型的推廣 本文采用的層次分析法具有的特點是在對復雜的高考志愿決策問題的本質(zhì)、影響因素及其內(nèi)在關系等進行深入分析的基礎上，利用較少的定量信息使決策的思維過程數(shù)學化，從而為多目標、多準則或無結構特性的復雜決策問題提供簡便的決策方法。 所以此模型應用非常廣泛，尤其適合于對決策結果難于直接準確計量的場合。因此根據(jù)具體問題利用模型中的層次分析法，可

23、以很好的解決。具體的應用有收入分配、電力水力的分流管理、職業(yè)規(guī)劃、企業(yè)規(guī)劃等等。 六、模型的評價 本模型具有以下優(yōu)點： （1）、假設的合理性，使模型得到簡化。 （2）、模型具有普遍性和一般性，擴大了模型應用范圍。 （3）、處理判斷矩陣時采用上三角陣，簡化數(shù)據(jù)整理的繁瑣。 （4）、在計算權向量使用matlab編程，簡化了計算。 （5）、處理總排序時層層考慮，使模型的求解精確而有條理。 本模型存在的不足： （1）、在構造判斷矩陣時，可能會因為尺度選取導致一定的誤差。 （2）、模型需要構造大量的判斷矩陣，使模型的計算相對繁

24、瑣。 七、參考文獻 [1] 姜啟源等，數(shù)學模型（第三版），北京；高等教育出版社，2003. [2] 宋翔，函數(shù)與公式詞典，北京；科學出版社，2004 [3] 李海濤等，MATLAB 7.0 基礎及應用技巧，北京；國防工業(yè)出版社，2002.3 [4] 趙靜等，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，北京；高等教育出版社，2002. [5] 王沫然，MATLAB 5.X與科學計算，北京；清華大學出版社，2000.5 [6] 幺煥民等，數(shù)學建模，哈爾濱；哈爾濱工業(yè)大學出版社，2003.4 莃蠆螃肅蕿薅螂

25、膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃

26、芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄

27、芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂肄艿袀肁芇薄螆肀荿莇螞聿聿薂薈蚆膁蒞蒄蚅芃薁螃螄羃莃蠆螃肅蕿薅螂膈莂蒁螂莀膅袀螁肀蒀螅螀膂芃蟻蝿芄蒈薇螈羄芁蒃袇肆蕆螂袆膈艿蚈袆芁蒅蚄裊肀羋薀襖膃薃蒆袃芅莆螅袂羅薁蟻袁肇莄薇羀腿薀蒃羀節(jié)莃螁罿羈膅螇羈膄莁蚃羇芆芄蕿羆羆葿蒅羅肈節(jié)螄羄膀蕆蝕肄芃芀薆肅羂蒆蒂肂 - 10 -