《遼寧省名校2021屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬聯(lián)合考試試題?含解析?》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《遼寧省名校2021屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬聯(lián)合考試試題?含解析?（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、遼寧省名校2021屆高三數(shù)學(xué)第一次模擬聯(lián)合考試試題（含解析） 一、選擇題（共8小題）. 1．已知集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則?UA＝（　?。? A．{﹣1} B．{3} C．{﹣1，3} D．? 2．復(fù)數(shù)＝（　　） A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i 3．以點（3，﹣1）為圓心，且與直線x﹣3y+4＝0相切的圓的方程是（　?。? A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20 B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10 C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10 D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20 4．在（2﹣x）6展開式中，x2的系數(shù)為

2、（　　） A．240 B．﹣240 C．﹣160 D．160 5．已知sinα+cosα＝，且α∈（0，π），sinα﹣cosα＝（　?。? A． B． C． D． 6．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點M（x0，2）到焦點F的距離|MF|＝x0，則p＝（　?。? A．1 B．2 C．4 D．5 7．某保鮮封閉裝置由儲物區(qū)與充氮區(qū)（內(nèi)層是儲物區(qū)用來放置新鮮易變質(zhì)物品，充氮區(qū)是儲物區(qū)外的全部空間，用來向儲物區(qū)輸送氮氣從而實現(xiàn)保鮮功能）．如圖所示，該裝置外層上部分是半徑為2半球，下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合，內(nèi)層是一個高度為4的倒置小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面

3、，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，為了保存更多物品，充氮區(qū)空間最小可以為（　?。? A．4π B． C． D． 8．已知函數(shù)f（x）＝x+．若曲線y＝f（x）存在兩條過（2，0）點的切線，則a的取值范圍是（　　） A．（﹣∞，1）∪（8，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞） C．（﹣∞，0）∪（8，+∞） D．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞） 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．如圖為某省高考數(shù)學(xué)卷近三年難易程度的對比圖（圖中數(shù)據(jù)為分值）．根據(jù)對比圖，其中正確的為（　

4、?。? A．近三年容易題分值逐年增加 B．近三年中檔題分值所占比例最高的年份是2019年 C．2020年的容易題與中檔題的分值之和占總分的90%以上 D．近三年難題分值逐年減少 10．設(shè)正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則（　?。? A．+有最小值4 B．有最大值 C．有最大值 D．a(chǎn)2+b2有最小值 11．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，其特點是圓的周長和面積同時被平分，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一、和諧共存的特點．若函數(shù)y＝f（x）的圖象能夠?qū)A的周長和面積同時平分，則稱函數(shù)f（x）為這個圓的“和諧函數(shù)”．給

5、出下列命題中正確的有（　　） A．對于任意一個圓，其“和諧函數(shù)”至多有2個 B．函數(shù)f（x）＝ln（x+）可以是某個圓的“和諧函數(shù)” C．正弦函數(shù)y＝sinx可以同時是無數(shù)個圓的“和諧函數(shù)” D．函數(shù)f（x）＝2x+1不是“和諧函數(shù)” 12．已知f（x）＝，則下列有關(guān)函數(shù)g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π在[﹣3，5]上零點的說法正確的是（　?。? A．函數(shù)g（x）有5個零點 B．函數(shù)g（x）有6個零點 C．函數(shù)g（x）所有零點之和大于2 D．函數(shù)g（x）正數(shù)零點之和小于4 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．寫出兩個與終邊相同的角

6、　 ?。? 14．2021年的兩會政府工作報告中提出：加強(qiáng)全科醫(yī)生和鄉(xiāng)村醫(yī)生隊伍建設(shè)，提升縣級醫(yī)療服務(wù)能力，加快建設(shè)分級診療體系，讓鄉(xiāng)村醫(yī)生“下得去、留得住”．為了響應(yīng)國家號召，某醫(yī)科大學(xué)優(yōu)秀畢業(yè)生小李和小王，準(zhǔn)備支援鄉(xiāng)村醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)發(fā)展，在康莊、青浦、夾山、河?xùn)|4家鄉(xiāng)村診所任選兩家分別就業(yè)，則小李選擇康莊且小王不選擇夾山的概率為　 　． 15．在邊長為2的正三角形ABC中，D是BC的中點，＝2，CE交AD于F． ①若＝x+y，則x+y＝　 ??； ②?＝　 ?。? 16．已知數(shù)列{

7、an}滿足：a1＝1，an+1＝2an+1，若bn+1＝（n﹣2t）（an+1），b1＝﹣t，且數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是　 　． 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sinBsinC． （1）求A； （2）若a＝，求△ABC的面積的最大值． 18．已知首項為2的數(shù)列{an}中，前n項和Sn滿足Sn＝tn2+n（t∈R）． （1）求實數(shù)t的值及數(shù)列{an}的通項公式an； （2）將①bn＝，②

8、bn＝2+an，③bn＝2?an，三個條件任選一個補(bǔ)充在題中，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 19．目前，新能源汽車尚未全面普及，原因在于技術(shù)水平有待提高，國內(nèi)幾家大型汽車生產(chǎn)商的科研團(tuán)隊已經(jīng)獨立開展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、長城攻堅戰(zhàn)三個團(tuán)隊兩年內(nèi)各自出成果的概率分別為，m，．若三個團(tuán)隊中只有長城攻堅戰(zhàn)出成果的概率為． （1）求吉利研究所、北汽科研中心兩個團(tuán)隊兩年內(nèi)至少有一個出成果的概率及m的值； （2）三個團(tuán)隊有X個在兩年內(nèi)出成果，求X分布列和數(shù)學(xué)期望． 20．正多面體也稱柏拉圖立體，被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形

9、，且每一個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）．?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)證明世屆上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正四面體QPTR和一個正八面體AEFBHC的棱長都是a（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體． （1）求新多面體的體積； （2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值； （3）求新多面體為幾面體？并證明． 21．已知函數(shù)f（x）＝． （1）討論f（x）的單調(diào)性； （2）若對于?x∈[0，]，f（x）≤kx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍． 22．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的焦距為2b，經(jīng)過點P（﹣2

10、，1）． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足＝，直線PM，PN分別交橢圓于AB，PQ⊥AB，Q為垂足，是否存在定點R，使得|QR|為定值，說明理由．  答案 一、選擇題（共8小題）. 1．已知集合U＝{x|﹣1≤x≤3}，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，則?UA＝（　　） A．{﹣1} B．{3} C．{﹣1，3} D．? 解：∵集合U＝{x|﹣1≤x≤3}， A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}， ∴?UA＝{﹣1，3}． 故選：C． 2．復(fù)數(shù)＝（　?。? A．1﹣3i B．1+3i C．﹣1+3i D

11、．﹣1﹣3i 解：＝． 故選：A． 3．以點（3，﹣1）為圓心，且與直線x﹣3y+4＝0相切的圓的方程是（　?。? A．（x﹣3）2+（y+1）2＝20 B．（x﹣3）2+（y+1）2＝10 C．（x+3）2+（y﹣1）2＝10 D．（x+3）2+（y﹣1）2＝20 解：r＝＝，所求圓的方程為（x﹣3）2+（y+1）2＝10． 故選：B． 4．在（2﹣x）6展開式中，x2的系數(shù)為（　?。? A．240 B．﹣240 C．﹣160 D．160 解：展開式的通項公式為T＝C， 令r＝2，則展開式中含x2項的系數(shù)為C， 故選：A． 5．已知sinα+cosα＝，且α∈（0，π

12、），sinα﹣cosα＝（　?。? A． B． C． D． 解：把sinα+cosα＝，兩邊平方得：（sinα+cosα）2＝1+2sinαcosα＝，即2sinαcosα＝﹣＜0， ∵0＜α＜π，∴＜α＜π，即sinα＞0，cosα＜0， ∴sinα﹣cosα＝＝＝＝． 故選：C． 6．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）上一點M（x0，2）到焦點F的距離|MF|＝x0，則p＝（　?。? A．1 B．2 C．4 D．5 解：由拋物線的定義可知，|MF|＝x0+， ∵|MF|＝x0， ∴x0+＝x0，即x0＝p①， ∵點M（x0，2）在拋物線y2＝2px上， ∴（2）2＝2

13、p?x0②， 由①②解得，p＝2或﹣2（舍負(fù)）， 故選：B． 7．某保鮮封閉裝置由儲物區(qū)與充氮區(qū)（內(nèi)層是儲物區(qū)用來放置新鮮易變質(zhì)物品，充氮區(qū)是儲物區(qū)外的全部空間，用來向儲物區(qū)輸送氮氣從而實現(xiàn)保鮮功能）．如圖所示，該裝置外層上部分是半徑為2半球，下面大圓剛好與高度為3的圓錐的底面圓重合，內(nèi)層是一個高度為4的倒置小圓錐，小圓錐底面平行于外層圓錐的底面，且小圓錐頂點與外層圓錐頂點重合，為了保存更多物品，充氮區(qū)空間最小可以為（　?。? A．4π B． C． D． 解：設(shè)半球的半徑為R，則R＝2，小圓錐的高為4，大圓錐的高為3， 整個保鮮封閉裝置的體積為＝， 小圓錐的半徑為r，則r2＝R

14、2﹣（4﹣3）2＝22﹣1＝3，所以， 故小圓錐的體積為， 所以充氮區(qū)空間最小可以為． 故選：B． 8．已知函數(shù)f（x）＝x+．若曲線y＝f（x）存在兩條過（2，0）點的切線，則a的取值范圍是（　?。? A．（﹣∞，1）∪（8，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（8，+∞） C．（﹣∞，0）∪（8，+∞） D．（﹣∞，﹣8）∪（0，+∞） 解：f（x）＝x+．f′（x）＝1﹣， 設(shè)切點坐標(biāo)為（x0，x0+）， 則切線方程為：y﹣x0﹣＝（1﹣）（x﹣x0）， 又切線過點（2，0），可得﹣x0﹣＝（1﹣）（2﹣x0）， 整理得2x02+ax0﹣a＝0， 曲線存在兩條切線，故方程

15、有兩個不等實根， 即滿足△＝a2﹣8（﹣a）＞0，解得a＞0或a＜﹣8， 故選：D． 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分． 9．如圖為某省高考數(shù)學(xué)卷近三年難易程度的對比圖（圖中數(shù)據(jù)為分值）．根據(jù)對比圖，其中正確的為（　?。? A．近三年容易題分值逐年增加 B．近三年中檔題分值所占比例最高的年份是2019年 C．2020年的容易題與中檔題的分值之和占總分的90%以上 D．近三年難題分值逐年減少 解：根據(jù)對比圖，容易題這三年的分值分別為40，55，96，逐年增加，故選

16、項A正確； 2018年中檔題分值76，占比最高，故選項B錯誤； 2020年的容易題與中檔題的分值之和占總分的100%＞90%，故選項C正確； 難題分值分別為：34，46，12，并不是逐年減少，故選項D錯誤． 故選：AC． 10．設(shè)正實數(shù)a，b滿足a+b＝1，則（　?。? A．+有最小值4 B．有最大值 C．有最大值 D．a(chǎn)2+b2有最小值 解：正實數(shù)a，b滿足a+b＝1， 所以＝＝2+≥4， 當(dāng)且僅當(dāng)且a+b＝1，即a＝b＝時取等號，此時取得最小值4，A正確； ＝ab＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，此時取得最大值，B錯誤； （）2＝a+b+2＝1+2≤1+a+b＝2，當(dāng)且

17、僅當(dāng)a＝b＝時取等號， 故，即有最大值，C正確； a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab＝，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時取等號，此時a2+b2取得最小值，D正確． 故選：ACD． 11．中國傳統(tǒng)文化中很多內(nèi)容體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的“對稱美”．如圖所示的太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圓形圖案，其特點是圓的周長和面積同時被平分，充分體現(xiàn)了相互轉(zhuǎn)化、對稱統(tǒng)一、和諧共存的特點．若函數(shù)y＝f（x）的圖象能夠?qū)A的周長和面積同時平分，則稱函數(shù)f（x）為這個圓的“和諧函數(shù)”．給出下列命題中正確的有（　　） A．對于任意一個圓，其“和諧函數(shù)”至多有2個 B．函數(shù)f（x）＝ln（x+）可以是某個圓的“和諧函

18、數(shù)” C．正弦函數(shù)y＝sinx可以同時是無數(shù)個圓的“和諧函數(shù)” D．函數(shù)f（x）＝2x+1不是“和諧函數(shù)” 解：選項A：因為過圓心的直線都可以將圓的面積周長同時平分， 所以對于任意一個圓，其“和諧函數(shù)”有無數(shù)個，故A錯誤； 選項B：因為函數(shù)f（x）＝ln（x+）是奇函數(shù)，滿足和諧函數(shù)的定義，故B正確； 選項C：將圓的圓心放在正弦函數(shù)的對稱中心處，則正弦函數(shù)是該圓的和諧函數(shù)，故有無數(shù)個圓成立，故C正確； 選項D：將圓的圓心放在函數(shù)f（x）＝2x+1圖象上，則有無數(shù)個圓成立，故函數(shù)是和諧函數(shù)，故D錯誤， 故選：BC． 12．已知f（x）＝，則下列有關(guān)函數(shù)g（x）＝f[f（x）

19、]﹣πf（x）﹣π在[﹣3，5]上零點的說法正確的是（　?。? A．函數(shù)g（x）有5個零點 B．函數(shù)g（x）有6個零點 C．函數(shù)g（x）所有零點之和大于2 D．函數(shù)g（x）正數(shù)零點之和小于4 解：作出函數(shù)f（x）＝的圖象如圖所示， 令f（x）＝t，則t， 當(dāng)時，函數(shù)g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π可變?yōu)椋? 令h（t）＝0，即，即， 則，解得， 所以f（x）＝t＝﹣， 由圖可知，方程f（x）＝﹣有2個不同的實根x1，x2，且x1+x2＝﹣3； 當(dāng)t∈（1，+∞）時，函數(shù)g（x）＝f[f（x）]﹣πf（x）﹣π可變?yōu)椋剑? 令p（t）＝0，即， 又因為， 所

20、以方程有且僅有1個實根， 則f（x）＝t，又， 由圖可知，方程f（x）＝t有4個不同的實根x3＜x4＜x5＜x6， 由圖可知，x3+x4＝1，又|log2（x﹣1）|＝t， 所以log2（x5﹣1）＝﹣t，log2（x6﹣1）＝t， 則， 所以（x5﹣1）（x6﹣1）＝x5x6﹣（x5+x6）+1＝1， 整理可得x5x6＝x5+x6＞2+2＝4， 所以函數(shù)g（x）有6個零點，故選項A錯誤，選項B正確； x1+x2+x3+x4+x5+x6＞﹣3+1+4＝2，故選項C正確， 因為x5+x6＞2+2＝4，故選項D錯誤． 故選：BC． 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，

21、共20分． 13．寫出兩個與終邊相同的角　，（答案不唯一）?。? 解：與終邊相同的角．k∈Z， 當(dāng)k＝1時，α＝， 當(dāng)k＝2時，． 故答案為：，（答案不唯一）． 14．2021年的兩會政府工作報告中提出：加強(qiáng)全科醫(yī)生和鄉(xiāng)村醫(yī)生隊伍建設(shè)，提升縣級醫(yī)療服務(wù)能力，加快建設(shè)分級診療體系，讓鄉(xiāng)村醫(yī)生“下得去、留得住”．為了響應(yīng)國家號召，某醫(yī)科大學(xué)優(yōu)秀畢業(yè)生小李和小王，準(zhǔn)備支援鄉(xiāng)村醫(yī)療衛(wèi)生事業(yè)發(fā)展，在康莊、青浦、夾山、河?xùn)|4家鄉(xiāng)村診所任選兩家分別就業(yè)，則小李選擇康莊且小王不選擇夾山的概率為　　． 解：某醫(yī)科大學(xué)優(yōu)秀畢業(yè)生小李和小王在康莊、青浦、夾山、河?xùn)|4家鄉(xiāng)村診所任選兩家分別就業(yè)， 基本事

22、件總數(shù)n＝＝12， 其中小李選擇康莊且小王不選擇夾山包含的基本事件個數(shù)m＝2， 則小李選擇康莊且小王不選擇夾山的概率P＝＝＝． 故答案為：． 15．在邊長為2的正三角形ABC中，D是BC的中點，＝2，CE交AD于F． ①若＝x+y，則x+y＝　??； ②?＝　?。? 解：如圖：過E作EM∥AD，且EM∩BC＝M． 由＝2，D是BC的中點得：，， 故，即． 所以＝． 所以＝． 故． 易知． 由已知得． 所以?＝（）?（）＝ ＝＝． 故答案為：． 16．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an+1＝2an+1，若bn+1＝（n﹣2t）（an+1），b1＝﹣t，且數(shù)列

23、{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是　　． 解：因為an+1＝2an+1，即an+1+1＝2（an+1）， 所以數(shù)列{an+1}是首項為a1+1＝2，公比為2的等比數(shù)列， 則有an+1＝2?2n﹣1，即an＝2n﹣1， 所以bn+1＝（n﹣2t）（an+1）＝（n﹣2t）?2n， 則bn＝（n﹣1﹣2t）?2n﹣1，n≥2， 因為數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列， 所以（n﹣2t）?2n＞（n﹣1﹣2t）?2n﹣1對n≥2恒成立， 即n＞2t﹣1對n≥2恒成立， 所以， 又b2＞b1，即2（1﹣2t）＞﹣t， 解得t＜， 所以實數(shù)t的取值范圍是． 故答案為：． 四

24、、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sinBsinC． （1）求A； （2）若a＝，求△ABC的面積的最大值． 解：（1）因為cos2B+cos2C﹣cos2A＝1﹣sinBsinC， 所以1﹣sin2B+1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝1﹣sinBsinC． 即sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC， 由正弦定理得b2+c2﹣a2＝bc， 由余弦定理cosA＝＝， 由A為三角形內(nèi)角得A＝； （2）＝＝＝2， 故b＝2s

25、inB，c＝2sinC， S△ABC＝＝4sinBsinC＝sinBsin（）， ＝（）， ＝sin2B+， ＝sin2B﹣cos2B， ＝sin（2B﹣）+， 因為0， 所以﹣＜2B﹣＜， 故﹣＜sin（2B﹣）≤1， 所以0＜sin（2B﹣）+≤． 故△ABC的面積的最大值． 18．已知首項為2的數(shù)列{an}中，前n項和Sn滿足Sn＝tn2+n（t∈R）． （1）求實數(shù)t的值及數(shù)列{an}的通項公式an； （2）將①bn＝，②bn＝2+an，③bn＝2?an，三個條件任選一個補(bǔ)充在題中，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 解：（1）由題可知a1＝2，因為Sn＝tn2

26、+n， 令n＝1，可得a1＝S1＝t+1＝2， 解得t＝1， 所以Sn＝n2+n，Sn﹣1＝（n﹣1）2+（n﹣1）， 所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n， 當(dāng)n＝1時，a1＝2也適合上式， 所以數(shù)列{an}的通項公式an＝2n． （2）若選①bn＝＝（﹣）， 所以Tn＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝﹣． 若選②bn＝2+an＝4n+2n， 所以Tn＝+n2+n＝﹣+n2+n． 若選③bn＝2?an＝2n?4n， 所以Tn＝241+442+643+…+2n?4n， 4Tn＝242+443+644+…+2n?4n+1， 兩式相減可得﹣

27、3Tn＝241+242+243+…+2?4n﹣2n?4n+1 ＝2﹣2n?4n+1＝（﹣2n）4n+1﹣， 所以Tn＝（n﹣）4n+1+． 19．目前，新能源汽車尚未全面普及，原因在于技術(shù)水平有待提高，國內(nèi)幾家大型汽車生產(chǎn)商的科研團(tuán)隊已經(jīng)獨立開展研究工作．吉利研究所、北汽科研中心、長城攻堅戰(zhàn)三個團(tuán)隊兩年內(nèi)各自出成果的概率分別為，m，．若三個團(tuán)隊中只有長城攻堅戰(zhàn)出成果的概率為． （1）求吉利研究所、北汽科研中心兩個團(tuán)隊兩年內(nèi)至少有一個出成果的概率及m的值； （2）三個團(tuán)隊有X個在兩年內(nèi)出成果，求X分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：（1）三個團(tuán)隊中只有長城攻堅戰(zhàn)出成果的概率為， 則，解得，

28、“吉利研究所、北汽科研中心兩個團(tuán)隊兩年內(nèi)至少有一個出成果”的對立事件為“吉利研究所、北汽科研中心兩個團(tuán)隊兩年內(nèi)都沒有出成果”， 則吉利研究所、北汽科研中心兩個團(tuán)隊兩年內(nèi)至少有一個出成果的概率為＝； （2）根據(jù)題意可知，X的可能取值為0，1，2，3， 所以P（X＝0）＝； P（X＝1）＝＝； P（X＝2）＝＝； P（X＝3）＝＝． 所以X的分布列為： X 0 1 2 3 P X的數(shù)學(xué)期望為E（X）＝0+1+2+3＝． 20．正多面體也稱柏拉圖立體，被喻為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，其所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形，

29、且每一個頂點所接的面數(shù)都一樣，各相鄰面所成二面角都相等）．?dāng)?shù)學(xué)家已經(jīng)證明世屆上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體．已知一個正四面體QPTR和一個正八面體AEFBHC的棱長都是a（如圖），把它們拼接起來，使它們一個表面重合，得到一個新多面體． （1）求新多面體的體積； （2）求二面角A﹣BF﹣C的余弦值； （3）求新多面體為幾面體？并證明． 解：（1）連接BE、FH，交于O點，連接OA，四棱錐A﹣BFEH的高為AO， 四棱錐A﹣BFEH的體積為V＝?SBFEH?AO＝＝， 取PT中點N，連接NQ、NR，由NQ⊥PT，NR⊥PT， 三棱錐

30、Q﹣PTR的體積為V′＝?S△NQR?PT＝?a＝， 所以新多面體的體積為2V+V′＝2?+＝． （2）取EF中點M連接AM、MC、MO，設(shè)∠AMO＝θ，cosθ＝＝＝， 由幾何體特征知，EF⊥MA，EF⊥MC，二面角A﹣EF﹣C的平面角為∠AMC＝2θ， cos2θ＝2cos2θ﹣1＝， 因為二面角A﹣BF﹣C與二面角A﹣EF﹣C相等， 所以二面角A﹣BF﹣C的余弦值為． （3）新多面體為7面體，證明如下： 取AF中點H，連接EH、BH，OH，設(shè)∠OHE＝γ，sinγ＝＝＝ 因為AF⊥HE，AF⊥HB， 所以二面角B﹣AF﹣E的平面角為∠BHE＝2γ， cos2γ＝1﹣

31、2sin2γ＝， 取RQ中點G，連接NG，設(shè)∠QNG＝α，sinα＝＝＝， 因為NQ⊥PT，NR⊥PT， 所以二面角Q﹣PT﹣R的平面角為∠QNR＝2α， cos2α＝1﹣2sin2α＝， 所以2α與2θ、2γ都互補(bǔ)，于是把正四面體QPTR和正八面體AEFBHC拼接起來后，相鄰面共面， 所以新多面體為7面體． 21．已知函數(shù)f（x）＝． （1）討論f（x）的單調(diào)性； （2）若對于?x∈[0，]，f（x）≤kx恒成立，求實數(shù)k的取值范圍． 解：（1）由于f（x）＝，所以f′（x）＝， 當(dāng)cosx﹣sinx＞0，cos（x+）＞0，即x∈（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）時

32、，f（x）＞0， 當(dāng)cosx﹣sinx＜0，cos（x+）＜0，即x∈（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）時，f（x）＜0， 所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）， 單調(diào)遞減區(qū)間為（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）； （2）令g（x）＝f（x）﹣kx＝﹣kx， 要使f（x）≤kx總成立，只需x∈[0，]時g（x）max≤0， 對g（x）求導(dǎo)，可得g′（x）＝﹣k， 令h（x）＝， 則h′（x）＝＜0（x∈[0，]） 所以h（x）在[0，]上為減函數(shù)，而h（0）＝1，h（）＝﹣， 所以h（x）∈[﹣，1]； 對k分類討論： ①當(dāng)k≤﹣時，g′（x）≥0恒

33、成立， 所以g（x）在[0，]上為增函數(shù)， 所以g（x）max＝g（）＝﹣， 即g（x）≤g（）＝﹣， 由﹣≤0，解得：k≥， 故≤k≤，無解； ②當(dāng)﹣＜k＜1時，g′（x）＝0在上有實根x0， 因為h（x）在[0，]上為減函數(shù)， 所以當(dāng)x∈（x0，）時，g′（x）＜0， 所以g（x0）＞g（0）＝0，不符合題意； ③當(dāng)k≥1時，g′（x）≤0恒成立， 所以g（x）在[0，]上為減函數(shù)， 則g（x）≤g（0）＝0，故成立； 綜上，可得實數(shù)k的取值范圍是[1，+∞）． 22．已知橢圓C：+＝1（a＞b＞0）的焦距為2b，經(jīng)過點P（﹣2，1）． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方

34、程； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，在橢圓短軸上有兩點M，N滿足＝，直線PM，PN分別交橢圓于AB，PQ⊥AB，Q為垂足，是否存在定點R，使得|QR|為定值，說明理由． 解：（1）由題意可得，解得：a2＝8，b2＝2， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+＝1； （2）當(dāng)M，N分別為橢圓的短軸上的端點時，設(shè)M（0，），N（0，﹣）， 則可得直線AB為y軸，由PQ⊥AB可得Q在y軸上， 當(dāng)M，N表示短軸的端點時，設(shè)直線AB的方程為y﹣kx+t，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 聯(lián)立，整理可得：（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8＝0， x1+x2＝﹣，x1x2＝， 直線PA：y﹣1＝（x

35、+2）＝（x+2），令x＝0可得y＝， 即M（0，） 同理可得N（0，）， 由題意＝，所以+＝0 整理可得：（4k+2）x1x2+（4k+2t+2）（x1+x2）+8t＝0， 代入可得：（4k+2）（）+（4k+2+2t）（﹣）+8t＝0， 整理可得：k（﹣4﹣2t）+t2﹣2﹣t＝0， 當(dāng)時，不論k為何時都成立， 即t＝﹣2時恒成立， 這時直線AB的方程為：y＝kx﹣2， 所以直線AB恒過T（0，﹣2）， 因為PQ⊥AB，所以PQ⊥QT， 所以Q是以PT為直徑的圓上的點， 又因為P（﹣2，1），所以它的圓心為（﹣1，﹣）， 所以設(shè)R（﹣1，﹣）， 則|QR|為定值，使|QR|＝|PT|， 所以存在R使得|QR|為定值．