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1、 人工湖的優(yōu)化模型 摘要：本文通過研究人工湖對(duì)環(huán)境溫度調(diào)節(jié)問題的分析，將對(duì)水溫問題轉(zhuǎn)化為對(duì)湖水中熱量的問題。通過對(duì)湖水中各種因素對(duì)湖水溫度的分析，得到一系列關(guān)于湖水熱量的方程，利用matlab、spss等相關(guān)軟件進(jìn)行求解。并且得出對(duì)不同面積﹑渾濁度、深度的導(dǎo)熱規(guī)律及湖水溫度隨著深度的遞減的變化規(guī)律，其湖面溫度對(duì)環(huán)境溫度的溫室效應(yīng)產(chǎn)生的影響。 問題一：對(duì)不同面積和深度的人工湖建立模型，并分別對(duì)影響湖水中溫度的各因素進(jìn)行分析：水溫與湖水密度之間的關(guān)系，導(dǎo)熱系數(shù)k與湖水密度的關(guān)系等，搜素相關(guān)數(shù)據(jù)，并利用傅里葉定理得出導(dǎo)熱規(guī)律，利用水溫隨深度變化均應(yīng)滿足拉普拉斯方程，得出溫度隨著深度遞減的變化規(guī)

2、律。 問題二：要分析湖面溫度對(duì)環(huán)境溫度的溫室效應(yīng)產(chǎn)生的影響，根據(jù)白天和晚上陽光吸熱的多方面的差異比較大，將淺水層與大氣熱量交換分為二段，有太陽光照射階段（白天）、日落之后（夜里）兩個(gè)階段。 考慮湖面與大氣交換的熱量和湖中微生物所帶來的熱量兩方面因素對(duì)環(huán)境溫度的溫室效應(yīng)產(chǎn)生的影響，通過求出陽光輻射量與湖水雜質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式、水溫與湖水熱量的函數(shù)關(guān)系式、各層分界的式子以及深度與熱量之間的關(guān)系式、湖水蒸發(fā)從水面失去的熱流的關(guān)系式、湖水在單位時(shí)間接受太陽輻射的線性方程，從而建立湖泊熱量平衡方程。然后再通過建立微分方程模型計(jì)算可分別得到白天和夜里的湖水單位面積能量ΔS，再對(duì)環(huán)境所產(chǎn)生的效應(yīng)進(jìn)行分

3、析。 最后通過對(duì)結(jié)果的分析，同時(shí)結(jié)合實(shí)際情況，本報(bào)告提出了一些有關(guān)人工湖對(duì)環(huán)境調(diào)節(jié)的一些參考性意見與建議，以期為環(huán)保部門提供較為科學(xué)的決策依據(jù)。 關(guān)鍵詞：溫度調(diào)節(jié) 熱平衡方程 導(dǎo)熱規(guī)律 微分方程 拉普拉斯方程 傅里葉定理 一﹑問題重述 人工湖面吸收太陽能后獲得熱量，再通過水面蒸發(fā)、水面有效輻射和水面與大氣的對(duì)流熱交換等失去熱量。熱量的輸送和交換，可以用湖泊熱量平衡方程來表達(dá)和計(jì)算。由于湖泊熱量平衡的某些要素(如湖泊蒸發(fā)率)不易精確測定，因而通常用水溫來表達(dá)湖中的熱動(dòng)態(tài)。太陽輻射主要是增高湖水表層的溫度，而下層湖水的溫度變化主要是湖水對(duì)流和紊動(dòng)混合造成的。 湖水因溫度

4、不同也可造成密度差異，在水層不穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)生對(duì)流循環(huán)，在對(duì)流循環(huán)達(dá)到的深度以上，水溫趨于一致。風(fēng)的擾動(dòng)可使人工湖在任何季節(jié)產(chǎn)生同溫現(xiàn)象；對(duì)于深水湖泊來說，風(fēng)的擾動(dòng)只能涉及湖水上層，因而在垂向上會(huì)產(chǎn)生上層與下層不同的溫度分布。上、下水層之間溫度變化急劇的中間層稱為溫躍層。湖水溫度具有一定的年變化和日變化，這種變化在湖水表層最為明顯，隨著深度的增加而減弱。 湖水的輻射特性決定湖水溫度，影響湖水物理化學(xué)性質(zhì)的分布，而湖水中各種生物的繁殖、生長和發(fā)展也都與湖水輻射特性有關(guān)。射在湖面的太陽光部分進(jìn)入水體，部分被反射。進(jìn)入水體內(nèi)的太陽光部分被吸收，部分散射，即使在淺水湖泊中也只有很少一部分透過水層被湖底

5、吸收。射入湖水中的太陽光極大部分為水的最上層所吸收，只有1～30％達(dá)到1米深處的水層，透入5米深處的只有0～5％，而進(jìn)入10米深處的不足1％。湖水吸收太陽光和使太陽光散射的能力與水中的各種懸浮質(zhì)的數(shù)量和顆粒大小有關(guān)，懸浮質(zhì)越多、顆粒越大，對(duì)光的吸收和散射能力越強(qiáng)，同時(shí)散射到水面的分量也越小。光線透入水中的深度，隨湖水的混濁度增加而減少(參見湖水光學(xué)現(xiàn)象)，例如：在渾濁不清的湖水中光線只能深入數(shù)米。 問題1. 根據(jù)適當(dāng)?shù)募僭O(shè)，對(duì)不同面積和深度的人工湖，建立數(shù)學(xué)模型，分析導(dǎo)熱規(guī)律（分為清澈的湖水和有混濁度的湖水）及湖水溫度隨著深度的遞減的變化規(guī)律（湖水的導(dǎo)熱系數(shù)自行查閱）。 問題2. 解釋并計(jì)

6、算對(duì)于不同面積和深度的人工湖，其湖面溫度對(duì)環(huán)境溫度的溫室效應(yīng)產(chǎn)生的影響。 二﹑模型假設(shè) 1. 假設(shè)在人工湖各深度截面積相等； 2. 假設(shè)人工湖各處的深度相等； 3. 假設(shè)湖面中無結(jié)冰等特殊情況； 4. 在應(yīng)用能量平衡方程計(jì)算進(jìn)入湖面的熱能量時(shí)，不考慮降水或其它情況帶來的熱能； 5. 在分析湖水熱量與各因素的關(guān)系時(shí)忽略降雨等災(zāi)難帶來的影響； 三﹑符號(hào)說明 l C 水的比熱容，通常為； l S 湖面面積； l Q 湖水熱量； l k 導(dǎo)熱系數(shù)； l T 水體溫度； l h 距離湖面的深度； l 湖水密度； l e(S) 湖水吸收的

7、太陽光波輻射； l 湖水吸收的大氣逆輻射； l 湖水水波輻射； l 湖水蓄熱變量； l 湖水蒸發(fā)失去的熱流； l 湖水蒸發(fā)潛熱； l 太陽光的吸收度； 四﹑模型的建立與求解 問題一： 利用湖—?dú)馑疅醾鬏斈Ｐ蛠硌芯亢乃疅醾鬏斶^程，該模型使用溫度作為預(yù)報(bào)變量。其次,相鄰兩層的溫度若處于不穩(wěn)定的狀態(tài),則采取強(qiáng)制對(duì)流混合機(jī)制。 1.1 傅里葉定理（傳熱學(xué)的基本定理）： 1.2 k的求解： 液體微觀結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是近程有序，分子的主要運(yùn)動(dòng)形式是熱振動(dòng)。根據(jù)這一特點(diǎn),可用諧振子模型描述液體,也就是將液體分子的熱振動(dòng)看作分子在其平衡位的微小振動(dòng)

8、。由液體的熱傳導(dǎo)機(jī)理可知,分子通過碰換能量,實(shí)現(xiàn)熱量傳遞。從微觀上考慮,當(dāng)液體中某一區(qū)域溫度升高時(shí),諧振子的振幅增大,分子間通過依次碰撞使熱量由高溫向低溫區(qū)域傳遞。由此可知,分子間的距離越小,熱量傳遞愈快,導(dǎo)熱系數(shù)愈大；另一方面,諧振子的振動(dòng)頻率愈高,熱量傳遞愈快,導(dǎo)熱系數(shù)愈大。對(duì)于給定的液體,諧振子的振動(dòng)頻率一定,導(dǎo)熱系數(shù)主要取決于分子的距離。分子間距離愈小,液體密度愈大,密度愈大,導(dǎo)熱系數(shù)愈大,即液體導(dǎo)熱系數(shù)為密度 的函數(shù)：。從理論上確定這一函數(shù)關(guān)系是十分困難的,甚至是不可能的,必須借助于數(shù)學(xué)方法近似處理。應(yīng)用函數(shù)展開定理,可將展開為的級(jí)數(shù),取線性項(xiàng)得: （2） 式中為常數(shù)。由液體的導(dǎo)

9、熱機(jī)理可知，當(dāng)時(shí)，,故.這樣式（2）可化為 （3） 根據(jù)參考文獻(xiàn)[3]作者導(dǎo)出的液體密度公式 （4） 將（4）代入（3）可得 （5） 式中為溫度，為常數(shù)。 通過我們查閱數(shù)據(jù)資料，我們得出水的導(dǎo)熱系數(shù)與溫度之間的關(guān)系如下表所示： 溫度T/℃ 導(dǎo)熱系數(shù)k/[W/(mK)] 0 0.553 8 0.5728 20 0.599 25 0.6078 40 0.634 56 0.6548 60 0.659 80 0.675 96 0.682 100 0.683 利用SPSS對(duì)溫度與水的導(dǎo)熱系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行擬合，下圖

10、中橫坐標(biāo)T表示水的溫度如下圖所示： 模型匯總和參數(shù)估計(jì)值 Dependent Variable: 導(dǎo)熱系數(shù) Equation Model Summary Parameter Estimates R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 b2 Quadratic 1.000 35871.533 2 7 .000 .554 .002 -1.2E-005 The independent variable is 溫度 令k=A+BT+C 所以解得A=,B=0.002,C=0.554 ; 即k=+0.002T+

11、0.554 1.3 熱量Q表達(dá)式的求解： Q= ; 2 湖水溫度隨著深度遞減的變化規(guī)律： 將湖水分成三層：淺水層、溫躍層、深水層，其中淺水層深度為、溫躍層深度為， 可設(shè)湖面溫度T1，淺水層下部溫度T2，溫躍層下部T3，湖底溫度T4 （ps：此數(shù)據(jù)均可由實(shí)際測量得） 則各層應(yīng)水溫隨深度變化均應(yīng)滿足拉普拉斯方程 ； 其邊界條件 淺水層：\>， (1) ； 溫躍層：\>， (2)； 深水層：\>， (3)； 由拉普拉斯方程可知，溫度是深度的一次函數(shù)，即溫度和深度是線性關(guān)系，可設(shè) （4）；將（1）、（2）、（3）式代入（4）式 解得

12、T淺= T溫躍= T深水= 問題二：得出陽光輻射量與湖水雜質(zhì)量之間的函數(shù)關(guān)系式、水溫與湖水熱量的函數(shù)關(guān)系式、各層分界的式子以及深度與熱量之間的關(guān)系式、湖水蒸發(fā)從水面失去的熱流的關(guān)系式、湖水在單位時(shí)間接受太陽輻射的線性方程，從而建立湖泊熱量平衡方程。 u 湖水對(duì)太陽光的吸收問題 一、先不考慮雜質(zhì) 查閱相關(guān)資料得光在水中的衰減規(guī)律，其中為光學(xué)衰減系數(shù)； 假設(shè)入射到湖面的光強(qiáng)恒定為L，湖水對(duì)太陽輻射的吸收率為c 則湖水對(duì)太陽光的吸收 =cL 則某一深度單位面積湖水單位時(shí)間所吸收輻射能量 de(S)=dh 二、現(xiàn)在考慮雜質(zhì)（包含生物及非生物）的影響 定義湖水混濁度β(β1

13、，β=1時(shí)表示湖水澄清) 則改進(jìn)之后的光衰減系數(shù)及湖水吸收度分別為，= cL u 水溫與熱量的函數(shù)關(guān)系 設(shè)溫度時(shí)的熱量是連續(xù)可微函數(shù)，考察到時(shí)熱量的變化量，于是有： 整理得： 所以根據(jù)以上式子整理得： u 大氣逆輻射及湖水長波輻射 來自空氣的向下長波輻射在水體表面幾乎被完全吸收,而水層表面則按某種規(guī)律向上發(fā)出長波輻射， 已知物體的紅外輻射與其溫度有莫大關(guān)系 經(jīng)查閱相關(guān)資料其紅外輻射特性與其溫度的4次方呈正比例關(guān)系 可設(shè) a(S)= ；=b 式中T7為當(dāng)時(shí)氣溫； 鑒于湖面輻射僅發(fā)生在淺水層 為簡化計(jì)算，T8取淺水層平均溫度 再經(jīng)查資料得為st

14、efan-Boltzmann常數(shù)()；b=，其中為水體表面發(fā)射率(暫取) u 湖水蒸發(fā)熱流的影響 蒸發(fā)從水面帶走的熱量 式中：是蒸發(fā)潛熱，可用以下公式計(jì)算： 式中：為蒸發(fā)率，以傳質(zhì)理論計(jì)算 式中：為水面飽和蒸汽壓，為空氣蒸汽壓。 u 湖中微生物光合作用對(duì)岸邊環(huán)境的影響 光合作用公式： 呼吸作用公式： 考慮二氧化碳占空氣比重為，二氧化碳的密度為1.493， 計(jì)算其凈同化量n （單位為毫摩爾每平方米每天（mMolm-2d-1）） 通過上網(wǎng)查詢相關(guān)資料得知在西北地區(qū)植物凈同化量為319.11（mMolm-2d-1），也即產(chǎn)生545.35899kJ的熱量

15、。 u 湖泊熱量平衡方程 將淺水層與大氣熱量交換分為二段，有太陽光照射階段（白天）、日落之后（夜里） 淺水層熱量平衡方程： ΔS=e(S)+a(S)-l(S)- 一、白天 淺水層： 太陽光輻射吸收量：de=αdh 熱量與水溫之間關(guān)系： 大氣逆輻射：a(S)= 湖水長波輻射：=b 蒸發(fā)從水面失去的熱流： 傅里葉函數(shù)：，k=+0.002T+0.554 二、夜里 淺水層： 熱量與水溫之間關(guān)系： 大氣逆輻射：a(S)= 湖水長波輻射：=b 蒸發(fā)從水面失去的熱流： 傅里葉函數(shù)：，k=+0.002T+0.554 問題二的求解 1) 湖面吸收率c的求解 將題

16、目中的已知條件提取出相關(guān)數(shù)據(jù)，則可將c與h近似成如下表所示： 湖面距離水底的深度 太陽輻射占進(jìn)入湖面總的太陽輻射的百分比 0 1 1 30% 5 5% 10 1% 再將其擬合為一個(gè)指數(shù)型的函數(shù)，如下圖所示： Model Summary and Parameter Estimates 模型匯總和參數(shù)估計(jì)值 Dependent Variable: 吸收率 Equation Model Summary Parameter Estimates R Square F df1 df2 Sig. Constant b1 Exponential .9

17、61 49.137 1 2 .020 .632 -.436 The independent variable is 深度 結(jié)合模型一已求得導(dǎo)熱規(guī)律及湖水溫度隨著深度的遞減的變化規(guī)律，聯(lián)立湖泊熱量平衡方程ΔS=e(S)+a(S)-l(S)-建立微分方程模型，給出一組數(shù)，在matlab中求解。 結(jié)果反映了單位面積湖水對(duì)環(huán)境所產(chǎn)生的效應(yīng)，若湖水各特性在水平方向非均勻分布，則ΔS應(yīng)為面積的函數(shù)；假湖水各特性在水平方向均勻分布，那么ΔS總=，即湖水面積越大，對(duì)周邊環(huán)境的調(diào)節(jié)作用愈明顯，湖中微生物及兩岸植被光合作用吸收CO2一方面可減緩溫室效應(yīng)，另一方面，植物本身呼吸作用釋放一定的熱

18、，致使環(huán)境溫度上升，這也就是為何有時(shí)在湖邊夜晚會(huì)覺得比較熱原因之所在。 六﹑模型的評(píng)價(jià) 優(yōu)點(diǎn)： u 本模型考慮了能影響水中熱量的多種因素，建立了比較完整的模型; u 分別對(duì)各因素進(jìn)行分析，條理清晰，目標(biāo)明確; u 本模型主要解決的是有關(guān)用人工湖水降溫的問題，根據(jù)湖水中熱量的多少以及人工湖的深度、面積不同的面積分析周邊的環(huán)境溫度問題。此模型還可以類似推廣到草地綠化、垃圾處理等問題上，對(duì)環(huán)保部門是很有幫助意義的； u 在圖像和參數(shù)的求解過程中，應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件spass進(jìn)行了處理，使模型趨向于精確； u 對(duì)于草地綠化問題：根據(jù)不同花草樹木的吸收二氧化碳能力不同，進(jìn)行光合作用、呼吸

19、作用的時(shí)間段不同，吸收太陽光能力不同，喜陰喜陽情況等因素，分析各影響因素的關(guān)系列出式子建立微分方程模型求解。 缺點(diǎn)： 雖然考慮的因素比較多，但是還是忽略了一部分因素。在本模型中沒有考慮到湖水溫度具有一定的年變化和日變化，這種變化在湖水表層最為明顯，隨著深度的增加而減弱這個(gè)問題；還忽略了不同時(shí)刻太陽光的強(qiáng)度不同等因素。在實(shí)際生活當(dāng)中的問題這些都是要考慮進(jìn)去的，這一方面需要改進(jìn)。 模型的改進(jìn)： 在處理此問題時(shí)，應(yīng)盡可能的考慮湖的溫度與季節(jié)，以及與地域（如沿海、內(nèi)地、沙漠等地域特征）的影響。在問題二中，我們考慮人工湖的不同面積與深度對(duì)環(huán)境溫度的溫室效應(yīng)產(chǎn)生的影響時(shí)，可進(jìn)一步考慮離湖不同距離湖區(qū)周圍全天溫度的變化。從而進(jìn)一步明確，人工湖對(duì)小氣候的調(diào)節(jié)作用。 【參考文獻(xiàn)】 【1】<數(shù)學(xué)軟件與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)> 汪曉銀 鄒挺榮主編 【2】<概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)> 【3】網(wǎng)絡(luò)資源