《傳染病的數(shù)學(xué)模型, 數(shù)學(xué)建模, 論文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《傳染病的數(shù)學(xué)模型, 數(shù)學(xué)建模, 論文（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 數(shù) 學(xué) 建 模 論 文 班級：商英1002班 學(xué)號：14號 姓名：譚嘉坤 指導(dǎo)老師：周愛群 　　由于人體的疾病難以控制和變化莫測，醫(yī)學(xué)中的數(shù)學(xué)模型也是較為復(fù)雜的。在研究傳染病傳播問題時，人們發(fā)現(xiàn)傳染病傳播所涉及的因素很多，例如，傳染病人的多少，易受感染者的多少，免疫者(或感染后痊愈者)的多少等。在將某一地區(qū)，某種傳染病的統(tǒng)計數(shù)據(jù)進(jìn)行處理和分析后，人們發(fā)現(xiàn)了以下的規(guī)律性： 　　設(shè)Sk表示在開始觀察傳染病之后第k天易受感染者的人數(shù)，Hk表示在開始觀察后第k天傳染病人的人數(shù)，Ik表示在開始觀察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)，那么 　　Sk+1=Sk

2、-0.01Sk (1) 　　Hk+1=Hk-0.2Hk＋0.01Sk (2) 　　Ik+1=Ik+0.2Hk (3) 　　其中(1)式表示從第k天到第k＋1天有1％的易受感染者得病而離開了易受感染者的人群；(2)式表示在第k+1天的傳染病人的人數(shù)是第k天的傳染病人的人數(shù)減去痊愈的人數(shù)0.2Hk(假設(shè)該病的患病期為5 　　(3)式表示在第k＋1天免疫者的人數(shù)是第k天免疫者的人數(shù)加上第k天后病人痊愈的人數(shù)。 　　將(1)，(2)和(3)式化簡得 　　如果已知S0，H0，I0的值，利用上式可以求得S1，H1，I1的值，將這組值再代入上式，又可求得S2，H2，I2的值，這樣做下去，

3、我們可以逐個地，遞推地求出各組Sk，Hk，Ik的值。因此，我們把Sk+1，Hk＋1，Ik+1和Sk，Hk，Ik之間的關(guān)系式叫做遞推關(guān)系式。 　　現(xiàn)在假設(shè)開始觀察時易受感染者，傳染病人和免疫者的人數(shù)分別為 　　將上述數(shù)據(jù)(5)代入(4)式右邊得 　　利用遞推關(guān)系式(4)反復(fù)計算得表30-1。 　　在建立上述數(shù)學(xué)模型的過程中，如果還要考慮該地區(qū)人員的遷入和遷出，人口的出生和死亡所引起的總?cè)藬?shù)的變化等因素，那么傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型變得非常復(fù)雜。所以必須舍去次要因素，抓住主要因素，把問題簡化，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。如果將由該數(shù)學(xué)模型計算的結(jié)果與實際比較后，與傳染病傳播的情況大致吻合，那么

4、我們就可以利用該模型對得病人數(shù)進(jìn)行預(yù)測和估計。例如，可以預(yù)測若干天后傳染病人的人數(shù)等等，便于有關(guān)的醫(yī)療衛(wèi)生部門作出相應(yīng)的決策。 　　在上述模型中，易受感染者每天的發(fā)病率是1％，它只與易受感染者的人數(shù)Sk有關(guān)。對于有些傳染病，情形更為復(fù)雜，它不僅與易受感染者的人數(shù)有關(guān)，也與傳染病人的人數(shù)Hk有關(guān)，因為傳染病人的人數(shù)越多，傳染病的發(fā)病率也就越高。這樣，就必須將由(1)，(2)和(3)式所給出的模型加以修改。這里，我們假設(shè)該地區(qū)人口總數(shù)為N，是一個常數(shù)。于是， Sk=N-(Hk＋I(xiàn)k) (7) 　　其中Ik為在開始觀察后第k天免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)。設(shè)傳染病人每天的痊愈率為α，則

5、 Ik+1=Ik+αHk (8) 　　最后，假設(shè)每天發(fā)病人數(shù)與易受感染者的人數(shù)Sk和傳染病人的人數(shù)Hk均成正比，且其比例因子為β，那么 Hk+1=Hk+βSkHk-αHk (9) 　　將(7)，(8)和(9)組合起來，就得到關(guān)于Sk，Hk，Ik的遞推關(guān)系式： 　　如果已知N，α和β，并給定S0，H0和I0，那么利用上式就可以計算H1和I1，利用H1和I1，由(7)式，可以計算S1，然后計算H2和I2，再計算S2，……這樣，(10)式就給出了關(guān)于傳染病傳播的第2個數(shù)學(xué)模式。 　　利用數(shù)學(xué)模型(4)或(10)式可以對該傳染病傳播的情形作一些定性的分析。 　　設(shè)ΔSk=Sk＋1-Sk

6、表示從第k天到第k+1天易受感染者人數(shù)的變化，ΔIk=Ik+1-Ik表示從第k天到第k＋1天免疫者(或感染后痊愈者)人數(shù)的變化。從數(shù)學(xué)模型(4)式可以看到 ΔSk=-0.01Sk≤0 ΔIk=0.2Hk≥0 　　所以易受感染者人數(shù)只可能減少不會增加，而免疫者人數(shù)只可能增加不會減少?，F(xiàn)問對數(shù)學(xué)模型(10)式來說，易受感染者的人數(shù)，免疫者的人數(shù)以及傳染病人的人數(shù)各有什么變化規(guī)律？ 　　分析：類似于數(shù)學(xué)模式(4)式的情形，分別計算ΔSk，ΔIk與ΔHk(=Hk+1-Hk)，然后加以分析。 　　解 由(10)式得： 　　ΔSk=N-(Hk+1＋I(xiàn)k+1)-[N-(Hk+Ik)] 　　

7、　 =(Ik-Ik+1)+(Hk-Hk+1) 　　　　=-αHk-βSkHk+αHk 　　　　=-βSkHk 　　所以ΔSk≤0，k=1， 2，…，即易受感染者人數(shù)只可能減少不會增加。 　　因為 ΔIk=Ik+αHk-Ik 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =αHk 　　所以ΔIk≥0，k=1，2，…，即免疫者人數(shù)只可能增加不會減少。 　　現(xiàn)在設(shè)ΔHk=Hk+1-Hk表示從第k天到第k＋1天傳染病人的人數(shù)的變化，則由(10)式得 Hk=βSkHk-αHk 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 =(βSk-α)Hk， 　　所以當(dāng)(βSk-α)＞0時，傳染病人

8、的人數(shù)第k＋1天比第k天增加；當(dāng)(βSk-α)＜0時，傳染病人的人數(shù)相應(yīng)地減少，也就是說，當(dāng)易受感染者人數(shù)Sk“大”時，可使(βSk-α)＞0，從而傳染病人的人數(shù)增加；當(dāng)易受感染者的人數(shù)Sk“小”時，可使(βSk-α)＜0，從而傳染病人的人數(shù)減少。解一元一次不等式 βSk-α＞0(或βSk-α＜0) 　　得 　　　 　 　 　　 如，打預(yù)防針等)，那么可以降低發(fā)病率從而降低β值。如果發(fā)明了一種好的藥品可以縮短患病期，那么就可以提高傳染病人每天的痊愈率α。 　　 現(xiàn)在有這樣的一個實際問題，有一個藥物研究小組提出需要100萬元的科研經(jīng)費在一年內(nèi)試制某種預(yù)防針劑，可使發(fā)病率降低從

9、而使β值降低25％，而另一個藥物研究小組提出需要100萬元的科研經(jīng)費在一年內(nèi)試制某種藥品，可使痊愈率α提高30%。如果僅有一筆100萬元的科研基金可供申請，那么這筆基金應(yīng)提供給哪一個小組？ 　　 　　　 　　對于用藥物的方法，α2=(1+30%)α，β2=β，所以 　　 　　由于C1＞C2，所以這筆基金應(yīng)提供給試制預(yù)防針劑的小組。 注：從傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型的研究過程中，可以看到建立數(shù)學(xué)模型的一般過程。 總結(jié) 　　一般說來，建立數(shù)學(xué)模型有如下6個步驟： 　　第一步：模型準(zhǔn)備 　　根據(jù)提出的問題，要深入了解該問題的實際背景，明確建立模型的目的，掌握所研究對象的

10、各種信息，如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象的特征?？傊?，要做好建立模型的一切準(zhǔn)備工作。 　　在本題中，研究者通過對某地區(qū)某種傳染病傳播情況的觀察，積累一定的數(shù)據(jù)，例如，記錄一段時期內(nèi)每天傳染病人，易受感染者以及免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)等等，也就是說，按要求統(tǒng)計必要的數(shù)據(jù)，目的是建立傳染病傳播的數(shù)學(xué)模型，以了解傳染病人的人數(shù)變化的趨勢，使有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生部門能及時采取措施，將傳播病加以有效的防治。 　　第二步：模型假設(shè) 　　實際問題中往往因素很多，十分復(fù)雜。因此，必須根據(jù)實際研究對象的特征和建立模型的目的，較確切地去辨別問題的主要方面和次要方面，抓住主要因素，暫不考慮次要因素，將問題理想化、簡

11、單化。 　　不同的簡化和假設(shè)，會得到不同的模型。假設(shè)做得不合理或過分簡單，會導(dǎo)致模型的失敗或部分失敗，于是應(yīng)該加以修正；假設(shè)做得過于詳細(xì)，試圖把復(fù)雜的實際現(xiàn)象的各個因素都考慮進(jìn)去，將難于發(fā)現(xiàn)規(guī)律和建立模型。 　　在本題中，我們只考慮上述三種人數(shù)：Sk，Hk和Ik的變化情況，對人口的遷入和遷出，出生和死亡等因素暫不考慮。 　　第三步：模型建立 　　建立數(shù)學(xué)模型，通常要根據(jù)所做的假設(shè)，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各量之間的等式或不等式關(guān)系，列出表格，畫出圖象等表達(dá)式，用以描述客觀事物的特征及其內(nèi)在聯(lián)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 　　建模時，首先要考慮合理性，并盡量使用簡單的數(shù)學(xué)工具，簡單工具不能解決問題時

12、，要選用較復(fù)雜的數(shù)學(xué)工具。 　　在本題中是設(shè)法建立一個與實際數(shù)據(jù)比較吻合的關(guān)于Sk，Hk和Ik的遞推關(guān)系式。例如，在建立數(shù)學(xué)模型(4)式時，研究者通過對觀察數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)每天有1%的易受感染者得病，而病人的患病期為5天， 和(3)以描述易受感染者，傳染病人和免疫者(或感染后痊愈者)的人數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。 　　第四步：模型求解 　　建立數(shù)學(xué)模型后，實際問題已歸結(jié)為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題。接著，需要求解數(shù)學(xué)問題，解出結(jié)果。 　　在本題中，利用數(shù)學(xué)模式(4)式，通過直接計算，就能得到表30-1所列的結(jié)果。如果借助于計算機(jī)，我們還能得到更多的數(shù)據(jù)。 　　本題的模型求解過程特別簡單。對于有些問

13、題，有時需要用到許多數(shù)學(xué)方法，甚至現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一些方法；有時需要借助于計算機(jī)，利用算法語言，編出計算機(jī)程序，做出計算機(jī)軟件等幫助求解。 　　第五步：模型檢驗 　　把模型求解的結(jié)果，經(jīng)“翻譯”再回到實際對象中，用實際現(xiàn)象，數(shù)據(jù)等檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果檢驗結(jié)果不符合或部分不符合實際情況，并且肯定在模型建立和求解過程中沒有失誤的話，那么應(yīng)該修改假設(shè)，重新建模。 　　在本題中，我們可以檢驗由(4)式計算出來的理論數(shù)值與實際統(tǒng)計的數(shù)據(jù)是否吻合。如果比較吻合，則模型是成功的；如果差別太大，則模型是失敗的；如果部分吻合，則可找原因，發(fā)現(xiàn)問題，修改模型。例如，當(dāng)某種傳染病每天的發(fā)病人數(shù)既與易受感染

14、者人數(shù)有關(guān)又與傳染病人的人數(shù)有關(guān)時，那么必須把原數(shù)學(xué)模型中的(2)式加以修改，假設(shè)傳染病人的人數(shù)符合(10)式，建立新的數(shù)學(xué)模型(10)式，然后對新的數(shù)學(xué)模型加以檢驗，直到檢驗結(jié)果令人滿意為止。 　　第六步：模型應(yīng)用 　　應(yīng)用的方式因問題的性質(zhì)和建模的目的而不同。例如，利用計算結(jié)果做出某些決策進(jìn)行管理與控制或預(yù)測未來的情況等，實際上，所建模型的意義大小就是由它的應(yīng)用前景來決定的。 　　在本題中，利用數(shù)學(xué)模型，可以預(yù)測傳染病人傳播的趨勢，及時采取預(yù)防和治療措施，將病情加以控制。利用數(shù)學(xué)模型(10)式，還可以 值或者降低β值的重要性，便于有關(guān)醫(yī)療衛(wèi)生部門進(jìn)行決策和管理。 　　應(yīng)該指出

15、，并非所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時各個步驟之間的界限也并不那么分明。但是，通過建模一般過程的介紹，可以對建模的意義和方法有進(jìn)一步的理解。 　　一般說來，所謂數(shù)學(xué)模型，是指對現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。它或者能解釋特定現(xiàn)象和現(xiàn)實性態(tài)；或者能預(yù)測對象的未來狀況；或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制。對于利用數(shù)學(xué)模型經(jīng)過演繹、推理、計算，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)報、決策或控制，必須經(jīng)過實踐的檢驗。對檢驗結(jié)果正確，或基本正確的，就可以肯定下來，用來指導(dǎo)實際；對檢驗結(jié)果懸殊較大；或基本錯誤的，必須修改模型。 　　目前數(shù)學(xué)模型已經(jīng)形成一門創(chuàng)造性很強(qiáng)的新興學(xué)科，它的應(yīng)用已擴(kuò)展到各個領(lǐng)域，有人口模型、交通模型、生態(tài)模型、生理模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會模型等等，氣象工作者根據(jù)關(guān)于氣壓、雨量、風(fēng)速、……的數(shù)學(xué)模型，來預(yù)報天氣；發(fā)電廠運(yùn)用發(fā)電過程的數(shù)學(xué)模型，來實現(xiàn)計算機(jī)自動控制；在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的兩個數(shù)學(xué)模型，純交換經(jīng)濟(jì)的平衡價格和投入產(chǎn)出模型，均獲得了諾貝爾獎金……?？茖W(xué)家們對數(shù)學(xué)模型的研究，已獲得了很多成果，對生產(chǎn)力的發(fā)展起了巨大的作用。