大學(xué)物理 下冊(cè) 課后習(xí)題答案 完整版 word版
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1、第九章 靜電場 (Electrostatic Field) 二、計(jì)算題 9.7 電荷為+q和-2q的兩個(gè)點(diǎn)電荷分別置于x=1 m和x=-1 m處.一試驗(yàn)電荷置于x軸上何處,它受到的合力等于零? 解:設(shè)試驗(yàn)電荷置于x處所受合力為零,根據(jù)電力疊加原理可得 即:。因點(diǎn)處于q、-2q兩點(diǎn)電荷之間,該處場強(qiáng)不可能為零.故舍去.得 m 9.8 一個(gè)細(xì)玻璃棒被彎成半徑為R的半圓形,沿其上半部分均勻分布有電荷+Q,沿其下半部分均勻分布有電荷-Q,如題圖9.4所示.試求圓心O處的電場強(qiáng)度. 解:把所有電荷都當(dāng)作正電荷處理. 在q 處取微小電荷 dq = ldl = 2Qdq
2、 / p 它在O處產(chǎn)生場強(qiáng) 按q 角變化,將dE分解成二個(gè)分量: 對(duì)各分量分別積分,積分時(shí)考慮到一半是負(fù)電荷 =0 所以 9.9如圖9.5所示,一電荷線密度為的無限長帶電直導(dǎo)線垂直紙面通過A點(diǎn);附近有一電量為的均勻帶電球體,其球心位于O點(diǎn)。是邊長為的等邊三角形。已知處場強(qiáng)方向垂直于,求:和間的關(guān)系。 解:如圖建立坐標(biāo)系。根據(jù)題意可知 9.10 如題圖9.6所示,一電荷面密度為s的“無限大”平面,在距離平面a處的一點(diǎn)的場強(qiáng)大小的一半是由平面上的一個(gè)半徑為R的圓面積范圍內(nèi)的電荷所產(chǎn)生的.試求該圓半徑的大?。?
3、 解:電荷面密度為s的無限大均勻帶電平面在任意點(diǎn)的場強(qiáng)大小為 :E=s / (2e0)。 以圖中O點(diǎn)為圓心,取半徑為r→r+dr的環(huán)形面積,其電量為dq = s2prdr。它在距離平面為a的一點(diǎn)處產(chǎn)生的場強(qiáng) 則半徑為R的圓面積內(nèi)的電荷在該點(diǎn)的場強(qiáng)為 由題意,令E=s / (4e0),得到 R= 9.11 如題圖9.7所示,一均勻帶電直導(dǎo)線長為,電荷線密度為。過導(dǎo)線中點(diǎn)O作一半徑為()的球面,P為帶電直導(dǎo)線的延長線與球面的交點(diǎn)。求: (1)、通過該球面的電場強(qiáng)度通量。 (2)、P處電場強(qiáng)度的大小和方向。 解:(1)利用靜電場的高斯定理即可得:。 (2
4、)如圖建立一維坐標(biāo)系,坐標(biāo)原點(diǎn)與圓心重合。在帶電導(dǎo)線上坐標(biāo)為處取長度為的帶電元,其所帶電荷量為,在p點(diǎn)產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為: 則p點(diǎn)的電場強(qiáng)度為 9.12 題圖9.8中,虛線所示為一立方形的高斯面,已知空間的場強(qiáng)分布為:Ex=bx,Ey=0, Ez=0。高斯面邊長a=0.1 m,常量b=1000 N/(Cm).試求該閉合面中包含的凈電荷.(真空介電常數(shù)=8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解:設(shè)閉合面內(nèi)包含凈電荷為Q.因場強(qiáng)只有x分量不為零,故只是二個(gè)垂直于x軸的平面上電場強(qiáng)度通量不為零.由高斯定理得: 則 9.13 體圖9
5、.9所示,有一帶電球殼,內(nèi)、外半徑分別為、,電荷體密度為,在球心處有一點(diǎn)電荷。證明:當(dāng)時(shí),球殼區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的大小與半徑無關(guān)。 證:用高斯定理求球殼內(nèi)場強(qiáng): ,而 r Q a b r 圖9.9 要使的大小與r無關(guān),則應(yīng)有 : , 即 9.14 如題圖9.10所示,一厚為b的“無限大”帶電平板,其電荷體密度分布為 (0≤x≤b ),式中k為一正的常量.求: (1) 平板外兩側(cè)任一點(diǎn)P1和P2處的電場強(qiáng)度大?。? (2) 平板內(nèi)任一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度; (3) 場強(qiáng)為零的點(diǎn)在何處? 解: (1) 由對(duì)稱
6、分析知,平板外兩側(cè)場強(qiáng)大小處處相等、方向垂直于平面且背離平面.設(shè)場強(qiáng)大小為E.作一柱形高斯面垂直于平面.其底面大小為S,如圖所示. 按高斯定理,即: 得到: , (板外兩側(cè)) (2) 過P點(diǎn)垂直平板作一柱形高斯面,底面為S.設(shè)該處場強(qiáng)為,如圖所示.按高斯定理有: 得到: (0≤x≤b) (3) =0,必須是, 可得 9.15 一球體內(nèi)均勻分布著電荷體密度為的正電荷,若保持電荷分布不變,在該球體挖去半徑為r的一個(gè)小球體,球心為,兩球心間距離,如題圖9.11所示。 求: (1) 在球形空腔內(nèi),球心處的電場強(qiáng)度; (2) 在球體內(nèi)P點(diǎn)處的
7、電場強(qiáng)度。設(shè)、O、P三點(diǎn)在同一直徑上,且。 解:挖去電荷體密度為r 的小球,以形成球腔時(shí)的求電場問題,可在不挖時(shí)求出電場,而另在挖去處放上電荷體密度為-r的同樣大小的球體,求出電場,并令任意點(diǎn)的場強(qiáng)為此二者的矢量疊加,即: 在圖(a)中,以O(shè)點(diǎn)為球心,d為半徑作球面為高斯面S,則可求出O與P處場強(qiáng)的大小。 得: 方向分別如圖所示。 在圖(b)中,以O(shè)點(diǎn)為小球體的球心,可知在O點(diǎn)E2=0. 又以O(shè) 為心,2d為半徑作球面為高斯面S 可求得P點(diǎn)場強(qiáng)E2P (1) 求O點(diǎn)的場強(qiáng) . 由圖(a)、(b)可得 EO’ = E1O’ =, 方向如圖(c)
8、所示. (2)求P點(diǎn)的場強(qiáng).由圖(a)、(b)可得 方向如(d)圖所示. E1P r P E2P EP 圖(d) O O P E1O’ r 圖(a) O r O d EO’=E1 O’ 圖(c) O P E2P -r O r E2O’=0 圖(b) E1P 9.16 如題圖9.12所示,兩個(gè)點(diǎn)電荷+q和-3q,相距為d. 試求: (1) 在它們的連線上電場強(qiáng)度的點(diǎn)與電荷為+q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)? (2) 若選無窮遠(yuǎn)處電勢為零,兩點(diǎn)電荷之間電勢U=0的點(diǎn)與電荷為+q的點(diǎn)電荷相距多遠(yuǎn)?
9、解:設(shè)點(diǎn)電荷q所在處為坐標(biāo)原點(diǎn)O,x軸沿兩點(diǎn)電荷的連線. (1) 設(shè)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,則 解出: 另有一解不符合題意,舍去. (2) 設(shè)坐標(biāo)x處U=0,則 得: 9.17 一均勻靜電場,電場強(qiáng)度,空間有兩點(diǎn)和,(以米計(jì))。求兩點(diǎn)之間的電勢差。 解:空間某點(diǎn)的位矢表示為,則 9.18 題圖9.13所示,為一沿x軸放置的長度為l的不均勻帶電細(xì)棒,其電荷線密度為,為一常量.取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn),求坐標(biāo)原點(diǎn)O處的電勢. 解:在任意位置x處取長度元dx,其上帶有電荷dq=l0 (x-a)dx 。它在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢 O
10、點(diǎn)總電勢: 9.19 題圖9.14所示,電荷q均勻分布在長為2l的細(xì)桿上。求 (1)、在桿外延長線上與桿端距離為a的P點(diǎn)的電勢(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn))。 (2)、桿的中垂線上與桿中心距離為a的P點(diǎn)的電勢。(設(shè)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)). 解:(1)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn),x軸沿桿的方向,如圖所示. 細(xì)桿的電荷線密度l=q / (2l),在x處取電荷元dq = ldx=qdx / (2l),它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 整個(gè)桿上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢: (2)設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)位于桿中心O點(diǎn),x軸沿桿的方向,如圖所示. 桿的電荷線密度l=q / (2l).在x處取電
11、荷元dq.dq = ldx = qdx / (2l) 它在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢 整個(gè)桿上電荷產(chǎn)生的電勢: 9.20 兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的均勻帶電同心球面,半徑分別為R1=0.03 m和R2=0.10 m.已知兩者的電勢差為450 V,求內(nèi)球面上所帶的電荷. 解:設(shè)內(nèi)球上所帶電荷為Q,則兩球間的電場強(qiáng)度的大小為 (R1<r<R2) 兩球的電勢差: ∴ =2.1410-9 C 9.21 電荷以相同的面密度s 分布在半徑為r1=10 cm和r2=20 cm的兩個(gè)同心球面上.設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢為零,球心處的電勢為U0=300 V. [=8.8510-12 C2
12、/(Nm2)] (1) 求電荷面密度. (2) 若要使球心處的電勢也為零,外球面上應(yīng)放掉多少電荷? 解:(1) 球心處的電勢為兩個(gè)同心帶電球面各自在球心處產(chǎn)生的電勢的疊加,即 =8.8510-9 C / m2 (2) 設(shè)外球面上放電后電荷面密度為,則應(yīng)有: = 0 即 : 外球面上應(yīng)變成帶負(fù)電,共應(yīng)放掉電荷: =6.6710-9 C 9.22如題圖9.15所示,半徑為R的均勻帶電球面,帶有電荷q.沿某一半徑方向上有一均勻帶電細(xì)線,電荷線密度為,長度為l,細(xì)線左端離球心距離為r0.設(shè)球和線上的電
13、荷分布不受相互作用影響,試求細(xì)線所受球面電荷的電場力和細(xì)線在該電場中的電勢能(設(shè)無窮遠(yuǎn)處的電勢為零). 解:設(shè)x軸沿細(xì)線方向,原點(diǎn)在球心處,在x處取線元dx,其上電荷為,該線元在帶電球面的電場中所受電場力為: 整個(gè)細(xì)線所受電場力為: ,方向沿x正方向. 電荷元在球面電荷電場中具有電勢能: 整個(gè)線電荷在電場中具有電勢能: 9.23一真空二極管,其主要構(gòu)件是一個(gè)半徑R1=510-4 m的圓柱形陰極A和一個(gè)套在陰極外的半徑R2=4.510-3 m的同軸圓筒形陽極B,如題圖9.16所示.陽極電勢比陰極高300 V,忽略邊緣效應(yīng). 求電子剛從陰極射出時(shí)所受的電場
14、力.(基本電荷e=1.610-19 C) 解:與陰極同軸作半徑為r (R1<r<R2 )的單位長度的圓柱形高斯面,設(shè)陰極上電荷線密度為l.按高斯定理有: 即兩極間的電場強(qiáng)度可表示為: , (R1<r<R2), 的方向沿半徑指向軸線.兩極之間電勢差 所以,兩極間的電場強(qiáng)度為: 在陰極表面處電子受電場力的大小為 =4.3710-14 N 方向沿半徑指向陽極. 9.24 題圖9.17為一球形電容器,在外球殼的半徑b及內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢差U維持恒定的條件下,內(nèi)球半徑a為多大時(shí)才能使內(nèi)球表面附近的電場強(qiáng)度最?。壳筮@個(gè)最小電場強(qiáng)度的大?。? 解:設(shè)內(nèi)
15、球殼帶電量為,則根據(jù)高斯定理可得出兩球殼之間間半徑為的同心球面上各點(diǎn)電場強(qiáng)度的大小為 內(nèi)外導(dǎo)體間的電勢差: 當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體間電勢差U為已知時(shí),內(nèi)球殼上所帶電荷即可求出為: 內(nèi)球表面附近的電場強(qiáng)度大小為: 欲求內(nèi)球表面的最小場強(qiáng),令,則 得到: 并有 可知這時(shí)有最小電場強(qiáng)度: 9.25 題圖9.18所示,一半徑為R的“無限長”圓柱形帶電體,其電荷體密度為: (r≤R),式中A為常量.求: (1) 圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)場強(qiáng)大小分布; (2) 選與圓柱軸線的距離為l (l>R) 處為電勢零點(diǎn),計(jì)算圓柱體內(nèi)、外各點(diǎn)的電勢分布. 解:
16、(1) 取半徑為r、高為h的高斯圓柱面(如圖所示).面上各點(diǎn)場強(qiáng)大小為E并垂直于柱面.則穿過該柱面的電場強(qiáng)度通量為: 為求高斯面內(nèi)的電荷,時(shí),取一半徑為r,厚d r、高h(yuǎn)的圓筒,其電荷為: 則包圍在高斯面內(nèi)的總電荷為 由高斯定理得: 解出: (r≤R) 時(shí),包圍在高斯面內(nèi)總電荷為: 由高斯定理: 解出: (r >R) (2) 計(jì)算電勢分布 當(dāng)時(shí): 當(dāng)r>R時(shí) : 9.26已知某靜電場的電勢函數(shù) (SI).求點(diǎn)(4,3,0)處的電場強(qiáng)度各分量值
17、. 解:由場強(qiáng)與電勢梯度的關(guān)系式得 =-1000 V/m;; 9.27 如題圖9.19所示,在電矩為的電偶極子的電場中,將一電荷為q的點(diǎn)電荷從A點(diǎn)沿半徑為R的圓弧(圓心與電偶極子中心重合,R>>電偶極子正負(fù)電荷之間距離)移到B點(diǎn),求此過程中電場力所作的功。 解:用電勢疊加原理可導(dǎo)出電偶極子在空間任意點(diǎn)的電勢 式中為從電偶極子中心到場點(diǎn)的矢徑.于是知A、B兩點(diǎn)電勢分別為 ; q從A移到B電場力作功(與路徑無關(guān))為 第十章 靜電場中的導(dǎo)體和電介質(zhì) 二、計(jì)算題 10.13 如題圖10.4所示,一內(nèi)半徑為a、外
18、半徑為b的金屬球殼,帶有電荷Q,在球殼空腔內(nèi)距離球心r處有一點(diǎn)電荷q.設(shè)無限遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn),試求: (1) 球殼內(nèi)外表面上的電荷. (2) 球心O點(diǎn)處,由球殼內(nèi)表面上電荷產(chǎn)生的電勢. (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢. 解:(1) 由靜電感應(yīng),金屬球殼的內(nèi)表面上有感生電荷-q,外表面上帶電荷q+Q. (2) 不論球殼內(nèi)表面上的感生電荷是如何分布的,因?yàn)槿我浑姾稍xO點(diǎn)的 距離都是a,所以由這些電荷在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為 (3) 球心O點(diǎn)處的總電勢為分布在球殼內(nèi)外表面上的電荷和點(diǎn)電荷q在O點(diǎn)產(chǎn)生的電勢的代數(shù)和
19、 10.14 有一"無限大"的接地導(dǎo)體板 ,在距離板面b處有一電荷為q的點(diǎn)電荷.如題圖10.5(a)所示,試求: (1) 導(dǎo)體板面上各點(diǎn)的感生電荷面密度分布(參考題圖10.5(b)); (2) 面上感生電荷的總電荷(參考題圖10.5(c))。 解:(1) 選點(diǎn)電荷所在點(diǎn)到平面的垂足O為原點(diǎn),取平面上任意點(diǎn)P,P點(diǎn)距離原點(diǎn)為r,設(shè)P點(diǎn)的感生電荷面密度為s. 在P點(diǎn)左邊鄰近處(導(dǎo)體內(nèi))場強(qiáng)為零,其法向分量也是零,按場強(qiáng)疊加原理, ∴ (2) 以O(shè)點(diǎn)為圓心,r為半徑,dr為寬度取一小圓環(huán)面,其上電荷為 總電荷為
20、 10.15 如題圖10.6所示,中性金屬球A,半徑為R,它離地球很遠(yuǎn).在與球心O相距分別為a與b的B、C兩點(diǎn),分別放上電荷為qA和qB的點(diǎn)電荷,達(dá)到靜電平衡后,問: (1) 金屬球A內(nèi)及其表面有電荷分布嗎? (2) 金屬球A中的P點(diǎn)處電勢為多大?(選無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)) 解:(1) 靜電平衡后,金屬球A內(nèi)無電荷,其表面有正、負(fù)電荷分布,凈帶電荷為零. (2) 金屬球?yàn)榈葎蒹w,設(shè)金屬球表面電荷面密度為s. ∵ ∴ 10.16 三個(gè)電容器如題圖10.7聯(lián)接,其中C1 = 101
21、0-6 F,C2 = 510-6 F,C3 = 410-6 F,當(dāng)A、B間電壓U =100 V時(shí),試求: (1) A、B之間的電容; (2) 當(dāng)C3被擊穿時(shí),在電容C1上的電荷和電壓各變?yōu)槎嗌伲? 解:(1) 3.1610-6 F (2) C1上電壓升到U = 100 V,電荷增加到110-3 C 10.17 一個(gè)可變電容器,由于某種原因所有動(dòng)片相對(duì)定片都產(chǎn)生了一個(gè)相對(duì)位移,使得兩個(gè)相鄰的極板間隔之
22、比為,問電容器的電容與原來的電容相比改變了多少? 解:如下圖,設(shè)可變電容器的靜片數(shù)為,定片數(shù)為,標(biāo)準(zhǔn)情況下,極板間的距離為(圖a),極板相對(duì)面積為。則該電容器組為個(gè)相同的平行板電容器并聯(lián)(圖a)??傠娙轂?。 當(dāng)動(dòng)片由于某種原因發(fā)生相對(duì)位移而使相鄰的極板間隔變?yōu)楹?,總電容為? 所以電容增加了: 10.18 一平行板空氣電容器充電后,極板上的自由電荷面密度=1.7710-6 C/m2.將極板與電源斷開,并平行于極板插入一塊相對(duì)介電常量為 的各向同性均勻電介質(zhì)板.計(jì)算電介質(zhì)中的電位移、場強(qiáng)和電極化強(qiáng)度的大小。(真空介電常量=8.8510-12 C2 / Nm2) 解:由的
23、高斯定理求得電位移的大小為 由的關(guān)系式得到場強(qiáng)的大小為 =2.5104 V/m 介質(zhì)中的電極化強(qiáng)度的大小為 10.19 如題圖10.8所示,一空氣平行板電容器,極板面積為,兩極板之間距離為,其中平行地放有一層厚度為 (、相對(duì)介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì).略去邊緣效應(yīng),試求其電容值。 解:設(shè)極板上的自由電荷面密度為.應(yīng)用的高斯定理可得兩極板之間的電位移大小為 由得:空氣中的電場強(qiáng)度大小為;電介質(zhì)中的電場強(qiáng)度的大小為。 兩極板之間的電勢差為 電容器的電容為 作法二: 看成二個(gè)電容串聯(lián), , ,則 10.20一平行板
24、電容器,極板間距離為10cm,其間有一半充以相對(duì)介電常量的各向同性均勻電介質(zhì),其余部分為空氣,如題圖10.9所示.當(dāng)兩極間電勢差為100 V時(shí),試分別求空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量。 解:設(shè)空氣中和介質(zhì)中的電位移矢量和電場強(qiáng)度矢量分別為、和、,則 (1) (2) (3) 聯(lián)立解得 V/m ; 方向均相同,由正極板垂直指向負(fù)極板. 10.21 一導(dǎo)體球帶電荷,放在相對(duì)
25、介電常量為 的無限大各向同性均勻電介質(zhì)中.求介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上的束縛電荷。 解:導(dǎo)體球處于靜電平衡時(shí),其電荷均勻分布在球面上.以為半徑作一同心高斯球面.按的高斯定理,可求出介質(zhì)內(nèi)半徑的同心球面上各點(diǎn)電位移的的大小 介質(zhì)與導(dǎo)體球的分界面上各點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小為 電極化強(qiáng)度的大小為 極化電荷面密度為: 分界面上的束縛電荷為 10.22 半徑為的介質(zhì)球,相對(duì)介電常量為、其自由電體荷密度,式中為常量,是球心到球內(nèi)某點(diǎn)的距離.試求: (1) 介質(zhì)球內(nèi)的電位移和場強(qiáng)分布. (2) 在半徑多大處
26、場強(qiáng)最大? 解:(1) 在介質(zhì)中,取半徑為→+d的同心薄殼層,其中包含電荷 取半徑為的同心球形高斯面,應(yīng)用的高斯定理, 則介質(zhì)內(nèi)半徑為的球面上各點(diǎn)的電位移為: ,( 為徑向單位矢量) 介質(zhì)內(nèi)半徑為的球面上各點(diǎn)的電位移為: , (2) 對(duì)求極值 得,且因,所以: 處最大. 10.23 如題圖10.10,一各向同性均勻電介質(zhì)球,半徑為R,其相對(duì)介電常量為,球內(nèi)均勻分布有自由電荷,其體密度為.求球內(nèi)的束縛電荷體密度和球表面上的束縛電荷面密度。 解:∵介質(zhì)是球?qū)ΨQ的,且r0均勻分布,∴ r,s 也必為球?qū)ΨQ分布.因而電場必為球?qū)ΨQ分布.用的高
27、斯定理,可求得半徑為的同心球面上 ;; 在介質(zhì)內(nèi),取半徑間的球殼為體元,則可求出介質(zhì)內(nèi)極化電荷體密度: 略去dr的高次項(xiàng),則 , (與異號(hào)) 介質(zhì)表面極化電荷面密度: , (與同號(hào)). 10.24 如題圖10.11所示,一平行板電容器,極板面積為S,兩極板之間距離為d,中間充滿介電常量按規(guī)律變化的電介質(zhì)。在忽略邊緣效應(yīng)的情況下,試計(jì)算該電容器的電容。 解:設(shè)兩極板上分別帶自由電荷面密度,則介質(zhì)中的電場強(qiáng)度分布為 兩極板之間的電勢差為 該電容器的電容值為 10.25 如
28、題圖10.12所示,一電容器由兩個(gè)同軸圓筒組成,內(nèi)筒半徑為,外筒半徑為,筒長都是,中間充滿相對(duì)介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì)。內(nèi)、外筒分別帶有等量異號(hào)電荷+Q和-Q.設(shè),L >> b,可以忽略邊緣效應(yīng),求: (1) 圓柱形電容器的電容; (2) 電容器貯存的能量. 解:(1)、由題給條件 (和,忽略邊緣效應(yīng), 應(yīng)用高斯定理可求出兩筒之間的場強(qiáng)為: 兩筒間的電勢差 電容器的電容 (2)、電容器貯存的能量 10.26兩個(gè)相同的空氣電容器,其電容都是,都充電到電壓各為后斷開電源,然后,把其中之一浸入煤油 (中,然后把兩個(gè)電容器并聯(lián),求:
29、 (1)、浸入煤油過程中損失的靜電能; (2)、并聯(lián)過程中損失的靜電能。 解:(1)電容器浸入煤油前的能量為 浸入煤油后,電容器的能量 在此過程中損失的能量為 (2)、并聯(lián)前,兩個(gè)電容器的總能量為 并聯(lián)后的總電容。并聯(lián)電容器上的總電量 并聯(lián)后電容器的總能量為 并聯(lián)過程中損失的能量為 10.27電容的電容器在的電勢差下充電,然后切斷電源,并將此電容器的兩個(gè)極板與原來不帶電、的電容器的兩極板相連,求: (1)、每個(gè)電容器極板所帶的電荷量; (2)、連接前后的靜電能。 解:1)、電容器的總電荷量為: 設(shè)兩個(gè)電容器極板所帶的電荷量分別為和
30、,則由: , 得: 2) 、連接前的靜電場能就是連接前第一個(gè)電容器的能量,即: 連接后的靜電場能即并聯(lián)后電容器的能量,即: 10.28 一平行板電容器的極板面積為S = 1 m2,兩極板夾著一塊d = 5 mm厚的同樣面積的玻璃板.已知玻璃的相對(duì)介電常量為。電容器充電到電壓U = 12 V以后切斷電源。求把玻璃板從電容器中抽出來外力需做多少功。(真空介電常量e 0 = 8.8510-12 C2N-1m-2 ) 解:玻璃板抽出前后電容器能量的變化即外力作的功.抽出玻璃板前后的電容值分別為 , 撤電源后再抽玻璃板.板上電荷不變,但電壓改變,即 ∴
31、 抽玻璃板前后電容器的能量分別為 外力作功 = 2.5510-6 J 10.29 一平行板電容器,極板面積為S,兩極板之間距離為d,中間充滿相對(duì)介電常量為的各向同性均勻電介質(zhì).設(shè)極板之間電勢差為U.試求在維持電勢差U不變下將介質(zhì)取出,外力需作功多少? 解:在兩極板之間電勢差U不變下,有介質(zhì)時(shí)電容器中的電場能量為 取出介質(zhì)后的電場能量為 在兩極板之間電勢差U不變下,由于電容值改變,極板上電荷發(fā)生變化 Dq = q2 -q1 = C2U -C1U 電源作功 設(shè)外力作功為A1,則根據(jù)功能原理,
32、 A1 +A2 = DW = W2 -W1 故外力作功 第十一章 穩(wěn)恒電流(Steady Current) 二、計(jì)算題 11.6 已知導(dǎo)線中的電流按的規(guī)律隨時(shí)間變化,式中各量均采用國際單位。計(jì)算在到的時(shí)間內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電荷量。 解:導(dǎo)線中的電流不是恒定的,在時(shí)間間隔內(nèi)通過導(dǎo)線截面的電量。 在時(shí)間段內(nèi),通過導(dǎo)線截面的電量 11.7 內(nèi)外半徑分別為、的兩個(gè)同心球殼構(gòu)成一電阻元件,當(dāng)兩球殼間填滿電阻率為的材料后,求該電阻器沿徑向的電阻。 解:在半徑間取球殼(),該球殼沿經(jīng)向的電阻為 該電阻器沿經(jīng)向的總電阻應(yīng)為這些殼層電阻的串聯(lián),即該電阻器沿徑向的
33、電阻為: 11.8 當(dāng)電流為,端壓為時(shí),試求下列各情形中電流的功率以及內(nèi)產(chǎn)生的熱量。 (1)電流通過導(dǎo)線; (2)電流通過充電的蓄電池,該蓄電池的電動(dòng)勢為; (3)電流通過充電的蓄電池,該蓄電池的電動(dòng)勢為。 解:(1)、電流的功率。電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量。 (2)、電流的功率。當(dāng)給電動(dòng)勢為、內(nèi)阻為的蓄電池充電時(shí),有: 故電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量:。 (3)、電流的功率。當(dāng)電動(dòng)勢為、內(nèi)阻為的蓄電池放電時(shí),有: 故電流在內(nèi)產(chǎn)生的熱量:。 11.9在一由電動(dòng)勢恒定的直流電源供電的載流導(dǎo)線表面某處帶有正電荷,已知其電荷面密度為,在該處導(dǎo)線表面內(nèi)側(cè)的電流密度為,其方向沿導(dǎo)線
34、表面切線方向,如圖11.4所示.導(dǎo)線的電導(dǎo)率為,求在該處導(dǎo)線外側(cè)的電場強(qiáng)度。 解:規(guī)定在導(dǎo)線內(nèi)側(cè)和導(dǎo)線外側(cè)各物理量分別用角標(biāo)1,2區(qū)分.由高斯定理可求得導(dǎo)線表面電場強(qiáng)度的垂直分量 :。 由邊界條件和歐姆定律可求得導(dǎo)線外側(cè)電場強(qiáng)度的平行分量 :。 則導(dǎo)線外側(cè)電場強(qiáng)度的大小 的方向: , 11.10在如題圖11.5所示的電路中,兩電源的電動(dòng)勢分別為和,內(nèi)阻分別為和,電阻,求電阻兩端的電位差。 解:設(shè)各支路的電流為I1、I2和I3,如圖. ①
35、 ② ③ 由①、②、③三式聯(lián)立解得: A 11.11 如題圖11.6所示的電路中,電源電動(dòng)勢分別為,,,內(nèi)阻為。,,。求: (1)a、b兩點(diǎn)間的電位差; (2)、短路后,電阻上電流大小和流向。 解:(1)、參考題圖11.6a,因?yàn)?;,所以? (2)、a、b短接后,設(shè)各支路的電流方向如題圖11.6b所示。則: 解得: ,, 即,如果、短路,電阻上電流的大小為,方向自左向右。 11.12 在如題圖
36、11.7所示的電路中,已知,,,,,。O點(diǎn)接地,K為開關(guān),C為電容。求: (1) 開關(guān)閉合前A點(diǎn)的電勢; (2) 開關(guān)閉合后A點(diǎn)的電勢。(開關(guān)閉合前后,A點(diǎn)的電勢及電容器極板上的電荷量均指電路穩(wěn)態(tài)時(shí)的值)。 解:(1)、開關(guān)閉合前,參考題圖11.7a,可得 (2)、開關(guān)閉合后, 設(shè)各支路電流參考方向如題圖11.7b標(biāo)出,列KCL、KVL方程, 解得結(jié)果為;;。故此時(shí)A點(diǎn)的電勢為: 11.13在如題圖11.8所示的電路中,已知,,,,。各電池的內(nèi)阻均可忽略。求: 1)、當(dāng)開關(guān)K打開時(shí),求電路中B、C兩點(diǎn)間的電位差; 2)、當(dāng)開關(guān)K閉合后,若已知此時(shí)A、B兩點(diǎn)的
37、電位相等,求電阻。 解:1)、開關(guān)打開時(shí),閉和回路中的電流為: ,(順時(shí)針流動(dòng)) 在B、C兩點(diǎn)間取一段電路,如題圖11.8a,根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得: 2)、K閉和后,設(shè)三個(gè)支路中電流分別為,和,其參考方向如題圖11.8b表示。 因?yàn)锳、B兩點(diǎn)電勢相等,則根據(jù)一段含源電路的歐姆定律得: ; 代入數(shù)值后: ; 解得: ,。 又因?yàn)椋?,所以:。再根?jù)一段含源電路的歐姆定律得: 所以: (本題亦可直接列基爾霍夫方程組求解) 11.14電容器由如圖所示的任意形狀的兩個(gè)導(dǎo)體A、B之間充滿各向同性的均勻電介質(zhì)組成。電介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為
38、。漏電電阻率為。試證明兩導(dǎo)體之間的電容和電阻之間的關(guān)系為:。 證明:如上圖,使A和B分別帶上自由電荷。包圍A(或B)作閉合曲面S,S為高斯面,運(yùn)用的高斯定理: 把各向同性電介質(zhì)的性能方程和歐姆定律的微分形式代入上式得: (1) 設(shè)導(dǎo)體A、B之間的電位差為,則根據(jù)電容的定義有: (2) 而A、B之間的漏電電阻為: (3) 把(2)、(3)帶入(1)得: 26
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