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1、雙曲線的簡單幾何性質(zhì) 在人教版《普通高中課程標準實驗教科書（數(shù)學選修2-1）》中，針對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)第一課時內(nèi)容，筆者從教材分析、學生分析、目標分析、過程分析、板書設計等方面設計這一節(jié)課的教學. 一、教材分析 （一）教材的地位與作用 本節(jié)課是學生在已掌握雙曲線的定義及標準方程之后，在此基礎上，利用雙曲線的標準方程研究其幾何性質(zhì).它是教學大綱要求學生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個重要的考點，是深入研究雙曲線，靈活運用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎，更能使學生理解、體會解析幾何這門學科的研究方法，培養(yǎng)學生的解析幾何觀念，提高學生的數(shù)學素質(zhì). （二）教學重點與難點的確定及依據(jù)

2、對圓錐曲線來說，雙曲線有特殊的性質(zhì)，而學生對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法接受、理解和掌握有一定的困難.因此，在教學過程中我把雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，巧妙地導出了雙曲線的簡單幾何性質(zhì).這樣處理將數(shù)學思想滲透于其中，學生也易接受.因此，我把雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法作為重點.根據(jù)本節(jié)的教學內(nèi)容和教學大綱以及高考的要求，結(jié)合學生現(xiàn)有的實際水平和認知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質(zhì)作為本節(jié)課的難點. 教學重點: 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法. 解決辦法： 1.欣賞優(yōu)美的幾何畫板圖

3、形，以激發(fā)學生強烈的學習興趣； 2.利用“幾何畫板”進行數(shù)學問題的探索以培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力. 教學難點: 雙曲線漸近線概念與性質(zhì). 解決辦法：本節(jié)課我先選擇由教師借助“幾何畫板”，利用描點法畫出較為準確的圖形，由學生先觀察它的直觀性質(zhì)，然后再從方程出發(fā)給予證明. 二、學情分析與學法指導 學情分析：由于剛學習了橢圓有關問題，學生已經(jīng)熟悉了圖形——方程 ——性質(zhì)的研究過程，學生已基本具有由方程研究曲線性質(zhì)的能力. 學法指導:根據(jù)本書的教學內(nèi)容及教學目標，以及學生的認識規(guī)律，這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學中可以與其類比講解，

4、采用類比、聯(lián)想、啟發(fā)、引導、數(shù)形結(jié)合以及探索式相結(jié)合的教學和由方程研究性質(zhì)的思想方法.利用“幾何畫板”課件演示雙曲線的幾何圖形，讓學生自己進行探究,性質(zhì)類比，找出相同點與不同點，得到類似的結(jié)論.在教學中，學生自己能得到的結(jié)論應該讓學生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學習學生自己能解決的問題，應該讓學生自己解決，這樣有利于調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)他們的學習積極性，同時也有利于學習建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學生的思維能力和解決問題的能力. 漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法的接受、理解和掌握有一定的困難.因此，在教學過程中著重

5、培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，通過誘導、分析，從已有知識出發(fā)，層層設（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性. 例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓練學生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力. 三、教學目標分析 平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).教學參考書中明確要求：學生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟.根據(jù)這些教學原則和要求，以及學生的學習現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學目標.

6、 (一)知識與技能：通過類比探究，掌握雙曲線的幾何性質(zhì)，進一步完善對雙曲線的認知結(jié)構(gòu)，提高猜想能力，合情推理能力，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和數(shù)學交流能力. ①使學生能運用雙曲線的標準方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)； ②掌握雙曲線標準方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明，能運用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題. ③使學生進一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標系中曲線與方程的概念的理解. (二)過程與方法：通過對問題的類比探究活動，讓學生類比已知的知識，通過觀察、推導、形成新知識，進一步理解坐標法中根據(jù)曲線的方程研究曲

7、線的幾何性質(zhì)的一般方法，領悟其中所蘊涵的數(shù)學思想. (三)情感態(tài)度與價值觀：通過類比探究體驗挫折的艱辛與成功的快樂，激發(fā)學習熱情，逐步培養(yǎng)正確的數(shù)學觀、創(chuàng)新意識和科學精神. 四、教學方法與教學手段 （一）教學方法 1.以類比思維作為教學的主線. 2.以自主探究作為學生的學習方式. 我采用類比、聯(lián)想、啟發(fā)、引導、數(shù)形結(jié)合以及探索式相結(jié)合的教學和由方程研究性質(zhì)的思想方法.利用“幾何畫板”課件演示雙曲線的幾何圖形，讓學生邊觀察，邊類比，邊比較，總結(jié)雙曲線的五個性質(zhì)，并將其幾何性質(zhì)與橢圓的性質(zhì)類比，找出相同點與不同點.在解決相關問題時，作出草圖能幫助學生提高解決問題的準確性. （二）教

8、學手段 本節(jié)課使用多媒體，借助“幾何畫板”利用描點法較為精確地畫出雙曲線，便于學生觀察幾何性質(zhì)，使觀察出的結(jié)論讓學生信服.動畫演示、動手實驗，“幾何畫板”有效運用,多媒體課件. 五、教學程序設計 設計思路： 復習橢圓的幾何性質(zhì) 類比 雙曲線的幾何性質(zhì) 特有的幾何性質(zhì)（從特殊到一般的規(guī)律探索） 雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明

9、 加強應用 深化知識、鞏固提高 教學過程： （一）情境設置 1.橢圓的簡單幾何性質(zhì)有哪些 ？研究方法是什么？ （范圍、對稱性、頂點、離心率） 研究方法是：通過方程來研究圖形的幾何性質(zhì). 2.你能說出橢圓的幾何性質(zhì)嗎？ 　（學生回答）教師用投影顯示右表. 3.雙曲線是否具有類似的性質(zhì)? 由此引出課題. （二）探索研究 1.讓學生探討雙曲線的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點、離心率． 學生：自我思考→得出初步結(jié)論→小組討論→得出滿意結(jié)論→回答所得結(jié)論（“幾何畫板”演示探究與大家交流） 教師：啟發(fā)誘導→點撥釋疑→補充完善.

10、并將性質(zhì)列表如下： （教師說明實軸、虛軸、實半軸長、虛半軸長）． 2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證: 我們能較為準確地畫出曲線 ，這是為什么？（因為當雙曲線伸向遠處時，它與 x軸、 y軸無限接近）此時，x軸、 y軸叫做曲線的漸近線． 問：雙曲線有沒有漸近線呢？如果有，又該是怎樣的直線呢？ 　引導猜想：在研究雙曲線范圍時，由雙曲線標準方程可解出： . 當 無限增大時， 就無限趨近于零，也就是說，這時雙曲線 與直線 無限接近．（引導學生分析、猜想） 這使我們有理由猜想直線為雙曲線的漸近線． 直線 恰好是過實軸端點、，虛軸端點、，作平行于坐標軸的直線，，所成的矩形的兩條對角線，那么，

11、如何證明雙曲線上的點的沿曲線向遠處運動時，與漸近線越來越接近呢？ 　顯然，只要考慮雙曲線在第一象限就可以了.學生探討證明方法，教師可給予適當提示，尋找不同證明方法（“幾何畫板”演示推理過程）實際證法：如圖，設為漸近線上與 有相同橫坐標的點，于是. 　　　　 　　　　. 　　點沿曲線向遠處運動，隨著增大，逐漸減小，于是也逐漸減小． 解決了雙曲線向遠處伸展時的趨向問題，從而可較準確地畫出雙曲線，比如畫，先作雙曲線矩形，畫出其漸近線，就可隨手畫出比較精確的雙曲線． 3.離心率的幾何意義： 問：橢圓的離心率反映橢圓的圓扁程度，那么雙曲線的離心率有何幾何意義呢？ 由,， 可得 .

12、 越?。ń咏?） 越接近于 雙曲線開口越?。ū猹M）. 越大 越大（即漸近線的斜率的絕對值就大）雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊.由此可知，雙曲線的離心率越大，它的開口就越闊. 4.說出雙曲線的幾何性質(zhì).（幻燈片演示） （三）講解范例 例1.求雙曲線9x2－16y2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、離心率. 變式：求雙曲線9y2－16x2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標、漸近線方程、離心率. 例2．雙曲線型自然通風塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面（如圖），它的最小半徑為12 m，上口半徑為13 m，下口半徑為25m，高55

13、 m，選擇適當?shù)淖鴺讼?，求出此雙曲線的方程（精確到1 m）. 解：如圖，建立坐標系，使小圓的直徑在軸上，圓心與原點重合；這時，上、下口的直徑平行于軸，且，；設曲線的方程為：. 令點的坐標為，則點的坐標為，因為點在雙曲線上，所以 化簡，得,解得. ∴所求雙曲線的方程為. （四）隨堂練習 基礎練習： 1.求下列雙曲線的實半軸長和虛半軸長, 焦點坐標,頂點坐標,離心率,漸近線的方程. . 2.求頂點在x軸上,兩頂點間的距離為8,離心率e=的雙曲線的標準方程. 3.雙曲線實軸長與虛軸長之和等于其焦距的倍,且一個頂點坐標為 (0, 2), 則雙

14、曲線的標準方程為 . 4.雙曲線的一條漸近線方程為, 且過點 P (3,),則它的標準方程 是 . 歷年高考： 1.（2006年高考題）設雙曲線的焦點在x軸上，兩條漸近線為 ，則該雙曲線的離心率是 . 2.（2008年高考題）若雙曲線的漸近線方程為y=3x，它的一個焦點是 , 則雙曲線的方程是 . （五）總結(jié)提煉　　 （1）通過本節(jié)學習，要求學生熟悉并掌

15、握雙曲線的幾何性質(zhì)，尤其是雙曲線的漸近線方程及其“漸近”性質(zhì)的證明，并能簡單應用雙曲線的幾何性質(zhì)； （2）雙曲線的幾何性質(zhì)總結(jié)(學生填表歸納).雙曲線的幾何性質(zhì)與橢圓的幾何性質(zhì)有不少相同或類似之處，要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系，不能混淆，列表如下： 橢圓 雙曲線 方程 、 、 的關系 圖形 范圍 對稱性 對稱軸： 軸、 軸 對稱中心：原點 對稱軸： 軸、 軸 對稱中心：原點 頂點 、 、 長軸長 ，短軸長 、 實軸長 虛軸長 離心率 漸近線 無 有兩條，其方程為 （六）布置作業(yè) 課本P.61習題.3，4，鞏固并掌握課上所學的知識. 第 9 頁 共 9 頁