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1、數(shù)學校本課程—— 思考的樂趣 課時： 第一課——你的錢多少年可以翻一番 第二課——是命運還是概率 第三課——做一次生活科學家 第四課——翹課的代價 第五課——你敢承擔風險嗎？ 第六課——均衡 第七課——有好規(guī)矩才不悲劇 第八課——思維到底什么樣 第一課：你的錢多少年可以翻一番 e的故事 這里的是一個數(shù)的代表符號，而我們要說的，便是的故事。這倒叫人有點好奇了，要能說成一本書，這個數(shù)應該大有來頭才是，至少應該很有名吧？但是打開我們的記憶搜索器，大部分人能想到的重要數(shù)字，除了0和1外，大概就只有

2、和圓有關的了，我們都知道，圓的周長與直徑之比是一個常數(shù)，這個常數(shù)被稱為圓周率，記作，了不起的話，再加上虛數(shù)單位的。可是如果我問你，代表了什么，你能回答嗎？ 在高中數(shù)學里，大家都學到過對數(shù)（logarithm）的概念。教科書里的對數(shù)中，有以10為底的，叫做常用對數(shù)（common logarithm）。課本里還簡略提到，有一種以無理數(shù)=2.71828……為底數(shù)的對數(shù)，稱為自然對數(shù)（natural logarithm），這個，正是我們故事的主角。不知這樣子說，是否引起你更大的疑惑呢？在十進位制系統(tǒng)里，用這樣奇怪的數(shù)為底，難道會比以10為底更「自然」嗎？更令人好奇的是，長得這么奇怪的數(shù)，會有什么故事

3、可說呢？ 不妨先來看看維基百科是怎么說的： “是自然對數(shù)的底數(shù)?！? 但是，你去看“ 自然對數(shù) ”這個條目，得到的解釋卻是： “自然對數(shù)是以為底的對數(shù)函數(shù)，是一個無理數(shù)，約等于2.718281828?！? 這構成了循環(huán)定義，完全沒有說是什么。在這種情況下，數(shù)學家選擇這樣一個無理數(shù)作為底數(shù)，還號稱這種對數(shù)很"自然"，這難道不是一件很奇怪的事情嗎？ e是增長極限 到底什么是？簡單說來，就是 增長的極限 。 下面這個例子就是對直觀含義的極好詮釋： 某種類的一群單細胞生物每24小時全部分裂一次。在不考慮死亡與變異等情況下，那么很顯然，這群單細胞生物的總數(shù)量每天都會增加一倍。據(jù)此我們可以

4、寫出它的增量公式： ，表示天數(shù) 這個式子可以改寫成如下的樣子： ，其中，1表示原有數(shù)量，100%表示單位時間內(nèi)（24小時）的增長率。 根據(jù)細胞生物學，每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，平均會新產(chǎn)生一半原數(shù)量的新細胞，新產(chǎn)生的細胞在之后的12小時內(nèi)已經(jīng)在分裂了。 因此一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段的細胞數(shù)量都在前一個階段的基礎上增長50%： 即在一個單位時間內(nèi)，這些細胞的數(shù)量一共可以增至為原數(shù)量的2.25倍。 倘若這種細胞每過8小時就可以產(chǎn)生平均1/3的新細胞，新生細胞立即具備獨立分裂的能力，那就可以將1天分成3個階段，在一天內(nèi)時間細胞的總數(shù)會增至為：

5、 即最后細胞數(shù)擴大為2.37倍。 實際上，這種分裂現(xiàn)象是不間斷、連續(xù)的，每分每秒產(chǎn)生的新細胞，都會立即和母體一樣繼續(xù)分裂，一個單位時間(24小時)最多可以得到多少個細胞呢？答案是： 當增長率為100%保持不變時，在單位時間內(nèi)細胞種群最多只能擴大2.71828倍。 數(shù)學家把這個數(shù)就稱為，它的含義是單位時間內(nèi)，持續(xù)的翻倍增長所能達到的極限值 。 這個值是自然增長的極限，是“自然律”的精髓所在，因此以為底的對數(shù)，就叫做自然對數(shù)。 你不會自成“大款”——到e為止 我們都知道復利計息是怎么回事，就是利息也可以并進本金再生利息。但是本利和的多寡，要看計息周期而定，以年周期來算的話，可以一

6、年只計息一次，也可以每半年計息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次；當然計息周期愈短，本利和就會愈高。有人因此而好奇，如果計息周期無限制地縮短，比如說每分鐘計息一次，甚至每秒，或者每一瞬間（理論上來說），會發(fā)生什么狀況？本利和會無限制地加大嗎？ 假定有一家銀行，每年的復利是100%，請問存入100元，一年后可以拿多少錢？如果我們按照剛才的思路，計息周期無限制地縮短。 按照我們剛才細胞分裂的例子，答案是： 但是事實上，存儲利息沒有這么高，如果復利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少錢呢： 我們知道，在100%利息率的情況下，n=1000時，下式的值非常接近：

7、 為了便于計算，取n等于50： 當利息率是5%時，存款增長率就相當于的20分之一次方： 1/20正好等于5%，所以 我們可以把上式改寫成： r表示利率。 再考慮時間因素，如果存款年限t年，那么存款最終增長率為： 這說明可以用于任何連續(xù)不斷的復合式增長率的計算，而上式也是這個增長率的通用計算公式。 帶著這個結論再回到上面的例子。如果銀行的利息率是5%的復利，求解100元存款翻倍需要多少時間就等價于解下面的方程： 計算結果得13.86年： 可以看到：用72除以增長率就是翻倍的大致時間。這正是經(jīng)濟學上著名的72法則。 “72法則” 其實所謂

8、的“72法則”就是以1%的復利來計息,經(jīng)過72年以后,本金會變成原來的一倍。這個公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8%年報酬率的投資工具,經(jīng)過9年(72/8)本金就變成一倍;利用12%的投資工具,則要6年左右(72/12),就能讓1元錢變成2元錢。 假設最初投資金額為100元，復息年利率9%，利用72法則，將72除以9，得8，即需約8年時間，投資金額滾存至200元，而準確需時為8.0432年。 雖然利用72法則不像查表計算那么精確，但也已經(jīng)十分接近了，因此當你手中少了一份復利表時，記住簡單的72法則，或許能夠幫你不少的忙。72法則同樣還可以用來算貶值速度，例如通貨膨脹率是3%，那么

9、723=24，24年后你現(xiàn)在的一元錢就只能買五毛錢的東西了。 例1：某企業(yè)平均年收益增長率為20%，那么需要多少年企業(yè)才會實現(xiàn)年收益翻一倍的目標？ 答：7220=3.6年 例2：某企業(yè)在9年中平均年收益翻了3番，那么9年內(nèi)的年平均收益增長率為多少？ 答：9年財務收益翻了三番，說明企業(yè)平均3年翻一番，那么年平均收益增長率為：723=24，即財務年平均收益增長率為24% 運用“72法則”也能計算要為養(yǎng)老準備多少錢。假如，你現(xiàn)在30歲，每月的生活費是1萬元。假設今后每年有6%的物價上漲率，那么12年（726=12年）之后，你42歲時，要保持同樣品質的生活，每月就得2萬元。你54歲時，就得4

10、萬元；66歲時，每月就得8萬元。 如果你給自己確定的財富目標是到60歲時有1000萬元的財富，那么你現(xiàn)在需要投資多少錢購買股票型基金呢？假定今后股票型基金年平均收益率為12%，那么每6年（7212=6年）你的投資本金就可翻番。所以你54歲時需要本錢500萬元；48歲時需要本錢250萬元；42歲時需要本錢125萬元；36歲時需要本錢75萬元；30歲需要本錢37.5萬元。 假設你是一位新聞記者，接到一個統(tǒng)計，你所在城市登記在冊的狗的數(shù)量逐年增長10%。 你會給你的文章取個什么樣的標題呢？肯定不是“養(yǎng)狗許可證數(shù)量每年上升10%”，這沒人會理會，而是：“養(yǎng)狗成災：僅僅7年，狗屎翻倍！” 練習：試

11、比較目前通過正常投資途徑實現(xiàn)翻番目標所需要的時間。 1、儲蓄。當前一年期的定期存款利率為2.25%，稅后為1.8%，假設利率保持不變，則本金翻一番所需時間多久？ 2、國債。因為國債很少有一年期的，所以我們以加息后的三年期憑證式國債計算，利率為3.37%，本金翻一番所需的時間是多久？ 3、開放式基金。當前開放式基金的業(yè)績雖然參差不齊，但也有諸多業(yè)績優(yōu)秀的基金，如果選擇一只好的基金，其回報率為8%，如果選擇了大部分的基金，其回報率為2.5%。 4、貨幣基金。貨幣基金的年平均收益率一般為2.8%左右。 6、人民幣理財。除了股份制銀行外，目前各國有專業(yè)銀行也推出了人民幣理財產(chǎn)品，若其1年期產(chǎn)

12、品的年收益為3.03%。 后續(xù)：從以上數(shù)據(jù)可以看出，銀行儲蓄翻番的時間最長，需要40年。因此，要想實現(xiàn)家財?shù)脑鲋?，就要轉變傳統(tǒng)的“有錢存銀行”的老觀念，根據(jù)自己的風險承受能力，盡量選擇收益高的理財產(chǎn)品。以人民幣理財為例，很多人認為它和定期儲蓄的收益差不了一兩個百分點，但你別忘了，收益高一個百分點，本金翻番的時間就能縮短 15年。所以，在打理家財上應當錙銖必較，分厘不讓。 第二課：是命運？還是概率？ （適合文科生） 回歸均值 有位男士經(jīng)常背痛，疼痛時強時弱。有時他覺得自己充滿活力，有時他幾乎動彈不得。 每次碰上這種情況——幸好很少——他妻子就會開車送他去找心理治療師。每次這樣做的第 二

13、天，他就明顯好多了。于是他逢人就推薦他的心理治療師。 　　另一個年輕人，籃球打得非常好，他逢人便夸他的教練。如果某天他的球打得糟糕，他就去這位老師那兒學上1小時，下回他就又打得很好了。 　　我們也有些生活經(jīng)驗，比如，當你狀態(tài)比較差的時候你的朋友都這樣勸你，手里的工作先放一放，走出去放松一下吧。事實證明，大多數(shù)情況，放松后狀態(tài)明顯好多了。 將以上三個事聯(lián)系在一起的其實就是回歸均值。 極端成績與不太極端的成績總是來回交替。已經(jīng)連續(xù)3年表現(xiàn)優(yōu)異的股票幾乎不可能在接下來的3年繼續(xù)走強。因此許多運動員在比賽取得好成績，并因此登上報刊頭版后心中往往會產(chǎn)生恐慌的情緒：潛意識中他們預感到，下回比賽時他

14、們可能再也不會取得這一最高成績了——這當然與頭版毫無關系，而是與他們成績的自然波動有關。 忽視回歸均值，可能會造成嚴重后果：比如老師(或經(jīng)理)會得出結論，處罰比夸獎更有 效。因為通?？荚嚦煽冏顑?yōu)秀的學生會受到夸獎，最差的則會遭到處罰。而在下次考試中 ——純隨機地——可能就會是另一些學生處于成績最高和最低的位置。老師因此得出結論：處罰有效，夸獎有害。這當然是一個謬論。 賭徒謬誤：為什么沒有一種平衡命運的力量 超生游擊隊員李四已經(jīng)連生4個閨女了，但他實在太想要一個男娃，雖然家產(chǎn)都快被村里計生委的人給罰光，就差沒上房揭瓦了，但還是要生，他想，都連生4個了，下個肯定是個男孩。 老賭棍張三沒事總

15、喜歡上一個黑賭場里下兩注，但今天他賭紅眼了，因為莊家已經(jīng)連開10把大了，他也連輸了10把，他不相信第11把還開大，還想一把就把之前輸?shù)娜A回來，于是把唯一的存折都給壓上了，買小。 以上兩件事的結果會如何呢？他們不一定會贏，但也不會像一些人猜測的一樣（雖然很多小說的情節(jié)是這樣的），一定會輸。他們輸贏的概率都是1/2。很明顯，結果絕對不會像他們想的那樣贏定了，孤注一擲也是非常不明智的選擇。 很多人都無法避免一個事實：一枚硬幣被連拋3次，每次都是圖像朝上。假如有人強迫你，讓你自己掏出100元為下一拋下注。你會押圖像還是數(shù)字呢？如果你像大多數(shù)人那樣思考，你會押數(shù)字，雖然人頭同樣是有可能的——這就是

16、著名的賭徒謬誤。 獨立事件：我和你沒有半毛錢關系 我們得知道什么叫做獨立事件，事件A的結果并不影響事件B，那A和B就是獨立事件。國足輸球跟萬里之外太陽黑子活躍很明顯就是獨立事件，雖然他們可能會聲稱太陽黑子改變地球重力場導致他們發(fā)揮失常。 那么生孩子是不是獨立事件呢，當然是的。這不過是精子卵子結合的生理過程，這一次和上一次能有什么關系（也許偶然生孩子會改變?nèi)说纳斫Y構于是影響概率，但這牽涉到科學問題就另說了）？擲骰子也是一樣，就算是連開100把大，下一把開大的概率還是1/2。 事實上很多人都沒有意識到獨立事件的概率是毫無關系的，即使它們發(fā)生的時間如此接近。 比如說買彩票，很多人喜歡研究

17、走勢，他們認為上次開出的數(shù)字這次很可能不出現(xiàn)，事實似乎也證明了他們的想法，于是他們更加相信每次開獎間存在某種規(guī)律，只要抓住這個規(guī)律就能發(fā)大財?？上У氖?，每一期彩票間當然也是獨立事件。 是命運嗎？ 將一枚硬幣連拋50次，50次都是圖像朝上。又有人強迫你為下一拋押100元。你會押 圖像還是數(shù)字呢？你淡定地微微一笑，因為你已經(jīng)讀了剛才的內(nèi)容，知道之前的結果無關緊要。但如果你足夠理智，你肯定會押圖像，因為你必然會想到，這枚硬幣應該是有問題的。 我們剛才探討過回歸均值。比如：假如你經(jīng)歷了破紀錄的嚴寒，那么接下來的幾天氣溫就有可能會上升。如果我們只看概率，氣溫將有50%的概率下降，有50%的概率上升

18、。但事實上，極端的氣溫不會持續(xù)太久，總會回到均值。不過，在某些情形下，極端的趨勢會持續(xù)，例如富人傾向于越來越富。一只暴漲的股票，在到達一定點位后可能依然會受到熱捧，就是因為它如此出色——這是一種反向的平衡效應。 結論：請你仔細觀看，看你面對的是否是獨立的事件——不過這主要存在于賭場、彩票 和理論書籍里?，F(xiàn)實生活中這些事件大多有著相互聯(lián)系——已經(jīng)發(fā)生的事情，會影響未來將要發(fā)生的事情。因此請你忘記命運的平衡力量(除了回歸均值的情形）。 NBA比賽里，經(jīng)常有球員連續(xù)命中，這時候籃球解說一般就會認為這球員手熱得發(fā)燙，然后認為以后的進攻機會最好都要給這個球員。?？碈CTV5的都知道，我們的張指導就是

19、這樣?，F(xiàn)在，你知道他有多外行了吧…… 第三課：做一次生活科學家 相關性 ≠ 因果性 如今越來越多的復雜統(tǒng)計數(shù)據(jù)像潮水般向我們涌來，一批又一批的調查結果，都顯得那么鏗鏘有力，似乎那就是客觀事實。 統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，在鈾礦工作的工人居然與其他人的壽命相當，有時甚至更長！難道統(tǒng)計結果表明在鈾礦工作對身體無害么？ 當然不是！其實，統(tǒng)計數(shù)據(jù)本身并沒有說謊，鈾礦工人的壽命真的不比普通人低，難就難在我們?nèi)绾螕荛_數(shù)據(jù)的外表，從中挖掘出正確的信息。事實上，只有那些身強體壯的人才會去鈾礦工作，他們的壽命本來就長一些，正是因為去了鈾礦工作，才把他們的壽命拉低到了平均水平，造成了數(shù)據(jù)的“偽獨立性”。這種現(xiàn)象常常

20、被稱為“健康工人效應”。 有虛假的獨立性數(shù)據(jù)，就有虛假的相關性數(shù)據(jù)。統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，去救火的消防員越多，火災損失越大。初次聽到這樣的結論，想必大家的反應都一樣：這怎么可能呢？仔細想想你就明白了：正因為火災損失大，才會有很多人去救火。因果關系弄顛倒了。數(shù)據(jù)只能顯示兩件事情有相關性，但并不能告訴你它們內(nèi)部的邏輯關系。 事實上，兩個在統(tǒng)計數(shù)據(jù)上呈現(xiàn)相關性的事件，有可能根本就沒有因果關系。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，冰淇淋銷量增加，鯊魚食人事件也會同時增加。但這并不意味著，把冰淇淋銷售點全部取締了，就能減小人被鯊魚吃掉的概率。真實的情況則是，這兩個變量同時增加只不過是因為夏天來了。統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，足球隊的獲勝率，竟

21、然與隊員的球襪長度成正比。難道把隊員的球襪都換長一些，就能增加進球數(shù)了嗎？顯然不是。數(shù)據(jù)背后真正的因果關系是，球隊的獲勝率和隊員的球襪長度都與隊員的身高呈正相關，這導致了獲勝率與球襪長度之間表現(xiàn)出虛假的相關性。 類似的例子還有很多。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，手指越黃的人，得肺癌的概率越大。但事實上，手指的顏色和得肺癌的概率之間顯然沒有直接的因果聯(lián)系。那么為什么統(tǒng)計數(shù)據(jù)會顯示出相關性呢？這是因為手指黃和肺癌都是由吸煙造成的，于是又營造出一種虛假的相關性。 抽樣調查，想說無偏不容易 調查問卷你肯定知道，多半還做過。在統(tǒng)計上，問卷調查屬于抽樣調查。再大規(guī)模的抽樣調查，都可能存在著意想不到的陷阱。不妨讓我們

22、穿越到 1936 年的美國，看一個被許多書本都引用過的實例吧。 1936 年美國總統(tǒng)大選在即，當時一本著名雜志《文學文摘》就在讀者中做了一次問卷調查，斷言共和黨的蘭登即將以 57% 對 43% 的絕對優(yōu)勢大勝民主黨的羅斯福——這可是根據(jù) 240 萬份調查問卷得到的結果。這么大規(guī)模的調查，如同宣告了蘭登的勝利，可是，最后的結果卻讓人大跌眼鏡：羅斯福以 62% 的支持率成功連任美國總統(tǒng)。出現(xiàn)了這個戲劇性的丑聞后，《文學文摘》業(yè)績直接掉落為零，最后竟然倒閉了。對于《文學文摘》來說，他們的問題出在哪里呢？ 現(xiàn)在看來，《文學文摘》的調查問卷雖然數(shù)量龐大，但是樣本構成大有問題。首先，最可能看到這個調查

23、的是這個雜志的常客，而他們參加調查的動機各有不同。另外，這個話題更能引發(fā)人的興趣，有些則只是很少的人關心。這都會導致最終參加調查的人是一個有偏的樣本。結論可能代表了這些人群，卻不能推廣到全體。 其次，問卷的回收率只有 24% ，忽略那些沒有被回收的問卷就等于是忽略了剩余 760 萬人的意見。《文學文摘》雜志社還通過電話調查的方式對自己的讀者進行了抽樣，但在 1936 年，并不是每一個家庭都能裝得起電話——那些訂閱雜志、用電話的人家往往都是有錢的人，他們并不能代表全美國的選民意見。最終，這些看起來不算起眼的問題對他們的預測結果產(chǎn)生了巨大影響，事情的發(fā)展也走向了完全相反的方向。 如果我們現(xiàn)在做

24、一個調查，看一看在最初恢復高考的三年中進入幾所名牌大學就讀的學生如今的年收入，你一定會得到一個高得嚇人的數(shù)字。我敢如此肯定并不是我熟悉他們的社會成就，而是因為我了解調查的缺陷。可以想見，當年的那些大學生雖然有案可查，但能夠準確聯(lián)系調查的卻只有一部分較為成功的人了。其中有一些人雖然聯(lián)系上了，卻不一定愿意接受調查。最后，還不能排除一些人受贊許傾向的影響，有意無意地提高報告自己的收入水平。最終，調查員只回收了那些成功人士的數(shù)據(jù)，而沉默的大多數(shù)卻被“統(tǒng)計式”地忽視了。 辛普森悖論 現(xiàn)實中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)往往會表現(xiàn)出一些更加詭異復雜的反?，F(xiàn)象，帶來更多意想不到的麻煩。辛普森（Simpson）悖論是統(tǒng)計學中

25、最有名的悖論：各個局部表現(xiàn)都很好，合起來一看反而更差。統(tǒng)計學在藥物實驗中的應用相當廣泛，每次推出一種新藥，我們都需要非常謹慎地進行臨床測試。但有時候，藥物實驗的結果會匪夷所思。假設現(xiàn)在我們有一種可以代替安慰劑的新藥。統(tǒng)計數(shù)據(jù)表明，這種新藥的效果并不比安慰劑好： 有效 無效 總人數(shù) 新藥 80 120 200 安慰劑 100 100 200 簡單算算就能看出，新藥只對40%的人有效，而安慰劑則對50%的人有效。新藥按理說應該更好啊，那問題出在哪里呢？是否因為這種新藥對某一類人有副作用？于是研究人員把性別因素考慮進來，將男女分開來統(tǒng)計： 男性有效 男性無效 女

26、性有效 女性無效 新藥 35 15 45 105 安慰劑 90 60 10 40 大家不妨實際計算一下：對于男性來說，新藥對高達70%的人都有效，而安慰劑則只對60%的人有效；對于女性來說，新藥對30%的人都有效，而安慰劑則只對20%的人有效?；囊荒怀霈F(xiàn)了：我們驚奇地發(fā)現(xiàn)，新藥對男性更加有效，對女性也更加有效，但對整個人類則無效！ 上面的例子再次告訴我們，統(tǒng)計實驗的“隨機干預”有多么重要。從上面的數(shù)據(jù)里我們直接看到，這個實驗的操作本身就有問題：新藥幾乎全是女性在用，男性則大都在用安慰劑。被試者的分組根本沒有實現(xiàn)完全的隨機化，這才導致了如此混亂的統(tǒng)計結果。不難設想，

27、如果每種藥物的使用者都是男女各占一半，上述的悖論也就不會產(chǎn)生了。當然，研究人員也并不笨，這么重大的失誤一般還是不會發(fā)生的。問題很可能出在一些沒人注意到的小細節(jié)上。比如說，實驗的時候用粉色的瓶子裝新藥，用藍色的瓶子裝安慰劑，然后讓被試人從中隨機選一個來用。結果呢，女孩子們喜歡粉色，選的都是新藥；男的呢則大多選擇了藍瓶子，用的都是安慰劑。最后，200份新藥和200份安慰劑正好都發(fā)完，因此不到結果出來時，就沒有人會注意到這個微小的性別差異所帶來的統(tǒng)計失誤。 你被平均了嗎？ 還不得不考慮，平均數(shù)也有一個小小的麻煩，它特別容易受極端數(shù)據(jù)的影響。回憶一下小學時老師對一個差生拉下全班平均分的憤懣表情。以

28、及，一個月收入五萬的老板和五名月收入兩千元的員工享受著一萬元的月平均工資，而這個平均數(shù)居然是一個員工月收入的五倍之多。 這些離奇的統(tǒng)計學現(xiàn)象有時會讓人感到恐慌：連統(tǒng)計數(shù)字也不可靠了，還有什么能真實地反映這個世界運轉的規(guī)律呢？ 科學方法，現(xiàn)代公民的必修課 上述例子用我們?nèi)粘W習的統(tǒng)計學知識都可以一一解決。 科學的抽樣方法、使用數(shù)字正確的方式合理估計樣本，分清楚相關關系與因果（函數(shù)）關系，用科學的方法讓自己當一個明白人。 相關閱讀： 《統(tǒng)計陷阱》達萊爾哈夫著 該書自1954年出版至今，多次重印并被譯成多國文字，是一本影響深遠的經(jīng)典性著作?！督y(tǒng)計陷阱》一書之所以能夠歷久彌新，是因為其實

29、用性。 20世紀50年代，美國的各大媒體和宣傳機構越來越重視利用統(tǒng)計——“這個神秘的語言”說話，然而大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)、統(tǒng)計資料由于主、客觀的原因被濫用，很難起到描述事實、傳遞信息的作用。相反，還往往對讀者形成誤導。達萊爾哈夫(Darrell Huff)，一位具有深厚統(tǒng)計背景的新聞記者發(fā)現(xiàn)了這一現(xiàn)象。 第四課：翹課的代價 經(jīng)濟學之所以成為一門獨立的學科，并且在相當大程度上改變了世界的面貌，是因為經(jīng)濟學家看世界的方式和常人不同，也與其他社會科學，比如社會學和政治學、法學不同，經(jīng)濟學家有一套自己的看問題、看世界的方法。這些方法，幫助人們更科學地認識了外部世界和人類自身，提高了人類解決自身問題的能

30、力。 這里，我們就先說說幾個經(jīng)濟學家的特殊思維方式吧，它們有助于矯正甚至可以顛覆你長久以來的思維定勢。 吃掉？還是倒掉？ 假如小明在買了一份午餐花掉10元，只吃了一口，發(fā)現(xiàn)難以下咽，是繼續(xù)吃掉還是倒掉？類似的例子還有：比如今天晚上要舉行建業(yè)的比賽，可是臨近比賽的當口，突然下起了瓢潑大雨。有兩種情況：一是，你已經(jīng)買了票，票價還不便宜，100塊錢一張，是你近半個月的零花錢，而且不能退票。另一種情況是，別人送了你一張票，可是票不能轉手，也不能退。在這兩種情況下，你去還是不去看比賽，有沒有什么不同呢？ 糾纏于沉沒成本：你為什么應該忽視過去 說一個狗血的劇情，一位朋友被一段問題戀情折磨多年。那

31、女人一次次欺騙他。每當他逮住她時，她都后悔不迭地回來，懇求他的原諒。雖然再跟這個女人維持關系早就沒有意義了，他還是一次次接受了她。當我與他談論此事時，他向我解釋道：“我在這段戀情中投入了那么多感情，現(xiàn)在離她而去是錯誤的?！边@是典型的糾纏于沉沒成本。 我們剛才談的都是沉沒成本。 每個決定，不管是私人的還是業(yè)務上的，始終是在不確定的情況下作出的。我們的設 想，有可能兌現(xiàn)，也有可能落空。任何時候我們都可能離開選取的小道，并承擔后果，比如 中斷項目。這種不確定情形下的權衡是理性行為。然而，在我們已經(jīng)投入特別多的時間、金 錢、能量、愛等因素之后，沉沒成本令人難以放手、難以釋懷。于是已經(jīng)投資的錢就成

32、了繼 續(xù)做下去的理由，即使客觀來看堅持下去毫無意義。投資越多，沉沒成本就越大，將項目繼 續(xù)做下去的理由就越充分。 股市投資人經(jīng)常成為沉沒成本的受害者。他們在決定是否出售股票時常以買入價作為參照。當股價高于買入價時，就賣掉股票；如果股價低于買入價，就抱住不賣。這是不理智的，絕不可以讓買入價處處扮演角色。唯一有效的是股市未來的前景(和可選投資未來的行情）。每個人都會出錯，特別是在股市里。糾纏于沉沒成本的不幸，其關鍵就是：你投資一只股票虧的錢越多，你越是抱緊它不放。 為什么會有這種荒謬行為呢？因為人類想努力表現(xiàn)得堅韌，堅韌是我們發(fā)出的可信信 號。我們害怕矛盾。如果我們決定中斷一個項目，我們就在制

33、造矛盾：承認從前的想法與今 天不同。繼續(xù)執(zhí)行一個無意義的項目是在推遲這一疼痛認識。那樣我們就顯得更堅韌。 放棄就等于投降。 “我們已經(jīng)行駛了這么遠……” “我已經(jīng)讀了這本書的這么多頁……”從這種句子可以看出，你是如此與沉沒成本難舍難分。 有許多好理由支持你繼續(xù)投資下去，但如果你只是因為舍不得已經(jīng)作出的投資而決定繼續(xù)做某件事，這就不是一個好理由了。理性的決定意味著忽視已經(jīng)投入的成本。你已經(jīng)投資了什么并不重要，唯一重要的是現(xiàn)在的形勢及你對未來的評估。 或者說經(jīng)濟學中的成本應該是關心未來的。 你晚上是不是去看比賽，僅僅取決于從現(xiàn)在開始將要發(fā)生的情況，所以看新增加的成本和增加的收益的比較。在這

34、兩種情況下，增加的收益都是看比賽帶來的愉悅感，新增加的成本都是淋雨帶來的不舒服。如果你覺得淋雨不算什么，只要能看到比賽就高興，則不管你是自己買票還是別人送的票，都會去看；反之，則不會去。這里的核心問題是，不要再考慮買票的錢，那些事情已經(jīng)過去了。 天下沒有免費的午餐 有一句話，叫“天下沒有免費的午餐。”你可真的明了此話的真義？ 如果有人請你吃午餐，他出錢，而且不附帶任何條件。這是免費的么？你會說當然免費了，他買單嘛。可是你是有代價的。因為你吃這頓飯的時間，可以用于做其他事情，這些事情，對你是有意義、有價值的。你把時間用于白吃這頓飯，就失去了這些本來能有的價值。 這就是機會考慮。它提示我們

35、，做事的真正成本，不是為做一件事已經(jīng)付出的多少，而是為做它所必須放棄的那些東西。當你面臨兩難選擇的時候，你應該想想哪種選擇所放棄的更多，兩難也就不難了。 機會成本 經(jīng)濟學的獨特思維方式是機會成本考慮。 成本是每個人做事時都會考慮的因素，收入減去成本才是利潤。可是，經(jīng)濟學家所說的成本，與一般人說的成本差別甚大。 一般人頭腦里的成本概念是會計成本，也就是做賬用的。會計成本有幾個特點：第一，會計成本是直接的成本，即實際發(fā)生的成本，跟生產(chǎn)和消費直接相關；第二，會計成本是已經(jīng)發(fā)生的成本。 但是經(jīng)濟學家說的成本卻很不一樣。經(jīng)濟學意義上的成本只有一個，那就是“機會成本”，在所有經(jīng)濟學的書里，成本的

36、概念一律是指機會成本。 任何一種資源都有多種用途，可以配置到不同的用途上去，投到一個用途，就意味著放棄另外的用途。一件事情的機會成本，就是由于做這件事情而放棄的其他用途中價值最大的那一個的價值。 一件事情的機會成本，是放棄的最大的價值。也就是根本沒有發(fā)生過，也跟該事情沒有直接關系，這跟會計成本完全不同。 相應地，經(jīng)濟學的利潤跟會計利潤也就有很大區(qū)別。會計利潤是全部收入減去會計成本。經(jīng)濟利潤是全部收入減去經(jīng)濟成本，也就是減去機會成本。 舉例說明，假如你原來在一個政府部門上班，每年有10萬收入?，F(xiàn)在，你決定下海經(jīng)營一家餐館，每年的全部收入是11萬，會計成本是10萬，包括買菜、買肉、員工工資

37、、稅收和各種其他費用。你的會計利潤就是： 11萬－10萬＝1萬。 但是，經(jīng)濟學家認為你沒有賺錢，反而賠了錢，至少賠了9萬。因為你想，如果你的時間不是用于開餐館，而是繼續(xù)在政府部門上班，你就會有10萬元，現(xiàn)在你只有1萬元，所以，你至少賠了9萬元。 問題出在你少算了成本，不能只算買菜、買肉等的成本，為了開餐館，你放棄的收入也是成本，而你沒有算上。 這里的非同凡響之處在于，在一般人看來，干什么都可以掙錢，都可能有利潤；而在經(jīng)濟學家看來，在一定的時期內(nèi)，只有做一件事情才有利潤，做其他任何事情都虧損。 讀大學成本計算公式 算算虛度一日虧多少錢 現(xiàn)在有許多高校學生曬自己一天的成本多少。校園記者

38、走訪了西安的幾所高校，調查顯示一名普通本科大學生，4年學費(按每年4500元算)：18000元，4年住宿費(按每年1000元算)：4000元，伙食費(按每月800元算，去除寒暑假共計36個月)：28800元，購買基本生活用品：3000元，上網(wǎng)費：800元，手機話費：2000元，購買衣服及學習輔導資料：4000元，交通費：3200元，其它費用：3000元，大學生平均每天純花費：66800元1080天=61.9元/天。這意味著，除去寒暑假3個月的時間，讀一年大學最基本的花費大約需要16700元，每個月的花費逾1800元，也就是說在學校一天的花費為60元。而由麥可思研究院發(fā)布的《2012年中國大學生

39、就業(yè)報告》顯示，對2011屆大學生畢業(yè)半年后的調查顯示，全國本科學生平均月工資為3051元。按這個數(shù)據(jù)計算，4年求學期間將損失至少146448元。 取平均數(shù)12萬元，意味著求學的每一天，就損失工資收入約180元。加上上學花費每天60元，坐在課堂里每一天的成本為240元。 網(wǎng)友“欣湘冰奕”：大學每一天課的平均價值是300元。所以，翹1天等于一周的飯錢，翹10天等于一個蘋果iTouch，翹20天等于一個iPad，翹30天等于一部iPhone……親，你還打算翹課嗎？ 第五課：你敢承擔風險嗎？ 導數(shù)到底是什么？ 學生學完導數(shù)，也不知道導數(shù)到底有什么用，除了求導求切線求極值。 經(jīng)濟學一個

40、獨特思維就是邊際考慮。 邊際原本是個數(shù)學概念，其含義是導數(shù)，是一個變量的變化對另一個變量變化的影響程度，也就是兩個變量改變量的比。 在經(jīng)濟學上，邊際的意思是“最后的”，或者“新增加的”。邊際考慮就是只考慮最后的一個或者新增加的一個所引起的變化，從而判斷事情的整體本質。 最后的一個和新增加的一個，都是邊際的一個。比如現(xiàn)在一共有99個東西，第99個是最后一個，它是邊際的一個，而第100個，是新增加的，或者將要增加的，也就是邊際。 邊際意味著微小的變化，所以，最后的一個，與新增加的一個，相差非常小。它們引起的變化的差異也非常小。在數(shù)學上，這叫“連續(xù)”。 理論上講邊際成本表示當產(chǎn)量增加1

41、個單位時，總成本的增加量（這個總成本包括不變和可變成本）。 隨著產(chǎn)量的增加，邊際成本會先減少，后增加。 舉個例子：比如，僅生產(chǎn)一輛汽車的成本是極其巨大的，而生產(chǎn)第101輛汽車的成本就低得多，而生產(chǎn)第10000汽車的成本就更低了（這是因為規(guī)模經(jīng)濟）。 但是，考慮到機會成本，隨著生產(chǎn)量的增加，邊際成本可能會增加。 當產(chǎn)量很小時，可以理解為企業(yè)的設備沒有得到充分利用，因而產(chǎn)量很小，隨著企業(yè)雇傭更多的員工進行生產(chǎn)，生產(chǎn)設備的利用率也開始變大，假設增加的第一個工人對產(chǎn)量的貢獻是10，那么增加的第二個工人對產(chǎn)量的貢獻可能是15甚至更高，第三個會是30。隨著員工增加到一定程度時，企業(yè)變得擁擠，這時候

42、每增加的一個員工依然會提高生產(chǎn)設備的利用率，但是這個利用率的提高會慢慢減慢下來。當員工增加到某一程度，再增加一個員工時，這個員工對產(chǎn)量的貢獻將會是0，即邊際產(chǎn)量為0，在這一階段時，產(chǎn)量的增加速率從最大值逐漸減小到零，而成本的增加速率（每個員工的費用，加上每單位產(chǎn)品的成本）大于產(chǎn)量的增加速率，從而邊際成本增大。 邊際成本和單位平均成本不一樣，單位平均成本考慮了全部的產(chǎn)品，而邊際成本忽略了最后一個產(chǎn)品之前的成本。例如，每輛汽車的平均成本包括生產(chǎn)第一輛車的很大的固定成本（在每輛車上進行分配）。而邊際成本根本不考慮固定成本。 再舉一個例子。假定一個農(nóng)民某年生產(chǎn)了五袋糧食，他要安排這五袋糧食的用途。

43、他一定是按照重要性從大到小的順序安排。 第一袋，用于吃，這個對他最要緊。 第二袋，用于增強體力和精力。 第三袋，用于釀酒，因為他要喝酒。 第四袋，用于養(yǎng)家禽，因為他要吃肉，但是吃肉沒有喝酒重要。 第五袋，用于養(yǎng)鸚鵡。因為他覺得他能想象的用途，都已經(jīng)有了安排，實在找不到什么別的可以安排的了，想了很久，才想起這種用途。 我們買東西，不是為了獲得商品本身，而是因為商品對我們有用，這種有用是主觀上的有用。經(jīng)濟學把商品能夠滿足人的主觀愿望的東西，叫效用。我們消費就是為了獲得效用，而且是最大的效用。 與邊際產(chǎn)量遞減類似，效用也是遞減的。以上邊的例子來說，第二袋糧食的效用比第一袋小，第三袋比第

44、二袋小，依此類推。第五袋糧食的效用是最小的。這叫“邊際效用遞減”。 邊際效用遞減也是個公理，不能證明，但可以說明。如果邊際效用不遞減，那就是邊際效用不變或者遞增。 還是看上面的例子。第一袋糧食對農(nóng)民的效用最大，如果讓他賣，他要收取最高的價格，比如100元；第二袋對他的效用要小一些，他能接受的價格也低一些，比如80元，依此類推，第三袋是60元，第四袋是40元，第五袋對他的效用是最小的，如果讓農(nóng)民出手，只要20元就可以。 如果他要出手全部五袋糧食，每一袋的價格應該是一樣的，那這個價格是多少呢？是100元，還是80、60、40、20元？ 是20元！為什么？ 假設這個農(nóng)民很不幸，丟了一袋糧食

45、，請問，他要放棄哪種效用？是不吃飯，還是不喝酒，抑或是其他效用？對了，是放棄養(yǎng)鸚鵡。也就是說，丟失的那一袋糧食對他的影響，或者他所失去的效用，就是養(yǎng)鸚鵡給他帶來的快樂。所以，這袋糧食只值20元。 問題在于，養(yǎng)鸚鵡的這一袋糧食，不是五袋中特定的一袋，而是其中的任何一袋。所以，當他有五袋糧食的時候，每一袋都僅僅值20元。 如果他又丟了一袋，他失去的就不是養(yǎng)鸚鵡的效用，而是吃肉的效用了。所以，當他有四袋糧食時，每袋糧食就值40元了。 依此類推。當有三袋糧食的時候，每袋的價值就是60元；當有兩袋時，就值80元；當只有一袋糧食的時候，這個價格就是100元了。所以，當有五袋糧食的時候，每袋糧食的價格

46、由第五袋的效用決定；有四袋的時候，由第四袋決定，等等。 無論什么時候，都是由最后的一袋決定每袋的價格，也就是邊際決定，而不是平均決定。這個道理和所有農(nóng)民的工資由最后一個農(nóng)民的產(chǎn)量也就是邊際產(chǎn)量決定是一樣的。 邊際效應 我特別喜歡看陳佩斯演的小品吃面條。假如邊際效用不變，也就是后面一碗面條，永遠跟前面一個一樣好吃，那會發(fā)生什么？我們將永遠吃下去，永遠吃不飽！ 更通俗的解釋是： 我們向往某事物時，情緒投入越多，第一次接觸到此事物時情感體驗也越為強烈，但是，第二次接觸時，會淡一些，第三次，會更淡……以此發(fā)展，我們接觸該事物的次數(shù)越多，我們的情感體驗也越為淡漠，一步步趨向乏味。這效應，在經(jīng)濟

47、學和社會學中同樣有效，在經(jīng)濟學中叫“邊際效益遞減率”，在社會學中叫“剝奪與滿足命題”，是由霍曼斯提出來的，用標準的學術語言說就是：“某人在近期內(nèi)重復獲得相同報酬的次數(shù)越多，那么，這一報酬的追加部分對他的價值就越小?！? 如何當一個老板 例如：你是公司管理層，要給員工漲工資，給3000月薪的人增加1000帶來的效應一般來說是比6000月薪增加1000大的，甚至比給6000月薪的人增加2000的還大，所以似乎給低收入的人增加月薪更對公司有利；對同一個人更是明顯，例如他拿3000時候增加1000所帶來的激勵效果，一般情況下遠遠比他拿6000月薪時候增加2000所產(chǎn)生的激勵效果大。另外，經(jīng)?？吭?/p>

48、加薪水來維持員工的工作熱情是不行的，第一次漲薪 1000后，員工非常激動，大大增加了工作熱情；第二次漲薪 1000，很激動，增加了一些工作熱情；第三次漲薪 2000 ，有點激動，可能增加工作熱情；第四次 ... ... ，直至漲薪已經(jīng)帶來不了任何效果，當薪水達到一定的水平的時候，這時候他關注的重點已經(jīng)發(fā)生了轉移，所以激勵方式方法都應該隨之變化。 如果想避免這種情況，在每次漲薪都想達到和第一次漲薪1000相同的效果，則第二次漲薪可能需要2000，第三次需要3000 ... ... ，或者在薪水漲到一定程度后，采用紅包的形式更加富有激勵和引導效果。當然，使用其它激勵措施，例如第二次可以安排其參加

49、職業(yè)發(fā)展培訓，第三次可以對其在職位上進行提升，雖然花費可能相當，但由于手段不同，達到了更好的效果。 為什么人們往往不愿承擔風險？ 假設你有兩份工作供你選擇：工作一，有1/2的概率獲得1000塊錢，有1/2的概率獲得2000塊錢；工作二，百分之百地能穩(wěn)拿1500塊錢。雖然看上去兩種選擇的平均收入都一樣，但是人們往往更愿意選擇后一份工作，盡可能避免前一種工作所帶來的風險。為什么面對期望收入相同的事件，人們往往愿意選擇風險更小的那一個呢？ 這里，我們有一個重要的假設：收入的邊際效用是遞減的。換句話說，增加同樣多的收入，低收入者主觀上會感覺自己收益了很多，本來就是高收入的人則覺得這點兒收入算不了

50、什么。人們往往會覺得，收入從1000塊錢增加到2000塊錢所帶來的幸福感，要遠遠大于收入從8000塊增加到9000塊所帶來的幸福感。因此，如果把個人收入和它給人帶來的效益畫成一條曲線的話，大致就如圖中的那條曲線。 假如你獲得了1000元錢，你主觀上獲得的收益就用A點來表示；假如你獲得了2000元，你主觀上的收益就在B點。因此，工作一帶給你的平均效用就用A和B的中點C來表示。但是，如果我直接就給你1500塊錢，你將會得到一個大于C的效用D。這表明，直接選擇工作二所帶來的效用要高于工作一帶給你的平均效用，自然人們都會選擇工作二了。對于期望收入相同的兩件事來說，他愿意去做風險更小的那一件。

51、第六課：成本、邊際、均衡 價格與價值 高中經(jīng)濟學中對價格與價值的描述深入人心：價格以價值為基礎，受供求關系影響圍繞價值而上下波動。 簡單的說就是均衡。 均衡考慮 均衡本來是物理學上的一個概念，指一個物體在大小相等方向相反的兩個力的作用下，而暫時保持一種靜止不動的狀態(tài)。經(jīng)濟學把這個概念借用過來，作為自己分析問題的基本方法之一。 一件事情，如果有好處，好處大于壞處，人們就會著手去做?？墒窃俸玫氖虑樽鱿氯ヒ矔兂刹缓玫氖?，這叫物極必反。還是吃飯的例子，看到飯菜好吃，就大口大口地吃起來，可是你不會一直吃下去，因為吃到一定時候就會覺得，這一口不如上一口好吃了，我們已經(jīng)說過，這叫邊際效用遞減，

52、也就是新增加的一口，沒有上一口好吃，而且這個遞減會一直持續(xù)下去。 肯定有那么一口，是你的最后一口。這一口在理論上說，你吃不吃都是一樣的，這一口的效用是零。但下一口你不會再吃了，因為下一口，你吃了還不如不吃，它比上一口的效用要低，是負數(shù)，也就是你只覺得撐得慌、難受。 其實，在你吃第一口的時候，你的胃就已經(jīng)開始難受了，只不過你還不覺得，吃到最后一口的時候，這種感覺才開始強烈起來。胃難受是吃飯的壞處。 你吃的最后一口，就是由于吃了它，你覺得增加的好處，也就是邊際好處，和增加的壞處，也就是邊際壞處，相等的那一口。跟物體的均衡是一個道理。 所以，做事做到什么程度，就要看邊際好處和邊際壞處在哪里相

53、等。在此前，應該繼續(xù)做，因為做的話，你的凈好處，即好處減去壞處，就增加了；在此后則應該減少做，減少才會使你的凈好處增加。這樣你的利益才會達到最大化，相等于吃飽了又不難受。雖然你想都吃下去，但是，你不應該如此，因為全吃下去，會把你撐死。現(xiàn)實中，確實有撐死的人。這些人只看到吃飯的好處，忘記了壞處。 均衡對我們的啟發(fā)是，為了達到有意義的結局，必須調整自己的行為，同時不能顧此失彼。 關聯(lián)閱讀： 《人人都愛經(jīng)濟學》——王福重。 作者簡介：王福重，1965年生，經(jīng)濟學家，1998年獲中央財經(jīng)大學經(jīng)濟學博士學位，1999~2001年，在北京大學理論經(jīng)濟學博士后流動站進行研究工作。現(xiàn)北京高校任教，主要

54、研究領域為經(jīng)濟學基礎理論、國際經(jīng)濟學和公共財政。發(fā)表學術論文數(shù)十篇，譯著十余部。書齋筆耕之余，特別關注經(jīng)濟社會現(xiàn)象，擔任《上海證券報》、《國企》等多家媒體的專欄主筆，香港鳳凰衛(wèi)視特約評論嘉賓，其評論風格清新，引起社會廣泛關注。是中國世界經(jīng)濟學學會理事，中國經(jīng)濟規(guī)律研究會理事。 第七課：有好規(guī)矩，才不悲劇 一定要有個“好”班主任 總覺得班主任管得太多，從紀律到衛(wèi)生，從早起到睡覺，從吃飯到上操。所以每個學生都幻想有個“好”班主任，少管點，或者不管，至少別管自己，別說自己。 作為普通人，也許因為厭煩了社會中的條條框框，人類總幻想存在一個烏托邦，那里的人民路不拾遺、夜不閉戶，人人自覺做貢獻，任

55、何法規(guī)限令都是不必要的。 公地悲劇 有一個理論叫做“公地悲劇”（嗯……不是那個工地上出現(xiàn)的事故悲?。?，其核心意思是，如果公共資源被人們無限制地使用，后果就是華麗麗的杯具——想想你3號樓6層的廁所總是被扔滿垃圾。各人自掃門前雪當然是沒有問題，可公共領域該怎么辦？ 每次的學生藝術晚會，觀眾中有人為了看得更清楚而站起來，必定會擋住身后觀眾的視線，結果許多人都站了起來，次序亂糟糟的。為了看得更清楚，所有的人都站起身，結果沒人比大家都坐著時看得更清楚。 為了用數(shù)字來說明這一情況，我們首先做一些假設。我們假定牧場只放奶牛，收益也全部來自于牛奶供應。顯然，牧場的總收益與放牧數(shù)量之間的關系是一個單峰

56、函數(shù)——牧場上沒有牛時總收益為 0 ，牛的數(shù)量超過牧場的最大容量后總收益也為 0 ，在這之間一定存在一個平衡點使得總收益達到最大。為此，我們無妨假設總收益 y 與放牛數(shù)量 x 滿足 y = x(100-x) 的關系，即當牧場上的牛數(shù)為 0 或者為 100 時整個牧場都不會有任何收益，而 x = 50 時牧場的總收益將會達到最大。我們再假設，購買一頭牛的成本為 c ，擁有奶牛之后放牧的成本則忽略不計。接下來，我們將求出該牧地在公有和私有兩種情況下最終達到的放牧數(shù)量，大家將會看到開放牧地后確實將導致放牧數(shù)量遠遠超過最佳水平。 如果這是一塊私有牧地，牧場主會選擇放多少頭牛呢？很多人可能會脫

57、口而出，當然是 50 頭牛，因為 x=50 時收益達到最大值。但請注意，牧場主想要最大化的并不是他的收入，而是減去成本后所得的利潤 x(100-x) – cx 。對這個式子求導，我們就能得到利潤最大化的條件： 100-2x-c = 0 。解出這個式子中的 x ，我們就得出了牧場中的最佳牛數(shù) x = (100-c)/2 。 從另一個角度來看，上述結論也是很顯然的： 100-2x 恰好就是 x(100-x) 的導數(shù)，是增加第 x 頭牛給人帶來的收入增加量。如果這個增加量比 c 大，那么買入一頭新的牛顯然劃算；什么時候這個增加量比 c 小了，再買牛來放就要虧本了。因此，臨界點 100-2x

58、 = c 正好就是牛的數(shù)量達到最優(yōu)的時候。 但是，一旦整個牧場變?yōu)楣?，上述推理就不對了，因為單個放牧人并不關心整個牧場的利潤，只在乎自己的盈虧。為了簡便起見，我們假設牧場上有 x 個放牧人，每個人都只放一頭牛。那么，牧場的總收入將為 x(100-x) ，每個人得到的收入為 x(100-x)/x = 100-x 。因此，當牧場上有 x-1 頭牛時，對這塊蛋糕垂涎已久的人會發(fā)現(xiàn)，他作為第 x 個放牧人進入牧場后，能夠分得的收入為 100-x ，只要這個值比 c 大，這樣做就是值得的。隨著進入牧場的人數(shù)增多，新加入的放牧人會發(fā)現(xiàn)他所能賺到的越來越少。最終當 100-x = c 時，便不會再有人想

59、要進入該牧場了。此時的總體情況慘不忍睹——每個放牧人所得的收入都是 c ，可以說是一分錢也賺不到，形成“公地悲劇”。 大多數(shù)醫(yī)生都明白，倘若抗生素過量使用，細菌很快就會出現(xiàn)抗藥性。例如， 1947 年，青霉素剛大量投入使用的第 4 個年頭，人們就發(fā)現(xiàn)了一種能抵抗青霉素的葡萄球菌變體（金黃色葡萄球菌）。大多數(shù)醫(yī)生也知道，帶抗藥性的細菌變體，能導致更產(chǎn)重的問題。金黃色萄萄球菌出現(xiàn)以后，醫(yī)生們只好用另一種杭生素——甲氧苯青霉素——來治療它。但這也只是個應急辦法。 1961 年，英國發(fā)現(xiàn)了杭甲氧苯青霉素的細菌 ― MRSA 超級病菌，如今世界各地的醫(yī)院里都能找到它的身影。 1991 年，英國因致

60、血癥而去世的病患， 4 ％是 MRSA 感染所致；到了 1999 年，這一比例已經(jīng)上升至 37 ％。 跟過度放牧一樣，抗生素的過度使用，也是一起公地悲劇。個別過度放牧，本身并不足以對牧場造成重大影響；同理，個別醫(yī)生所開的抗生素，也不足以促成致命抗藥細菌的產(chǎn)生。然而，每當醫(yī)生開出抗生素，引起患者感染的細菌很可能會有一些得以幸存。該群體中的個體細菌跟從前全然不同，而更不幸的是，在抗生素治療過程中存活幾率最大的，并不是原始細菌群中的隨機樣本。相反，它們的基因結構對藥物的抵抗性最大。倘若加大用藥劑量，這部分幸存細菌仍可能被殺死。但隨著時間的推移，變異也逐漸積累，最終，幸存細菌中的抗藥性越來越強。

61、醫(yī)生面臨的困境在于，患者相信，服用抗生素能加速自己的痊愈。一些醫(yī)生拒絕用這種方式治療不太嚴重的感染，但另一些醫(yī)生屈服于患者的壓力之下，因為他們知道，如果拿不到藥，患者可能會另請高明。美國疾病控制中心估計，在每年開出的 1.5 億份抗生素處方中，有 1 / 3 都是不必要的。 醫(yī)生同意病人的要求，可能是因為他們知道，單獨的一張?zhí)幏?，并不會導致抗藥細菌的出現(xiàn)。不幸的是，這種決定的累積效應，最終肯定會催生出更多帶抗藥性的有毒變異細菌。 誰是霧霾的兇手？ 公地悲劇可以作為當前環(huán)境問題的一個小規(guī)模簡化模型，地球的環(huán)境問題是由數(shù)十億的污染者造成，其中每一個人都對大氣中的PM2.5含量的增加負一部分責

62、，雖然具體數(shù)字無法計算。不幸的是，在這樣一個模型中，涉及的人數(shù)越多，悲劇就愈加不可避免，因為參與的人越多，每個參與者對其他參與者的關心和信任也越少。此外，越是在一個大的群體中，就越難查出哪些人是“搭便車者”；人都有搭便車的傾向，喜歡從別人的犧牲中獲益，卻不愿犧牲自己。還有一點，單個參與者造成的損害很可能變得難以察覺，這會阻礙羞恥心的心理機制發(fā)揮作用，從而降低個人的內(nèi)疚感。 所以，霧霾的治理，顯得那么的緩慢。鑒于種種心理障礙使人無法主動應對氣候變化，要做出有效的改變，就需要通過立法強制執(zhí)行。 與好決策背道而馳——禁售政策正在加速大象滅絕 在中國走私象牙是違法的，但是某些國家沒有這樣的限制。

63、很明顯，并不是收入增長推動了象牙消費，而是禁售法規(guī)限制了未來象牙供應，令其有望成為絕版珍品，滿足了作為收藏品所需條件，因而受到收藏者和投資者的熱烈追捧，在此過程中需求曲線已雖商品性質的改變而大幅移動；而同時，禁售法規(guī)又無法控制住偷獵和走私，結果導致了一種末日來臨之前的哄然搶購局面。 用禁售法保護野生動物，是非?；闹嚨淖龇?，就好比用禁止農(nóng)產(chǎn)品交易來保護耕地；要知道，需要保護的野生動物種群，而不是動物個體，更不是動物器官，象牙作為大象種群所生產(chǎn)的產(chǎn)品，其市場價值恰好可以為保護這些種群提供激勵，同理，只有糧食賣的出好價錢，農(nóng)民才會保護耕地。 熱愛野生動物的人們，本應為象牙的高價格而慶幸，這是說服

64、當?shù)剞r(nóng)民為大象保留棲息地的最好理由，不幸的是，借助“沒有買賣便沒有殺戮”這句煽情口號，他們將這一市場價值變成了盜獵者與保護者之間的殘酷殺戮，以及當?shù)剞r(nóng)民的冷漠旁觀，或許還略帶慶幸，因為大象與農(nóng)耕社區(qū)之間歷來存在不小的沖突。 公地悲劇還會涉及很多非自然資源的公用品。例如，每個人都知道公交車擠著不舒服，但為什么最終車上還是這么擠呢？這就是因為，對于每個車下面的人來說，只要能上車，他就已經(jīng)得到了好處，完全無視這一舉措會使車上的每個人都受到一點損失。每個車下的人都這樣想，悲劇也就發(fā)生了。 公地悲劇的理論還有很多更奇怪的應用。很多時候，交通堵塞的原因是前方路段發(fā)生車禍，但事實上前方發(fā)生的僅僅是某輛車

65、撞上了護欄，車禍根本沒有擋住道路。為什么最終還是堵車了呢？原來，每輛開到車禍現(xiàn)場的車，都會減慢速度看看熱鬧，甚至停下來掏出手機照下這一“杰作”。這樣做雖然滿足了自己的好奇心，卻讓后面的每一輛車都多堵上好幾秒。因此大家往往會發(fā)現(xiàn)這樣一個有趣的現(xiàn)象：車禍越是離奇，交通堵塞越厲害。另一個經(jīng)典而有趣的應用是，為什么在餐桌上，實行 AA 制的總消費要比某一個人請客的消費高出許多。原因就在于，在實行 AA 制后，每個點菜的人都會想，原來需要 100 塊錢才能吃到的美味，這次只需要 100/n 塊錢便能享受到了。這樣，雖然自己得到了滿足，卻讓每個人都為你多付出了一些。 但回到現(xiàn)實，情況是，只要沒有規(guī)則限制

66、，那些投機取巧的家伙就會想方設法占便宜，并由此攪亂整個社會秩序，結果大家都玩不下去。所以，只要是有人的地方，不管發(fā)達城市還是原始部落，都一樣沒有規(guī)矩不成方圓。 第八課：四維到底什么樣？ 我們都清楚，數(shù)軸代表一維空間，平面直角坐標系代表二維空間，空間直角坐標系代表三維空間，那么四維空間有沒有？有的話，什么樣？ 四維空間是一個時空的概念。簡單來說，任何具有四維的空間都可以被稱為“四維空間”。不過，日常生活所提及的“四維空間”，大多數(shù)都是指愛因斯坦在他的《廣義相對論》和《狹義相對論》中提及的“四維時空”概念。根據(jù)愛因斯坦的概念，我們的宇宙是由時間和空間構成。時空的關系，是在空間的架構上比普通三維空間的長、寬、高三條軸外又多了兩條時間軸，而這條時間的軸是一條實數(shù)值的軸。 確定任何事物都需要四個坐標（空間的三個坐標和時間的一個坐標）的空間。 四維空間是三維空間和時間組成的整體。 三維空間其中任意一點的位置，由三個坐標便可確定，其中事物其實是相對靜止的，而能夠容納生命的空間，至少是四維的。可以說，生命便是，能夠感知、記錄時間坐標的空間物質。 這個概念