《蘇科版八年級數學上冊3.2 勾股定理的逆定理（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《蘇科版八年級數學上冊3.2 勾股定理的逆定理（含解析）（16頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、3.2 勾股定理的逆定理 一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（　?。? A．4，6，8 B．6，8，9 C．7，24，25 D．5，11，12 2．由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　?。? A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c D．（b+c）（b﹣c）＝a2 3．下列各組數不能構成直角三角形的是（　　） A．3，4，5 B．6，8，10 C．32，42，52 D．5，12，13 4．滿足下列條件的三角形中，是直角

2、三角形的是（　?。? A．三角形的三邊長滿足關系a+b＝c B．三角形的三邊長之比2：3：4 C．三角形的三邊長分別為5、12、13 D．三角形的一邊長等于另一邊長的一半 5．D是△ABC中BC邊上的一點，若AC2﹣CD2＝AD2，則AD是（　?。? A．BC邊上的中線 B．∠BAC的角平分線 C．BC邊上的高線 D．AC邊上的高線 6．下列各組數中，不是勾股數的是（　　） A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 7．已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（　　） A．∠A：∠

3、B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25 C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B 8． a、b、c為△ABC三邊，下列條件不能判斷它是直角三角形的是（　?。? A．a2＝c2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k為正整數） 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．請把答案直接填寫在橫線上） 9．△ABC中，三邊之比為3：4：5，且最長邊為10m，則△ABC周長為　　cm． 10．如圖，在3x3的網格中每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C都是小正方形的頂點，則∠ABC的度數

4、為　?。? 11．如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝90，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，則四邊形ABCD的面積等于　?。? 12．已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90，AB＝BC＝4，平面內有一點D，連接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，則∠BCD＝　?。? 13．若一個三角形的三邊長分別為1.5、2、2.5，則這個三角形最長邊上的中線為　?。? 14．三角形的三邊a，b，c滿足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，則這個三角形是　?。? 15．若△ABC三邊之比為5：12：13，則△ABC是　　三角形． 16．如圖，△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B

5、兩點出發(fā)，分別在AB，BC邊上勻速移動，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動，設點P的運動時間為ts，則當t＝　　s時，△PBQ為直角三角形． 三、解答題（本大題共5小題，共52分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，試說明：AC⊥CD． 18．在邊長為1的正方形網格中標有A、B、C、D、E、F六個格點，頂點在格點上的三角形叫做格點三角形，如格點三角形△ABC． （1）△ABC的面積為　??； （2）△ABC的形狀為　??； （3）根據圖中標

6、示的各點（A、B、C、D、E、F）位置，與△ABC全等的格點三角形是　　． 19．古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c為長度的線段首尾順次相接形成的是什么樣的三角形？請說明理由． 20．在四邊形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四邊形ABCD的面積． 21．【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據《周髀算經》記載，公元前1000多年就發(fā)現了“勾三股四弦五”的結論．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角

7、形的3個正整數，稱為勾股數． 【應用舉例】 觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以發(fā)現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過， 當勾為3時，股4，弦5； 當勾為5時，股12，弦13； 當勾為7時，股24，弦25． 請仿照上面三組樣例，用發(fā)現的規(guī)律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝　　，弦＝　?。? 【問題解決】 （2）古希臘的哲學家柏拉圖也提出了構造勾股數組的公式．具體表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m為大于1的整數），則a、b、c為勾股數．請你證明柏拉圖公式的正確性； （3）

8、畢達哥拉斯在他找到的勾股數的表達式中發(fā)現弦與股的差為1，若用2a2+2a+1（a為任意正整數）表示勾股數中最大的一個數，請你找出另外兩個數的表達式分別是多少？ 答案與解析 一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的． 1．（2020春?海安市期中）下列長度的三條線段能組成直角三角形的是（　　） A．4，6，8 B．6，8，9 C．7，24，25 D．5，11，12 【分析】根據勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形進行分析即可． 【解

9、析】A、62+42≠82，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意； B、62+82≠92，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意； C、72+242＝252，可以組成直角三角形，故此選項符合題意； D、52+112≠122，不可以組成直角三角形，故此選項不符合題意； 故選：C． 2．（2019秋?江蘇省常熟市期中）由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是（　　） A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．∠A﹣∠B＝∠C C．a＝1，b＝2，c D．（b+c）（b﹣c）＝a2 【分析】根據直角三角形的定義，以及勾股定理的逆定理判斷即可． 【解析】A、由題意：∠C180＝7

10、5，△ABC是銳角三角形，本選項符合題意． B、∵∠A﹣∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180，∴∠A＝90，∴△ABC是直角三角形，本選項不符合題意． C、∵a＝1，b＝2，c，∴a2+b2＝c2，∴∠C＝90，∴△ABC是直角三角形，本選項不符合題意． D、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，∴b2＝a2+c2，∴△ABC是直角三角形，本選項不符合題意． 故選：A． 3．（2019秋?江蘇省海陵區(qū)校級期中）下列各組數不能構成直角三角形的是（　?。? A．3，4，5 B．6，8，10 C．32，42，52 D．5，12，13 【分析】欲判斷能否構成直角三角形，只需驗證

11、兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方． 【解析】A、32+42＝52，能構成直角三角形，故此選項不符合題意； B、62+82＝102，能構成直角三角形，故此選項不符合題意； C、因為32＝9，42＝16，52＝25，92+162≠252，不能構成直角三角形，故此選項符合題意； D、52+122＝202，能構成直角三角形，故此選項不符合題意． 故選：C． 4．（2019秋?江蘇省沭陽縣期中）滿足下列條件的三角形中，是直角三角形的是（　?。? A．三角形的三邊長滿足關系a+b＝c B．三角形的三邊長之比2：3：4 C．三角形的三邊長分別為5、12、13 D．三角形的一邊長等于

12、另一邊長的一半 【分析】根據勾股定理的逆定理對各選項進行逐一判斷即可． 【解析】A、三角形的三邊滿足關系a+b＝c，不符合勾股定理的逆定理，故本選項錯誤； B、∵22+32＝13≠42＝16，∴此三角形不是直角三角形，故本選項錯誤； C、∵52+122＝132，∴此三角形是直角三角形，故本選項正確； D、三角形的一邊等于另一邊的一半無法判斷三角形的形狀，故本選項錯誤． 故選：C． 5．（2019秋?江蘇省蘇州期中）D是△ABC中BC邊上的一點，若AC2﹣CD2＝AD2，則AD是（　?。? A．BC邊上的中線 B．∠BAC的角平分線 C．BC邊上的高線 D．AC邊上的高線 【

13、分析】根據題意畫出圖形，再根據已知條件判斷出△ACD的形狀，再根據高線的定義解答即可． 【解析】如圖所示： ∵AC2﹣CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴AD⊥BC， 則AD是BC邊上的高線， 故選：C． 6．（2019秋?江蘇省阜寧縣期中）下列各組數中，不是勾股數的是（　?。? A．3，4，6 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，15 【分析】欲判斷是否為勾股數，必須根據勾股數是正整數，同時還需滿足兩小邊的平方和等于最長邊的平方． 【解析】A、32+42≠62，不是勾股數，此選項正確； B、72+242＝252，是勾股數，此選項錯誤； C、

14、62+82＝102，是勾股數，此選項錯誤； D、92+122＝152，是勾股數，此選項錯誤． 故選：A． 7．（2019秋?江蘇省鎮(zhèn)江期中）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（　?。? A．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 B．a：b：c＝7：24：25 C．a2＝b2﹣c2 D．∠A＝∠C﹣∠B 【分析】根據三角形內角和定理可得A、D是否是直角三角形；根據勾股定理逆定理可判斷出B、C是否是直角三角形． 【解析】A、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C180＝75，故不能判定△ABC是直角三角形； B、∵72+242＝

15、252，∴△ABC為直角三角形； C、∵a2＝b2﹣c2，∴b2＝c2+a2，故△ABC為直角三角形； D、∵∠A＝∠C﹣∠B，且∠A+∠B+∠C＝180，∴∠C＝90，故△ABC為直角三角形． 故選：A． 8．（2019秋?江蘇省泰興市期中）a、b、c為△ABC三邊，下列條件不能判斷它是直角三角形的是（　　） A．a2＝c2﹣b2 B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a＝3，b＝4，c＝5 D．a＝5k，b＝12k，c＝13k（k為正整數） 【分析】如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形． 【解析】A．若a2＝c2﹣b2，則

16、△ABC為直角三角形，故本選項不合題意； B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則最大角∠C＜90，△ABC不是直角三角形，故本選項符合題意； C．若a＝3，b＝4，c＝5，則△ABC為直角三角形，故本選項不合題意； D．若a＝5k，b＝12k，c＝13k（k為正整數），則a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形，故本選項不合題意． 故選：B． 二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．請把答案直接填寫在橫線上） 9．（2019秋?江蘇省連云港期中）△ABC中，三邊之比為3：4：5，且最長邊為10m，則△ABC周長為　2400　cm． 【分析】首先根據三邊之比設出未知

17、數，然后可確定各邊長，再計算出周長即可． 【解析】設△ABC三邊分別是3xm、4xm、5xm， ∵最長邊為10m， ∴5x＝10， 解得：x＝2， ∴3x＝6，4x＝8， ∴6+8+10＝24（m）＝2400cm， 故答案為：2400． 10．（2019秋?江蘇省鎮(zhèn)江期中）如圖，在3x3的網格中每個小正方形的邊長都是1，點A、B、C都是小正方形的頂點，則∠ABC的度數為　45?。? 【分析】利用勾股定理的逆定理證明△ACB為直角三角形即可得到∠ABC的度數． 【解析】由勾股定理得：AC＝BC，AB， ∵AC2+BC2＝AB2＝10， ∴△ABC為等腰直角三角形， ∴

18、∠ABC＝45． 故答案為：45． 11．（2019秋?江蘇省金壇區(qū)期中）如圖，已知四邊形ABCD中，∠ABC＝90，AB＝3，BC＝4，CD＝13，DA＝12，則四邊形ABCD的面積等于　36?。? 【分析】連接AC，先根據勾股定理求出AC的長度，再根據勾股定理的逆定理判斷出△ACD的形狀，最后利用三角形的面積公式求解即可． 【解析】連接AC， ∵∠ABC＝90，AB＝3，BC＝4， ∴AC5， 在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2， ∴△ACD是直角三角形， ∴S四邊形ABCDAB?BCAC?CD34512＝36． 故答案為：36． 12．

19、（2019秋?江蘇省儀征市期中）已知等腰直角△ABC，∠ABC＝90，AB＝BC＝4，平面內有一點D，連接CD、AD，若CD＝2，AD＝6，則∠BCD＝　135或45　． 【分析】根據勾股定理的逆定理證明△ACD為直角三角形，求出∠ACD＝90，再求出∠ACB＝45問題即可解決． 【解析】∵∠ABC＝90，AB＝BC＝4， ∴AC2＝42+42＝32，而CD2＝4，AD2＝62＝36， ∴AD2＝AC2+CD2， ∴△ACD為直角三角形，∠ACD＝90； ∵△ABC為等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45， ∴①∠BCD＝90+45＝135； ②∠BCD＝90﹣45＝45． 故

20、∠BCD＝135或45． 故答案為：135或45． 13．（2019秋?江蘇省南京期中）若一個三角形的三邊長分別為1.5、2、2.5，則這個三角形最長邊上的中線為　　． 【分析】根據勾股定理的逆定理求出三角形是直角三角形，再根據直角三角形斜邊上的中線的性質求出即可． 【解析】∵三角形的三邊長分別為1.5、2、2.5， ∴1.52+22＝2.52， ∴此三角形是直角三角形，斜邊長為2.5， ∴這個三角形最長邊上的中線為， 故答案為：． 14．（2019秋?江蘇省金壇區(qū)期中）三角形的三邊a，b，c滿足（a﹣b）2＝c2﹣2ab，則這個三角形是　直角三角形?。? 【分析】首先對

21、等式進行變形得到a2+b2＝c2，然后依據勾股定理的逆定理進行判斷即可． 【解析】∵（a﹣b）2＝c2﹣2ab， ∴a2﹣2ab+b2＝c2﹣2ab， ∴a2+b2＝c2． ∴△ABC是直角三角形． 故答案為直角三角形． 15．（2019秋?江蘇省淮安區(qū)期中）若△ABC三邊之比為5：12：13，則△ABC是　直角　三角形． 【分析】由兩小邊的平方和等于最長邊的平方可得△ABC是直角三角形． 【解析】設△ABC三邊分別為5x，12x，13x， ∵（5x）2+（12x）2＝（13x）2， ∴△ABC是直角三角形． 故答案為：直角 16．（2019秋?江蘇省連云港期中）如圖，

22、△ABC是邊長為6cm的等邊三角形，動點P，Q同時從A，B兩點出發(fā)，分別在AB，BC邊上勻速移動，它們的速度分別為2cm/s和1cm/s，當點P到達點B時，P，Q兩點停止運動，設點P的運動時間為ts，則當t＝　或　s時，△PBQ為直角三角形． 【分析】先分別表示出BP，BQ的值，當∠BQP和∠BPQ分別為直角時，由等邊三角形的性質就可以求出結論． 【解析】∵△ABC是等邊三角形， ∴AB＝BC＝6cm，∠A＝∠B＝∠C＝60， 當∠PQB＝90時，∠BPQ＝30， ∴BP＝2BQ． ∵BP＝6﹣2x，BQ＝x， ∴6﹣2x＝2x， 解得x； 當∠QPB＝90時，∠PQB＝

23、30， ∴BQ＝2PB， ∴x＝2（6﹣2x）， 解得x． 答：或秒時，△BPQ是直角三角形． 故答案為或． 三、解答題（本大題共5小題，共52分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟） 17．（2019秋?邳州市校級月考）如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，且AB⊥BC，試說明：AC⊥CD． 【分析】在△ABC中，根據勾股定理求出AC2的值，再在△ACD中根據勾股定理的逆定理，判斷出AC⊥CD． 【解答】證明：在△ABC中AB⊥BC，根據勾股定理：AC2＝AB2+BC2＝12+22＝5， ∵在△ACD中，AC2+CD2＝5+4

24、＝9，AD2＝9， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴根據勾股定理的逆定理，△ACD為直角三角形， ∴AC⊥CD． 18．（2019秋?江蘇省新吳區(qū)期中）在邊長為1的正方形網格中標有A、B、C、D、E、F六個格點，頂點在格點上的三角形叫做格點三角形，如格點三角形△ABC． （1）△ABC的面積為　2??； （2）△ABC的形狀為　直角三角形　； （3）根據圖中標示的各點（A、B、C、D、E、F）位置，與△ABC全等的格點三角形是　△DBC，△DAB，△DAC?。? 【分析】（1）根據長方形和三角形的面積公式求出即可； （2）根據勾股定理求出AC、BC、AB的長，再根據勾股定理的逆

25、定理判斷即可； （3）根據全等三角形的判定定理得出即可． 【解析】（1）△ABC的面積為：222， 故答案為：2； （2）由勾股定理得：AC2，BC，AB， 所以AC2+BC2＝AB2， 即∠ACB＝90， 即△ABC是直角三角形， 故答案為：直角三角形； （3）與△ABC全等的格點三角形是△DBC，△DAB，△DAC， 故答案為：△DBC，△DAB，△DAC． 19．（2020春?海安市期中）古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果m表示大于1的整數，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c為長度的線段首尾順次相接形成的是什么樣的三角形？請說明理由． 【分析】根

26、據m表示大于1的整數，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，然后即可得到a2+b2的值，c2的值，再根據勾股定理的逆定理即可判斷以a，b，c為長度的線段首尾順次相接形成的是什么樣的三角形，本題得以解決． 【解析】以a，b，c為長度的線段首尾順次相接形成的是直角三角形， 理由：∵m表示大于1的整數，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1， ∴c＞a， ∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2， c2＝（m2+1）2， ∴a2+b2＝c2， ∴以a，b，c為長度的線段首尾順次相接形成的是直角三角形． 20．（2019秋?江蘇省阜寧縣期中）在四

27、邊形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四邊形ABCD的面積． 【分析】利用勾股定理求出AC的長度，在△ABC中根據勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根據直角三角形的面積等于兩直角邊乘積的一半計算即可求解． 【解析】在Rt△ACD中， AC5cm， 在△ABC中， ∵AB2+BC2＝9+16＝25， AC2＝52＝25， ∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， ∴四邊形ABCD的面積AB?BCAC?CD34512＝36cm2． 21．（2019秋?江蘇省興化市期中）【知識背景】我國古代把直角三角形較短的直

28、角邊稱為“勾”，較長的的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”．據《周髀算經》記載，公元前1000多年就發(fā)現了“勾三股四弦五”的結論．像3、4、5這樣為三邊長能構成直角三角形的3個正整數，稱為勾股數． 【應用舉例】 觀察3，4，5；5，12，13；7，24，25；… 可以發(fā)現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過， 當勾為3時，股4，弦5； 當勾為5時，股12，弦13； 當勾為7時，股24，弦25． 請仿照上面三組樣例，用發(fā)現的規(guī)律填空： （1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，請用含有n的式子表示股和弦，則股＝?。╪2﹣1）　，弦＝?。╪2+1）　． 【問題解決】

29、（2）古希臘的哲學家柏拉圖也提出了構造勾股數組的公式．具體表述如下：如果a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m為大于1的整數），則a、b、c為勾股數．請你證明柏拉圖公式的正確性； （3）畢達哥拉斯在他找到的勾股數的表達式中發(fā)現弦與股的差為1，若用2a2+2a+1（a為任意正整數）表示勾股數中最大的一個數，請你找出另外兩個數的表達式分別是多少？ 【分析】（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，則股（n2﹣1），弦（n2+1）； （2）根據勾股數的定義直接進行解答即可得出答案； （3）根據弦與股的差為1和勾股數的定義即可得出答案． 【解析】（1）如果勾用n（n≥3，且n為奇數）表示時，則股（n2﹣1），弦（n2+1）； 故答案為：（n2﹣1），（n2+1）； （2）∵a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1（m表示大于1的整數） ∴a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2 ＝4m2+m4﹣2m2+1 ＝m4+2m2+1 ＝（m2+1）2＝（m2+1）2＝c2， ∴a2+b2＝c2 ∴a、b、c為勾股數； （3）∵弦與股的差為1，2a2+2a+1（a為任意正整數）表示勾股數中最大的一個數， ∴另外兩個數的表達式分別是2a2+2a； 2a+1． 16