《高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列的概念與簡單表示法教案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練 數(shù)列的概念與簡單表示法教案（7頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　數(shù)列的概念與簡單表示法 【2013年高考會這樣考】 1．以數(shù)列的前幾項(xiàng)為背景，考查“歸納—推理”思想． 2．考查已知數(shù)列的通項(xiàng)公式或遞推關(guān)系，求數(shù)列的某項(xiàng)． 3．考查由數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，已知Sn與an的關(guān)系求an等． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．本講復(fù)習(xí)主要以數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式的求法為主． 2．對于歸納通項(xiàng)公式的題目，歸納出通項(xiàng)后要進(jìn)行驗(yàn)證． 3．熟練掌握求解數(shù)列通項(xiàng)公式的基本方法，尤其是已知遞推關(guān)系求通項(xiàng)這種基本的方法，另外注意累加法、累積法的靈活應(yīng)用． 基礎(chǔ)梳理 1．?dāng)?shù)列的定義 按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的

2、項(xiàng)． 2．?dāng)?shù)列的分類 分類原則 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an＋1＞an 其中n∈N＋ 遞減數(shù)列 an＋1＜an 常數(shù)列 an＋1＝an 按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M，使|an|≤M 擺動數(shù)列 an的符號正負(fù)相間，如1，－1,1，－1，… 3.數(shù)列的表示法 數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法． 4．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用一個(gè)式子an＝f(n)來表示，

3、那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式． 5．Sn與an的關(guān)系 已知Sn，則an＝在數(shù)列{an}中，若an最大，則若an最小，則 一個(gè)聯(lián)系 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個(gè)定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當(dāng)自變量依次從小到大取值時(shí)所對應(yīng)的一列函數(shù)值，就是數(shù)列．因此，在研究函數(shù)問題時(shí)既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性． 兩個(gè)區(qū)別 (1)若組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的兩個(gè)數(shù)列，這有別于集合中元素的無序性． (2)數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)出現(xiàn)，而集合中的元素不能重復(fù)出現(xiàn)． 三種方法 由遞推式求通項(xiàng)an的方法： (1)an＋1－an＝f

4、(n)型，采用疊加法； (2)＝f(n)型，采用疊乘法； (3)an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0)型，采用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列解決． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)分別為2,0,2,0，則下列各式不可以作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的一項(xiàng)是(　　)． A．a(chǎn)n＝1＋(－1)n＋1 B．a(chǎn)n＝2sin C．a(chǎn)n＝1－cos nπ D．a(chǎn)n＝ 解析　根據(jù)數(shù)列的前4項(xiàng)驗(yàn)證． 答案　B 2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1，則a5的值為(　　)． A．30 B．31 C．32 D．33

5、解析　a5＝2a4＋1＝2(2a3＋1)＋1＝22a3＋2＋1＝23a2＋22＋2＋1＝24a1＋23＋22＋2＋1＝31. 答案　B 3．已知an＋1－an－3＝0，則數(shù)列{an}是(　　)． A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列 C．常數(shù)列 D．不確定 解析　∵an＋1－an－3＝0，∴an＋1－an＝3＞0，∴an＋1＞an. 故數(shù)列{an}為遞增數(shù)列． 答案　A 4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2，則a8的值為(　　)． A．15 B．16 C．49 D．64 解析　由于Sn＝n2，∴a1＝S1＝1. 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn

6、－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1適合上式． ∴an＝2n－1，∴a8＝28－1＝15. 答案　A 5．(2012泰州月考)數(shù)列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x的值為________． 解析　觀察數(shù)列中項(xiàng)的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項(xiàng)開始每一項(xiàng)都是其前兩項(xiàng)的和． 答案　21　　 考向一　由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng) 【例1】?寫出下面各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式： (1)3,5,7,9，…； (2)，，，，，…； (3)－1，，－，，－，，…； (4)3,33,333,3 333，…. [審題視點(diǎn)] 先觀察各項(xiàng)的特點(diǎn)，然后歸納出其通項(xiàng)公式，要注意項(xiàng)與項(xiàng)

7、之間的關(guān)系，項(xiàng)與前后項(xiàng)之間的關(guān)系． 解　(1)各項(xiàng)減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (2)每一項(xiàng)的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23，24，…，所以an＝. (3)奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，故通項(xiàng)公式中含因子(－1)n；各項(xiàng)絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項(xiàng)絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)為1，偶數(shù)項(xiàng)為3，即奇數(shù)項(xiàng)為2－1，偶數(shù)項(xiàng)為2＋1，所以an＝(－1)n. 也可寫為an＝ (4)將數(shù)列各項(xiàng)改寫為：，，，，…， 分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1，104－1，…，所以an＝(10n－1)． 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式時(shí)，需仔

8、細(xì)觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相鄰項(xiàng)的變化特征；(3)拆項(xiàng)后的特征：把數(shù)列的項(xiàng)分成變化的部分和不變的部分；(4)各項(xiàng)符號特征．若關(guān)系不明顯時(shí)，應(yīng)將部分項(xiàng)作適當(dāng)?shù)淖冃?，統(tǒng)一成相同的形式，讓規(guī)律凸現(xiàn)出來． 【訓(xùn)練1】 已知數(shù)列{an}的前四項(xiàng)分別為1,0,1,0，給出下列各式： ①an＝；②an＝；③an＝sin2；④an＝；⑤an＝；⑥an＝＋(n－1)(n－2)．其中可以作為數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的有________(填序號)． 答案?、佗邰? 考向二　由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)an 【例2】?已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1，則它的通項(xiàng)

9、公式為an＝________. [審題視點(diǎn)] 利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求解． 解析　當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)＝23n－1；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2也滿足an＝23n－1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝23n－1. 答案　23n－1 數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是an＝當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；當(dāng)n＝1時(shí)，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示． 【訓(xùn)練2】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則其通項(xiàng)公式為________． 解析　當(dāng)n＝1時(shí)，

10、a1＝S1＝312－21＋1＝2； 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式． 故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝ 答案　an＝ 考向三　由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng) 【例3】?根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式． (1)a1＝1，an＋1＝3an＋2； (2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)； (3)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an. [審題視點(diǎn)] (1)可用構(gòu)造等比數(shù)列法求解．(2)可轉(zhuǎn)化后利用累乘法求解．(3)可利用累加法求解． 解　(1)∵an＋1＝3an＋

11、2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)， ∴＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝23n－1，∴an＝23n－1－1. (2)∵an＝an－1(n≥2)，∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.以上(n－1)個(gè)式子相乘得an＝a1…＝＝. (3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n≥2)．當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝(31＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋. 已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解．當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1

12、＋m時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝xan－1＋y時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時(shí)，用累加法求解；當(dāng)出現(xiàn)＝f(n)時(shí)，用累乘法求解． 【訓(xùn)練3】 根據(jù)下列各個(gè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)和基本關(guān)系式，求其通項(xiàng)公式． (1)a1＝1，an＝an－1＋3n－1(n≥2)； (2)a1＝2，an＋1＝an＋ln. 解　(1)∵an＝an－1＋3n－1(n≥2)，∴an－1＝an－2＋3n－2， an－2＝an－3＋3n－3， … a2＝a1＋31， 以上(n－1)個(gè)式子相加得 an＝a1＋31＋32＋…＋3n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝. (2)∵an＋1＝an＋ln

13、， ∴an＋1－an＝ln＝ln， ∴an－an－1＝ln，an－1－an－2＝ln， … a2－a1＝ln， 以上(n－1)個(gè)式相加得， ∴an－a1＝ln＋ln＋…＋ln＝ln n．又a1＝2， ∴an＝ln n＋2. 考向四　數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用 【例4】?已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)an＝(n＋1)n(n∈N＋)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項(xiàng)？若有，求最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；若沒有，說明理由． [審題視點(diǎn)] 作差：an＋1－an，再分情況討論． 解　∵an＋1－an＝(n＋2)n＋1－(n＋1)n＝n. 當(dāng)n＜9時(shí)，an＋1－an＞0，即an＋1＞an； 當(dāng)n＝9時(shí)，an＋1－a

14、n＝0，即an＋1＝an； 當(dāng)n＞9時(shí)，an＋1－an＜0，即an＋1＜an； 故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以數(shù)列中有最大項(xiàng)為第9,10項(xiàng)． (1)數(shù)列可以看作是一類特殊的函數(shù)，因此要用函數(shù)的知識，函數(shù)的思想方法來解決． (2)數(shù)列的單調(diào)性是高考常考內(nèi)容之一，有關(guān)數(shù)列最大項(xiàng)、最小項(xiàng)、數(shù)列有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性時(shí)常用①作差法，②作商法，③結(jié)合函數(shù)圖象等方法． 【訓(xùn)練4】 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋24n(n∈N*)． (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)n為何值時(shí)，Sn達(dá)到最大？最大值是多少？ 解　(1)

15、n＝1時(shí)，a1＝S1＝23. n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋24n＋(n－1)2－24(n－1)＝－2n＋25.經(jīng)驗(yàn)證，a1＝23符合an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25(n∈N*)． (2)法一　∵Sn＝－n2＋24n，∴n＝12時(shí)，Sn最大且Sn＝144. 法二　∵an＝－2n＋25， ∴an＝－2n＋25＞0，有n＜.∴a12＞0，a13＜0， 故S12最大，最大值為144.　　 難點(diǎn)突破13——數(shù)列中最值問題的求解 從近幾年新課標(biāo)高考可以看出，對求數(shù)列中的最大項(xiàng)是高考的熱點(diǎn)，一般難度較大．解決這類問題時(shí)，要利用函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的最值，但要注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同，其自變量的取值是不連續(xù)的，只能取正整數(shù)，所以在求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)時(shí)，應(yīng)注意數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的，故不應(yīng)漏掉等號． 【示例1】? (2010遼寧)已知數(shù)列{an}滿足a1＝33，an＋1－an＝2n，則的最小值為________． 【示例2】? (2011浙江)若數(shù)列中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng)，則k＝________. 　 7