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1、摘 要 無限長脈沖數(shù)字濾波器的設(shè)計方法只考慮了幅度特性，沒有考慮相位特性，所設(shè)的濾波器一般是某種確定的非線性相位特性。有限脈沖響應(yīng)（FIR）濾波器在保證了幅度特性滿足技術(shù)要求的同時，很容易做到有嚴(yán)格的線性相位特性。 本課題利用MATLAB軟件實(shí)現(xiàn)。MATLAB是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”（MATrix LABoratoy）的縮寫，是一種科學(xué)計算軟件，它使用方便，輸入簡捷，運(yùn)算高效，內(nèi)容豐富，因此利用MATLAB軟件，通過一系列較為系統(tǒng)的函數(shù)法，根據(jù)已知的技術(shù)指標(biāo)，就可以設(shè)計出滿足要求的濾波器。 關(guān)鍵詞：MATLAB；窗函數(shù)；FIR帶阻數(shù)字濾波器；線性相位

2、 目 錄 1課題描述 1 2 MATLAB簡介 2 3 窗函數(shù)設(shè)計法原理 2 3.1線性相位 5 3.2 基本窗函數(shù) 5 3.2.1 矩形窗函數(shù) 5 3.2.2 三角窗函數(shù) 6 3.2.3漢寧窗函數(shù) 7 3.2.4 哈明窗函數(shù) 7 3.2.5 布萊克曼窗函數(shù) 8 3.2.6 凱塞窗 8 4 方案設(shè)計與分析 10 4.1方案設(shè)計程序 10 4.2分析 12 5 總結(jié)與體會 14 6 參考文獻(xiàn) 1 課程設(shè)計說明書（論文） 1課題描述 現(xiàn)代圖像、語聲、數(shù)據(jù)通信對線性相位的

3、要求是普遍的。正是此原因，使得具有線性相位的FIR數(shù)字濾波器得到大力發(fā)展和廣泛應(yīng)用。 在實(shí)際進(jìn)行數(shù)字信號處理時，往往需要把信號的觀察時間限制在一定的時間間隔內(nèi)，只需要選擇一段時間信號對其進(jìn)行分析。這樣，取用有限個數(shù)據(jù)，即將信號數(shù)據(jù)截斷的過程，就等于將信號進(jìn)行加窗函數(shù)操作。而這樣操作以后，常常會發(fā)生頻譜分量從其正常頻譜擴(kuò)展開來的現(xiàn)象，即所謂的“頻譜泄漏”。當(dāng)進(jìn)行離散傅立葉變換時，時域中的截斷是必需的，因此泄漏效應(yīng)也是離散傅立葉變換所固有的，必須進(jìn)行抑制。而要對頻譜泄漏進(jìn)行抑制，可以通過窗函數(shù)加權(quán)抑制DFT的等效濾波器的振幅特性的副瓣，或用窗函數(shù)加權(quán)使有限長度的輸入信號周期延拓后在邊界上盡量減少

4、不連續(xù)程度的方法實(shí)現(xiàn)。而在后面的FIR濾波器的設(shè)計中，為獲得有限長單位取樣響應(yīng)，需要用窗函數(shù)截斷無限長單位取樣響應(yīng)序列。另外，在功率譜估計中也要遇到窗函數(shù)加權(quán)問題。由此可見，窗函數(shù)加權(quán)技術(shù)在數(shù)字信號處理中的重要地位。 第 13 頁 共 15頁 2 MATLAB簡介 MATLAB是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”（MATrix LABoratoy）的縮寫，是一種科學(xué)計算軟件，主要適用于矩陣運(yùn)算及控制和信息處理領(lǐng)域的分析設(shè)計，它使用方便，輸入簡捷，運(yùn)算高效，內(nèi)容豐富，因此很多專家在自己擅長的領(lǐng)域用它編寫了許多專門的MATLAB工具包，由于MATLAB功能的不斷擴(kuò)展，所以是科學(xué)研究中最常用必不可少的工具。

5、 MATLAB由一系列工具組成。這些工具方便用戶使用MATLAB的函數(shù)和文件，其中許多工具采用的是圖形用戶界面。包括MATLAB桌面和命令窗口、歷史命令窗口、編輯器和調(diào)試器、路徑搜索和用于用戶瀏覽幫助、工作空間、文件的瀏覽器。隨著MATLAB的商業(yè)化以及軟件本身的不斷升級，MATLAB的用戶界面也越來越精致，更加接近Windows的標(biāo)準(zhǔn)界面，人機(jī)交互性更強(qiáng)，操作更簡單。而且新版本的MATLAB提供了完整的聯(lián)機(jī)查詢、幫助系統(tǒng)，極大的方便了用戶的使用。簡單的編程環(huán)境提供了比較完備的調(diào)試系統(tǒng)，程序不必經(jīng)過編譯就可以直接運(yùn)行，而且能夠及時地報告出現(xiàn)的錯誤及進(jìn)行出錯原因分析。 MATLAB一個高級的矩

6、陣/陣列語言，它包含控制語句、函數(shù)、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、輸入和輸出和面向?qū)ο缶幊烫攸c(diǎn)。用戶可以在命令窗口中將輸入語句與執(zhí)行命令同步，也可以先編寫好一個較大的復(fù)雜的應(yīng)用程序（M文件）后再一起運(yùn)行。新版本的MATLAB語言是基于最為流行的C＋＋語言基礎(chǔ)上的，因此語法特征與C＋＋語言極為相似，而且更加簡單，更加符合科技人員對數(shù)學(xué)表達(dá)式的書寫格式。使之更利于非計算機(jī)專業(yè)的科技人員使用。而且這種語言可移植性好、可拓展性極強(qiáng)，這也是MATLAB能夠深入到科學(xué)研究及工程計算各個領(lǐng)域的重要原因。 3 窗函數(shù)設(shè)計法原理 數(shù)字濾波器可以理解為是一個計算程序或算法，將代表輸入信號的數(shù)字時間序列轉(zhuǎn)化為代表輸出信號的數(shù)字時間

7、序列，并在轉(zhuǎn)化過程中，使信號按預(yù)定的形式變化。數(shù)字濾波器有多種分類，根據(jù)數(shù)字濾波器沖激響應(yīng)的時域特征，可將數(shù)字濾波器分為兩種，即無限長沖激響應(yīng)（iir）濾波器和有限長沖激響應(yīng)（fir）濾波器。iir數(shù)字濾波器具有無限寬的沖激響應(yīng)，與模擬濾波器相匹配。所以iir濾波器的設(shè)計可以采取在模擬濾波器設(shè)計的基礎(chǔ)上進(jìn)一步變換的方法。fir數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)是有限長序列。它的設(shè)計問題實(shí)質(zhì)上是確定能滿足所要求的轉(zhuǎn)移序列或脈沖響應(yīng)的常數(shù)問題，設(shè)計方法主要有窗函數(shù)法、頻率采樣法和等波紋最佳逼近法等。 因此設(shè)計FIR濾波器的方法之一可以從時域出發(fā)，截取有限長的一段沖擊響應(yīng)作為H(z)的系數(shù)，沖擊響應(yīng)長度N就

8、是系統(tǒng)函數(shù)H(z)的階數(shù)。只要N足夠長，截取的方法合理，總能滿足頻域的要求。一般這種時域設(shè)計、頻域檢驗(yàn)的方法要反復(fù)幾個回合才能成功。要設(shè)計一個線性相位的FIR數(shù)字濾波器，首先要求理想頻率響應(yīng)。是w的周期函數(shù)，周期為，可以展開成傅氏級數(shù)： ＝ （3-1） 其中是與理想頻響對應(yīng)的理想單位抽樣響應(yīng)序列。但不能用來作為設(shè)計FIR DF用的h(n)，因?yàn)橐话愣际菬o限長、非因果的，物理上無法實(shí)現(xiàn)。為了設(shè)計出頻響類似于理想頻響的濾波器，可以考慮用h(n)來近似。 窗函數(shù)的基本思想：先選取一個理想濾波器（它的單位抽樣響應(yīng)是非因果、無限長的），再截?。ɑ蚣哟埃?/p>

9、它的單位抽樣響應(yīng)得到線性相位因果FIR濾波器。這種方法的重點(diǎn)是選擇一個合適的窗函數(shù)和理想濾波器。 設(shè)x(n)是一個長序列，w(n)是長度為N的窗函數(shù)，用w(n)截斷x(n)，得到N點(diǎn)序列xn(n)，即 xn(n) = x(n) w(n) （3-2） 在頻域上則有 （3-3） 由此可見，窗函數(shù)w(n)不僅僅會影響原信號x(n)在時域上的波形，而且也會影響到頻域內(nèi)的形狀。 MATLAB信號工具箱主要提供了以下幾種窗函數(shù)，如表下所示：

10、 表1 MATLAB窗函數(shù) 窗 窗 函 數(shù) 矩形窗 Boxcar 三角窗 Barlett 布萊克曼窗 Blackman 哈明窗 Hamming 漢寧窗 Hanning 凱塞窗 Kaiser 切比雪夫窗 Chebwin 加矩形窗后的頻譜和理想頻譜可得到以下結(jié)論： 加窗使過渡帶變寬，過渡帶的帶寬取決于窗譜的主瓣寬度。矩形窗情況下的過渡帶寬是。N越大，過渡帶越窄、越陡； 過渡帶兩旁產(chǎn)生肩峰，肩峰的兩側(cè)形成起伏振蕩。肩峰幅度取決于窗譜主瓣和旁瓣面積之比。矩形窗情況下是8.95％，與N無關(guān)。工程上習(xí)慣用相對衰耗來描述濾波器，相對衰耗定義為

11、 （3-4） 這樣兩個肩峰點(diǎn)的相對衰耗分別是0.74dB和-21dB。其中（-0.0895）對應(yīng)的點(diǎn)的值定義為阻帶最小衰耗。 以上的分析可見，濾波器的各種重要指標(biāo)都是由窗函數(shù)決定，因此改進(jìn)濾波器的關(guān)鍵在于改進(jìn)窗函數(shù)。 窗函數(shù)譜的兩個最重要的指標(biāo)是：主瓣寬度和旁瓣峰值衰耗。旁瓣峰值衰耗定義為： 旁瓣峰值衰耗＝20lg(第一旁瓣峰值／主瓣峰值) （3-5） 為了改善濾波器的性能，需使窗函數(shù)譜滿足： 主瓣盡可能窄，以使設(shè)計出來的濾波器有較陡的過渡帶； 第一副瓣面積相對主瓣面積盡可能小，即能量盡可能集中

12、在主瓣，外泄少，使設(shè)計出來的濾波器的肩峰和余振小。 但上面兩個條件是相互矛盾的，實(shí)際應(yīng)用中，折衷處理，兼顧各項指標(biāo)。 3.1線性相位 一個單一頻率的正弦信號通過一個系統(tǒng)，假設(shè)它通過這個系統(tǒng)的時間需要t，則這個信號的輸出相位落后原來信號wt的相位。從這邊可以看出，一個正弦信號通過一個系統(tǒng)落后的相位等于它的w*t；反過來說，如果一個頻率為w的正弦信號通過系統(tǒng)后，它的相位落后delta，則該信號被延遲了delta/w的時間。在實(shí)際系統(tǒng)中，一個輸入信號可以分解為多個正弦信號的疊加，為了使得輸出信號不會產(chǎn)生相位失真，必須要求它所包含的這些正弦信號通過系統(tǒng)的時間是一樣的。因此每一個正弦信

13、號的相位分別落后，w1*t，w2*t，w3*t。因此，落后的相位正比于頻率w，如果超前，超前相位的大小也是正比于頻率w。從系統(tǒng)的頻率響應(yīng)來看，就是要求它的相頻特性是一條直線。在FIR濾波器的設(shè)計中，為了得到線性相位的性質(zhì)，通常利用實(shí)偶對稱序列的相頻特性為常數(shù)0和實(shí)奇對稱序列為相頻特性為常數(shù)90度的特點(diǎn)。因此得到的是對稱序列，不是因果序列，是不可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，為了稱為物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，需要將它向右移動半個周期，這就造成了相移特性隨時間的變化，同時也是線性變化。 單位脈沖響應(yīng)h(n)（為實(shí)數(shù)）具有偶對稱或奇對稱性，則FIR數(shù)字濾波器具有嚴(yán)格的線性相位特性。 數(shù)字濾波器中，IIR數(shù)字濾波器方便

14、簡單，但它相位的非線性，要求采用全通網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行相位校正，且穩(wěn)定性難以保障。FIR濾波器具有很好的線性相位特性，使得它越來越受到廣泛的重視。 3.2 基本窗函數(shù) 數(shù)字信號處理領(lǐng)域中所用到的基本窗函數(shù)主要有：矩形窗函數(shù)、三角窗函數(shù)和漢寧窗函數(shù)，哈明窗函數(shù)布萊克窗函數(shù)，凱塞窗函數(shù)等。下面就對這些窗函數(shù)展開介紹。 3.2.1 矩形窗函數(shù) 矩形窗(Rectangular Window)函數(shù)的時域形式可以表示為： （3-2-1） 它的頻域特性為

15、 （3-2-2） Boxcar函數(shù)：生成矩形窗 調(diào)用方式w = boxcar (N)：輸入?yún)?shù)N是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。從功能上講，該函數(shù)又等價于w = ones(n,1)。 3.2.2 三角窗函數(shù) 三角窗是最簡單的頻譜函數(shù)為非負(fù)的一種窗函數(shù)。三角窗函數(shù)的時域形式可以表示為： 當(dāng)n為奇數(shù)時 （3-2-3） 當(dāng)n為偶數(shù)時

16、 （3-2-4） Bartlett函數(shù)：生成巴特利特窗 調(diào)用方式w = bartlett(n)： (1) 輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度； (2) 輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 (3) 三角窗也是兩個矩形窗的卷積。 三角窗函數(shù)的首尾兩個數(shù)值通常是不為零的。當(dāng)n是偶數(shù)時，三角窗的傅立葉變換總是非負(fù)數(shù)。 3.2.3漢寧窗函數(shù) 漢寧窗函數(shù)的時域形式可以表示為： （3-2-5） 它的頻域特性為： （3-2-

17、6） 其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 漢寧窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低31dB，但是主瓣寬度比矩形窗函數(shù)的主瓣寬度增加了1倍，為8π/N。 hanning函數(shù)：生成漢寧窗 調(diào)用方式 (1) w = hanning(n)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 注意：此函數(shù)不返回是零點(diǎn)的窗函數(shù)的首尾兩個元素。 (2) w = hanning(n,symmetric)：與上面相類似。 (3) w = hanning(n,periodic)：此函數(shù)返回包括為零點(diǎn)的窗函數(shù)的首尾兩個元素。 3.2.4 哈明窗函數(shù) 海明窗函數(shù)的時域形式可以

18、表示為 （3-2-7） 它的頻域特性為 （3-2-8） 其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 海明窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低41dB，但它和漢寧窗函數(shù)的主瓣寬度是一樣大的。 Hamming函數(shù)：生成海明窗 調(diào)用方式 (1) w = hamming(n)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 (2) w = hamming(n,sflag)：參數(shù)sflag用來控制窗函數(shù)首尾的兩個元素值；其取值為symmetric

19、或periodic；默認(rèn)值為symmetric。 3.2.5 布萊克曼窗函數(shù) 布萊克曼窗函數(shù)的時域形式可以表示為 (3-2-9) 它的頻域特性為 （3-2-10） 其中，為矩形窗函數(shù)的幅度頻率特性函數(shù)。 布萊克曼窗函數(shù)的最大旁瓣值比主瓣值低57dB，但是主瓣寬度是矩形窗函數(shù)的主瓣寬度的3倍，為12π/N。 Blackman函數(shù)：生成海明窗 調(diào)用方式 (1) w = blackman (n)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。 (2) w = blackman (n,sflag)：參數(shù)sflag

20、用來控制窗函數(shù)首尾的兩個元素值；其取值為symmetric或periodic；默認(rèn)值為symmetric。 3.2.6 凱塞窗 上面所討論的幾種窗函數(shù)，在獲得旁瓣抑制的同時卻增加了主瓣的寬度。而凱塞窗定義了一組可調(diào)的窗函數(shù)，它是由零階貝塞爾函數(shù)構(gòu)成的，其主瓣能量和旁瓣能量的比例是近乎最大的。而且，這種窗函數(shù)可以在主瓣寬度和旁瓣高度之間自由選擇它們的比重，使用戶的設(shè)計變得非常靈活。 凱塞窗函數(shù)的時域形式可表示為 (3-2-11) 其中，是第1類變形零階貝塞爾函數(shù)，是窗函數(shù)的形狀參數(shù)，由下式確定：

21、 （3-2-12） 其中，為凱塞窗函數(shù)的主瓣值和旁瓣值之間的差值(dB)。改變β的取值，可以對主瓣寬度和旁瓣衰減進(jìn)行自由選擇。β的值越大，窗函數(shù)頻譜的旁瓣值就越小，而其主瓣寬度就越寬。 Kaiser函數(shù)：生成凱塞窗 調(diào)用方式w = kaiser(n,beta)：輸入?yún)?shù)n是窗函數(shù)的長度；輸入?yún)?shù)beta用于控制旁瓣的高度；輸出參數(shù)w是由窗函數(shù)的值組成的n階向量。n一定時，beta越大，其頻譜的旁瓣就越小，但主瓣寬度相應(yīng)的增加；當(dāng)beta一定時，n發(fā)生變化，其旁瓣高度不會發(fā)生變化。 4 方案設(shè)計與分析 用窗函數(shù)法設(shè)計一個FIR帶阻濾波

22、器。指示如下： 下通帶截至頻率 ； 上通帶截止頻率 ； 阻帶下限頻率 ； 阻帶上限頻率 通帶最大衰減 阻帶最小衰減 = 4.1方案設(shè)計程序 6中窗函數(shù)的基本參數(shù)如下 窗函數(shù)類型 旁瓣峰值 /dB 過渡帶寬度 阻帶最小衰減 /dB 近似值 精確值 矩形窗 -13 4/N 1.8/N -12 三角窗 -25 8/N 6.1/N -25 漢寧窗 -31 8/N 6.2/N -44 哈明窗 -41 8/N 6.6/N -53 布萊克曼窗 -57

23、12/N 11/N -74 凱塞窗 -57 10/N -80 因?yàn)樽鑾ё钚∷p=,所以選擇布萊克曼窗或凱塞窗都可以設(shè)計，先以布萊克窗進(jìn)行設(shè)計。程序步驟如下： wlp=0.2*pi; wls=0.35*pi; wus=0.65*pi; wup=0.8*pi; wc=[(wlp+wls)/2/pi,(wus+wup)/2/pi]; B=wls-wlp; N=ceil(12*pi/B)-1;

24、 n=0:N-1; window=kaiser(N); [h1,w]=freqz(window,1) subplot(2,2,1) stem(window,.); xlabel(n); title( kaiser窗函數(shù)); subplot(2,2,2) plot(w/pi,20*log(abs(h

25、1)/abs(h1(1)))); grid; xlabel(w/pi); ylabel(幅度(dB)); title( kaiser窗函數(shù)的頻譜); hn = fir1(N-1,wc,stop); [h2,w]=freqz(hn,1,512); subplot(2,2,3) stem(n,

26、hn,.); xlabel(n); ylabel(h(n)); title( kaiser窗函數(shù)的單位脈沖響應(yīng)); subplot(2,2,4) plot(w/pi,20*log(abs(h2)/abs(h2(1)))); grid; xlabel(w/pi); ylabel(幅度

27、(dB)); title( kaiser帶阻濾波器的幅度特性); 運(yùn)行圖形如下： 4.2分析 由kaiser窗函數(shù)程序可知，N-1=80,所以N=81，通過圖形“kaiser帶阻濾波器的幅度特性”可知通帶內(nèi)最大衰減約為0，小于1。滿足指標(biāo)要求。當(dāng)用凱賽窗時，只需在程序中調(diào)用函數(shù)blackman(N)即可。其圖形如下： 由兩圖可得，兩種設(shè)計都符合要求，但要綜合過渡帶寬度，選擇凱塞窗其寬度最小。 5 總結(jié)與體會 設(shè)計帶通濾波器時首先要計算出過渡帶，然后查表得到不同窗

28、函數(shù)所需要的階數(shù)，不同的窗函數(shù)所設(shè)計的濾波器的形狀各有差異，尤其在主瓣寬度、旁瓣的形狀以及主瓣與旁瓣的高度差上有比較明顯得差別，實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況，折衷處理，兼顧各項指標(biāo)。 為了這次課程設(shè)計，自己自學(xué)了數(shù)字信號處理領(lǐng)域中窗函數(shù)的有關(guān)知識。實(shí)際中遇到的離散時間信號總是有限長的，因此不可避免地要遇到數(shù)據(jù)截斷問題。而在信號處理中，對離散序列的數(shù)據(jù)截斷是通過序列與窗函數(shù)相乘來實(shí)現(xiàn)的。而且，有關(guān)濾波器的設(shè)計、功率譜估計等基本概念也要用到窗函數(shù)。本次課程設(shè)計對經(jīng)常用到的下面6窗函數(shù)：矩形窗函數(shù)、三角窗函數(shù)、漢寧窗函數(shù)、哈明窗函函數(shù)、布萊克曼窗函數(shù)、凱塞窗函窗，先是做了基本概念上的闡釋，然后對其MA

29、TLAB實(shí)現(xiàn)函數(shù)做出了說明，最后又結(jié)合具體的實(shí)例，對這些窗函數(shù)的頻域特性等進(jìn)行了介紹。 通過這次學(xué)習(xí)，我不但掌握了FIR數(shù)字濾波器窗函數(shù)的基本知識及其實(shí)際應(yīng)用的技巧了，還提高了自己的編程和寫報告的能力，收獲頗多。 6 參考文獻(xiàn) [1]《數(shù)字信號處理》（第三版），丁玉美，高西全.西安電子科技大學(xué)出版社，2000. [2]《MATLAB及在電子信息課程中的應(yīng)用》，陳懷堔，吳大正，高西全.電子工業(yè)出版社，2006. [3]《MATLAB 7.0從入門到精通》，求是科技.人民郵電出版社，2006. [4]《數(shù)字信號處理（第三版）》學(xué)習(xí)指導(dǎo)，高西全，丁玉美.西安科技大學(xué)出版社，2001.