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1、103 如 何 建 立 數(shù) 學(xué) 模 型 及 實(shí) 例 數(shù)學(xué)建模培訓(xùn) 科研處數(shù)學(xué)建模小組 第五章：如何建立數(shù)學(xué)模型 怎樣撰寫數(shù)學(xué)建模的論文？ 1．什么是數(shù)學(xué)模型？ 數(shù)學(xué)模型是對于現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)特定對象，一個(gè)特定目的，根據(jù)特有的內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。 簡單地說：就是系統(tǒng)的某種特征的本質(zhì)的數(shù)學(xué)表達(dá)式（或是用數(shù)學(xué)術(shù)語對部分現(xiàn)實(shí)世界的描述），即用數(shù)學(xué)式子（如函數(shù)、圖形、代數(shù)方程、微分方程、積分方程、差分方程等）來描述（表述、模擬）所研究的客觀對象或系統(tǒng)在某一方面的存在規(guī)

2、律。 2．什么是數(shù)學(xué)建模? 數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的一種實(shí)踐。即通過抽象、簡化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過程后，將實(shí)際問題用數(shù)學(xué)方式表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用先進(jìn)的數(shù)學(xué)方法及計(jì)算機(jī)技術(shù)進(jìn)行求解。 觀點(diǎn)：“所謂高科技就是一種數(shù)學(xué)技術(shù)” 注 數(shù)學(xué)建模其實(shí)并不是什么新東西，可以說有了數(shù)學(xué)并需要用數(shù)學(xué)去解決實(shí)際問題，就一定要用數(shù)學(xué)的語言、方法去近似地刻劃該實(shí)際問題，這種刻劃的數(shù)學(xué)表述的就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型，其過程就是數(shù)學(xué)建模的過程。數(shù)學(xué)模型一經(jīng)提出，就要用一定的技術(shù)手段（計(jì)算、證明等）來求解并驗(yàn)證，其中大量的計(jì)算往往是必不可少的，高性能的計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)使數(shù)學(xué)建模

3、這一方法如虎添翼似的得到了飛速的發(fā)展，掀起一個(gè)高潮。 注2 數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力的必備手段之一。 3．?dāng)?shù)學(xué)建模的一般方法和步驟 建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個(gè)理想的模型應(yīng)能反映系統(tǒng)的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： ◆ 機(jī)理分析 ◆ 測試分析方法 機(jī)理分析：根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律，所建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義。 測試分析方法：將研究對象視為一個(gè)“黑箱”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求

4、，通過測量系統(tǒng)的輸入輸出數(shù)據(jù)，并以此為基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)數(shù)據(jù)擬合得最好的模型。 測試分析方法也叫做系統(tǒng)辯識(shí)。 將這兩種方法結(jié)合起來使用，即用機(jī)理分析方法建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)測試方法來確定模型的參數(shù)，也是常用的建模方法。 在實(shí)際過程中用那一種方法建模主要是根據(jù)我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機(jī)理分析法建模的具體步驟大致可見下圖。 符合實(shí)際 不符合實(shí)際 交付使用，從而可產(chǎn)生經(jīng)濟(jì)、社會(huì)效益 實(shí)際問題 抽象、簡化、假設(shè) 確定變量、參數(shù)

5、 建立數(shù)學(xué)模型并數(shù)學(xué)、數(shù)值地求解、確定參數(shù) 用實(shí)際問題的實(shí)測數(shù)據(jù)等來檢驗(yàn)該數(shù)學(xué)模型 4、數(shù)學(xué)模型及其分類 模型 數(shù)學(xué)模型的分類： ◆ 按研究方法和對象的數(shù)學(xué)特征分：初等模型、幾何模型、優(yōu)化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等。 ◆ 按研究對象的實(shí)際領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分：人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、生理模型、城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、污染模型

6、、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等。 5．怎樣撰寫數(shù)學(xué)建模的論文？ 1、 摘要: 摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作用是使讀者不閱讀論文全文即能獲得必要的信息。在數(shù)學(xué)建模論文中，摘要是非常重要的一部分。數(shù)學(xué)建模論文的摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：所研究的實(shí)際問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得基本結(jié)果以及對模型的檢驗(yàn)或推廣。論文摘要需要用概括、簡練的語言反映這些內(nèi)容，尤其要突出論文的優(yōu)點(diǎn)，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。一般科技論文的摘要要求不列舉例證，不出現(xiàn)圖、表和數(shù)學(xué)公式，不自我評價(jià)，且字?jǐn)?shù)應(yīng)在200以內(nèi)。前幾年，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽要求摘要字?jǐn)?shù)應(yīng)在300字以內(nèi)。但從2

7、001年開始，為了提高論文評選效率，要求將論文第一頁全用作摘要，對字?jǐn)?shù)已無明確限制。故在摘要中也可適當(dāng)出現(xiàn)反映結(jié)果的圖、表和數(shù)學(xué)公式。 2、 問題重述： 數(shù)學(xué)建模比賽要求解決給定的問題，所以論文中應(yīng)敘述給定問題。撰寫這部分內(nèi)容時(shí)，不要照抄原題，應(yīng)把握住問題的實(shí)質(zhì)，再用較精練的語言敘述問題。 3、 模型假設(shè)： 建模時(shí)，要根據(jù)問題的特征和建模的目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，對問題進(jìn)行必要的簡化，做出一些合理的假設(shè)。模型假設(shè)部分要求用精練、準(zhǔn)確的語言列出問題中所給出的假設(shè)，以及為了解決問題所做的必要、合理的假設(shè)。假設(shè)作得不合理或太簡單，會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤的或無用的模型；假設(shè)作得過

8、分詳盡，試圖把復(fù)雜的眾多因素都考慮進(jìn)去，會(huì)使工作很難或無法繼續(xù)下去，因此常常需要在合理與簡化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑小? 4、 分析與建立模型： 根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號(hào)描述對象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)就盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，使建立的模型易于被人理解。在撰寫這一部分時(shí)，對所用的變量、符號(hào)、計(jì)量單位應(yīng)作解釋，特定的變量和參數(shù)應(yīng)在整篇文章保持一致。為使模型易懂，可借助于適當(dāng)圖形、表格來描述問題或數(shù)據(jù)。 5、 模型求解： 使用各種數(shù)學(xué)方法或軟件包求解數(shù)學(xué)模型。此部分應(yīng)包括求解過程的公式推導(dǎo)、算法步驟及計(jì)算結(jié)果。為求解而編寫的計(jì)算機(jī)程序應(yīng)放在附錄部分。有時(shí)需要對結(jié)果進(jìn)行數(shù)

9、學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等。 6、 模型檢驗(yàn)： 指導(dǎo)求解和分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，與實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實(shí)際不符，問題常出現(xiàn)在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模。這一步對于模型是否真的有用十分關(guān)健。 7、 模型推廣： 將該問題的模型推廣到解決更多的類似問題，或討論給出該模型的更一般情況下的解法，或指出可能的深化、推廣及進(jìn)一步研究的建議。 8、參考文獻(xiàn)： 在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出處，并將相應(yīng)的出版物列舉在參考文獻(xiàn)中。需標(biāo)明出版物名稱、頁碼、著者姓名

10、、出版日期、出版單位等、 9、 附錄： 附錄是正文的補(bǔ)充，與正文有關(guān)而又不方便于編入正文的內(nèi)容都收集在這里。包括：計(jì)算機(jī)程序、比較重要但數(shù)據(jù)量較大的中間結(jié)果等。為便于閱讀，應(yīng)在源程序中加入足夠多的注釋和說明語句。 附：2006高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽論文格式規(guī)范 l 甲組參賽隊(duì)從A、B題中任選一題，乙組參賽隊(duì)從C、D題中任選一題。 l 論文（答卷）用白色A4紙，上下左右各留出2.5厘米的頁邊距。 l 論文第一頁為承諾書，具體內(nèi)容和格式見本規(guī)范第二頁。 l 論文第二頁為編號(hào)專用頁，用于賽區(qū)和全國評閱前后對論文進(jìn)行編號(hào)，具體內(nèi)容和格式見本規(guī)范第三頁。 l 論文

11、題目和摘要寫在論文第三頁上，從第四頁開始是論文正文。 l 論文從第三頁開始編寫頁碼，頁碼必須位于每頁頁腳中部，用阿拉伯?dāng)?shù)字從“1”開始連續(xù)編號(hào)。 l 論文不能有頁眉，論文中不能有任何可能顯示答題人身份的標(biāo)志。 l 論文題目用3號(hào)黑體字、一級標(biāo)題用4號(hào)黑體字，并居中。論文中其他漢字一律采用小4號(hào)黑色宋體字，行距用單倍行距。 l 提請大家注意：摘要在整篇論文評閱中占有重要權(quán)重，請認(rèn)真書寫摘要（注意篇幅不能超過一頁）。全國評閱時(shí)將首先根據(jù)摘要和論文整體結(jié)構(gòu)及概貌對論文優(yōu)劣進(jìn)行初步篩選。 l 引用別人的成果或其他公開的資料(包括網(wǎng)上查到的資料) 必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和

12、參考文獻(xiàn)中均明確列出。正文引用處用方括號(hào)標(biāo)示參考文獻(xiàn)的編號(hào)，如[1][3]等；引用書籍還必須指出頁碼。參考文獻(xiàn)按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為： [編號(hào)] 作者，書名，出版地：出版社，出版年。 參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為： [編號(hào)] 作者，論文名，雜志名，卷期號(hào)：起止頁碼，出版年。 參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為： [編號(hào)] 作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時(shí)間（年月日）。 l 在不違反本規(guī)范的前提下，各賽區(qū)可以對論文增加其他要求（如在本規(guī)范要求的第一頁前增加其他頁和其他信息，或在論文的最后增加空白頁等）；從承諾書開始到論文正文結(jié)束前，各賽區(qū)不得有本規(guī)范外的其他要求（

13、否則一律無效）。 l 本規(guī)范的解釋權(quán)屬于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì)。 [注] 賽區(qū)評閱前將論文第一頁取下保存，同時(shí)在第一頁和第二頁建立“賽區(qū)評閱編號(hào)”（由各賽區(qū)規(guī)定編號(hào)方式），“賽區(qū)評閱紀(jì)錄”表格可供賽區(qū)評閱時(shí)使用（各賽區(qū)自行決定是否在評閱時(shí)使用該表格）。評閱后，賽區(qū)對送全國評閱的論文在第二頁建立“全國統(tǒng)一編號(hào)”（編號(hào)方式由全國組委會(huì)規(guī)定，與去年格式相同），然后送全國評閱。論文第二頁（編號(hào)頁）由全國組委會(huì)評閱前取下保存，同時(shí)在第二頁建立“全國評閱編號(hào)”。 全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會(huì) 2006年5月

14、修訂 2006高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 承 諾 書 我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則. 我們完全明白，在競賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。 我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。 我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。 我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D

15、中選擇一項(xiàng)填寫）： 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜? 參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1.

16、 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)：

17、 日期： 年 月 日 賽區(qū)評閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）： 2006高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 編 號(hào) 專 用 頁 賽區(qū)評閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）： 賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時(shí)使用）： 評 閱 人 評 分 備 注 全國統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國前

18、編號(hào)）： 全國評閱編號(hào)（由全國組委會(huì)評閱前進(jìn)行編號(hào)）： 第六章．幾個(gè)例子 （一）數(shù)學(xué)建模實(shí)例：人口預(yù)報(bào)問題 1.問題 人口問題是當(dāng)前世界上人們最關(guān)心的問題之一.認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，是有效控制人口增長的前提.下面介紹兩個(gè)最基本的人口模型，并利用表1給出的近兩百年的美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，對模型做出檢驗(yàn)，最后用它預(yù)報(bào)2000年、2010年美國人口. 表1 美國人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù) 年（公元） 人口（百萬） 1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 1820 9.6 1

19、830 12.9 1840 17.1 1850 23.2 年（公元） 人口（百萬） 1860 31.4 1870 38.6 1880 50.2 1890 62.9 1900 76.0 1910 92.0 1920 106.5 年（公元） 人口（百萬） 1930 123.2 1940 131.7 1950 150.7 1960 179.3 1970 204.0 1980 226.5 1990 251.4 2.指數(shù)增長模型（馬爾薩斯人口模型）

20、 此模型由英國人口學(xué)家馬爾薩斯（Malthus1766~1834）于1798年提出. [1] 假設(shè)：人口增長率r是常數(shù)（或單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口成正比）. [2] 建立模型： 記時(shí)刻t=0時(shí)人口數(shù)為x0, 時(shí)刻t的人口為，由于量大，可視為連續(xù)、可微函數(shù).t到時(shí)間內(nèi)人口的增量為： 于是滿足微分方程： （1） [3] 模型求解： 解微分方程（1）得 （2） 表明：時(shí)，（r>0）. [4] 模型的參數(shù)估計(jì)： 要用模

21、型的結(jié)果（2）來預(yù)報(bào)人口，必須對其中的參數(shù)r進(jìn)行估計(jì)，這可以用表1的數(shù)據(jù)通過擬合得到.擬合的具體方法見本書第16章或第18章. 通過表中1790-1980的數(shù)據(jù)擬合得：r=0.307. [5] 模型檢驗(yàn)： 將x0=3.9，r=0.307 代入公式（2），求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1810-1920的人口數(shù)，見表2. 表2 美國實(shí)際人口與按指數(shù)增長模型計(jì)算的人口比較 年 實(shí)際人口 （百萬） 指數(shù)增長模型 預(yù)測人口（百萬） 誤差（%） 1790 3.9 1800 5.3 1810 7.2 7.3 1.4 1820 9.6 10.

22、0 4.2 1830 12.9 13.7 6.2 1840 17.1 18.7 9.4 1850 23.2 25.6 10.3 1860 31.4 35.0 10.8 1870 38.6 47.8 23.8 1880 50.2 65.5 30.5 1890 62.9 89.6 42.4 1900 76.0 122.5 61.2 1910 92.0 167.6 82.1 1920 106.5 229.3 115.3 從表2可看出，1810-1870間的預(yù)測人口數(shù)與實(shí)際人口數(shù)吻合較好，但1880年以后的誤差越來

23、越大. 分析原因，該模型的結(jié)果說明人口將以指數(shù)規(guī)律無限增長.而事實(shí)上，隨著人口的增加，自然資源、環(huán)境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著.如果當(dāng)人口較少時(shí)人口的自然增長率可以看作常數(shù)的話，那么當(dāng)人口增加到一定數(shù)量以后，這個(gè)增長率就要隨著人口增加而減少.于是應(yīng)該對指數(shù)增長模型關(guān)于人口凈增長率是常數(shù)的假設(shè)進(jìn)行修改.下面的模型是在修改的模型中著名的一個(gè).

24、

25、

26、

27、

28、 3. 阻滯增長模型（Logistic模型） [1]假設(shè)： （a）人口增長率r為人口的函數(shù)（減函數(shù)），最簡單假定（線性函數(shù)），r叫做固有增長率. （b）自然資源和環(huán)境條件年容納的最大人口容量. [2]建立模型： 當(dāng)時(shí)，增長率應(yīng)為0，即=0，于是，代入得： （3）

29、將（3）式代入（1）得： 模型為： （4） [3] 模型的求解： 解方程組（4）得 （5） 根據(jù)方程（4）作出 曲線圖，見圖1-1，由該圖可看出人口增長率隨人口數(shù)的變化規(guī)律.根據(jù)結(jié)果（5）作出x~t曲線，見圖1-2，由該圖可看出人口數(shù)隨時(shí)間的變化規(guī)律. o x 圖1-1 曲線圖 x t o 圖1-2 x~t曲線圖 [4] 模型的參數(shù)估計(jì)： 利用表1中1790-1980的數(shù)據(jù)對r和xm擬合

30、得：r=0.2072, xm=464. [5] 模型檢驗(yàn)： 將r=0.2072, xm=464代入公式（5），求出用指數(shù)增長模型預(yù)測的1800-1990的人口數(shù)，見表3第3、4列. 也可將方程（4）離散化，得 t=0,1,2,… (6) 用公式（6）預(yù)測1800-1990的人口數(shù)，結(jié)果見表3第5、6列. 表3 美國實(shí)際人口與按阻滯增長模型計(jì)算的人口比較 年 實(shí)際人口 （百萬） 阻滯增長模型 公式（5） 公式（6） 預(yù)測人口（百萬） 誤差（%） 預(yù)測人口（百萬） 誤差（%） 1790 3.9 1800

31、 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.2642 1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962 1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957 1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151 1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156 1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457 1860 31.4 20.4621 0.3483 26.

32、5228 0.1553 1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815 1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.1328 1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067 1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770 1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790 1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.0379 1930

33、 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345 1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469 1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126 1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.0503 1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138 1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047 1

34、990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038 [6] 模型應(yīng)用： 現(xiàn)應(yīng)用該模型預(yù)測人口.用表1中1790-1990年的全部數(shù)據(jù)重新估計(jì)參數(shù)，可得r=0.2083, xm=457.6. 用公式（6）作預(yù)測得： x(2000)=275; x(2010)=297.9. 也可用公式（5）進(jìn)行預(yù)測. （二）椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎？ 把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只要稍挪動(dòng)幾次，就可以四腳著地，放穩(wěn)了。下面用數(shù)學(xué)語言證明。 一、 模型假設(shè) 對椅子和地面都要作一些必要的假設(shè)： 1、 椅子四

35、條腿一樣長，椅腳與地面接觸可視為一個(gè)點(diǎn)，四腳的連線呈正方形。 2、 地面高度是連續(xù)變化的，沿任何方向都不會(huì)出現(xiàn)間斷（沒有像臺(tái)階那樣的情況），即地面可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。 3、 對于椅腳的間距和椅腳的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時(shí)著地。 B C A x D 二、模型建立 中心問題是數(shù)學(xué)語

36、言表示四只腳同時(shí)著地的條件、結(jié)論。 首先用變量表示椅子的位置，由于椅腳的連線呈正方形，以中心為對稱點(diǎn)，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子的位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量來表示椅子的位置。 其次要把椅腳著地用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來，如果用某個(gè)變量表示椅腳與地面的豎直距離，當(dāng)這個(gè)距離為0時(shí)，表示椅腳著地了。椅子要挪動(dòng)位置說明這個(gè)距離是位置變量的函數(shù)。 由于正方形的中心對稱性，只要設(shè)兩個(gè)距離函數(shù)就行了，記A、C兩腳與地面距離之和為，B、D兩腳與地面距離之和為，顯然、，由假設(shè)2知f、g都是連續(xù)函數(shù)，再由假設(shè)3知、至少有一個(gè)為0。當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)，這樣改變椅子的位置使四只腳同時(shí)著地，就歸結(jié)為如下命題：

37、 命題 已知、是的連續(xù)函數(shù)，對任意，*=0，且，則存在，使。 三、模型求解 將椅子旋轉(zhuǎn)，對角線AC和BD互換，由可知。令，則，由f、g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數(shù)，由零點(diǎn)定理，必存在使，，由，所以。 四、評 注 模型巧妙在于用已元變量表示椅子的位置，用的兩個(gè)函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對稱性及旋轉(zhuǎn)并不是本質(zhì)的，同學(xué)們可以考慮四腳呈長方形的情形。 （三）雙層玻璃的功效 北方城鎮(zhèn)的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，如左圖所示，據(jù)說這樣做是為了保暖，即減少室內(nèi)向室外的熱量流

38、失。 我們要建立一個(gè)模型來描述熱量通過窗戶的熱傳導(dǎo)（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為）的熱量傳導(dǎo)進(jìn)行對比，對雙層玻璃窗能夠減少多少熱量損失給出定量分析結(jié)果。 一、 模型假設(shè) 1、 熱量的傳播過程只有傳導(dǎo)，沒有對流。即假定窗戶的密封性能很好，兩層玻璃之間的空氣是不流動(dòng)的； 2、 室內(nèi)溫度和室外溫度保持不變，熱傳導(dǎo)過程已處于穩(wěn)定狀態(tài)，即沿?zé)醾鲗?dǎo)方向，單位時(shí)間通過單位面積的熱量是常數(shù)； 3、 玻璃材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)是常數(shù)。 二、 符號(hào)說明 ——室內(nèi)溫度 ——室外溫度 ——單層玻璃厚度

39、 ——兩層玻璃之間的空氣厚度 ——內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度 ——外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度 ——熱傳導(dǎo)系數(shù) ——熱量損失 三、 模型建立與求解 由物理學(xué)知道，在上述假設(shè)下，熱傳導(dǎo)過程遵從下面的物理規(guī)律： 厚度為的均勻介質(zhì)，兩側(cè)溫度差為，則單位時(shí)間由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量為，與成正比，與成反比，即 （1） 其中為熱傳導(dǎo)系數(shù)。 1、雙層玻璃的熱量流失 記雙層窗內(nèi)窗玻璃的外側(cè)溫度為，外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度為，玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)為，由（1）式單位時(shí)間單位面積的熱量

40、傳導(dǎo)（熱量流失）為： （2） 由及可得 再代入就將（2）中、消去，變形可得： （3） 2、單層玻璃的熱量流失 對于厚度為的單層玻璃窗戶，容易寫出熱量流失為： （4） 3、 單層玻璃窗和雙層玻璃窗熱量流失比較 比較（3）（4）有： （5） 顯然，。 為了獲得更具體的結(jié)果，我們需要的數(shù)據(jù)，從有關(guān)資料可知，不流通、干燥空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)（焦耳/厘米.秒.度），常用玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)（焦耳/厘米.秒.度），于是

41、 在分析雙層玻璃窗比單層玻璃窗可減少多少熱量損失時(shí)，我們作最保守的估計(jì)，即取，由（3）（5）可得： （6） 4、模型討論 比值反映了雙層玻璃窗在減少熱量損失上的功效，它只與有關(guān)，下圖給出了的曲線，當(dāng)由0增加時(shí)，迅速下降，而當(dāng)超過一定值（比如）后下降緩慢，可見不宜選得過大。 四、 模型的應(yīng)用 這個(gè)模型具有一定的應(yīng)用價(jià)值。制作雙層玻璃窗雖然工藝復(fù)雜會(huì)增加一些費(fèi)用，但它減少的熱量損失卻是相當(dāng)可觀的。通常，建筑規(guī)范要求。按照這個(gè)模型，，即雙層玻璃窗比用同樣多的玻璃材料制成的單層窗節(jié)約熱量97%

42、左右。不難發(fā)現(xiàn)，之所以有如此高的功效主要是由于層間空氣的極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)，而這要求空氣是干燥、不流通的。作為模型假設(shè)的這個(gè)條件在實(shí)際環(huán)境下當(dāng)然不可能完全滿足，所以實(shí)際上雙層玻璃窗的功效會(huì)比上述結(jié)果差一些。 （四）鋼管訂購和運(yùn)輸優(yōu)化模型 要鋪設(shè)一條的輸送天然氣的主管道, 如圖一所示(見反面)。經(jīng)篩選后可以生產(chǎn)這種主管道鋼管的鋼廠有。圖中粗線表示鐵路，單細(xì)線表示公路，雙細(xì)線表示要鋪設(shè)的管道(假設(shè)沿管道或者原來有公路，或者建有施工公路)，圓圈表示火車站，每段鐵路、公路和管道旁的阿拉伯?dāng)?shù)字表示里程(單位km)。 為方便計(jì)，1km主管道鋼管稱為1單位鋼管。 一個(gè)鋼廠如果承擔(dān)制造這種鋼管，

43、至少需要生產(chǎn)500個(gè)單位。鋼廠在指定期限內(nèi)能生產(chǎn)該鋼管的最大數(shù)量為個(gè)單位，鋼管出廠銷價(jià)1單位鋼管為萬元，如下表： 1 2 3 4 5 6 7 800 800 1000 2000 2000 2000 3000 160 155 155 160 155 150 160 1單位鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)如下表： 里程(km) ≤300 301～350 351～400 401～450 451～500 運(yùn)價(jià)(萬元) 20 23 26 29 32 里程(km) 501～600 601～700 701～800 801～900

44、 901～1000 運(yùn)價(jià)(萬元) 37 44 50 55 60 1000km以上每增加1至100km運(yùn)價(jià)增加5萬元。 公路運(yùn)輸費(fèi)用為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計(jì)算）。 鋼管可由鐵路、公路運(yùn)往鋪設(shè)地點(diǎn)（不只是運(yùn)到點(diǎn)，而是管道全線）。 問題： （1）請制定一個(gè)主管道鋼管的訂購和運(yùn)輸計(jì)劃，使總費(fèi)用最小（給出總費(fèi)用)。 思考題： （2）請就（1）的模型分析：哪個(gè)鋼廠鋼管的銷價(jià)的變化對購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用影響最大，哪個(gè)鋼廠鋼管的產(chǎn)量的上限的變化對購運(yùn)計(jì)劃和總費(fèi)用的影響最大，并給出相應(yīng)的數(shù)字結(jié)果。 （3）如果要鋪設(shè)的管道不是一條線，而

45、是一個(gè)樹形圖，鐵路、公路和管道構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，請就這種更一般的情形給出一種解決辦法，并對圖二按（1）的要求給出模型和結(jié)果。 A1 3 2 5 80 10 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 450 104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 3060 195 202 720 690 520 170 690 462 160 320 160 110 290 1150

46、 1100 1200 A2 A3 A4 A5 A6A11 A711A11 A8A11 A911A11 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 圖一 A1 3 2 5 80 10 10 31 20 12 42 70 10 88 10 70 62 70 30 20 20 30 450 104 301 750 606 194 205 201 680 480 300 220 210 420 500 600 3060 1

47、95 202 720 690 520 170 690 462 160 320 160 110 290 1150 1100 1200 A19 130 190 260 100 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8A11 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 A16 A17 A18 A20 (A21) 圖二 一． 基本假設(shè)： 1． 沿鋪設(shè)的主管道以有公路或者有施工公路。 2． 在主管道上，每公里卸1單位的鋼管。 3． 公路運(yùn)輸費(fèi)用

48、為1單位鋼管每公里0.1萬元（不足整公里部分按整公里計(jì)算） 4． 在計(jì)算總費(fèi)用時(shí)，只考慮運(yùn)輸費(fèi)和購買鋼管的費(fèi)用，而不考慮其他費(fèi)用。 5． 在計(jì)算鋼廠的產(chǎn)量對購運(yùn)計(jì)劃影響時(shí)，只考慮鋼廠的產(chǎn)量足夠滿足需要的情況，即鋼廠的產(chǎn)量不受限制。 6． 假設(shè)鋼管在鐵路運(yùn)輸路程超過1000km時(shí)，鐵路每增加1至100km，1單位鋼管的運(yùn)價(jià)增加5萬元。 二．符號(hào)說明： ：第個(gè)鋼廠； ：第個(gè)鋼廠的最大產(chǎn)量； ：輸送管道（主管道）上的第個(gè)點(diǎn)； ：第個(gè)鋼廠1單位鋼管的銷價(jià)； ：鋼廠向點(diǎn)運(yùn)輸?shù)匿摴?/p>

49、量； ：在點(diǎn)與點(diǎn)之間的公路上，運(yùn)輸點(diǎn)向點(diǎn)方向鋪設(shè)的鋼管量； () ：1單位鋼管從鋼廠運(yùn)到結(jié)點(diǎn)的最少總費(fèi)用，即公路運(yùn)費(fèi)﹑鐵路運(yùn)費(fèi)和 鋼管銷價(jià)之和； ：與點(diǎn)相連的公路和鐵路的相交點(diǎn)； ：相鄰點(diǎn)與之間的距離； 三．模型的建立與求解 問題一：討論如何調(diào)整主管道鋼管的訂購和運(yùn)輸方案使總費(fèi)用最小 由題意可知，鋼管從鋼廠到運(yùn)輸結(jié)點(diǎn)的費(fèi)用包括鋼管的銷價(jià)﹑鋼管的鐵路運(yùn)輸費(fèi)用和鋼管的公路運(yùn)輸費(fèi)用。在費(fèi)用最小時(shí)，對鋼管的訂購和運(yùn)輸進(jìn)行分配，可得出本問題的最佳方案。 1、 求鋼

50、管從鋼廠運(yùn)到運(yùn)輸點(diǎn)的最小費(fèi)用 1）將圖一轉(zhuǎn)換為一系列以單位鋼管的運(yùn)輸費(fèi)用為權(quán)的賦權(quán)圖。 由于鋼管從鋼廠運(yùn)到運(yùn)輸點(diǎn)要通過鐵路和公路運(yùn)輸，而鐵路運(yùn)輸費(fèi)用是分段函數(shù)，與全程運(yùn)輸總距離有關(guān)。又由于鋼廠直接與鐵路相連，所以可先求出鋼廠到鐵路與公路相交點(diǎn)的最短路徑。如圖三 圖三 鐵路網(wǎng)絡(luò)圖 依據(jù)鋼管的鐵路運(yùn)價(jià)表，算出鋼廠到鐵路與公路相交點(diǎn)的最小鐵路運(yùn)輸費(fèi)用，并把費(fèi)用作為邊權(quán)賦給從鋼廠到的邊。再將與相連的公路、運(yùn)輸點(diǎn)及其與之相連的要鋪設(shè)管道的線路（也是公路）添加到圖上，根據(jù)單位鋼管在公路上的運(yùn)價(jià)規(guī)定，得出每一段公路的運(yùn)費(fèi)，并把此費(fèi)用作為邊權(quán)賦

51、給相應(yīng)的邊。以為例得圖四 圖四 鋼管從鋼廠運(yùn)到各運(yùn)輸點(diǎn)的鐵路運(yùn)輸與公路運(yùn)輸費(fèi)用權(quán)值圖 2）計(jì)算單位鋼管從到的最少運(yùn)輸費(fèi)用 根據(jù)圖四，借助圖論軟件包中求最短路的方法求出單位鋼管從到的最少運(yùn)輸費(fèi)用依次為：170.7，160.3，140.2，98.6，38，20.5，3.1，21.2，64.2，92，96，106，121.2，128，142（單位：萬元）。加上單位鋼管的銷售價(jià)，得出從鋼廠購買單位鋼管運(yùn)輸?shù)近c(diǎn)的最小費(fèi)用依次為：330.3，320.3，300.2，258.6，198，180.5，163.1，181.2，224.2，252，256，266，281.2，288，302（

52、單位：萬元）。 同理，可用同樣的方法求出鋼廠﹑﹑﹑﹑﹑到點(diǎn)的最小費(fèi)用，從而得出鋼廠到點(diǎn)的最小總費(fèi)用（單位：萬元）為： 表一 到點(diǎn)最小費(fèi)用 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 a13 a14 a15 s1 320.3 300.2 258.6 198 180.5 163 181.2 224.2 252 256 266 281.2 288 302 s2 360.3 345.2 326.6 266 250.5 241 226.2 269.2

53、297 301 311 326.2 333 347 s3 375.3 355.2 336.6 276 260.5 251 241.2 203.2 237 241 251 266.2 273 287 s4 410.3 395.2 376.6 316 300.5 291 276.2 244.2 222 211 221 236.2 243 257 s5 400.3 380.2 361.6 301 285.5 276 266.2 234.2 212 188 206 226.2 228 242 s6

54、405.3 385.2 366.6 306 290.5 281 271.2 234.2 212 201 195 176.2 161 178 s7 425.3 405.2 386.6 326 310.5 301 291.2 259.2 237 226 216 198.2 186 162 2、建立模型 運(yùn)輸總費(fèi)用可分為兩部分： 運(yùn)輸總費(fèi)用=鋼廠到各點(diǎn)的運(yùn)輸費(fèi)用+鋪設(shè)費(fèi)用。 運(yùn)輸費(fèi)用：若運(yùn)輸點(diǎn)向鋼廠訂購單位鋼管，則鋼管從鋼廠運(yùn)到運(yùn)輸點(diǎn)所需的費(fèi)用為。由于鋼管運(yùn)到必須經(jīng)過，所以可不考慮，那么所有鋼管從各鋼

55、廠運(yùn)到各運(yùn)輸點(diǎn)上的總費(fèi)用為：。 鋪設(shè)費(fèi)用：當(dāng)鋼管從鋼廠運(yùn)到點(diǎn)后，鋼管就要向運(yùn)輸點(diǎn)的兩邊段和段運(yùn)輸（鋪設(shè)）管道。設(shè)向段鋪設(shè)的管道長度為，則向段的運(yùn)輸費(fèi)用為（萬元）；由于相鄰運(yùn)輸點(diǎn)與之間的距離為，那么向段鋪設(shè)的管道長為，所對應(yīng)的鋪設(shè)費(fèi)用為（萬元）。所以，主管道上的鋪設(shè)費(fèi)用為： 總費(fèi)用為： 又因?yàn)橐粋€(gè)鋼廠如果承擔(dān)制造鋼管任務(wù)，至少需要生產(chǎn)500個(gè)單位，鋼廠在指定期限內(nèi)最大生產(chǎn)量為個(gè)單位，故 或 因此本問題可建立如下的非線性規(guī)劃模型： 3、模型求解： 由于MATLAB不能直接處理約束條件：或，我們可先將此條件改為，得到如下模型： 用MATLAB求解，分析結(jié)果后發(fā)

56、現(xiàn)購運(yùn)方案中鋼廠的生產(chǎn)量不足500單位，下面我們采用不讓鋼廠生產(chǎn)和要求鋼廠的產(chǎn)量不小于500個(gè)單位兩種方法計(jì)算： 1）不讓鋼廠生產(chǎn) 計(jì)算結(jié)果：1278632（萬元）（此時(shí)每個(gè)鋼廠的產(chǎn)量都滿足條件）。 2）要求鋼廠的產(chǎn)量不小于500個(gè)單位 計(jì)算結(jié)果： 1279664 （萬元） （此時(shí)每個(gè)鋼廠的產(chǎn)量都滿足條件）。 比較這兩種情況，得最優(yōu)解為， =1278632（萬元） 具體的購運(yùn)計(jì)劃如表二： 表二 問題一的訂購和調(diào)運(yùn)方案 訂購量 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A

57、9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 S1 800 0 201 133 200 266 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S2 800 179 11 14 295 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 S3 1000 139 11 186 0 0 0 664 0 0 0 0 0 0 0 S4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S5 1015 0 358 242 0 0 0 0 0 0 415 0 0 0 0 S6 1556 0 0 0 0 0 0 0 0 0 351 86 333 621 165 S7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 103