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1、真誠為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當之處，請指正。 《初等數(shù)論》習題集 第1章 第 1 節(jié) 1. 證明定理1。 2. 證明：若m - pmn + pq，則m - pmq + np。 3. 證明：任意給定的連續(xù)39個自然數(shù)，其中至少存在一個自然數(shù)，使得這個自然數(shù)的數(shù)字和能被11整除。 4. 設(shè)p是n的最小素約數(shù)，n = pn1，n1 > 1，證明：若p >，則n1是素數(shù)。 5. 證明：存在無窮多個自然數(shù)n，使得n不能表示為 a2 + p（a > 0是整數(shù)，p為素數(shù)） 的形式。 第 2 節(jié) 1. 證明：12n4 + 2n3 + 11n2 + 10n，nZ。

2、 2. 設(shè)3a2 + b2，證明：3a且3b。 3. 設(shè)n，k是正整數(shù)，證明：nk與nk + 4的個位數(shù)字相同。 4. 證明：對于任何整數(shù)n，m，等式n2 + (n + 1)2 = m2 + 2不可能成立。 5. 設(shè)a是自然數(shù)，問a4 - 3a2 + 9是素數(shù)還是合數(shù)？ 6. 證明：對于任意給定的n個整數(shù)，必可以從中找出若干個作和，使得這個和能被n整除。 第 3 節(jié) 1. 證明定理1中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。 2. 證明定理2的推論1, 推論2和推論3。 3. 證明定理4的推論1和推論3。 4. 設(shè)x，yZ，172x + 3y，證明：179x + 5y。

3、5. 設(shè)a，b，cN，c無平方因子，a2b2c，證明：ab。 6. 設(shè)n是正整數(shù)，求的最大公約數(shù)。 第 4 節(jié) 1. 證明定理1。 2. 證明定理3的推論。 3. 設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：(a + b)[a, b] = a[b, a + b]。 4. 求正整數(shù)a，b，使得a + b = 120，(a, b) = 24，[a, b] = 144。 5. 設(shè)a，b，c是正整數(shù)，證明： 。 6. 設(shè)k是正奇數(shù)，證明：1 + 2 + L + 91k + 2k + L + 9k。 第 5 節(jié) 1. 說明例1證明中所用到的四個事實的依據(jù)。 2. 用輾

4、轉(zhuǎn)相除法求整數(shù)x，y，使得1387x - 162y = (1387, 162)。 3. 計算：(27090, 21672, 11352)。 4. 使用引理1中的記號，證明：(Fn + 1, Fn) = 1。 5. 若四個整數(shù)2836，4582，5164，6522被同一個大于1的整數(shù)除所得的余數(shù)相同，且不等于零，求除數(shù)和余數(shù)各是多少？ 6. 記Mn = 2n - 1，證明：對于正整數(shù)a，b，有(Ma, Mb) = M(a, b)。 第 6 節(jié) 1. 證明定理1的推論1。 2. 證明定理1的推論2。 3. 寫出22345680的標準分解式。 4. 證明：在1,

5、 2, L, 2n中任取n + 1數(shù)，其中至少有一個能被另一個整除。 5. 證明：（n 2）不是整數(shù)。 6. 設(shè)a，b是正整數(shù)，證明：存在a1，a2，b1，b2，使得 a = a1a2，b = b1b2，(a2, b2) = 1， 并且[a, b] = a2b2。 第 7 節(jié) 1. 證明定理1。 2. 求使12347!被35k整除的最大的k值。 3. 設(shè)n是正整數(shù)，x是實數(shù)，證明：= n。 4. 設(shè)n是正整數(shù)，求方程 x2 - [x2] = (x - [x])2 在[1, n]中的解的個數(shù)。 5. 證明：方程 f(x) = [x] + [2x] + [

6、22x] + [23x] + [24x] + [25x] = 12345 沒有實數(shù)解。 6. 證明：在n!的標準分解式中，2的指數(shù)h = n - k，其中k是n的二進制表示的位數(shù)碼之和。 第 8 節(jié) 1. 證明：若2n + 1是素數(shù)，則n是2的乘冪。 2. 證明：若2n - 1是素數(shù)，則n是素數(shù)。 3. 證明：形如6n + 5的素數(shù)有無限多個。 4. 設(shè)d 是正整數(shù)，6d，證明：在以d為公差的等差數(shù)列中，連續(xù)三項都是素數(shù)的情況最多發(fā)生一次。 5. 證明：對于任意給定的正整數(shù)n，必存在連續(xù)的n個自然數(shù)，使得它們都是合數(shù)。 6. 證明：級數(shù)發(fā)散，此處使用了定理1

7、注2中的記號。 第2章 第 1 節(jié) 1. 證明定理1和定理2。 2. 證明定理4。 3. 證明定理5中的結(jié)論(ⅰ)—(ⅳ)。 4. 求81234被13除的余數(shù)。 5. 設(shè)f(x)是整系數(shù)多項式，并且f(1), f(2), L, f(m)都不能被m整除，則f(x) = 0沒有整數(shù)解。 6. 已知99，求a與b。 第 2 節(jié) 1. 證明定理1。 2. 證明：若2p + 1是奇素數(shù)，則 (p!)2 + (-1)p 0 (mod 2p + 1)。 3. 證明：若p是奇素數(shù)，N = 1 + 2 + L + ( p - 1)，則 (p - 1)! p

8、- 1 (mod N)。 4. 證明Wilson定理的逆定理：若n > 1，并且 (n - 1)! -1 (mod n)， 則n是素數(shù)。 5. 設(shè)m是整數(shù)，4m，{a1, a2, L, am}與{b1, b2, L, bm}是模m的兩個完全剩余系，證明：{a1b1, a2b2, L, ambm}不是模m的完全剩余系。 6. 設(shè)m1, m2, L,mn是兩兩互素的正整數(shù)，di（1 i n）是整數(shù)，并且 di 1 (mod mi)， 1 i n， di 0 (mod mj)，i j，1 i, j n。 證明：當bi通過模mi（1 i n）的完

9、全剩余系時， b1d1 + b2d2 + L + bndn 通過模m = m1m2Lmn的完全剩余系。 第 3 節(jié) 1. 證明定理1。 2. 設(shè)m1, m2, L, mn是兩兩互素的正整數(shù)，xi分別通過模mi的簡化剩余系（1 i n），m = m1m2Lmn，Mi =，則 M1x1 + M2x2 + L + Mnxn 通過模m的簡化剩余系。 3. 設(shè)m > 1，(a, m) = 1，x1, x2, , xj(m)是模m的簡化剩余系，證明： 。 其中{x}表示x的小數(shù)部分。 4. 設(shè)m與n是正整數(shù)，證明： j(mn)j((m, n)) = (m, n)j(

10、m)j(n)。 5. 設(shè)a，b是任意給定的正整數(shù)，證明：存在無窮多對正整數(shù)m與n，使得 aj(m) = bj(n)。 6. 設(shè)n是正整數(shù)，證明： (ⅰ) j(n) >； (ⅱ) 若n是合數(shù)，則j(n) n -。 第 4 節(jié) 1. 證明：1978103 - 19783能被103整除。 2. 求313159被7除的余數(shù)。 3. 證明：對于任意的整數(shù)a，(a, 561) = 1，都有a560 1 (mod 561)，但561是合數(shù)。 4. 設(shè)p，q是兩個不同的素數(shù)，證明： pq - 1 + qp - 1 1 (mod pq)。 5. 將612 -

11、1分解成素因數(shù)之積。 6. 設(shè)nN，bN，對于bn + 1的素因數(shù)，你有甚麼與例6相似的結(jié)論？ 第 5 節(jié) 1. 證明例2中的結(jié)論。 2. 證明定理2。 3. 求。 4. 設(shè)f(n)是積性函數(shù)，證明： (ⅰ) (ⅱ) 。 5. 求j(n)的Mobius變換。 第3章 第 1 節(jié) 1. 證明定理3。 2. 寫出789的二進制表示和五進制表示。 3. 求的小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 4. 證明：七進制表示的整數(shù)是偶數(shù)的充要條件是它的各位數(shù)字之和為偶數(shù)。 5. 證明：既約正分數(shù)的b進制小數(shù)(0.a-1a-2a-3L)b為有限小數(shù)的充要條件是n的

12、每個素因數(shù)都是b的素因數(shù)。 第 2 節(jié) 1. 設(shè)連分數(shù) a1, a2, L, an, L 的第k個漸近分數(shù)為，證明： ， 2. 設(shè)連分數(shù) a1, a2, L, an, L 的第k個漸近分數(shù)為，證明： ，k 2。 3. 求連分數(shù) 1, 2, 3, 4, 5, L 的前三個漸近分數(shù)。 4. 求連分數(shù) 2, 3, 2, 3, L 的值。 5. 解不定方程：7x - 9y = 4。 第 3 節(jié) 1. 證明定理4。 2. 求的連分數(shù)。 3. 求的誤差 10 - 5的有理逼近。 4. 求sin18的誤差 10 - 5的有理逼近。 5. 已知圓周率p =

13、 3, 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 21, L ，求p的誤差 10 - 6的有理逼近。 6. 證明：連分數(shù)展開的第k個漸近分數(shù)為。此處{Fn}是Fibonacci數(shù)列。 第 4 節(jié) 1. 將方程3x2 + 2x - 2 = 0的正根寫成連分數(shù)。 2. 求a = 之值。 3. 設(shè)a是正整數(shù)，求的連分數(shù)。 4. 設(shè)無理數(shù)= a1, a2, L, an, L 的第k個漸近分數(shù)為，證明：的充要條件是 pn = a1qn + qn -1，dqn = a1pn + pn -1。 5. 設(shè)無理數(shù)= a1, a2, L, an, L 的第k個漸近分數(shù)為，且

14、正整數(shù)n使得 pn = a1qn + qn -1，dqn = a1pn + pn -1， 證明： (ⅰ) 當n為偶數(shù)時，pn，qn是不定方程x2 - dy2 = 1的解； (ⅱ) 當n為奇數(shù)時，p2n，q2n是不定方程x2 - dy2 = 1的解。 第4章 第 1 節(jié) 1. 將寫成三個既約分數(shù)之和，它們的分母分別是3，5和7。 2. 求方程x1 + 2x2 + 3x3 = 41的所有正整數(shù)解。 3. 求解不定方程組： 。 4. 甲班有學生7人，乙班有學生11人，現(xiàn)有100支鉛筆分給這兩個班，要使甲班的學生分到相同數(shù)量的鉛筆，乙班學生也分到相同數(shù)量的鉛筆

15、，問應怎樣分法？ 5. 證明：二元一次不定方程ax + by = n，a > 0，b > 0，(a, b) = 1的非負整數(shù)解的個數(shù)為+ 1。 6. 設(shè)a與b是正整數(shù)，(a, b) = 1，證明：1, 2, L, ab - a - b中恰有個整數(shù)可以表示成ax + by（x 0，y 0）的形式。 第 2 節(jié) 1. 證明定理2推論。 2. 設(shè)x，y，z是勾股數(shù)，x是素數(shù)，證明：2z - 1，2(x + y + 1)都是平方數(shù)。 3. 求整數(shù)x，y，z，x > y > z，使x - y，x - z，y - z都是平方數(shù)。 4. 解不定方程：x2 + 3y2 =

16、 z2，x > 0，y > 0，z > 0，(x, y ) = 1。 5. 證明下面的不定方程沒有滿足xyz 0的整數(shù)解。 (ⅰ) x2 + y2 + z2 = x2y2； (ⅱ) x2 + y2 + z2 = 2xyz。 6. 求方程x2 + y2 = z4的滿足(x, y ) = 1，2x的正整數(shù)解。 第 3 節(jié) 1. 求方程x2 + xy - 6 = 0的整數(shù)解。 2. 求方程組的整數(shù)解。 3. 求方程2x - 3y = 1的正整數(shù)解。 4. 求方程的正整數(shù)解。 5. 設(shè)p是素數(shù)，求方程的整數(shù)解。 6. 設(shè)2n + 1個有理數(shù)a1, a

17、2, L, a2n + 1滿足條件P：其中任意2n個數(shù)可以分成兩組，每組n個數(shù)，兩組數(shù)的和相等，證明： a1 = a1 = L = a2n + 1。 第5章 第 1 節(jié) 1. 證明定理1。 2. 解同余方程： (ⅰ) 31x 5 (mod 17)； (ⅱ) 3215x 160 (mod 235)。 3. 解同余方程組： 。 4. 設(shè)p是素數(shù)，0 < a < p，證明： (mod p)。 是同余方程ax b (mod p)的解。 5. 證明：同余方程a1x1 + a2x2 + L + anxn b (mod m)有解的充要條件是 (a1, a

18、2, L, an, m) = db。 若有解，則恰有dmn -1個解，mod m。 6. 解同余方程：2x + 7y 5 (mod 12)。 第 2 節(jié) 1. 解同余方程組： 2. 解同余方程組： 3. 有一隊士兵，若三人一組，則余1人；若五人一組，則缺2人；若十一人一組，則余3人。已知這隊士兵不超過170人，問這隊士兵有幾人？ 4. 求一個最小的自然數(shù)n，使得它的是一個平方數(shù)，它的是一個立方數(shù)，它的是一個5次方數(shù)。 5. 證明：對于任意給定的n個不同的素數(shù)p1, p2, …, pn，必存在連續(xù)n個整數(shù)，使得它們中的第k個數(shù)能被pk整除。 6. 解同余

19、方程：3x2 + 11x - 20 0 (mod 105)。 第 3 節(jié) 1. 證明定理的推論。 2. 將例2中略去的部分補足。 3. 將例4中略去的部分補足。 4. 解同余方程x2 -1 (mod 54)。 5. 解同余方程f(x) = 3x2 + 4x - 15 0 (mod 75)。 6. 證明：對于任意給定的正整數(shù)n，必存在m，使得同余方程x2 1 (mod m)的解數(shù)T > n。 第 4 節(jié) 1. 解同余方程： (ⅰ) 3x11 + 2x8 + 5x4 - 1 0 (mod 7)； (ⅱ) 4x20 + 3x12 + 2x7

20、+ 3x - 2 0 (mod 5)。 2. 判定 (ⅰ) 2x3 - x2 + 3x - 1 0 (mod 5)是否有三個解； (ⅱ) x6 + 2x5 - 4x2 + 3 0 (mod 5)是否有六個解？ 3. 設(shè)(a, m) = 1，k與m是正整數(shù)，又設(shè)x0k a (mod m)，證明同余方程 xk a(mod m) 的一切解x都可以表示成x yx0 (mod m)，其中y滿足同余方程yk 1 (mod m)。 4. 設(shè)n是正整數(shù)，p是素數(shù)，(n, p - 1) = k，證明同余方程xn 1 (mod p)有k個解。 5. 設(shè)p是素數(shù)，證明：

21、 (ⅰ) 對于一切整數(shù)x，xp - 1 - 1 (x - 1) (x - 2)L(x - p + 1) (mod p)； (ⅱ) (p - 1)! - 1 (mod p)。 6. 設(shè)p 3是素數(shù)，證明：(x - 1)(x - 2)L(x - p + 1)的展開式中除首項及常數(shù)項外，所有的系數(shù)都是p的倍數(shù)。 第 5 節(jié) 1. 同余方程x2 3 (mod 13)有多少個解？ 2. 求出模23的所有的二次剩余和二次非剩余。 3. 設(shè)p是奇素數(shù)，證明：模p的兩個二次剩余的乘積是二次剩余；兩個二次非剩余的乘積是二次剩余；一個二次剩余和一個二次非剩余的乘積是二次非剩余。

22、 4. 設(shè)素數(shù) p 3 (mod 4)，= 1，證明x (mod p)是同余方程 x2 n (mod p) 的解。 5. 設(shè)p是奇素數(shù)，(n, p) = 1，a是正整數(shù)，證明同余方程 x2 n (mod pa) 有解的充要條件是= 1。 6. 設(shè)p是奇素數(shù)，證明：模p的所有二次剩余的乘積與對模p同余。 第 6 節(jié) 1. 已知769與1013是素數(shù)，判定方程 (ⅰ) x2 1742 (mod 769)； (ⅱ) x2 1503 (mod 1013)。 是否有解。 2. 求所有的素數(shù)p，使得下面的方程有解： x2 11 (mod p)。

23、 3. 求所有的素數(shù)p，使得 -2QR(p)，-3QR(p)。 4. 設(shè)(x, y) = 1，試求x2 - 3y2的奇素數(shù)因數(shù)的一般形式。 5. 證明：形如8k + 5（kZ）的素數(shù)無窮多個。 6. 證明：對于任意的奇素數(shù)p，總存在整數(shù)n，使得 p(n2 + 1)(n2 + 2)(n2 - 2)。 第 7 節(jié) 1. 證明定理的結(jié)論(ⅱ)，(ⅲ)，(ⅳ)。 2. 已知3019是素數(shù)，判定方程x2 374 (mod 3019)是否有解。 3. 設(shè)奇素數(shù)為p = 4n + 1型，且dn，證明：= 1。 4. 設(shè)p，q是兩個不同的奇素數(shù)，且p = q + 4a，

24、證明：。 5. 設(shè)a > 0，b > 0，b為奇數(shù)，證明： 6. 設(shè)a，b，c是正整數(shù)，(a, b) = 1，2b，b < 4ac，求的關(guān)系。 第6章 第 1 節(jié) 1. 設(shè)n是正整數(shù)，證明：不定方程x2 + y2 = zn總有正整數(shù)解x，y，z。 2. 設(shè)p是奇素數(shù)，(k, p) = 1，則 ， 此處是Legender符號。 3. 設(shè)素數(shù)p 1 (mod 4)，(k, p) = 1，記 ， 則2S(k)，并且，對于任何整數(shù)t，有 ， 此處是Legender符號。 4. 設(shè)p是奇素數(shù)，，則 構(gòu)成模p的一個簡化剩余系。 5. 在第

25、3題的條件下，并沿用第2題的記號，有 。 即上式給出了形如4k + 1的素數(shù)的二平方和表示的具體方法。 6. 利用題5的結(jié)論，試將p = 13寫成二平方和。 第 2 節(jié) 1. 若(x, y, z) = 1，則不存在整數(shù)n，使得 x2 + y2 + z2 = 4n2。 2. 設(shè)k是非負整數(shù)，證明2k不能表示三個正整數(shù)平方之和。 3. 證明：每一個正整數(shù)n必可以表示為5個立方數(shù)的代數(shù)和。 4. 證明：16k + 15型的整數(shù)至少需要15個四次方數(shù)的和表之。 5. 證明：16k31不能表示為15個四次方數(shù)的和。 第7章 第 1 節(jié) 2. 求

26、模14的全部原根。 3. 設(shè)m > 1，模m有原根，d是j(m)的任一個正因數(shù)，證明：在模m的簡化剩余系中，恰有j(d)個指數(shù)為d的整數(shù)，并由此推出模m的簡化剩余系中恰有j(j(m))個原根。 4. 設(shè)m 3，g是模m的原根，x1, x2, L, xj(m)是模m的簡化剩余系，證明： (ⅰ) -1 (mod m)； (ⅱ) x1x2Lxj(m) -1 (mod m)。 5. 設(shè)p = 2n + 1是一個奇素數(shù)，證明：模p的全部二次非剩余就是模p的全部原根。 6. 證明： (ⅰ) 設(shè)p奇素數(shù)，則Mp = 2p - 1的素因數(shù)必為2pk + 1型； (ⅱ

27、) 設(shè)n 0，則Fn =+ 1的素因數(shù)必為2n + 1k + 1型。 第 2 節(jié) 1. 求模29的最小正原根。 2. 分別求模293和模2293的原根。 3. 解同余方程：x12 16 (mod 17)。 4. 設(shè)p和q = 4p + 1都是素數(shù)，證明：2是模q的一個原根。 5. 設(shè)m 3，g1和g2都是模m的原根，則g = g1g2不是模m的原根。 6. 設(shè)p是奇素數(shù)，證明：當且僅當p - 1n時，有 1n + 2n + L + (p - 1)n 0 (mod p)。 第8章 第 1 節(jié) 1. 補足定理1的證明。 2. 證明定理2。 3

28、. 證明：有理數(shù)為代數(shù)整數(shù)的充要條件是這個有理數(shù)為整數(shù)。 第 2 節(jié) 1. 證明例中的結(jié)論。 2. 證明連分數(shù) 是超越數(shù)。 3. 設(shè)x是一個超越數(shù)，a是一個非零的代數(shù)數(shù)，證明：x + a，x a，都是超越數(shù)。 第 3 節(jié) 1. 證明引理1。 2. 證明定理3中的F+ F(0)是整數(shù)。 第9章 第 1 節(jié) 1. 問：1948年2月14日是星期幾？ 2. 問：1999年10月1日是星期幾？ 第 2 節(jié) 1. 編一個有十個球隊進行循環(huán)賽的程序表。 2. 編一個有九個球隊進行循環(huán)賽的程序表。 第 3 節(jié) 1. 利用例1中的

29、加密方法，將“ICOMETODAY”加密。 2. 已知字母a，b，L，y，z，它們分別與整數(shù)00，01，L，24，25對應，又已知明文h與p分別與密文e與g對應，試求出密解公式： P a E + b (mod 26)， 并破譯下面的密文：“IRQXREFRXLGXEPQVEP”。 第 4 節(jié) 1. 設(shè)一RSA的公開加密鑰為n = 943，e = 9，試將明文P = 100加密成密文E。 2. 設(shè)RSA(nA, eA) = RSA(33, 3)，RSA(nB, eB) = RSA(35, 5)，A的簽證信息為M = 3，試說明A向B發(fā)送簽證M的傳送和認證

30、過程。 第 5 節(jié) 1. 設(shè)某數(shù)據(jù)庫由四個文件組成：F1 = 4，F(xiàn)2 = 6，F(xiàn)3 = 10，F(xiàn)4 = 13。試設(shè)計一個對該數(shù)據(jù)庫加密的方法，但要能取出個別的Fi（1 i 4），同時不影響其他文件的保密。 2. 利用本節(jié)中的秘密共享方案，設(shè)計一個由三方共管文件M = 3的方法，要求：只要有兩方提供他們所掌握的數(shù)據(jù)，就可以求出文件M，但是，僅由任何一方的數(shù)據(jù)，不能求出文件M。（提示：取p = 5，m1 = 8，m2 = 9，m3 = 11） 第 6 節(jié) 1. 設(shè)明文P的二進制表示是P = (p1p2p3p4p5p6p7p8)2，與P對應的密文是E是E = a1p1 + a2p2 + L + a8p8，如果這里的超增背包向量(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8) = (5, 17, 43, 71, 144, 293, 626, 1280)，并且已知密文E = 1999，求明文P。 2. 給定超增背包向量(2, 3, 7, 13, 29, 59)，試設(shè)計一個背包型加密方法，將明文P = 51加密。（提示：取M = 118，k = 77）。 12 / 12