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1、(第八講第八講)數 字 邏 輯第二章 邏輯代數基礎 掌握邏輯代數的基本概念，學會用邏輯函描述邏輯問題的基本方法。 掌握邏輯代數的公理、基本定理和重要規(guī)則； 學會用代數法化簡邏輯函數； 熟練掌握用卡諾圖化簡邏輯函數。邏輯代數是一個由邏輯變量集K，常量0和1以及“與”、“或”、“非”3種基本運算構成的一個封閉的代數系統(tǒng)，記為L=K, +, , -, 0, 1。它是一個二值代數系統(tǒng)。常量0和1表示真和假，無大小之分。該系統(tǒng)滿足下列公理：2.1公理公理1交換律交換律 A+B=B+A, A B=B A公理公理2結合律結合律 (A+B)+C=A+(B+C), (A B) C=A (B C)公理公理3分配律

2、分配律 A+ ( B C ) =(A+B) (B+C), A ( B+C ) =A B+A C公理公理401律律 A+ 0 =A, A 1=A A+1=1, A 0=0，公理公理5互補律互補律 A+ A =1, AA=0：僅取值0或取值1的變量。這里0和1無大小之分，實際上代表著矛盾的雙方或事件的真假，例如開關的接通與斷開，電壓的高和底，信號的有和無，電燈的亮和滅等等。 只要是兩種穩(wěn)定的物理狀態(tài)，都可以用0和1這兩種不同的邏輯值來表征。2.1.1如果決定某一事件發(fā)生的多個條件，只要有一個或一個以上的條件成立，事件便可發(fā)生，這種因果關系稱之為或邏輯。在邏輯代數中，或邏輯關系用或運算描述?；蜻\算又

3、稱邏輯加，其運算符為+或 ，兩個變量的或運算可表示為:F=A+B 或者 F=AB讀作F等于A或B,其中A、B是參加運算的兩個邏輯變量，F為運算結果。意思是：只要A、B中有一個為1，則F為1；僅當A、B均為0時，F才為0。A B F0 0 00 1 11 0 11 1 1或運算表A+uBF由“或”運算的運算表可知“或”運算的法則為：0+0=01+0=10+1=11+1=1實現或運算的邏輯電路稱為或門。如果決定某一事件的發(fā)生的多個條件必須同時具備，事件才能發(fā)生，這種因果關系稱為與邏輯。邏輯代數中與邏輯關系用與運算描述。與運算又稱邏輯乘，其運算符為或。兩變量的與運算可表示為FA B 或者 F=AB讀

4、作F等于A與B，意思是若A B 均為1，則F為1；否則F為0。A B F0 0 00 1 01 0 01 1 1與運算表+uABF由“與”運算的運算表可知“與”運算法則為：0 0 = 01 0 = 00 1 = 01 1 = 1實現“與”運算的邏輯電路稱為“與”門。如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，則這種因果關系稱為非邏輯。非邏輯用非運算描述。非運算又稱求反運算，運算符為或. 非運算可表示為F=A 或F= A讀作F等于A非，意思是若A0，則F為1；反之，若A=1, 則F為0?！胺沁\算表由“非”運算的運算表可知“非”運算法則為：0 1 10A F0 11 0+uAF實現“非”運算的邏輯電路稱為

5、“非”門。設某一電路的輸入邏輯變量為A1, A2, , An , 輸出邏輯變量為F。如果當A1, A2 , , An 的值確定后，F的值就唯一地被定下來，則F稱為A1, A2, , An , 的邏輯函數，記為F=f (A1, A2, , An)邏輯電路的功能可由相應邏輯函數完全描述。與普通函數概念相比邏輯函數有如下特點： 1）邏輯變量與邏輯函數的取值只有0和1； 2）邏輯函數與邏輯變量的關系由“或”、 “與”、“非”運算決定。 2.1.2設有兩個邏輯函數F1=f1 (A1, A2, , An)F2=f2 (A1, A2, , An)若對應于A1, A2, , An的任何一組取值, F1 和F2

6、的值都相同, 則稱函數F1和函數F2相等, 記作F1= F2亦稱函數F1與F2等價。由邏輯變量、常量和邏輯運算符構成的合法表達式。 進行非運算可不加括號, 如. 等BA，A 與運算符一般可省略, AB可寫成AB. 可根據先與后或的順序去括號, 如：(AB)(CD)ABCD例：BABABAF),(邏輯表達式書寫省略規(guī)則：2.1.3. 的或非讀作ABBA；非或讀作BAAB 非；或讀作BAAB 非；非讀作BAA B 的與非；讀作ABAB ；非與讀作BAAB 非；與讀作BAAB 真值表是一種由邏輯變量的所有可能取值組合及其對應的邏輯函數值所構成的表格.例如例如：函數 F=AB + AC 的真值表如右所

7、示：A B C F0 0 000 0 110 1 000 1 111 0 011 0 111 1 001 1 10卡諾圖是一種用圖形描述邏輯函數的方法。000101 011 111 0 0 0 1 0 0 0 1 01 1 1 推論： 1 = 0 0 = 12.2.1定理定理2(重疊律重疊律)AAAA A A 定理定理3(吸收律吸收律)AA BA A ( A +B)A定理定理4(吸收律吸收律) AA BA+BA ( A +B)A B定理定理5(對合律對合律)AA定理定理6(德摩根定理德摩根定理) ABABA B AB 定理定理7 AB+ABA(A+B)(A+B)A定理定理8(包含律包含律) A

8、B+AC+BCAB+ACf (A1, A2, , An)f (A1, A2, , An)1任何一個含有變量A的邏輯等式，如果將所有出現A的位置都代之以同一個邏輯函數F，則等式仍然成立。例如例如：給定邏輯等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，則該等式仍然成立，即：(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C由公理5(A+A=1)同樣有等式2.2.2F(A+B) (C+D)例如例如：已知FABCD，根據反演規(guī)可得到: 如果將邏輯函數F中所有的 變成+, +變成 , 0變成1, 1變成0, 原變量變成反變量，反變量變成原變量，所得到的新函數是原函數的反函數F使用反演規(guī)則時, 應

9、注意保持原函式中運算符號的優(yōu)先順序不變。例如：例如：已知則),(EDCBAF)(EDCBAFEDCBAF如果將邏輯函數F中所有的 變成+, +變成 , 0變成1, 1變成0, 則所得到的新邏輯函數F的對偶式F。如果F是F的對偶式，則F也是F 的對偶式，即F與F互為對偶式。求某一函數F的對偶式時，同樣要注意保持原函數的運算順序不變。若兩個邏輯函數F的G相等，則其對偶式F 和G 也相等。例: F = A+ B + C F=A+ B + C例: AB+AC+BC=AB+C 則 (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)C吉林大學遠程教育課件(第九講第九講)主講人主講人 ： 魏魏 達達 學學 時：時：

10、48數 字 邏 輯積之和表達式與和之積表達式.由若干個與項經或運算形成的CBAABBF表達式。例如：由若干個或項經與運算形成的表達)()(DBACBBAF式。例如：)(CDBADABF既不是與或表達式也不是或與表達式。而2.3.1如果一個具有n個變量的函數的積項包含全部n個變量, 每個變量都以原變量或反變量形式出現, 且僅出現一次，則這個積項被稱為最小項。假如一個函數完全由最小項所組成, 那么該函數表達式稱為標準積之和表達式, 即最小項之和. 2.3.2變量的各組取值A B C000001010011100101110111對應的最小項及其編號最小項編 號CBA CBA CBA CBA CBA

11、 CBA CBA CBA om1m2m3m4m5m6m7m三變量函數的最小項：=m2+ m3+ m6+ m7注意：變量的順序.即n個變量的所有最小項之和恒等于1。所以 1120iimnABCCABBCACBACBAF),(因1),(),(2121nnAAAfAAAf因此，1202121),(),( niinnmAAAfAAAf而= m(2, 3, 6, 7)ABCCABBCACBACBAF),(：例例如如最小項的性質：1）當函數以最小項之和形式表示時，可很容易列出函數及反函數的真值表（在真值表中，函數所包含的最小項填“1”） 。2）當ji 時，0jimm。3）n變量的最小項有n個相鄰項。相鄰項

12、：只有一個變量不同（以相反的形式出現）。一對相鄰項可以消去一個變量。如果一個具有n個變量的函數的和項包含全部n個變量，每個變量都以原變量或反變量形式出現，且僅出現一次，則這個和項稱為最大項。假如一個函數完全由最大項組成，那么這個函數表達式稱為標準和之積表達式。變量的各組取值A B C000001010011100101110111對應的最大項及其編號最大項編 號CBACBACBACBACBACBACBACBAoM1M2M3M4M5M6M7M三變量函數的最大項：注意：變量順序.與最小項類似，有0120iiMn)()()(),(CBACBACBACBACBAF5410MMMM例如：例如：)5 ,

13、4 , 1 , 0(M0),(),(2121nnAAAfAAAf因iinnMAAAfAAAfn1202121),(),( 而最大項的性質：1）當函數以最大項之積形式表示時，可很容易列出函數及反函數的真值表（在真值表中，函數所包含的最大項填“0”）。2）當ji 時，1jiMM。3）n變量的最大項有n個相鄰項。相鄰項：只有一個變量不同（以相反的形式出現）。一對相鄰項可以消去一個變量。吉林大學遠程教育課件(第十講第十講)主講人主講人 ： 魏魏 達達 學學 時：時：48數 字 邏 輯 以最小項之和的形式表示的函數可以轉換成最大項之積的形式，反之亦然。ABCCABBCACBACBAF),(：例例如如=

14、m(2, 3, 6, 7)F(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)ABCCABBCACBAFF=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)5 , 4 , 1 , 0(MF(A,B,C)= m(0, 1, 4, 5)7 , 6 , 3 , 2(M同理且有iiimMmMi 或即：最大項與最小項互補。例如：例如：M3 = A+B+C = ABC = m3任何一個邏輯函數，總可以將其 轉換成最小項之和及最大項之積的形式, 常用代數轉換法或真值表轉換法.2.3.3用代數法求一個函數最小項之和的形式，一般分為兩步：將函數表達式變換成一般的與或式.反復使用X=X(Y+Y)將非最小項的與

15、項 擴展為最小項。例例：將F(A, B, C)=(AB+BC)AB轉換成最小項之和形式ABCBBACBAF),(1 、 解：解：ABCBBAABCBBA)(ABBCCABA)()()( ),(2AABCBBCACCBACBAF、)(CCABABCCBABCACBACBA CABABCBCAABCCABBCACBACBA F(A,B,C) = m0+m1+m3+m6+m7=m(0,1,3,6,7)類似地，用代數法求一個函數最大項之積的形式，也可分為兩步：將函數表達式轉換成一般或與式；如果給出的函數已經是與或式或者是或與式，則可直接進行第二步。：反復使用將非最大項的或項擴展成為最大項)(BABAA

16、例：將F(A,B,C)=AB+AC轉換成“最大項 之積的形式。解： 1）F(A,B,C) =AB AC=(A+B)(A+C)2) F(A,B,C)=(A+B+CC)(A+BB+C)=(A+B+C) (A+B+C) (A+B+C)(A+B+C)F(A,B,C) = M1 M3 M6 M7=M(1,3,6,7)一個邏輯函數的真值表與它的最小項表達式和最大項表達式均存在一一對應的關系。函數F的最小項表達式由使F取值為1的全部最小項之和組成。函數F的最大項表達式由使F取值為0的全部最大項之積組成。表示成“最小項之和”將CBACAF例例：和最大項之積的形式。解：解：A B C F0 0 000 0 11

17、0 1 000 1 111 0 011 0 101 1 001 1 10CBABCACBAF(A,B,C)4 , 3 , 1 (m)()(CBACBAF(A,B,C)()(CBACBA)(CBA)7 , 6 , 5 , 2 , 0(M 注意：任何一個邏輯函數的兩種標準形式唯一 .一般來說, 邏輯函數表達式越簡單, 設計出來的電路也就越簡單。把邏輯函數簡化成最簡形式稱為邏輯函數的最小化, 有三種常用的方法, 即代數化簡法、卡諾圖化簡法和列表化簡法。2.4該方法運用邏輯代數的公理、定理和規(guī)則對邏輯函數進行推導、變換而進行化簡，沒有固定的步驟可以遵循，主要取決于對公理、定理和規(guī)則的熟練掌握及靈活運用

18、的程度。有時很難判定結果是否為最簡。2.4.1化簡應滿足的兩個條件：1） 表達式中與項的個數最少；2） 在滿足1）的前提下, 每個與項中的變量個數最少。CDDACABCCAF簡化例例：)()( DDACBCCAF解解：)()(DDDACCCBCACDACABCACDABCCA)(CDACDB)A(1DBDBCBCBCAABF簡化例例：)( GFADEDBDBCBCBCBAF解：解：)(GFADE)(GFADEDBDBCBCBADBDBCBCBA)()(CCDBDBCBDDCBADCBDBCDBCBCDBDCBA CBDBDCA化簡應滿足的兩個條件：化簡應滿足的兩個條件：1） 表達式中或項的個數

19、最少；2） 在滿足1）的前提下, 每個或項中的變量個數最少。例：F = (A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)解：F = (A+B)(A+B)(B+C)(B+C+D)=（A+B)(A+B)(B+C)= A(B+C)例：F = (A+B)(A+B)(B+C)(A+C)解： F = AB+AB+BC+AC= AB+AB+(B+A)C=AB+AB+ABC=AB+AB+CF=(F )=(A+B)(A+B)C吉林大學遠程教育課件(第十一講第十一講)主講人主講人 ： 魏魏 達達 學學 時：時：48數 字 邏 輯該方法簡單、直觀、容易掌握, 當變量個數小于等于6時非常有效, 在邏輯設計中得到廣泛應用。

20、n個變量的卡諾圖是一種由2n個方格構成的圖形, 每一個方格表示邏輯函數的一個最小項, 所有的最小項巧妙地排列成一種能清楚地反映它們相鄰關系的方格陣列。因為任意一個邏輯函數都 可表示成最小項之和的形式, 所以一個函數可用圖形中若干方格構成的區(qū)域來表示。2.4.2mo m2m1 m3 0101ABAB 0101BA BABA ABBBAA二變量卡諾圖mo m2 m6 m4m1 m3 m7 m500 01 11 1001ABC00 01 11 1001ABCCBA CBACABCBA CBA BCAABCCBA AACCBBB三變量卡諾圖00 01 11 1000011110ABCDDCBA ACD

21、CBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA DCBA ABCDCDBADCBA DCBA DABCDCBADB 0 4 12 8 1 5 13 9 3 7 15 11 2 6 14 1000 01 11 1000011110ABCD四變量卡諾圖：彼此只有一個變量不同，且這個不同變量互為反變量的兩個最小 項(或與項)稱為相鄰最小項(或相鄰與項).相鄰最小項在卡諾圖中有三種特征，即幾何相鄰、相對相鄰和重疊相鄰。卡諾圖在構造上具有以下兩個特點：卡諾圖在構造上具有以下兩個特點：1）n個變量的卡諾圖由2n個小方格組成, 每個小方格代表一個最小項。2）卡諾圖上處在相鄰、相

22、對、相重位置的小方格所代表的最小項為相鄰最小項。 將邏輯函數所對應的最小項在卡諾圖的相應方格中標以1，剩余方格標以0或不標。1、與或式的卡諾圖表示.直接將表達式的與項或最小項所對應的方格標以1. 00 01 11 1001ABC11111CBABCBACACBAF),(可表示為：例如：例如：2、其它形式函數的卡諾圖表示要轉換成與或式再在卡諾圖上表示。吉林大學遠程教育課件(第十二講第十二講)主講人主講人 ： 魏魏 達達 學學 時：時：48數 字 邏 輯根據定理7有AB+AB=A, 它表明兩 個相鄰與項或最小項可以合并為一項，這一項由兩個與項中相同的變量組成，可以消去兩個 與項中不同的變量。在卡諾

23、圖上把相鄰最小項所對應的小方格圈在一起可進行合并，以達到用一個簡單與項代替若干最小項的目的。這樣的圈稱為卡諾圈。 0101AB1 1 0101AB1 1 0101AB1 11二變量卡諾圖的典型合并情況00 01 11 1001ABC1 11 1AB 00 01 11 1001C1 1 1 11 1 1 101ABC00 01 11 10三變量卡諾圖的典型合并情況100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1111111100 01 11 1000011110ABCD1111111111四變量卡諾圖的典型合并情況一個卡諾圈中的小方格

24、滿足以下規(guī)律：一個卡諾圈中的小方格滿足以下規(guī)律：1）卡諾圈中的小方格的數目為2m, m為整數且mn;3） 2m個小方格可用(n-m)個變量的與項表示, 該與項由這些最小項中的相同變量構成。2） 2m個小方格含有m個不同變量和(n-m)個相同變量;4）當m=n時,卡諾圈包圍整個卡諾圖,可用1表示，即n個變量的全部最小項之和為1。蘊涵項：蘊涵項：與或式中的每一個與項稱為函數的蘊涵項；質蘊涵項：質蘊涵項：不被其它蘊涵項所包含的蘊涵項；必要質蘊涵項：必要質蘊涵項：質蘊涵項中至少有一個最小項不被其它蘊涵項所包含。用卡諾圖化簡邏輯函數的一般步驟為：用卡諾圖化簡邏輯函數的一般步驟為：第一步：第一步：作出函數

25、的卡諾圖；第二步：第二步：在卡諾圖上圈出函數的全部質蘊涵項；第三步：第三步：從全部質蘊涵項中找出所有必要質蘊涵項；第四步第四步：若全部必要質蘊涵項尚不能覆蓋所有的1 方格，則需從剩余質蘊涵項中找出最簡的所需質蘊涵項，使它和必要質蘊涵項一起構成函數的最小覆蓋。例：例：用卡諾圖化簡邏輯涵數 F(A, B, C, D)=m(0, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 15)100 01 11 1000011110ABCD11111111解：解：1100 01 11 1000011110ABCD111111100 01 11 1000011110ABCD1*1111* 1*1*1*1*CBA

26、BCACDBDDCBADCBAF ),(例：例：用卡諾圖化簡邏輯函數 F(A, B, C, D)=m(2, 3, 6, 7, 8,10, 12)100 01 11 1000011110ABCD111111解：解：100 01 11 1000011110ABCD11111100 01 11 1000011110ABCD1*1111*1*1*1100 01 11 1000011110ABCD1*1*1*1* 1DBADCACADCBAF ),(DCBDCACADCBAF ),( 或例：例：用卡諾圖把邏輯函數 F(A, B, C, D)= M( 3, 4, 6, 7, 11, 12, 13, 14,

27、15)化簡成最簡或與表達式。)15,14,13,12,11, 7 , 6 , 4 , 3(),(MDCBAF解：解：15141312117643MMMMMMMMM15141312117643mmmmmmmmm)10, 9 , 8 , 5 , 2 , 1 , 0(m100 01 11 1000011110ABCD00100101100100DBABCDDCBAF),(DBABCDDCBAF),()()(DBBADC1吉林大學遠程教育課件(第十三講第十三講)主講人主講人 ： 魏魏 達達 學學 時：時：48數 字 邏 輯一個邏輯函數, 如果它的某些輸入取值組合因受特殊原因制約而不會再現, 或者雖然每

28、種輸入取值組合都可能出現, 但此時函數取值為1還是為0無關緊要, 那么這些輸入取值組合所對應的最小項稱為無關最小項。無關最小項可以隨意加到函數表達式中，或不加到函數表達式中，并不影響函數的實際邏輯功能。2.4.4A B C DF0 0 0 0d0 0 0 1d0 0 1 0d0 0 1 110 1 0 010 1 0 110 1 1 000 1 1 101 0 0 001 0 0 101 0 1 011 0 1 111 1 0 011 1 0 1d1 1 1 0d1 1 1 1d100 01 11 1000011110ABCD11111),(DCBAFCBACDBDCBCBA：給定某電路的邏輯

29、函數真值表如下，求F的最簡與或式。解：1)不考慮無關最小項：1100 01 11 1000011110ABCD1111ddddddCBCBDCBAF),(2)考慮無關最小項：對于多輸出邏輯函數，如果孤立地將單個輸出一一化簡，然后直接拼在一起，通常并不能保證整個電路最簡，因為各個輸出函數之間往往存在可供共享的部分。多輸出邏輯函數化簡的標準：多輸出邏輯函數化簡的標準：2） 在滿足上述條件的前提下，各不同與項中所含的變量總數最少。1） 所有邏輯表達式包含的不同與項總數最?。唬憾噍敵龊瘮?對應的卡諾圖為100 01 11 1001ABC1 1F1100 01 11 1001ABC1 1F2CABACBAF),(1BCABCBAF),(2從多輸出函數化簡的觀點來看，它們不是最佳的，應該是：CABBACBAF),(1CABBCCBAF),(2對應的卡諾圖為100 01 11 1001ABC1 1F11 1100 01 11 1001ABCF2.21的共享部分和的其中FFABC