2、<0；
當(dāng)0.
4．函數(shù)y＝4x2＋的單調(diào)增區(qū)間為( )
- 2 - / 12
A．(0，＋∞) B．(，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，－)
答案 B
解析 y′＝8x－，令y′＞0，得8x－＞0，
即x3＞， ∴x＞.
5．若函數(shù)y＝a(x3－x)的遞減區(qū)間為(－，)，則a的取值范圍是( )
A．a(chǎn)＞0 B．－1＜a＜0
C．a(chǎn)＞1 D．0＜a＜1
答案 A
解析 y′＝a(3x2－1)，解3x2－1＜0，得－＜x＜.
∴f(x)＝x3－x在(－，)上為減函數(shù)．
又y＝a(x3－x)的遞減區(qū)間為(－，)．
3、
∴a＞0.
6.
已知f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y＝f′(x)的圖像如圖所示，則f(x)的圖像只可能是( )
答案 D
解析 從y＝f′(x)的圖像可以看出，在區(qū)間(a，)內(nèi)，導(dǎo)數(shù)值遞增；在區(qū)(，b)內(nèi)，導(dǎo)數(shù)值遞減，即函數(shù)f(x)的圖像在(a，)內(nèi)越來越陡峭，在(，b)內(nèi)越來越平緩．
7．函數(shù)f(x)＝(x－3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是( )
A．(－∞，2) B．(0,3)
C．(1,4) D．(2，＋∞)
答案 D
解析 f′(x)＝ex＋(x－3)ex＝ex(x－2)，
由f′(x)>0，得x>2.∴f(x)在(2，＋∞)上是增函數(shù)．
4、
二、填空題
8．若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是________．
答案 (0，＋∞)
解析 若函數(shù)y＝－x3＋bx有三個單調(diào)區(qū)間，則其導(dǎo)數(shù)y′＝－4x2＋b＝0有兩個不相等的實數(shù)根，所以b>0.
9．若函數(shù)f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實數(shù)p的取值范圍是________．
答案 [－1，＋∞)
解析 f′(x)＝1＋≥0對x>1恒成立，即x2＋p≥0對x>1恒成立，∴p≥－x2(x>1)．∴p≥－1.
10．若函數(shù)y＝ax3－ax2－2ax(a≠0)在[－1,2]上為增函數(shù)，則a∈________.
答案 (－∞，0)
解析 y
5、′＝ax2－ax－2a＝a(x＋1)(x－2)>0，
∵當(dāng)x∈(－1,2)時，(x＋1)(x－2)<0，
∴a<0.
11．f(x)＝(x∈R)在區(qū)間[－1,1]上是增函數(shù)，則a∈________.
答案 [－1,1]
解析 y′＝2，
∵f(x)在[－1,1]上是增函數(shù)，∴y′在(－1,1)上大于等于0，即2≥0.
∵(x2＋2)2＞0，
∴x2－ax－2≤0對x∈(－1,1)恒成立．
令g(x)＝x2－ax－2，
則 即 ∴－1≤a≤1.
即a的取值范圍是[－1,1]．
三、解答題
12．已知f(x)＝ax3＋3x2－x－1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍．
解
6、析 ∵f′(x)＝3ax2＋6x－1，又f(x)在R上遞減，
∴f′(x)≤0對x∈R恒成立．
即3ax2＋6x－1≤0對x∈R恒成立，顯然a≠0.
∴ ∴a≤－3.
即a的取值范圍為(－∞，－3]．
13．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(x≠0，常數(shù)a∈R)．若函數(shù)
f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，求a的取值范圍．
解析 f′(x)＝2x－＝，
要使f(x)在[2，＋∞)上是單調(diào)遞增的，
則f′(x)≥0在x∈[2，＋∞)時恒成立，
即≥0在x∈[2，＋∞)時恒成立．
∵x>0，∴2x3－a≥0，∴a≤2x3在x∈[2，＋∞)上恒成立．
∴a≤(2x3)mi
7、n.
∵x∈[2，＋∞)，y＝2x3是單調(diào)遞增的，
∴(2x3)min＝16，∴a≤16.
當(dāng)a＝16時，
f′(x)＝≥0(x∈[2，＋∞))有且只有f′(2)＝0.
∴a的取值范圍是a≤16.
14．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋1，a∈R.
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(－，－)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．
解析 (1)對f(x)求導(dǎo)，得
f′(x)＝3x2＋2ax＝3x(x＋a)．
①當(dāng)a＝0時，f′(x)＝3x2≥0恒成立．
∴f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，＋∞)；
②當(dāng)a>0時，由于f′(x)分別在(－∞，－α)和(0，＋
8、∞)上都恒為正，所以f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－a)，(0，＋∞)；由于f′(x)在(－a,0)上恒為負(fù)，所以f(x)的遞減區(qū)間是(－a,0)；
③當(dāng)a<0時，在x∈(－∞，0)和x∈(－a，＋∞)上均有f′(x)>0，∴f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，0)，(－a，＋∞)；在(0，－a)上，f′(x)<0，f(x)的遞減區(qū)間是(0，－a)．
(2)由(1)知，(－，－)?(－a,0)，
∴－a≤－.∴a≥1.
15．若函數(shù)f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù)，在區(qū)間(6，＋∞)上為增函數(shù)，試求實數(shù)a的取值范圍．
分析 本題主要考查借助函數(shù)的單調(diào)性來求導(dǎo)的
9、能力及解不等式的能力．
解析 ∵f′(x)＝x2－ax＋a－1，令f′(x)＝0，
解得x＝1或x＝a－1.
當(dāng)a－1≤1，即a≤2時，函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)，不符合題意．
當(dāng)a－1>1，即a>2時，函數(shù)f(x)在(－∞，1)上為增函數(shù)，在(1，a－1)上為減函數(shù)，在(a－1，＋∞)上為增函數(shù)．
而當(dāng)x∈(1,4)時，f′(x)<0；
當(dāng)x∈(6，＋∞)時，f′(x)>0.
∴4≤a－1≤6，即5≤a≤7.
∴a的取值范圍是[5,7]．
16．已知f(x)＝在區(qū)間[1，＋∞)上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．
解析 因為f(x)＝x－＋，所以f′(x)＝
10、1＋.
又f(x)在[1，＋∞)上是增函數(shù)，
所以當(dāng)x∈[1，＋∞)時，恒有f′(x)＝1＋≥0，
即a≥－x2，x∈[1，＋∞)．所以a≥－1.
故所求a的取值范圍是[－1，＋∞)．
17．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx，且f′(－1)＝0.
(1)試用含a 代數(shù)式表示b；
(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．
分析 可先求f′(x)，再由f′(－1)＝0，可得用含a的代數(shù)式表示b，這時f(x)中只含一個參數(shù)a，然后令f′(x)＝0，求得兩根，通過列表，求得f(x)的單調(diào)區(qū)間，并注意分類討論．
解析 (1)依題意，得f′(x)＝x2＋2ax＋b.
由f′(－1)＝0，得1－
11、2a＋b＝0.∴b＝2a－1.
(2)由(1)，得f(x)＝x3＋ax2＋(2a－1)x.
故f′(x)＝x2＋2ax＋2a－1＝(x＋1)(x＋2a－1)．
令f′(x)＝0，則x＝－1或x＝1－2a.
①當(dāng)a>1時，1－2a<－1.
當(dāng)x變化時，f′(x)與f(x)的變化情況如下表：
x
(－∞，1－2a)
(1－2a，－1)
(－1，＋∞)
f′(x)
＋
－
＋
f(x)
單調(diào)遞增
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
由此得，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1－2a，－1)．
②當(dāng)a＝1時，1－2a＝－1，此時f′(x)
12、≥0恒成立，且僅在x＝－1處f′(x)＝0，故函數(shù)
f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R.
③當(dāng)a<1時，1－2a>－1，同理可得函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間(－1，1－2a)．
綜上：當(dāng)a>1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，1－2a)和(－1，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(1－2a，－1)；
當(dāng)a＝1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為R；
當(dāng)a<1時，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－∞，－1)和(1－2a，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(－1,1－2a)．
?重點班選做題
18．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0且x≠1)．
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(
13、2)已知2>xa對任意x∈(0,1)成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解析 (1)f′(x)＝－.
若f′(x)＝0，則x＝.
當(dāng)f′(x)>0，即01時，f(x)為減函數(shù)．
所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)，
單調(diào)減區(qū)間為[，1)和(1，＋∞)．
(2)在2>xa兩邊取對數(shù)，得ln2>alnx.
由于0.①
由(1)的結(jié)果知：當(dāng)x∈(0,1)時，f(x)≤f()＝－e.
為使①式對所有x∈(0,1)成立，
當(dāng)且僅當(dāng)>－e，即a>－eln2.
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2014-2015學(xué)年下學(xué)期高二數(shù)學(xué) 課時作業(yè)7 （新人教A版選修2-2）
