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1、=Tm2六、磁場的高斯定理六、磁場的高斯定理1.1.磁通量磁通量定義：定義：(1) B為均勻場為均勻場 S面的磁通量：面的磁通量：SSn BB S (2) B為非均勻場為非均勻場BdB dS S面上的總通量：面上的總通量：BBsdB dS 當(dāng)當(dāng)S S為閉合曲面時：為閉合曲面時：0B 0B 對閉合面的法線方向規(guī)定：對閉合面的法線方向規(guī)定：自內(nèi)向外為法線的自內(nèi)向外為法線的正正方向。方向。 B的單位：的單位：韋伯韋伯 Wb通過磁場中任一給定面的磁感通過磁場中任一給定面的磁感應(yīng)線的總根數(shù)，就是該面的磁通量應(yīng)線的總根數(shù)，就是該面的磁通量 B。cosBS SBSdB2. 真空中穩(wěn)恒磁場的高斯定理真空中穩(wěn)恒

2、磁場的高斯定理(1) 磁場的高斯定理：磁場的高斯定理：意義：意義：穩(wěn)恒磁場是穩(wěn)恒磁場是無源場無源場 在任意磁場中，通過任意封閉曲面的在任意磁場中，通過任意封閉曲面的磁通量總等于零。磁通量總等于零。0d SSB不存在不存在“磁荷磁荷”( (磁單極子磁單極子) )磁通連續(xù)定理磁通連續(xù)定理 尋找磁單極子的實驗研究尋找磁單極子的實驗研究具有重要的理論意義。但至今具有重要的理論意義。但至今還沒發(fā)現(xiàn)磁單極子。還沒發(fā)現(xiàn)磁單極子。 迪拉克迪拉克（P. A. M. Dirac 1931）指出，已指出，已有的量子理論允許存在磁單極子。如果在實驗有的量子理論允許存在磁單極子。如果在實驗中找到了磁單極子，磁場的高斯定

3、理和整個電中找到了磁單極子，磁場的高斯定理和整個電磁理論就要作重大的修改。磁理論就要作重大的修改。 人們?nèi)匀徽J為：人們?nèi)匀徽J為：磁場是電磁場是電流或變化的電場產(chǎn)生的。流或變化的電場產(chǎn)生的。(2) 推論：推論： 穩(wěn)恒磁場的磁感應(yīng)線是連續(xù)的閉合曲線。穩(wěn)恒磁場的磁感應(yīng)線是連續(xù)的閉合曲線。即：在磁場的任何一點上磁感應(yīng)線即：在磁場的任何一點上磁感應(yīng)線 既不是起點也不是終點。既不是起點也不是終點。 磁場中以任一閉合曲線磁場中以任一閉合曲線L L為邊界的所有曲面為邊界的所有曲面的磁通量相等。的磁通量相等。LS1S2曲面曲面S1、S2均以均以L為邊界為邊界七、安培環(huán)路定理七、安培環(huán)路定理(Ampere Cir

4、cuit Theorem)1. 安培環(huán)路定理表述安培環(huán)路定理表述（見（見P255 ） 2. 安培環(huán)路定理數(shù)學(xué)表達式安培環(huán)路定理數(shù)學(xué)表達式 在磁感強度為在磁感強度為 的恒定磁場中，磁感應(yīng)的恒定磁場中，磁感應(yīng)強度沿任一閉合環(huán)路強度沿任一閉合環(huán)路L的線積分，等于穿過該的線積分，等于穿過該環(huán)路的所有電流的代數(shù)和的環(huán)路的所有電流的代數(shù)和的 0倍。倍。B iLIlBint0 d3. 安培環(huán)路定理的證明安培環(huán)路定理的證明（3 3）積分是對所取的）積分是對所取的安培環(huán)路的長度安培環(huán)路的長度積分。積分。 當(dāng)用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強度時，回當(dāng)用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強度時，回 路往往是根據(jù)載流體形狀、磁場的分布路往

5、往是根據(jù)載流體形狀、磁場的分布 特點（磁力線形狀）而選取的閉合曲線。特點（磁力線形狀）而選取的閉合曲線。（2 2） 必須是必須是回路內(nèi)包圍的、穿過回路回路內(nèi)包圍的、穿過回路( (與與回路相鉸鏈）回路相鉸鏈）的總電流的的總電流的代數(shù)和。代數(shù)和。（1 1）路內(nèi)總電流，路上總磁感。）路內(nèi)總電流，路上總磁感。intI討論討論 iLIlBint0 d（5）適用于）適用于穩(wěn)恒磁場穩(wěn)恒磁場（閉合恒定電流閉合恒定電流的磁場）的磁場）（4 4）I的正負規(guī)定：的正負規(guī)定： 1) 當(dāng)當(dāng)I與與L的環(huán)繞方向成右手關(guān)系時，的環(huán)繞方向成右手關(guān)系時，I0，反之，反之I00IL（6 6） 說明磁場為非保守場說明磁場為非保守場(

6、 (渦旋場渦旋場) )。 0d LlBIl dB04 靜電場環(huán)路定理：靜電場環(huán)路定理：靜電場高斯定理：靜電場高斯定理：4. 穩(wěn)恒磁場的性質(zhì)穩(wěn)恒磁場的性質(zhì)高斯定理：高斯定理：無源場無源場安培環(huán)路定理：安培環(huán)路定理：有旋場有旋場比較靜電場比較靜電場：有源場有源場無旋場無旋場 iLIlBint0 d )(01dSiSqSE 0d SSB 0l dE例例 設(shè)圖中兩導(dǎo)線的電流設(shè)圖中兩導(dǎo)線的電流 、 均為均為8A，對圖示，對圖示的三條閉合曲線的三條閉合曲線a、b、c分別寫出分別寫出安培環(huán)路定律安培環(huán)路定律等式右邊電流的代數(shù)和，并討論：等式右邊電流的代數(shù)和，并討論： 在各條閉合曲線上，各點的磁感應(yīng)強度在各條

7、閉合曲線上，各點的磁感應(yīng)強度B的的量值是否相等？量值是否相等？ 在閉合曲線在閉合曲線c上各點的上各點的B是否為零？為什么？是否為零？為什么？abcI12I2I1I答：不等答：不為零八、應(yīng)用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強度分布八、應(yīng)用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強度分布條件：條件： iLIlBint0 d2. 對于所選取的回路，要能夠保證回路上每一對于所選取的回路，要能夠保證回路上每一點的磁感應(yīng)強度點的磁感應(yīng)強度大小相等大小相等（或者有的地方等（或者有的地方等于零）。于零）。1. 對于所選取的閉合回路，要能夠保證回路上對于所選取的閉合回路，要能夠保證回路上每一點磁感應(yīng)強度的方向與回路切線每一點磁感應(yīng)強度的方向與

8、回路切線方向之方向之間的夾角相等間的夾角相等（或者有的地方等于（或者有的地方等于 /2）。）。例例 求無限長直導(dǎo)線電流求無限長直導(dǎo)線電流I的磁感應(yīng)強度分的磁感應(yīng)強度分布。布。例例 求無限長圓柱面電流的磁感應(yīng)強度分求無限長圓柱面電流的磁感應(yīng)強度分布。（圓柱面半徑布。（圓柱面半徑R，面上，面上沿軸向沿軸向均勻分均勻分布電流布電流I）注意：注意：用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強分布（任一用安培環(huán)路定理求磁感應(yīng)強分布（任一點磁感應(yīng)強度）時，注意點磁感應(yīng)強度）時，注意分區(qū)域分區(qū)域討論。以載流討論。以載流表面為界，如有表面為界，如有N個載流表面則有個載流表面則有N+1個區(qū)域。個區(qū)域。例例 求無限長圓柱體電流的磁感

9、應(yīng)強度分求無限長圓柱體電流的磁感應(yīng)強度分布。（圓柱體半徑布。（圓柱體半徑R，體內(nèi)，體內(nèi)沿軸向沿軸向均勻分均勻分布電流布電流I）例例 一無限長載流圓柱體，其上電流強度一無限長載流圓柱體，其上電流強度為為I1，方向沿軸線；圓柱體半徑為，方向沿軸線；圓柱體半徑為R1。此。此圓柱體外再罩一載流圓筒，其上電流強度圓柱體外再罩一載流圓筒，其上電流強度為為I2，方向與，方向與I1相反；圓柱面半徑為相反；圓柱面半徑為R2。求。求此載流系統(tǒng)的磁感應(yīng)強度分布。此載流系統(tǒng)的磁感應(yīng)強度分布。1I2I1R2R1I截面圖（俯視）截面圖（俯視）總結(jié)：總結(jié)： 能夠用安培環(huán)路定律計算磁感應(yīng)強度的第能夠用安培環(huán)路定律計算磁感應(yīng)強

10、度的第一種典型的載流體類型：一種典型的載流體類型：電流方向與軸平電流方向與軸平行行的的無限長柱形載流體（圓筒、圓柱、圓無限長柱形載流體（圓筒、圓柱、圓柱外套圓筒。）柱外套圓筒。）安培環(huán)路形狀：安培環(huán)路形狀： 以載流體的軸線為圓心、半徑以載流體的軸線為圓心、半徑 且所圍平面垂直軸的且所圍平面垂直軸的圓周圓周。r方向：方向： 圓周切線方向，圓周切線方向，且與電流成右手螺旋。且與電流成右手螺旋。2LB dlBr 解：解： 由于電流對稱分布，與環(huán)共軸由于電流對稱分布，與環(huán)共軸的圓周上，各點的圓周上，各點B大小相等，大小相等，方向沿圓周切線方向。方向沿圓周切線方向。取以取以o為中心，半徑為為中心，半徑為

11、r的圓周為的圓周為LIR1R2R. . . .or例例 求求通電螺繞環(huán)通電螺繞環(huán)（環(huán)形螺線管）的磁場分布。（環(huán)形螺線管）的磁場分布。例例 一無限大平面，有均勻分布的面電流，其橫截線的電一無限大平面，有均勻分布的面電流，其橫截線的電流線密度為流線密度為 i，求平面外一點，求平面外一點 B =？i. . . . . . . . .l d l d Bd Bd Bdabcd解：解：由對稱性可知由對稱性可知Bi 并且離板等距離處的并且離板等距離處的B大小相等。大小相等。過過P點取矩形回路點取矩形回路 abcdL其中其中ab、cd與板面等距離。與板面等距離。 cddabcabl dBl dBl dBl d

12、Bl dB00cdBabB abB 2 ioI 而而abio iBo 21 .PiiBo 0 BiB0 ii0 00Bdl+vqS載流粒子數(shù)載流粒子數(shù)九、運動電荷產(chǎn)生的磁場九、運動電荷產(chǎn)生的磁場204relIddBr 204redlvnqSr nqSvI nSdldN 204revdNqr 204revqdNdBBr 204revqBr 024rqVeBr 02sin4qVBr V qr 與與 的方向相反。的方向相反。大?。捍笮。悍较颍悍较颍号c與 的方向相同；的方向相同；0q B Vr 0q B Vr 是帶電粒子的運動速度是帶電粒子的運動速度。V 是速度與粒子到場點的矢徑之間的夾角是速度與粒子

13、到場點的矢徑之間的夾角。例例 （書（書P.252例例8.4 ）若把氫原子的基態(tài)電子）若把氫原子的基態(tài)電子 軌道看作是圓軌道，已知電子軌道半軌道看作是圓軌道，已知電子軌道半 徑徑 ，繞核運動速度，繞核運動速度 ，則氫原子基態(tài)電，則氫原子基態(tài)電 子在原子核處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度子在原子核處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度 的的 大小為大小為?100.53 10rm 62.2 10/Vm s B 02sin4qVBr)(5 .12T)2(例例 帶電帶電q的細圓環(huán)，半徑為的細圓環(huán)，半徑為R，繞垂直軸以繞垂直軸以角速度角速度旋轉(zhuǎn)，求中心處的旋轉(zhuǎn)，求中心處的B. .qRdqvdB解：在環(huán)上任取一小段，解：在環(huán)上任取一小段，

14、帶電帶電dq，把它看成一個運把它看成一個運動電荷，動電荷，解法二：把旋轉(zhuǎn)的細圓環(huán)看成圓形電流解法二：把旋轉(zhuǎn)的細圓環(huán)看成圓形電流, , 等效電流等效電流把旋轉(zhuǎn)帶電體看作圓形電流：把旋轉(zhuǎn)帶電體看作圓形電流：2qTqIqRdqvdB例例 一個塑性圓盤，半徑為一個塑性圓盤，半徑為R，圓盤表面均勻分布電，圓盤表面均勻分布電 荷荷q, 如果使該盤以角速度如果使該盤以角速度 繞其軸旋轉(zhuǎn)，試證：繞其軸旋轉(zhuǎn)，試證：(1)盤心處盤心處RqBo 2 (2)圓盤的磁偶極矩圓盤的磁偶極矩42qRPm Rrdr證：證：(1)將盤看成一系列的寬為將盤看成一系列的寬為dr的的圓環(huán)圓環(huán)構(gòu)成構(gòu)成rdIdBo2 每一環(huán)在中心產(chǎn)生的

15、磁場：每一環(huán)在中心產(chǎn)生的磁場：S1LE十、與變化電場相聯(lián)系的磁場十、與變化電場相聯(lián)系的磁場S2 穿過環(huán)路穿過環(huán)路L的電流可的電流可理解為：穿過以理解為：穿過以L為邊界為邊界的的任意形狀任意形狀曲面的電流。曲面的電流。 非恒定電流，安培非恒定電流，安培環(huán)路定理不適用。環(huán)路定理不適用。1.1.麥克斯韋假設(shè)：麥克斯韋假設(shè)：Ic-q+q“變化的電場激發(fā)磁場變化的電場激發(fā)磁場” LedtdrdB00 SdEdtd00 2.2.普遍的安培環(huán)路定理普遍的安培環(huán)路定理推廣到非恒定情況推廣到非恒定情況 LScStEjlBd dd d00 cjtE 0 Ls規(guī)定：規(guī)定：E的正向與的正向與L成右手螺旋成右手螺旋 c

16、LIlB0 dSdJc 0 Ledtdl dB00 SdEdtd00 通過電場中任一截面的通過電場中任一截面的位移電流位移電流就就等于通等于通過同一截面的過同一截面的電位移通量電位移通量對時間的變化率。對時間的變化率。SdJIcc 3.3.位移電流位移電流dI注意：注意：位移電流與傳導(dǎo)電流有諸多的不同，位移電流與傳導(dǎo)電流有諸多的不同， 但在產(chǎn)生磁場的效果方面完全一樣。但在產(chǎn)生磁場的效果方面完全一樣。傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流位移電流位移電流 SdEdtddtdIed00 SdDdtddtdIdd4.4.位移電流密度位移電流密度dJ 電場中任意一點的電場中任意一點的位移電流密度位移電流密度等于該點等于該點

17、電電位移矢量位移矢量對時間的變化率。對時間的變化率。注意：注意：（1）上式是一種點點對應(yīng)關(guān)系。）上式是一種點點對應(yīng)關(guān)系。tDtEJd 0 （2）電場中任意一點的位移電流密度方向電場中任意一點的位移電流密度方向是該點電位移矢量時間是該點電位移矢量時間變化率變化率的方向的方向。即：即：D隨時間增加隨時間增加:dJD與同向D隨時間減少隨時間減少:dJD與反向5.5.全電流全電流I SdJIIItEcdc 0 全電流總是連續(xù)的。全電流總是連續(xù)的。Il dBL0 推廣的安培環(huán)路定理推廣的安培環(huán)路定理例例 圖示為一圓柱體的橫截面，圓柱體內(nèi)圖示為一圓柱體的橫截面，圓柱體內(nèi)有一均勻電場有一均勻電場 ， 其方向垂直紙面向內(nèi)，其方向垂直紙面向內(nèi)， 的大小隨時間的大小隨時間 線性增加，線性增加， P為柱體內(nèi)與為柱體內(nèi)與軸線相距為軸線相距為 的一點，則的一點，則 P點的位移電流點的位移電流密度的方向為？密度的方向為？P點的感生磁場的方向為？點的感生磁場的方向為？E tr垂直紙面向里垂直紙面向里垂直連線向下垂直連線向下E PERI例例 求正在充電的圓形平行板電容器內(nèi)求正在充電的圓形平行板電容器內(nèi)外的磁場。外的磁場。EBLqq tqI BRr