《2.第十二章全等三角形能力培優(yōu)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2.第十二章全等三角形能力培優(yōu)（11頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第十二章 全等三角形 12.1全等三角形 12.2三角形全等的判定 1．如圖，BD是平行四邊形ABCD的對(duì)角線，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F． 求證：△ABE≌△CDF． 2．如圖，在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與B，C重合），F(xiàn)，E分別是AD及其延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，CF∥BE. 請(qǐng)你添加一個(gè)條件，使△BDE≌△CDF (不再添加其他線段，不再標(biāo)注或使用其他字母)，并給出證明． （1）你添加的條件是：__________； （2）證明： 3．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AB上，BD=BE，要使△ADB≌△C

2、EB，還需添加一個(gè)條件． （1）給出下列四個(gè)條件： ①AD=CE； ②AE=CD； ③∠BAC=∠BCA； ④∠ADB=∠CEB； 請(qǐng)你從中選出一個(gè)能使△ADB≌△CEB的條件，并給出證明； （2）在（1）中所給出的條件中，能使△ADB≌△CEB的還有哪些？直接在題后橫線上寫(xiě)出滿足題意的條件序號(hào)．__________________． 專(zhuān)題二 全等三角形的判定與性質(zhì) 4．如圖，已知△ABC中，∠ABC=45，AC=4，H是高AD和BE的交點(diǎn)，則線段BH的長(zhǎng)度為（ ） A． B．4 C． D．5 5．【2012襄陽(yáng)】如圖，在△ABC中，AB＝A

3、C，AD⊥BC于點(diǎn)D，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使AC與AB重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，AE的延長(zhǎng)線交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，EB的延長(zhǎng)線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N. 求證：AM＝AN. 6．【2012瀘州】如圖，△ABC是等邊三角形，D是AB邊上一點(diǎn)，以CD為邊作等邊三角形CDE，使點(diǎn)E、A在直線DC的同側(cè)，連接AE．求證：AE∥BC． 專(zhuān)題三 全等三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用 7．如圖，有兩個(gè)長(zhǎng)度相同的滑梯靠在一面墻上．已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長(zhǎng)度DF相等，則這兩個(gè)滑梯與地面夾角∠ABC與∠DFE的度數(shù)和是（ ）

4、 A．60 B．90 C．120 D．150 8．有一座小山，現(xiàn)要在小山A、B的兩端開(kāi)一條隧道，施工隊(duì)要知道A、B兩端的距離，于是先在平地上取一個(gè)能夠直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=CA，連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)，就是A、B兩端的距離，你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？ 9．已知如圖，要測(cè)量水池的寬AB，可過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥AB，再由點(diǎn)C觀測(cè)，在BA延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)B′，使∠ACB′=∠ACB，這時(shí)只要量出AB′的長(zhǎng)，就知道AB的長(zhǎng)，對(duì)嗎？為什么？ 狀元筆記 【知識(shí)要點(diǎn)

5、】 1．全等三角形 能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形． 2．全等三角形的性質(zhì) 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等． 3．三角形全等的判定方法 (1)三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊邊邊”或“SSS”)． (2)兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“邊角邊”或“SAS”)． (3)兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“角邊角”或“ASA”)． (4)兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“角角邊”或“AAS”)． 4．直角三角形全等的判定方法 斜邊和一條直角邊分別相

6、等的兩個(gè)直角三角形全等(簡(jiǎn)寫(xiě)成“斜邊、直角邊”或“HL”)． 【溫馨提示】 1．兩個(gè)三角形全等的條件中必須有一條邊分別相等，只有角分別相等不能證明兩個(gè)三角形全等． 2．有兩邊和其中一邊的對(duì)角分別相等的兩個(gè)三角形不一定全等． 3．“HL”定理指的是斜邊和一條直角邊分別相等，而不是斜邊和直角分別相等． 【方法技巧】 1．應(yīng)用全等三角形性質(zhì)解決問(wèn)題的前提是準(zhǔn)確地確定全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角，其規(guī)律主要有以下幾點(diǎn)： （1）以對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的角是對(duì)應(yīng)角； （2）對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的邊是對(duì)應(yīng)邊； （3）公共邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）； （4）對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角； （5）最大邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角

7、），最小邊（角）是對(duì)應(yīng)邊（角）． 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角能夠依據(jù)字母的對(duì)應(yīng)位置來(lái)確定，如若△ABC≌△DEF， 說(shuō)明A與D，B與E，C與F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，則∠ABC與∠DEF是對(duì)應(yīng)角，邊AC與邊DF是對(duì)應(yīng)邊． 2．判定兩個(gè)三角形全等的解題思路： 參考答案： 1．證明：平行四邊形ABCD中，AB=CD，∠A=∠C，AB∥CD， ∴∠ABD=∠CDB． ∵∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB，∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE與△CDF中， ∴△ABE≌△CDF． 2．解：（1）(或點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn))，，中任選一個(gè)即可﹒

8、 （2）以為例進(jìn)行證明： ∵CF∥BE， ∴∠FCD﹦∠EBD． 又∵，∠FDC=∠EDB， ∴△BDE≌△CDF． 3．解：（1）添加條件②，③，④中任一個(gè)即可，以添加②為例說(shuō)明． 證明：∵AE=CD，BE=BD， ∴AB=CB． 又∠ABD=∠CBE，BE=BD， ∴△ADB≌△CEB． （2）③④． 4．B 解析：∵∠ABC=45，AD⊥BC，∴AD=BD，∠ADC=∠BDH， ∠AHE=∠BHD=∠C．∴△ADC≌△BDH．∴BH=AC=4．故選B． 5．證明：如圖所示， ∵△AEB由△ADC旋轉(zhuǎn)而得，

9、 ∴△AEB≌△ADC. ∴∠3＝∠1，∠6＝∠C． ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠2＝∠1，∠7＝∠C. ∴∠3＝∠2，∠6＝∠7． ∵∠4＝∠5， ∴∠ABM＝∠ABN． 又∵AB＝AB， ∴△AMB≌△ANB． ∴AM＝AN． 6．證明：∵△ABC和△EDC是等邊三角形， ∴∠BCA＝∠DCE＝60． ∴∠BCA－∠ACD＝∠DCE－∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE． 在△DBC和△EAC中， BC＝AC，∠BCD＝∠ACE，DC＝EC， ∴△DBC≌△EAC（

10、SAS）． ∴∠DBC＝∠EAC． 又∵∠DBC＝∠ACB＝60， ∴∠ACB＝∠EAC． ∴AE∥BC． 7．B 解析：∵滑梯、墻、地面正好構(gòu)成直角三角形，又∵BC=EF，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF．∴∠ABC=∠DEF，∵∠DEF+∠DFE=90，∴∠ABC+∠DFE=90． 故選B． 8．解：在△ABC和△CED中， AC=CD，∠ACB=∠ECD，EC=BC， ∴△ABC≌△CED． ∴AB=ED． 即量出DE的長(zhǎng)，就是A、B兩端的距離． 9．解：對(duì)． 理由： ∵AC⊥AB, ∴∠CAB=∠CAB′=90. 在△A

11、BC和△AB′C中， ∴△ABC≌△AB′C（ASA）． ∴AB′=AB． 12.3 角的平分線的性質(zhì) 專(zhuān)題一 利用角的平分線的性質(zhì)解題 1．如圖，在△ABC中，AC=AB，D在BC上，若DF⊥AB，垂足為F，DG⊥AC，垂足為G，且DF=DG．求證：AD⊥BC. 2．如圖，已知CD⊥AB于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，BE，CD交于點(diǎn)O，且AO平分∠BAC． 求證：OB=OC． 3．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，，AD是∠BAC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC=3 cm，求BE的長(zhǎng)．

12、 專(zhuān)題二 角平分線的性質(zhì)在實(shí)際生活中的應(yīng)用 4．如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（　?。? A．在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處 B．在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處 C．在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處 D．在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處 5．如圖，要在河流的南邊，公路的左側(cè)M區(qū)處建一個(gè)工廠，位置選在到河流和公路的距離相等，并且到河流與公路交叉A處的距離為1cm（指圖上距離），則圖中工廠的位置應(yīng)在__________，理由是_

13、_________． 6．已知：有一塊三角形空地，若想在空地中找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到三邊的距離相等，試找出該點(diǎn)．（保留作圖痕跡） 狀元筆記 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．角的平分線的性質(zhì) 角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等． 2．角的平分線的判定 角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上． 【溫馨提示】 1．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，不是其他線段的交點(diǎn)． 2．到三角形三邊距離相等的點(diǎn)不僅有內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，還有相鄰兩外角的平分線的交點(diǎn)，這樣的點(diǎn)共有4個(gè)． 【方法技巧】 1．利用角的平分線的性質(zhì)解決問(wèn)題的關(guān)鍵

14、是：挖掘角的平分線上的一點(diǎn)到角兩邊的垂線段． 若已知條件存在兩條垂線段——直接考慮垂線段相等， 若已知條件存在一條垂線段——考慮通過(guò)作輔助線補(bǔ)出另一條垂線段， 若已知條件不存在垂線段——考慮通過(guò)作輔助線補(bǔ)出兩條垂線段． 2．利用角平分線的判定解決問(wèn)題的策略是：挖掘已知圖形中一點(diǎn)到角兩邊的垂線段． 若已知條件存在兩條垂線段——先證明兩條垂線段相等，然后說(shuō)明角平分線或角的關(guān)系； 若已知條件存在一條垂線段——考慮通過(guò)作輔助線補(bǔ)出另一條垂線段，再證明兩條垂線段相等； 若已知條件不存在垂線段——考慮通過(guò)作輔助線補(bǔ)出兩條垂線段后，證明兩條垂線段相等．

15、 參考答案: 1．證明：∵， ∴AD是的平分線， ∴． 在和中， ∴． ∴． 又∵，∴，∴． 2．證明：∵AO平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OD=OE， 在Rt△BDO和Rt△CEO中， ∴． ∴OB=OC． 3．解：∵∠C=90，∴∠BAC+∠B=90， 又DE⊥AB，∴∠C=∠AED=90， 又，∴∠A=60，∠B=30， 又∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC=DE， ∴cm． 在Rt△DAE和Rt△DBE中， ∴△DAE≌△DBE（AAS）， ∴ cm． 4．C 解析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在∠A、∠B兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．故選C． 5．∠A的角平分線上，且距A1cm處 角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等 6．解：作兩個(gè)角的平分線，交點(diǎn)P就是所求作的點(diǎn)．