《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第1章 復習點撥：宜用反證法證明的幾類命題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高中數學（北師大版）選修2-2教案：第1章 復習點撥：宜用反證法證明的幾類命題（3頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 宜用反證法證明的幾類命題 反證法是證明數學命題的一種重要方法，當直接證明思路受阻，難以成功時，反證法常使人茅塞頓開，柳暗花明．它通常用來證明下列幾類命題． 一、否定性命題 問題的結論是以否定形式出現（例如“沒有…”，“不是…”，“不存在…”等）的命題，宜用反證法． 例1　求證：是無理數． 分析：在實數集內，證它是無理數，即證它不是有理數． 證明：假設不是無理數，即為有理數，則設＝　，互質）從而　得，　 上式表明：偶數等于奇數，這與偶數不等于奇數矛盾，于是假設不成立． 故是無理數． 例2　證明：一個三角形中不可能有兩個直角． 分析：用三角形內角和為證一個三角形中不存在

2、兩個直角． 證明：假設一個三角形中有兩個直角．不妨設Ａ＝，Ｂ＝． ∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝＋＋Ｃ＝＋Ｃ＞ 這與三角形內角和定理矛盾．　∴　假設不成立，即原命題成立． 二、“至少”或“至多”類命題 若一個命題的結論是“至少…”或“至多…”，“不都…”則可考慮用反證法． 例3　已知、、、Ｒ，且＝2（＋） 求證：方程＋＋＝０和＋＋＝０中，至少有一個方程有實根． 分析：“至少有一個”是“有一個”、　“有兩個”，它的反面是“一個都沒有”． 證明：假設這兩個一元二次方程都沒有實根，那么他們的判別式都小于０，即： - 2 - / 3 　 　∴　　　∵＝２（＋）代入上式得 　　，即．這與“任何實數的平方為非負數”相矛盾，所以假設不成立． 故這兩方程中，至少有一個方程有實根． 三、唯一性命題 若一個命題的結論是“…唯一”的形式出現，則可考慮用反證法． 例4 求證：在一個平面內，過直線外一點P只能作出一條直線垂直于． 證明：假設過點Ｐ可以作兩條直線垂直于直線如圖，那么PAB＝PBA＝． 　　　　于是APB＋PAB＋PBA＞． 即PAB的內角和大于， 這與定理“三角形內角和等于”相矛盾， 故假設不成立． 希望對大家有所幫助，多謝您的瀏覽！