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【創(chuàng)新方案】年高考數(shù)學一輪復習 第十二篇 概率、隨機變量及其分布 方法技巧5 離散型隨機變量的應用教案 理 新人教版

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1、 方法技巧5 離散型隨機變量的應用 【考情快遞】 主要考查離散型隨機變量的分布列、期望與方差的應用,常以解答題形式出現(xiàn). 方法1:公式法 解題步驟 直接用公式計算離散型隨機變量的分布列、期望與方差. 適用情況 適用于可直接用公式求解的問題. 【例1】?(2012黃岡中學月考)某社區(qū)舉辦2010年上海世博會知識宣傳活動,并進行現(xiàn)場抽獎,抽獎規(guī)則是:盒中裝有10張大小相同的精美卡片,卡片上分別印有“世博會會徽”或“海寶”(世博會吉祥物)圖案,參加者每次從盒中抽取兩張卡片,若抽到兩張都是“海寶”卡即可獲獎. (1)活動開始后,一位參加者問:盒中有幾張“海寶”卡?主持人笑說:我只

2、知道若從盒中抽兩張都不是“海寶”卡的概率是.求抽獎者獲獎的概率; (2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四個人依次抽獎,抽后放回,另一個人再抽,用ξ表示獲獎的人數(shù),求ξ的分布列及E(ξ),D(ξ). 解 (1)設“世博會會徽”卡有n張, 由=,得n=6,故“海寶”卡有4張, 抽獎者獲獎的概率為=. (2)由題意知,符合二項分布,且ξ~B,故ξ的分布列為P(ξ=k)=Ck4-k(k=0,1,2,3,4)或 ξ 0 1 2 3 4 P 4 C3 C22 C3 4 由ξ的分布列知,E(ξ)=4=, D(ξ)=4=. 方法2:方程法 解題步驟 ① 利用題干條件列方程;

3、②利用方程計算概率問題. 適用情況 適用于基本事件的個數(shù)可以用集合理論來說明的問題. 【例2】?某工廠在試驗階段生產出了一種零件,該零件有A、B兩項技術指標需要檢測,設各項技術指標達標與否互不影響.若有且僅有一項技術指標達標的概率為,至少一項技術指標達標的概率為.按質量檢驗規(guī)定:兩項技術指標都達標的零件為合格品. (1)求一個零件經過檢測,為合格品的概率是多少? (2)依次任意抽出5個零件進行檢測,求其中至多3個零件是合格品的概率是多少? (3)依次任意抽取該零件4個,設ξ表示其中合格品的個數(shù),求Eξ與Dξ. 解 (1)設A、B兩項技術指標達標的概率分別為P1、P2,由題意得

4、: 解得或所以P=P1P2=, 即一個零件經過檢測,為合格品的概率為. (2)任意抽出5個零件進行檢測,其中至多3個零件是合格品的概率為1-C5-C5=. (3)依題意知ξ~B, 故E(ξ)=4=2,D(ξ)=4=1. 方法運用訓練5 1.(2011雅禮中學英特班質檢)A、B兩位同學各有五張卡片,現(xiàn)以投擲均勻硬幣的形式進行游戲,當出現(xiàn)正面朝上時A贏得B一張卡片,否則B贏得A一張卡片.規(guī)定擲硬幣的次數(shù)達9次時,或在此前某人已贏得所有卡片時游戲終止.設X表示游戲終止時擲硬幣的次數(shù). (1)求X的取值范圍; (2)求X的數(shù)學期望E(X). 解 (1)設正面出現(xiàn)的次數(shù)為m,反面出現(xiàn)

5、的次數(shù)為n, 則可得: 當m=5,n=0或m=0,n=5時,x=5. 當m=6,n=1或m=1,n=6時,X=7. 當m=7,n=2或m=2,n=7時,X=9. 所以X的所有可能取值為:5,7,9. (2)P(X=5)=25==; P(X=7)=2C7=; P(X=9)=1--=; E(X)=5+7+9=. 2.甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進行乒乓球比賽:第一局由甲、乙參加而丙輪空,以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進行比賽,而前一局的失敗者輪空,比賽按這種規(guī)則一直進行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止,設在每局中參賽者勝負的概率均為,且各局勝負相互獨立,求: (1)打滿3

6、局比賽還未停止的概率; (2)比賽停止時已打局數(shù)ξ的分布列與期望E(ξ). 解 令Ak,Bk,Ck分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝. (1)由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知,打滿3局比賽還未停止的概率為 P(A1C2B3)+P(B1C2A3)=+=. (2)ξ的所有可能值為2,3,4,5,6,且 P(ξ=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=+=, P(ξ=3)=P(A1C2C3)+P(B1C2C3)=+=, P(ξ=4)=P(A1C2B3B4)+P(B1C2A3A4) =+=, P(ξ=5)=P(A1C2B3A4A5)+P(B1C2A3B4B5)

7、=+=, P(ξ=6)=P(A1C2B3A4C5)+P(B1C2A3B4C5) =+=, 故有分布列 ξ 2 3 4 5 6 P 從而E(ξ)=2+3+4+5+6=(局). 3.在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中,規(guī)定每人最多投3次;在A處每投進一球得3分,在B處每投進一球得2分;如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃,否則投第三次,某同學在A處的命中率q1為0.25,在B處的命中率為q2,該同學選擇先在A處投一球,以后都在B處投,用ξ表示該同學投籃訓練結束后所得的總分,其分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 P

8、1 P2 P3 P4 (1)求q2的值; (2)求隨機變量ξ的數(shù)學期望E(ξ); (3)試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小. 解 (1)設該同學在A處投中為事件A, 在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立, 且P(A)=0.25,P()=0.75,P(B)=q2,P()=1-q2. 根據(jù)分布列知ξ=0時,P( )=P()P()P() =0.75(1-q2)2=0.03,所以1-q2=0.2,q2=0.8. (2)當ξ=2時,P1=P(B+ B)=P(B)+P( B) =P()P(B)P()+P()P()P(B) =

9、0.75q2(1-q2)2=1.5q2(1-q2)=0.24. 當ξ=3時,P2=P(A )=P(A)P()P()=0.25(1-q2)2=0.01, 當ξ=4時,P3=P(BB)=P()P(B)P(B)=0.75q=0.48, 當ξ=5時,P4=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) =P(A)P()P(B)+P(A)P(B)=0.25q2(1-q2)+0.25q2=0.24, 所以隨機變量ξ的分布列為 ξ 0 2 3 4 5 P 0.03 0.24 0.01 0.48 0.24 隨機變量ξ的數(shù)學期望 E(ξ)=00.03+20.24+30.01+40

10、.48+50.24=3.63. (3)該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為 P(BB+BB+BB)=P(BB)+P(BB)+P(BB) =2(1-q2)q+q=0.896; 該同學選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72. 由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大. 4.(2011效實中學1次月考)一個袋中裝有若干個大小相同的黑球,白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是. (1)若袋中共有10個球,①求白球的個數(shù);②從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的

11、數(shù)學期望E(ξ). (2)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于.并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少. (1)解?、儆洝皬拇腥我饷鰞蓚€球,至少得到一個白球”為事件A,設袋中白球的個數(shù)為x, 則P(A)=1-=,得到x=5.故白球有5個. ②隨機變量ξ的取值為0,1,2,3, 由于P(ξ=0)==,P(ξ=1)==, P(ξ=2)==,P(ξ=3)=, ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P ξ的數(shù)學期望E(ξ)=0+1+2+3=. (2)證明 設袋中有n個球,其中y個黑球, 由題意得y=n,由2y<n,2y≤n-1,所以≤. 記“從袋中任意摸出兩個球,至少有1個黑球”為事件B,則P(B)==+=+≤+=. 所以白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于n,紅球的個數(shù)少于.故袋中紅球個數(shù)最少. 6

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