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1、課 題
一元一次方程的應用問題
授課日期及時段
教學目的
1、掌握列方程解應用題的一般步驟;
2、掌握諸如行程問題、等積變形、調(diào)配問題、利率問題、工程問題這些常見的數(shù)量關(guān)系,列出方程。
教學內(nèi)容
一、問題解決:
(一)檢查并講評上次布置的作業(yè)
上次作業(yè)是關(guān)于一元一次方程的習題,包括一元一次方程的概念、簡單計算等,檢查學生完成情況,對作業(yè)進行講解。
(二)處理學生日校布置的作業(yè),講解疑難問題
查看學生日校作業(yè)完成質(zhì)量,對其錯題進行點撥,解決學生日校作業(yè)中的疑難問題。
二、知識點梳理:
(一
2、)一元一次方程的應用問題包括:
1、行程問題:(1)相遇問題: 快行距+慢行距=原距
(2)追及問題: 快行距-慢行距=原距
(3)航行問題:順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度
逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度
2、工程問題:工程問題的基本量有:工作量、工作效率、工作時間。關(guān)系式為:
①工作量=工作效率工作時間
②工作時間=
③工作效率=
3、利潤問題:利潤=100% 利息=本金利率期數(shù)
(二)一元一次方程解實際應用問題的一般步驟:
1、 審題:分析題意,找出題
3、中的數(shù)量關(guān)系及其關(guān)系;
2、 設(shè)元:選擇一個適當?shù)奈粗獢?shù)用字母表示(例如x);
3、 列方程:根據(jù)相等關(guān)系列出方程;
4、 解方程:求出未知數(shù)的值;
5、 檢驗:檢驗求得的值是否正確和符合實際情形,并寫出
三、例題講解:
考點1:一元一次方程在行程問題上的應用
例1:某隊伍450米長,以每分鐘90米速度前進,某人從排尾到排頭取東西后,立即返回排尾,速度為3米/秒。問往返共需多少時間?
解:這一問題實際上分為兩個過程:①從排尾到排頭的過程是一個追及過程,相當于最后一個人追上最前面的人;②從排頭回到排尾的過程則是一個相遇過程,相當于從排頭走到與排尾的人相遇。在追及過
4、程中,設(shè)追及的時間為x秒,隊伍行進(即排頭)速度為90米/分=1.5米/秒,則排頭行駛的路程為1.5x米;追及者的速度為3米/秒,則追及者行駛的路程為3x米。由追及問題中的相等關(guān)系“追趕者的路程-被追者的路程=原來相隔的路程”,有:3x-1.5x=450 ∴x=300 在相遇過程中,設(shè)相遇的時間為y秒,隊伍和返回的人速度未變,故排尾人行駛的路程為1.5y米,返回者行駛的路程為3y米,由相遇問題中的相等關(guān)系“甲行駛的路程+乙行駛的路程=總路程”有: 3y+1.5y=450 ∴y=100,故往返共需的時間為 x+y=300+100=400(秒)
答:往返時間共需要400秒
變式
5、:有一火車以每分鐘600米的速度要過完第一、第二兩座鐵橋,過第二鐵橋比過第一鐵橋需多5秒,又知第二鐵橋的長度比第一鐵橋長度的2倍短50米,試求各鐵橋的長.
解:設(shè)第一鐵橋的長為x米,那么第二鐵橋的長為(2x-50)米,過完第一鐵橋所需的時間為分.
則過完第二鐵橋所需的時間為分.
依題意,可列出方程
+=
解方程x+50=2x-50得x=100
∴2x-50=2100-50=150
答:第一鐵橋長100米,第二鐵橋長150米
考點2:一元一次方程在利潤問題上的應用
6、
例1:某家電商場計劃用9萬元從生產(chǎn)廠家購進50臺電視機.已知該廠家生產(chǎn)3種不同型號的電視機,出廠價分別為A種每臺1500元,B種每臺2100元,C種每臺2500元.
(1)若家電商場同時購進兩種不同型號的電視機共50臺,用去9萬元,請你研究一下商場的進貨方案.
(2)若商場銷售一臺A種電視機可獲利150元,銷售一臺B種電視機可獲利200元,銷售一臺C種電視機可獲利250元,在同時購進兩種不同型號的電視機方案中,為了使銷售時獲利最多,你選擇哪種方案?
解:按購A,B兩種,B,C兩種,A,C兩種電視機這三種方案分別計算,
設(shè)購A種電視機x臺,則B種電視機
7、y臺.
(1)①當選購A,B兩種電視機時,B種電視機購(50-x)臺,可得方程
1500x+2100(50-x)=90000
即5x+7(50-x)=300
2x=50
x=25
50-x=25
②當選購A,C兩種電視機時,C種電視機購(50-x)臺,
可得方程1500x+2500(50-x)=90000+5(50-x)=1800得 x=35 所以50-x=15
③當購B,C兩種電視機時,C種電視機為(50-y)臺.
可得方程2100y+2500(50-y)=90000
8、 21y+25(50-y)=900,4y=350,不合題意
由此可選擇兩種方案:一是購A,B兩種電視機25臺;二是購A種電視機35臺,C種電視機15臺.
(2)若選擇(1)中的方案①,可獲利
15025+25015=8750(元)
若選擇(1)中的方案②,可獲利
15035+25015=9000(元)
9000>8750
故為了獲利最多,選擇第二種方案.
變式:一牛奶制品廠現(xiàn)有鮮奶9噸,若在市場上直接銷售鮮奶,每噸可獲利500元;若將鮮奶制成奶粉銷售,每加工1噸鮮奶可獲利2000元;
9、若將鮮奶制成酸奶銷售,每加工1噸鮮奶可獲利1200元。該廠的生產(chǎn)能力是:若專門生產(chǎn)奶粉,則每天可用去鮮奶1噸;若專門生產(chǎn)酸奶,則每天可用去鮮奶3噸,由于受設(shè)備和人員的限制,奶粉和酸奶不能同時生產(chǎn),為保證生產(chǎn)質(zhì)量,這批鮮奶必須在不超過4天的時間內(nèi)全部銷售或加工完畢,請問:你能設(shè)計出哪幾種生產(chǎn)方案?哪種生產(chǎn)方案獲利最大,最大利潤是多少?
解:生產(chǎn)方案如下:
(1) 將9噸鮮奶全部制成酸奶,則可獲利12009=10800(元)。
(2) 4天內(nèi)全部生產(chǎn)奶粉,則有鮮奶得不到加工而浪費,且利潤僅為
20004=80000(元)
(3) 4天中,用x天生產(chǎn)酸奶,用(4-x)天生產(chǎn)奶
10、粉,并保證9噸鮮奶如期加工完畢。
由題意,得3x+(4-x)1=9
解得 x=2.5
∴4-X=1.5(天)
故在4天中,用2.5天生產(chǎn)酸奶,用1.5天生產(chǎn)奶粉,則2.531200+1.512000=12000(元)
答:第3種方案獲利最大,最大利潤為12000元。
考點3:一元一次方程在工程問題上的應用
例1:加工某種工件,甲單獨作要20天完成,乙只要10就能完成任務(wù),現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)。問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)?
解:將全部任務(wù)的工作量看作整體1,由甲、乙單獨完成的時間可知,甲的工作效率為,乙的工作效率為,設(shè)乙需工作
11、x 天,則甲再繼續(xù)加工(12-x)天,乙完成的工作量為,甲完成的工作量為,依題意有 +=1 ∴x =8
答:乙需要工作8天后再繼續(xù)加工才可以正好按期完成任務(wù)。
變式:一水池裝有甲、乙、丙三個水管,加、乙是進水管,丙是排水管,甲單獨開需10小時注滿一池水,乙單獨開需6小時注滿一池水,丙單獨開15小時放完一池水?,F(xiàn)在三管齊開,需多少時間注滿水池?
解:由題設(shè)可知,甲、乙、丙工作效率分別為、、-(進水管工作效率看作正數(shù),排水管效率則記為負數(shù)),設(shè)x小時可注滿水池,則甲、乙、丙的工作量分別為,、-,由三水管完成整體工作量1,有 +-=1 ∴ x = 5
答:需5小時注滿水池。
四、
12、隨堂練習:
練習1:汽車從A地到B地,若每小時行駛40km,就要晚到半小時:若每小時行駛45km,就可以 早到半小時。求A、B 兩地的距離。
分析:先出發(fā)后到、后出發(fā)先到、快者要早到慢者要晚到等問題,我們通常都稱其為“先后問題”。在這類問題中主要考慮時間量,考察兩者的時間關(guān)系,從相隔的時間上找出相等關(guān)系。
解:設(shè)A、B兩地的路程為x km,速度為40 km/小時,則時間為小時;速度為45 km/小時,則時間為小時,又早到與晚到之間相隔1小時,故有
- = 1 ∴ x = 360
練習2:收割一塊麥地,每小時割4畝,預計若干小時割完。收割了后,改用新式農(nóng)具收割,工
13、作效率提高到原來的1.5倍。因此比預計時間提前1小時完工。求這塊麥地有多少畝?
解:設(shè)麥地有x畝,即總工作量為x畝,改用新式工具前工作效率為4畝/小時,割完x畝預計時間為小時,收割畝工作時間為/4=小時;改用新式工具后,工作效率為1.54=6畝/小時,割完剩下畝時間為/6=小時,則實際用的時間為(+)小時,依題意“比預計時間提前1小時完工”有-(+)=1
∴ x =36
答:這塊麥地有36畝。
練習3:某商店先在廣州以每件15元的價格購進某種商品10件,后來又到深圳以每件12.5元的價格購進同樣商品40件。如果商店銷售這種商品時,要獲利12%,那么這種商品的銷售價應定多少?
解:設(shè)
14、銷售價每件x 元,銷售收入則為(10+40)x元,而成本(進價)為(510+4012.5),利潤率為12%,利潤為(510+4012.5)12%。由關(guān)系式①有
(10+40)x-(510+4012.5)=(510+4012.5)12%
∴x=14.56
答:這種商品的銷售價應該定14.56元。
五、課堂小結(jié):
這節(jié)課學習了哪些內(nèi)容呢?
1、如何利用一元一次方程解決實際生活中的行程問題;
2、如何利用一元一次方程解決實際生活中的利潤問題;
3、如何利用一元一次方程解決實際生活中的工程問題。
六、課后習題:
1、國家規(guī)定存款利息的納稅辦法是:利息稅=利
15、息20%,銀行一年定期儲蓄的年利率為1.98%,今年小剛?cè)〕鲆荒甑狡诘谋窘鸺袄r,繳納了3.96元利息稅,則小剛一年前存入銀行的錢為 .
2、某種商品因換季準備打折出售,如果按定價七五折出售,則賠25元,而按定價的九折出售將賺20元。問這種商品的定價是多少?
3、甲、乙兩人從相距為180千米的A,B兩地同時出發(fā),甲騎自行車,乙騎摩托車,沿同一條路線相向勻速行駛.已知甲的速度為15千米/時,乙的速度為45千米/時.經(jīng)過多少時間兩人相遇?
4、小明把壓歲錢按定期一年存入銀行.到期支取時,扣除利息稅后小明實得本利和為507.92元.問小明存入銀行的壓歲錢有多少元?
5
16、、 小明,小穎二人分別后,沿著鐵軌反向而行,此時,一列火車勻速地向小明迎面駛來,列車在小明身旁開過,用了15秒;然后在小穎身旁開過用了17秒.已知兩.人的步行速度都是3.6千米/4,時,問這列火車有多長?
6、某工廠現(xiàn)有某種原料庫存1200噸,可以用來生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品.每生產(chǎn)1噸A種產(chǎn)品需這種原料2噸,生產(chǎn)費用1000元;每生產(chǎn)1噸B種產(chǎn)品需這種原料2.5噸,生產(chǎn)費用900元.可用來生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的資金為53萬元.問A,B兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少噸才能使庫存原料和資金恰好用完?
答案:1、1000元 2、300元 3、3小時 4、500元 5、255米 6、A種產(chǎn)品生產(chǎn)350噸,B種產(chǎn)品生產(chǎn)200噸.