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1、 本科畢業(yè)論文 題目： 對動生電動勢與感生電動勢的探究 學院： 物理與電子科學學院 班級： XX級物理X班 姓名： XXX 指導教師： XXX 職稱： XXX 完成日期： XXXX 年 X 月 X 日 11 對動生電動勢與感生電動勢的探究

2、 XXX (XXXX大學物理與電子科學學院，XXXX XXXXX) 摘要:本文主要用變限積分函數(shù)求導法、通量法則和電動力學方法，通過對感應電動勢的形成進行了探究，證明了當動生電動勢和感生電動勢同時存在時，感應電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之和，其中動生電動勢和感生電動勢沒有交叉項，它們是相互獨立的。 關鍵詞: 動生電動勢；感生電動勢；變限積分函數(shù)；通量法則；電動力學方法 目錄 引言： 1 1 對動生電動勢與感生電動勢的簡單介紹 1 1.1 動生電動勢的來由及大小 1

3、1.2感生電動勢的來由及大小 3 2 變限函數(shù)求導法 5 3 電動力學方法 7 4 通量法則方法 8 結語 9 致謝 10 參考文獻 10 引言： 電磁感應一章是電磁學中的重要內(nèi)容，但在學習的過程中有許多容易混淆和疑惑的問題，如感應電動勢。感應電動勢看似是一個非常簡單的概念，根據(jù)楞次定律的法拉第定律表達式我們可以很容易的得到感應電動勢。大家知道: 當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時, 回路中就產(chǎn)生感應電動勢。按照磁通量變化原因的不同, 又有兩種情形: 一種是動生電動勢：磁場不隨時間變化，而閉合回路的整體或局部在運動中所產(chǎn)生的

4、感應電動勢；另一種為感生電動勢：閉合電路的任意一部分都不動而磁場隨時間變化所產(chǎn)生的感應電動勢。但是在一些復雜的問題中，如動生電動勢與感生電動勢同時存在時，很多人可能就會迷惑，有太多的不確定，一時下不了手。就比如說，能不能單獨把感生電動勢和動生電動勢先算出來，然后再進行簡單的相加呢？為了使更多的同學們在今后的學習中可以大膽的毫無顧忌的使用這一結論。本文就是通過用積分變量函數(shù)求導法、通量法則和電動力學方法，對感應電動勢的形成進行了深入的探究，證明了感應電動勢是動生電動勢和感生電動勢之和，其中動生電動勢和感生電動勢沒有交叉項，它們是相互獨立的。 1 對動生電動勢與感生電動勢的簡單介紹 法拉第定律

5、說明，只要閉合電路的磁通有變化就有感應電動勢，不問這種變化起于什么原因。按照磁通量變化原因的不同, 又有兩種情形: 一種是動生電動勢：磁場不隨時間變化，而閉合回路的整體或局部在運動中所產(chǎn)生的感應電動勢；另一種為感生電動勢：閉合電路的任意一部分都不動而磁場隨時間變化所產(chǎn)生的感應電動勢。 1.1 動生電動勢的來由及大小 如下圖1所示，一段直導線放在矩形導軌上，直導線與導軌保持良好接觸，勻強磁場B垂直向里穿過導軌。直導線相對于導軌以速度向右沿AD方向運動，導體棒內(nèi)每個自由電子也就具有隨棒一起運動的速度,因而每一個自由電子都受到洛倫磁力

6、 （1） 圖1 直導線在勻強磁場中運動 的作用, 這里- e為自由電子的電量, 由右手螺旋定則可知,導線中電子向下運動 ,在水平方向上不做功.但在洛倫茲力的作用下, 電子相對于棒以速度沿著導體棒由D向C運動,的方向與的方向相同, 對自由電子做了正功.自由電子在C端聚積,使C端帶負電,而D端則出現(xiàn)了過剩的正電荷,D端電勢高于C端電勢, 建立起由D端指向C端的靜電場E,該靜電場又使電子受到電場力，方向由C端指向D端,與方向相反,隨著棒兩端電荷增多,靜電場逐漸增強,也逐漸增大,當時,

7、就達到了平衡狀態(tài),D、C兩端之間有穩(wěn)定的電勢差,運動的導體棒就相當于一個電源,D端為正極,C端為負極,D、C兩端之間的電勢差就是電源的電動勢,此電動勢是由于導體棒在磁場中運動而產(chǎn)生的,因而稱為動生電動勢。 我們可以判定，導線中電子向下運動的速度為，電子在向下運動的同時也要隨導體棒向右運動，因此電子運動的合速度為 （2） 若與速度對應的洛倫茲力為,方向沿直導線向下。與對應的洛倫茲力為，方向垂直導線向左。則總的洛倫茲力為

8、 （3） 下面來計算直導線中的動生電動勢.非靜電力： （4） 對應的非靜電場： （5） 由此可得，直導線中的動生電動勢為： （6） 在上式中，因為速度方向為沿著導線方向向下,()的方向總是垂直于,所以(6)式中的第2項積分值應為0,即： （7） 將(7)式代入(6)式得: （8） 通過上面的推導我們得出了直導線中產(chǎn)生的動生電動勢為 （9

9、） 通過上式我們可以看到動生電動勢的大小只與導線的運動速度有關,而與電子沿導線方向向下運動的速度無關。 由于總洛倫茲力與受力電荷的總速度垂直，即在動生電動勢的產(chǎn)生過程中洛倫茲力并沒有做功。從上面的討論我們可以看到，與導體棒運動速度對應的洛倫茲力分力方向豎直向下。力對電子做正功,并使電子沿導線作定向運動,其定向運動速度為,從而可以看出：是力做功產(chǎn)生了動生電動勢，即力為動生電動勢產(chǎn)生的原因。而與電子在導線中的運動速度對應的洛倫茲力對電子做負功,我們可以判斷出：力處處與導線垂直，所以導線中所有電子受到的力之合力在宏觀上表現(xiàn)為導線所受的安培力,它對電子沿導線的運動不起作用，即對動生電動勢的產(chǎn)生沒有

10、貢獻。所以,雖然洛倫茲力對運動電荷不做功,但是其分力是可以做功的，而這正好就是動生電動勢產(chǎn)生的原因。 1.2感生電動勢的來由及大小 當線圈不動而磁場隨時間變化時，線圈的磁通也會變化，由此引起的感應電動勢叫做感生電動勢。根據(jù)法拉第電磁感應定律： （10） 感生電動勢是由變化的磁場本身引起的。變化的磁場在其周圍也會激發(fā)一種電場, 叫做感應電場或渦旋電場。產(chǎn)生感生電動勢的非靜電力正是這一渦旋電場。 在物理學中，一般有兩種電場：一種是由電荷分布按庫侖定律激發(fā)的電場，稱為庫侖電場；另一種是由時變磁場激發(fā)的電場

11、，稱為感生電場。一般情況下，空間中既有電荷又有時變磁場，因而既有庫侖電場，又有感生電場。若以、及分別代表庫侖電場、感生電場及總電場，那么就有 =+ （11） 現(xiàn)在討論，首先肯定一點，就是不可能對任意閉合曲線都為零，否則就違背法拉第定律。與動生電動勢相應的非靜電力是洛倫茲力，與感生電動勢相應的非靜電力是感生電場力。單位電荷在閉合電路中移動一周時非靜電力的功等于電動勢，故有 （12） 其中是穿過這個閉合電路的磁通，由磁通的概念的

12、 （13） （14） 上式右邊對曲面的積分和對時間的積分交換次序，即 （15） 上式就是沿任一閉曲線的環(huán)流的表達式。由此可以得到 （16） 上面我們分別對動生電動勢和感生電動勢的由來和大小進行了分析。我們知道了當只有動生電動勢或者是感生電動勢時它們大小的計算。那么當兩種同時存在時又該如何計算呢？下面我們將通過不同的方法對總的電動勢的計算進行深入的討論。 2 變限函數(shù)求導法 法拉第定律說明，只要閉合電路的磁通有變化就有感應電動勢。如圖2所示，

13、 圖2 閉合回路在磁場中的運動 設閉合回路L在磁場中運動或變形，ｔ時刻包圍的面積為．在時刻，回路所包圍的面積在磁場，包圍的面積的法向與的繞向滿足右手螺旋法則．則回路中產(chǎn)生的感應電動勢為 （17） 方程（17）中求極限的第一項可寫為 （18） 其中，是線圈運動和形變而變化了的面積．將上式（18）代入方程（17）后并把相同面積的積分合并，有 （19） 方程（19）中第一項又可寫為 （20） 方程（19）中第二項又可寫為

14、 （21） 將（20）和（21）代入（19）式，就可以得到 （22） 由矢量形式知，（22）的第一項為 由于磁場為無源場，所以上式等于0。于是感應電動勢就變?yōu)? （23） 在閉合回路上取微元長，方向與的繞行方向相同． 在時間內(nèi)掃過的面元，這里是線圈上運動的速度，方程（23）的第二項可化為 這就是動生電動勢。 當時，方程（23）的第一項就為在位置處時刻的感生電動勢。感應電動勢的表達式可化為， 如上，通過用變限積分函數(shù)求導的方法，論證了感應電動勢等于感生電動勢和動生電動勢的代數(shù)和。

15、 3 電動力學方法 將由導體構成的回路以速度在變化的磁場中運動，磁感應強度對時間的全導數(shù)為： （24） 由矢量恒等式： （25） 設速度，磁場。則 （26） 再根據(jù)速度是一個無散無旋的矢量，則有 （27） 又有磁場的無源性和無旋性，得 （28） 所以 （29） 所以磁場的全導數(shù)為

16、 （30） 兩邊積分得 （31） 又有 （32） 從上式可以看出，感應電動勢仍然為動生電動勢與感生電動勢之和，并且兩項無交叉分別獨立。 4 通量法則方法 圖3 回路包圍的面積通過的磁通量 如圖3所示，磁場中假想有一閉合回路以恒速運動，時刻回路包圍面積，其中的方向與的繞行方向遵從右手法則。 磁感應強度矢量為，在時回路運動到，包圍面積為,磁感應強度矢量變?yōu)?。由法拉第?/p>

17、磁感應定律回路產(chǎn)生的總電動勢為 （33） 在圖中上取線元，它隨回路一起運動，在內(nèi)將掃過一個側面積元 （34） 為回路從到時掃過的總側面積。在這個過程中形成的閉合面 =++ （35） 1） 當時將在時刻泰勒展開，只取一次項的 （36） 2） 由高斯定理的通過閉合曲面的磁通量為0 （38） 由上面討論可知磁場變化和回路運動兩個使磁通量變化

18、的因素同時存在時，二者并無相互影響?？偟母袘妱觿菔歉猩妱觿莺蛣由妱觿葜?。兩者沒有交叉項，非靜電場強就是洛淪茲力場與渦旋電場之和。 結語 本文主要是針對當感生電動勢和動生電動勢同時存在時，對感應電動勢究竟等于什么展開的討論，并且很成功的用變限積分函數(shù)求導法、通量法則和電動力學方法，證明了當動生電動勢和感生電動勢同時存在時，感應電動勢等于動生電動勢和感生電動勢之和，其中動生電動勢和感生電動勢沒有交叉項，它們是相互獨立的。這為很多學生消除了迷惑，使在今后的學習中可以毫無顧忌的大膽的運用這一結論。 致謝 在本論文的完成過程中XXX老師對我進行了熱情細致的指導，在此謹致謝意。 參考文獻

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