高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修44
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1、6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3
2、3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 第二章第二章 參數(shù)方程參數(shù)方程 復(fù) 習(xí) 課 整合網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建 警示易錯(cuò)提醒 1參數(shù)方程化為普通方程的易錯(cuò)點(diǎn) 將參數(shù)方程化為普通方程時(shí), 很容易改變變量的取值范圍, 從而使得兩種方程所表示的曲線(xiàn)不一致 2圓錐曲線(xiàn)中的三點(diǎn)注意事項(xiàng) (1)注意不要將橢圓方程中的參數(shù)的幾何意義與圓的方程中的參數(shù)的幾何意義相混淆 (2)把圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程時(shí)注意變量x(或y)的變化 (3)利用參數(shù)方程的參數(shù)求軌跡方程時(shí),注意參數(shù)的特殊取值 3關(guān)注
3、直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)t具有幾何意義的前提條件 t具有幾何意義的前提條件是直線(xiàn)參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式 4圓的漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的兩個(gè)易錯(cuò)點(diǎn) (1)對(duì)圓的漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的概念理解不透導(dǎo)致錯(cuò)誤 (2)弄不清圓的漸開(kāi)線(xiàn)和擺線(xiàn)的參數(shù)方程導(dǎo)致錯(cuò)誤. 專(zhuān)題一 求曲線(xiàn)的參數(shù)方程 用參數(shù)方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程, 其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量, 使動(dòng)點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān),從而得到動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程,然后再消去參數(shù),化為普通方程如果6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D
4、 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 動(dòng)點(diǎn)軌跡與直線(xiàn)、圓、圓
5、錐曲線(xiàn)等有關(guān),那么通常取直線(xiàn)、圓、圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程中的參數(shù)作為中間變量 例 1 過(guò)點(diǎn)P(2,0)作直線(xiàn)l與圓x2y21 交于A、B兩點(diǎn),設(shè)A、B的中點(diǎn)為M,求M的軌跡的參數(shù)方程 解:設(shè)M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),直線(xiàn)l的方程為xty2. 由xty2,x2y21,消去x得(1t2)y24ty30. 所以y1y24t1t2,得y2t1t2. xty22t21t2221t2, 由(4t)212(1t2)0,得t23. 所以M的軌跡的參數(shù)方程為x21t2,y2t1t2(t為參數(shù)且t23) 歸納升華 求曲線(xiàn)參數(shù)方程的五步 1建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,設(shè)曲線(xiàn)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo); 2寫(xiě)出適
6、合條件的點(diǎn)M的集合; 3選擇適當(dāng)?shù)膮?shù),用參數(shù)及坐標(biāo)表示集合,列出方程; 4將方程化為最簡(jiǎn)形式; 5證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn) 注意:最后一步可以省略,但一定要注意所求的方程所表示的點(diǎn)是否都在曲線(xiàn)上,要注意那些特殊的點(diǎn) 變式訓(xùn)練 以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,已知點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,5),點(diǎn)C的極坐標(biāo)為4,2,若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P,且傾斜角為3,圓C的半徑為4. (1)求直線(xiàn)l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程 (2)試判斷直線(xiàn)l與圓C的位置關(guān)系 解:(1)直線(xiàn)l的參數(shù)方程為 x1tcos3,y5tsin 3(t為參數(shù)), 6 E D B C 3 1 9 1 F 2
7、 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6
8、 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 即x112t,y532(t為參數(shù)) 由題知C點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,4),圓C的半徑為 4, 所以圓C的方程為x2(y4)216, 將xcos ,ysin 代入,得圓C的極坐標(biāo)方程為8sin . (2)由題意得,直線(xiàn)l的普通方程為 3xy5 30, 圓心C到l的距離為d|45 3|29 324, 所以直線(xiàn)l與圓C相離 專(zhuān)題二 參數(shù)方程及其應(yīng)用 (1)求直線(xiàn)的參數(shù)方程,根據(jù)參數(shù)方程參數(shù)的幾何意義,求直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的距離,求直線(xiàn)的傾斜角,判斷兩直線(xiàn)的位置關(guān)系;根據(jù)已知條件求圓的參
9、數(shù)方程,根據(jù)圓的參數(shù)方程解決與圓有關(guān)的最值、位置關(guān)系等問(wèn)題 (2)能根據(jù)條件求橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)的參數(shù)方程,并利用圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程解最值、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系等問(wèn)題 例 2 已知曲線(xiàn)C1:x2cos ,y2sin (為參數(shù)),曲線(xiàn)C2:x1tcos ,y1tsin (t為參數(shù)) (1)若4,求曲線(xiàn)C2的普通方程,并說(shuō)明它表示什么曲線(xiàn); (2)曲線(xiàn)C1和曲線(xiàn)C2的交點(diǎn)分別記為M,N,求|MN|的最小值 解:(1)因?yàn)?,所以x122t,y122t(t為參數(shù)), 所以x1y1, 所以曲線(xiàn)C2的普通方程是yx2,它表示過(guò)點(diǎn)(1,1),傾斜角為4的直線(xiàn) (2)曲線(xiàn)C1的普通方程為x2y24,
10、將x1tcos ,y1tsin (t為參數(shù))代入x2y24 中得(1tcos )2(1tcos )24, 所以t22(cos sin )t20, 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1
11、 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 設(shè)t1,t2為方程的兩個(gè)根,則有 |MN|t1t2| (t1t2)24t1t2 4(cos sin )28 124sin 2, 所以當(dāng) sin 21 時(shí),|MN|的最小值為 2 2. 歸納升華 1曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程的基本方法是消參,可以通過(guò)加減消參法、平方消參法等進(jìn)行,解題中要
12、注意參數(shù)方程與普通方程的等價(jià)性 2把曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程,可把要解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問(wèn)題加以解決,是解決參數(shù)方程問(wèn)題的一個(gè)重要指導(dǎo)思想 3求圓錐曲線(xiàn)或圓上的點(diǎn)到某點(diǎn)或者某條直線(xiàn)的距離的最值時(shí),使用參數(shù)方程可以把問(wèn)題化為求三角函數(shù)的最值問(wèn)題 4直線(xiàn)的參數(shù)方程的應(yīng)用非常廣泛,可用來(lái)解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí), 利用直線(xiàn)參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義, 可以避免通過(guò)解方程組求交點(diǎn)坐標(biāo)等煩瑣運(yùn)算,使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化直線(xiàn)的參數(shù)方程有多種形式,但只有標(biāo)準(zhǔn)形式才具有明確的幾何意義 變式訓(xùn)練 直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P0(4,0),它的參數(shù)方程為x432t,y12t(t為參數(shù)),與圓x2y27 相
13、交于A,B兩點(diǎn) (1)求弦長(zhǎng)|AB|; (2)過(guò)P0作圓的切線(xiàn),求切線(xiàn)長(zhǎng) 解:將直線(xiàn)l的參數(shù)方程代入圓的方程, 得432t212t27, 整理得t24 3t90. (1)設(shè)A和B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1和t2, 由根與系數(shù)的關(guān)系得t1t24 3,t1t29. 故|AB|t2t1| (t1t2)24t1t22 3. (2)設(shè)圓過(guò)P0的切線(xiàn)為P0T,T在圓上, 則|P0T|2|P0A|P0B|t1t2|9, 所以切線(xiàn)長(zhǎng)|P0T|3. 專(zhuān)題三 極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程的綜合應(yīng)用 把極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程綜合起來(lái)考查的頻率較高,??疾闃O坐標(biāo)方程、參數(shù)方程、普6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5
14、 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D
15、 B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 通方程的相互轉(zhuǎn)化 一般是將所給的方程化為較熟悉的普通方程, 然后根據(jù)曲線(xiàn)性質(zhì)去解決問(wèn)題在高考中選擇題、填空題和解答題都有可能出現(xiàn) 例 3 已知直線(xiàn)l:x532t,y 312t(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程為2cos . (1)將曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)設(shè)點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(5, 3),直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C的交點(diǎn)為A,B,求|MA|MB|的值 解:(1)2cos 等價(jià)于22cos . 將2x2y2,cos x代入22c
16、os 即得曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x0. (2)將x532t,y 312t(t為參數(shù))代入x2y22x0, 得t25 3t180. 設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根分別為t1,t2,則由參數(shù)t的幾何意義即知,|MA|MB|t1t2|18. 歸納升華 1先把曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,曲線(xiàn)的參數(shù)方程化為普通方程,然后使用熟悉的解析幾何知識(shí)解決問(wèn)題, 再根據(jù)題目的要求進(jìn)行變換來(lái)求解結(jié)果, 最后得出符合題目要求的結(jié)論 2參數(shù)方程中一個(gè)確定的參數(shù)值對(duì)應(yīng)著曲線(xiàn)上一個(gè)確定的點(diǎn),在由參數(shù)方程求曲線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),也可以先通過(guò)方程組求出參數(shù)值,再根據(jù)參數(shù)值得出交點(diǎn)坐標(biāo) 3解題時(shí)如果涉及求直線(xiàn)被曲線(xiàn)截得的線(xiàn)段的長(zhǎng)
17、度或者直線(xiàn)上的點(diǎn)與曲線(xiàn)交點(diǎn)之間線(xiàn)段長(zhǎng)度的和、乘積等問(wèn)題時(shí),可以利用直線(xiàn)的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義加以解決 變式訓(xùn)練 (2017全國(guó)卷)在直角坐標(biāo)系xOy中, 直線(xiàn)l1的參數(shù)方程為x2t,ykt(t為參數(shù)),直線(xiàn)l2的參數(shù)方程為x2m,ymk(m為參數(shù))設(shè)l1與l2的交點(diǎn)為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡為曲線(xiàn)C. (1)寫(xiě)出C的普通方程; (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3:(cos sin )6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1
18、D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 20,M為l3與
19、C的交點(diǎn),求M的極徑 解:(1)直線(xiàn)l1的普通方程為yk(x2), 直線(xiàn)l2的普通方程為x2ky,消去k得x2y24(y0),即C的普通方程為x2y24(y0) (2)l3化為普通方程為xy 2. 聯(lián)立xy 2,x2y24,得x322,y22. 所以2x2y2184245. 所以l3與C的交點(diǎn)M的極徑為 5. 專(zhuān)題四 數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中重要的思想之一,利用數(shù)形結(jié)合思想解題具有直觀性、靈活性、深刻性的特點(diǎn),并跨越各知識(shí)點(diǎn)的界線(xiàn),有較強(qiáng)的綜合性加強(qiáng)這方面的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練是打好基礎(chǔ)、鞏固知識(shí)、提高能力的一個(gè)重要環(huán)節(jié) 例 4 已知拋物線(xiàn)的參數(shù)方程為x2pt2,y2pt(t為參數(shù)),其中p0
20、,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為l.過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M作l的垂線(xiàn),垂足為E.若|EF|MF|,點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是 3,則p_ 解析:將x2pt2,y2pt,(t為參數(shù))消參得y22px,則拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為Fp2,0 ,準(zhǔn)線(xiàn)為直線(xiàn)xp2. 將x3 代入y22px得y 6p. 如圖,不妨令M的坐標(biāo)為(3, 6p),所以Ep2, 6p. 因?yàn)閨EF|MF|,所以 p2p22( 6p)2 p232( 6p)2, 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3
21、 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 6 E D B C 3 1 9 1 F 2 3 5 1 D D 8 1 5 F F 3 3 D 4 4 3 5 F 3 7 5 化簡(jiǎn)得p24p120,因?yàn)閜0,所以p2. 答
22、案:2 歸納升華 1化參數(shù)方程為普通方程,由幾何性質(zhì)確定拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線(xiàn)方程 2根據(jù)兩點(diǎn)距離的定義,得關(guān)于p的方程,從而求得p值,再結(jié)合拋物線(xiàn)的圖象,確定p的范圍,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用 變式訓(xùn)練 在直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的參數(shù)方程為xacos ,ybsin (為參數(shù),ab0)在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)O為極點(diǎn),以x軸正半軸為極軸)中,直線(xiàn)l與圓O的極坐標(biāo)方程分別為sin422m(m為非零常數(shù))與b.若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)橢圓C的焦點(diǎn),且與圓O相切,則橢圓C的離心率為_(kāi) 解析: 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2y2b21(ab0), 由sin422m得22(sin cos )22m,即直線(xiàn)方程為xym0.由b,得2b2,即x2y2b2,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2y2b2.因?yàn)橹本€(xiàn)xym0 過(guò)橢圓的焦點(diǎn), 代入得mc, 直線(xiàn)xym0 與圓x2y2b2相切,則|m|2b,即|m| 2b.所以c 2b,解得a 3b,所以離心率eca2b3b63. 答案:63
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