《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例教師用書(shū) 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例教師用書(shū) 理（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量的應(yīng)用舉例 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； 2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系； 3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算； 4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系； 5.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題； 6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題。 2016，全國(guó)卷Ⅰ，13,5分(向量的幾何意義) 2016，全國(guó)卷Ⅱ，3,5分(向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算) 2016，全國(guó)卷Ⅲ，3,5分(向

2、量夾角問(wèn)題) 2016，天津卷，7,5分(向量的數(shù)量積和線性運(yùn)算) 2015，全國(guó)卷Ⅰ，15,5分(向量的數(shù)量積運(yùn)算) 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以向量的長(zhǎng)度、夾角及數(shù)量積為主，以向量數(shù)量積的運(yùn)算為載體，綜合三角函數(shù)、解析幾何等知識(shí)進(jìn)行考查，是一種新的趨勢(shì)，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)予以關(guān)注。以客觀題為主，有時(shí)出現(xiàn)在解答題中。分值5～12分。 微知識(shí)　小題練 自|主|排|查 1．平面向量的數(shù)量積 (1)向量的夾角 ①定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角。 ②范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0≤θ≤180。 ③共線與垂直：若θ＝0，則a與b同向共線；若θ

3、＝180，則a與b反向共線；若θ＝90，則a與b垂直。 (2)平面向量的數(shù)量積 ①定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab，即ab＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0a＝0。 ②幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。 2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角。 ①數(shù)量積：ab＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2。 ②模：|a|＝＝。 ③夾角：cosθ＝＝。 ④兩非零向量

4、a⊥b的充要條件：ab＝0?x1x2＋y1y2＝0。 ⑤|ab|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤ 。 3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba(交換律)。 (2)λab＝λ(ab)＝a(λb)(結(jié)合律)。 (3)(a＋b)c＝ac＋bc(分配律)。 微點(diǎn)提醒 1．a(chǎn)在b方向上的投影與b在a方向上的投影不是一個(gè)概念，要加以區(qū)別。 2．對(duì)于兩個(gè)非零向量a與b，由于當(dāng)θ＝0時(shí)，ab>0，所以ab>0是兩個(gè)向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件；ab＝0也不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍b＝0時(shí)，有可能a⊥b。 3．在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，若a，b∈R

5、，則|ab|＝|a||b|；若ab＝ac(a≠0)，則b＝c。但對(duì)于向量a，b卻有|ab|≤|a||b|；若ab＝ac(a≠0)，則b＝c不一定成立，原因是ab＝|a||b|cosθ，當(dāng)cosθ＝0時(shí)，b與c不一定相等。 4．向量數(shù)量積的運(yùn)算不滿足乘法結(jié)合律，即(ab)c不一定等于a(bc)，這是由于(ab)c表示一個(gè)與c共線的向量，而a(bc)表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線。 小|題|快|練 一 、走進(jìn)教材 1．(必修4P107例6改編)已知|a|＝2，|b|＝4，ab＝4，則a與b的夾角θ＝________。 【解析】　因?yàn)閍b＝|a||b|cosθ， 所以cosθ

6、＝＝＝， 又因?yàn)?≤θ≤180，故θ＝30。 【答案】　30 2．(必修4P105例4改編)已知a＝(1,2)，b＝(3,4)，若a＋kb與a－kb互相垂直，則實(shí)數(shù)k＝________。 【解析】　由已知a＝(1,2)，b＝(3,4)， 若互相垂直，則(a＋kb)(a－kb)＝0， 即a2－k2b2＝0， 即5－25k2＝0，即k2＝， 所以k＝。 【答案】　 二、雙基查驗(yàn) 1．下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) ①若ab＝0，則a⊥b； ②若ab＝bc，且b≠0，則a＝c； ③(ab)c＝a(bc)； ④(ab)2＝a2b2。 A．4個(gè)　　　 B．2個(gè)　　　

7、 C．0個(gè)　　　 D．3個(gè) 【解析】　ab＝0時(shí)，a⊥b，或a＝0，或b＝0。故①命題錯(cuò)。 ∵ab＝bc，∴b(a－c)＝0。 又∵b≠0，∴a＝c，或b⊥(a－c)。故②命題錯(cuò)誤。 ∵ab與bc都是實(shí)數(shù)，故(ab)c是與c共線的向量，a(bc)是與a共線的向量， ∴(ab)c不一定與a(bc)相等。故③命題不正確。 ∵(ab)2＝(|a||b|cosθ)2＝|a|2|b|2cos2θ≤|a|2|b|2＝a2b2。故④命題不正確。故選C。 【答案】　C 2．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝，則＝(　　) A．－ B．－ C. D. 【解析】　在△AB

8、C中， cos∠BAC＝＝＝， ∴＝||||cos∠BAC＝32＝。故選D。 【答案】　D 3．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b與a垂直，則λ＝(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 【解析】　λa＋b＝(λ＋4，－3λ－2)。 ∵λa＋b與a垂直， ∴(λa＋b)a＝10λ＋10＝0。∴λ＝－1。故選A。 【答案】　A 4．已知單位向量e1，e2的夾角為α，且cosα＝，若向量a＝3e1－2e2，則|a|＝________。 【解析】　∵|a|2＝aa＝(3e1－2e2)(3e1－2e2) ＝9|e1|2－12e1e2＋4|

9、e2|2＝9－1211＋4＝9 ∴|a|＝3。 【答案】　3 5．(2016大連模擬)若a，b滿足|a|＝，a(a＋b)＝1，|b|＝1，則a，b的夾角為_(kāi)_______。 【解析】　因?yàn)閨a|＝， 所以a(a＋b)＝a2＋ab＝2＋ab＝1， 即ab＝－1。 設(shè)a，b的夾角為θ， 則cosθ＝＝＝－。 因?yàn)棣取蔥0，π]， 所以θ＝π。 【答案】　π  第一課時(shí)　平面向量的數(shù)量積 微考點(diǎn)　大課堂 考點(diǎn)一 平面向量數(shù)量積運(yùn)算 【典例1】　(1)已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，則a在b上的投影為(　　) A.　　 B.　　 C.　　 D

10、. (2)(2016天津高考)已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)D，E分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得DE＝2EF，則的值為(　　) A．－ B. C. D. 【解析】　(1)|a|cosθ＝＝＝＝。故選C。 (2)如圖，設(shè)＝m，＝n。根據(jù)已知得，＝m，所以＝＋＝m＋n，＝m－n， ＝(m－n)＝m2－n2－mn＝－－＝。故選B。 【答案】　(1)C　(2)B 反思?xì)w納　1.當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即ab＝|a||b|cosθ。 2．當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab

11、＝x1x2＋y1y2。 【變式訓(xùn)練】　(1)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4。若點(diǎn)M，N滿足＝3，＝2，則＝(　　) A．20 B．15 C．9 D．6 (2)(2016蚌埠模擬)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)。的最大值為_(kāi)_______。 【解析】　(1)在平行四邊形ABCD內(nèi)，易得， ＝＋，＝－， 所以＝ ＝ ＝＝36－16＝12－3＝9。故選C。 (2)如圖所示，以AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系， 設(shè)E(t,0)，0≤t≤1，則D(0,1)，C(1,1)，＝(t，－1)，＝(1,0)，所以＝t≤1。

12、 【答案】　(1)C　(2)1 考點(diǎn)二 平面向量的模與夾角問(wèn)題 【典例2】　(1)(2017長(zhǎng)沙模擬)已知向量a＝(1,2)，ab＝5，|a－b|＝2，則|b|等于(　　) A. B．2 C．5 D．25 (2)(2016東北三校聯(lián)考)已知向量a，b的夾角為60，且|a|＝2，|b|＝1，則向量a與向量a＋2b的夾角等于(　　) A．150 B．90 C．60 D．30 【解析】　(1)由a＝(1,2)，可得a2＝|a|2＝12＋22＝5。 因?yàn)閨a－b|＝2， 所以a2－2ab＋b2＝20， 所以5－25＋b2＝20， 所以b2＝25，所以|

13、b|＝5。故選C。 (2)解法一：由于a(a＋2b)＝a2＋2ab＝|a|2＋2|a||b|cos60＝4＋22＝6，|a＋2b|＝＝＝＝2，所以cos〈a，a＋2b〉＝＝＝，所以〈a，a＋2b〉＝30。故選D。 解法二：∵|a＋2b|2＝4＋4＋4ab＝8＋8cos60＝12， ∴|a＋2b|＝2， ∴a(a＋2b)＝|a||a＋2b|cosθ ＝22cosθ＝4cosθ。 又a(a＋2b)＝a2＋2ab＝4＋4cos60＝6， ∴4cosθ＝6，cosθ＝，θ∈[0，180]， ∴θ＝30。故選D。 【答案】　(1)C　(2)D 反思?xì)w納　1.平面向量夾角的求法 若a

14、，b為非零向量，則由平面向量的數(shù)量積公式得cosθ＝(夾角公式)，所以平面向量的數(shù)量積可以用來(lái)解決有關(guān)角度的問(wèn)題。 2．平面向量的模的解題方法 (1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永脇a|＝。 (2)若向量a，b是非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝aa，或|ab|2＝(ab)2＝a22ab＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解。 【變式訓(xùn)練】　(1)(2016全國(guó)卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30 B．45 C．60 D．120 (2)(2016衡水中學(xué)二調(diào))已知單位向量a，b，若ab＝0，且|c

15、－a|＋|c－2b|＝，則|c＋2a|的取值范圍是(　　) A．[1,3] B．[2，3] C. D. 【解析】　(1)由兩向量的夾角公式，可得cos∠ABC＝＝＝，則∠ABC＝30。故選A。 (2)不妨設(shè)a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，所以c－a＝(x－1，y)，c－2b＝(x，y－2)，所以＋＝，即(x，y)到A(1,0)和B(0,2)的距離和為，即表示點(diǎn)(1,0)和 (0,2)之間的線段，|c＋2a|＝，表示(－2，0)到線段AB上點(diǎn)的距離，最小值是點(diǎn)(－2，0)到直線2x＋y－2＝0的距離，|c＋2a|min＝＝，最大值為(－2,0)到(1,0)的距離是

16、3，所以|c＋2a|的取值范圍是。故選D。 【答案】　(1)A　(2)D 考點(diǎn)三 平面向量的垂直問(wèn)題 【典例3】　(1)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝(　　) A．－ B．0 C．3 D. (2)已知向量與的夾角為120，且||＝3，||＝2。若＝λ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為_(kāi)_______。 【解析】　(1)因?yàn)?a－3b＝(2k－3，－6)，(2a－3b)⊥c，所以(2a－3b)c＝2(2k－3)－6＝0，解得k＝3。故選C。 (2)＝－，由于⊥， 所以＝0， 即(λ＋)(－) ＝－λ2＋2＋

17、(λ－1) ＝－9λ＋4＋(λ－1)32＝0，λ＝。 【答案】　(1)C　(2) 【變式訓(xùn)練】　△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．|b|＝1 B．a(chǎn)⊥b C．a(chǎn)b＝1 D．(4a＋b)⊥ 【解析】　因?yàn)椋剑?2a＋b)－2a＝b， 所以|b|＝2，故A錯(cuò)誤； 由于＝2a(2a＋b)＝4|a|2＋2ab＝22＝2， 所以2ab＝2－4|a|2＝－2， 所以ab＝－1，故B，C錯(cuò)誤； 又因?yàn)?4a＋b)＝(4a＋b)b＝4ab＋|b|2＝412＋4＝0， 所以(4a＋b)⊥。故選D。 【答案

18、】　D  微考場(chǎng)　新提升 1．(2016全國(guó)卷Ⅱ)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝(　　) A．－8　　　 B．－6　　　 C．6　　　 D．8 解析　由向量的坐標(biāo)運(yùn)算得a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b，得(a＋b)b＝12－2(m－2)＝0，解得m＝8，故選D。 答案　D 2．(2017衡水模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，那么|4a－b|＝(　　) A．2 B．6 C．2 D．12 解析　|4a－b|2＝16a2＋b2－8ab＝161＋4－812cos＝12。∴|4a－b|＝2。故選C。

19、 答案　C 3．(2016成都模擬)△ABC中，點(diǎn)M在線段AC上，點(diǎn)P在線段BM上，且滿足＝＝2，若||＝2，||＝3，∠BAC＝90，則的值為(　　) A．1 B．－ C. D．－ 解析　由題知＝－，＝－＝－，＝＋＝＋＝＋， ＝(－)＝－2＋2－＝－＋2＝－。故選B。 答案　B 4．(2016合肥聯(lián)考)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為60，則a＋b在a方向上的投影為_(kāi)_______。 解析　∵|a＋b|2＝a2＋b2＋2ab＝1＋4＋212＝7，∴|a＋b|＝，cos〈a＋b，a〉＝＝＝?！郺＋b在a方向上的投影為|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝＝2。

20、 答案　2 5．在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足||＝1，則|＋＋|的取值范圍是________。 解析　設(shè)D(x，y)，則(x－3)2＋y2＝1，＋＋＝(x－1，y＋)，故|＋＋|＝，|＋＋|的最大值即為圓(x－3)2＋y2＝1上的點(diǎn)到點(diǎn)(1，－)距離的最大值，其最大值為圓(x－3)2＋y2＝1的圓心到點(diǎn)(1，－)的距離加上圓的半徑，即＋1＝＋1，最小值為－1＝－1，故取值范圍為[－1，＋1]。 答案　[－1，＋1] 第二課時(shí)　平面向量的應(yīng)用 微考點(diǎn)　大課堂 考點(diǎn)一 平面向量在函數(shù)、不等式中的應(yīng)用 【典例

21、1】　已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且對(duì)一切實(shí)數(shù)x，|a＋xb|≥|a＋b|恒成立，則a，b的夾角的大小為_(kāi)_______。 【解析】　由題意得|a＋xb|≥|a＋b|?a2＋2xab＋x2b2≥a2＋2ab＋b2?x2＋2abx－1－2ab≥0， 所以Δ＝4(ab)2－4(－1－2ab)≤0?(ab＋1)2≤0，所以ab＝－1，cos〈a，b〉＝＝－，即a與b的夾角為。 【答案】　π 反思?xì)w納　平面向量溝通了幾何與代數(shù)、函數(shù)、不等式的相關(guān)知識(shí)如：函數(shù)單調(diào)性、奇偶性、不等式的解法、不等式的證明、不等式的恒成立等問(wèn)題必然會(huì)與平面向量相關(guān)聯(lián)，以考查學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力。

22、【變式訓(xùn)練】　(1)已知單位向量a，b，滿足a⊥b，則函數(shù)f(x)＝(xa＋2b)2(x∈R)(　　) A．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) B．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù) C．是偶函數(shù) D．是奇函數(shù) (2)設(shè)e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2(a>0，b>0)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是(　　) A．2　　　　　　　　 B．4 C．6 D．8 【解析】　(1)因?yàn)閱挝幌蛄縜，b，滿足a⊥b，所以ab＝0，所以f(x)＝(xa＋2b)2＝x2＋4xab＋4＝x2＋4。又f(－x)＝(－x)2＋4＝x2＋4＝f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶

23、函數(shù)。故選C。 (2)因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以(a－1)(－2)＝1b，所以2a＋b＝2。因?yàn)閍>0，b>0，所以＋＝＝2＋＋≥2＋2 ＝4(當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝1時(shí)取等號(hào))。故選B。 【答案】　(1)C　(2)B 考點(diǎn)二 平面向量在平面幾何中的應(yīng)用……母題發(fā)散 【典例2】　已知O是平面上的一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的(　　) A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心 【解析】　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根據(jù)平行四邊形法則，知＋是△ABC的中線AD(D為B

24、C的中點(diǎn))所對(duì)應(yīng)向量的2倍，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的重心。故選C。 【答案】　C 【母題變式】　在本典例中，若動(dòng)點(diǎn)P滿足＝＋λ，λ∈(0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的________。 【解析】　由條件，得－＝λ，即＝λ，而和分別表示與，同向的單位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以點(diǎn)P的軌跡必過(guò)△ABC的內(nèi)心。 【答案】　內(nèi)心 反思?xì)w納　解決向量與平面幾何綜合問(wèn)題，可先利用基向量或坐標(biāo)系建立向量與平面圖形的聯(lián)系，然后通過(guò)向量運(yùn)算研究幾何元素之間的關(guān)系。 【拓展變式】　如圖，Rt△ABC中，∠C＝90，其內(nèi)切圓切AC邊于D點(diǎn)，O為圓心。若||＝

25、2||＝2，則＝________。 【解析】　以CA所在的直線為x軸，CB所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(分別以射線CA、CB的方向?yàn)閤軸、y軸的正方向)，則C(0,0)，O(1,1)，A(3,0)。 設(shè)直角三角形的內(nèi)切圓與AB邊切于點(diǎn)E，與CB邊切于點(diǎn)F，則由圓的切線長(zhǎng)定理可得BE＝BF，AD＝AE＝2，設(shè)BE＝BF＝x，在Rt△ABC中，有CB2＋CA2＝AB2，即(x＋1)2＋9＝(x＋2)2，解得x＝3，故B(0,4)。 ∴＝(1，－3)(－3,0)＝－3。 【答案】?。? 考點(diǎn)三 平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用……多維探究 角度一：平面向量在三角函數(shù)圖象

26、與性質(zhì)中的應(yīng)用 【典例3】　已知函數(shù)f(x)＝sinωx(ω>0)的部分圖象如圖所示，A，B分別是這部分圖象上的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若＝0，則函數(shù)f(x＋1)是(　　) A．周期為4的奇函數(shù) B．周期為4的偶函數(shù) C．周期為2π的奇函數(shù) D．周期為2π的偶函數(shù) 【解析】　由題圖可得A，B，由＝0得－3＝0，又ω>0，∴ω＝， ∴f(x)＝sinx， ∴f(x＋1)＝sin＝cosx，它是周期為4的偶函數(shù)。故選B。 【答案】　B 角度二：平面向量在解三角形中的應(yīng)用 【典例4】　(2016山西四校聯(lián)考)已知在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量m＝(

27、sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，mn＝sin2C。 (1)求角C的大?。? (2)若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且(－)＝18，求c邊的長(zhǎng)。 【解析】　(1)mn＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)， 對(duì)于△ABC，A＋B＝π－C,0

28、cosC＝18，ab＝36。 由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝(a＋b)2－3ab， ∴c2＝4c2－336，c2＝36， ∴c＝6。 【答案】　(1)　(2)6 反思?xì)w納　1.解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決。 2．還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí)。 【變式訓(xùn)練】　(1)若函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且＝0(O為坐

29、標(biāo)原點(diǎn))，則A等于(　　) A. B.π C.π D.π (2)在△ABC中，(＋)＝||2，則△ABC的形狀一定是(　　) A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解析】　(1)由題意知M，N，又＝π－A2＝0， ∴A＝π。故選B。 (2)由(＋)＝||2， 得(＋－)＝0， 即(＋＋)＝0,2＝0， ∴⊥，∴A＝90。 又根據(jù)已知條件不能得到||＝||， 故△ABC一定是直角三角形。故選C。 【答案】　(1)B　(2)C 考點(diǎn)四 平面向量在解析幾何中的應(yīng)用 【典例5】　過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的

30、焦點(diǎn)F的直線l與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為A，與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上的射影為C，若＝，＝48，則拋物線的方程為(　　) A．y2＝8x B．y2＝4x C．y2＝16x D．y2＝4x 【解析】　如圖，＝?F為線段AB的中點(diǎn)，∵AF＝AC，∴∠ABC＝30，由＝48得BC＝4，則AC＝4?！嘤芍形痪€性質(zhì)有p＝AC＝2，故拋物線的方程為y2＝4x。故選B。 【答案】　B 反思?xì)w納　向量在解析幾何中的應(yīng)用： 1．載體作用：向量在解析幾何問(wèn)題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解

31、決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問(wèn)題。 2．工具作用：利用數(shù)量積與共線定理可解決垂直、平行問(wèn)題。特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對(duì)于解決解析幾何中的垂直、平行問(wèn)題是一種比較可行的方法。 【變式訓(xùn)練】　已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x＝8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQ⊥l，垂足為Q，且＝0。 (1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)若EF為圓N：x2＋(y－1)2＝1的任一條直徑，求的最值。 【解析】　(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)。 由＝0，得||2－||2＝0， 即(x－2)2＋y2－(x－8)2＝0，化簡(jiǎn)得＋＝1。 所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為＋＝1。 (2)＝(

32、－)(－)＝(－－)(－)＝2－2＝2－1， P是橢圓＋＝1上的任一點(diǎn)，設(shè)P(x0，y0)， 則有＋＝1，即x＝16－，又N(0,1)， 所以2＝x＋(y0－1)2＝－y－2y0＋17 ＝－(y0＋3)2＋20。 因?yàn)閥0∈[－2，2]，所以當(dāng)y0＝－3時(shí)，2取得最大值20，故的最大值為19； 當(dāng)y0＝2時(shí)，2取得最小值為13－4(此時(shí)x0＝0)，故的最小值為12－4。 【答案】　(1)＋＝1 (2)最大值為19，最小值為12－4 微考場(chǎng)　新提升 1．已知向量a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)，則|a－b|的最大值為(　　) A．1 B. C. D．

33、2 解析　∵a＝(1，sinθ)，b＝(1，cosθ)， ∴a－b＝(0，sinθ－cosθ)， ∴|a－b|＝＝。 ∴|a－b|的最大值為。故選B。 答案　B 2．設(shè)a，b是非零向量，若函數(shù)f(x)＝(xa＋b)(a－xb)的圖象是一條直線，則必有(　　) A．a(chǎn)⊥b B．a(chǎn)∥b C．|a|＝|b| D．|a|≠|(zhì)b| 解析　f(x)＝－(ab)x2＋(a2－b2)x＋ab。 依題意知f(x)的圖象是一條直線， ∴ab＝0，即a⊥b。故選A。 答案　A 3．(2016郴州質(zhì)檢)已知△ABC的外心P滿足＝(＋)，則cosA＝(　　) A. B. C．－

34、 D. 解析　取BC的中點(diǎn)D，連接AD，PD，則＝＋＝(＋)＋， 又＝(＋)， 所以＝(＋)。 由＝(＋)(－)＝0， 得||＝||。又＝2，所以P又是重心，所以△ABC是等邊三角形，所以cosA＝cos60＝。故選A。 答案　A 4．(2017唐山模擬)過(guò)點(diǎn)A(3,1)的直線l與圓C：x2＋y2－4y－1＝0相切于點(diǎn)B，則＝________。 解析　由x2＋(y－2)2＝5，可知圓心C(0,2)，半徑r＝，所以|AC|＝＝，所以|AB|＝＝，所以∠ACB＝45，所以＝cos45＝5。 答案　5 5．在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC＝BC＝1，＝x＋y，且x＋y＝1。

35、若函數(shù)f(m)＝|－m|(m∈R)的最小值為，則||的最小值為_(kāi)_______。 解析　由＝x＋y，且x＋y＝1，可知A，O，B三點(diǎn)共線，所以||的最小值為AB邊上的高，又AC＝BC＝1，即O為AB的中點(diǎn)，且函數(shù)f(m)＝|－m|的最小值為， 即點(diǎn)A到BC邊的距離為。又AC＝1，所以∠ACB＝120，從而可得||的最小值為。 答案　 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375