《高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式學(xué)案 新人教A版必修4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式學(xué)案 新人教A版必修4（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.1.3　二倍角的正弦、余弦、正切公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.能利用兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．(重點)2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明．(難點)3.熟悉兩角和與差的正切公式的常見變形，并能靈活應(yīng)用．(易錯點) [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 記法 公式 S2α sin 2α＝2sin_αcos_α C2α cos 2α＝cos2α－sin2α T2α tan 2α＝ 2．余弦的二倍角公式的變形 3．正弦的二倍角公式的變形 (1)sin αcos α＝sin 2α，cos α＝. (2)1

2、sin 2α＝(sin_αcos_α)2. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．(　　) (2)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(　　) (3)對于任意的角α，cos 2α＝2cos α都不成立．(　　) [解析]　(1).二倍角的正弦、余弦公式對任意角都是適用的，而二倍角的正切公式，要求α≠＋kπ(k∈Z)且α≠＋kπ(k∈Z)，故此說法錯誤． (2)√.當(dāng)α＝kπ(k∈Z)時，sin 2α＝2sin α. (3).當(dāng)cos α＝時，cos 2α＝2cos α. [答案]　(1)　(2)√　(3) 2．sin 1

3、5cos 15＝________. 　[sin 15cos 15＝2sin 15cos 15＝sin 30＝.] 3．－cos2＝________. －　[－cos2＝－＝－－＝－.] 4．若tan θ＝2則tan 2θ＝________. －　[tan 2θ＝＝＝－.] [合 作 探 究攻 重 難] 給角求值 　(1)coscoscos的值為(　　) A．　　 B．－ C． D．－ (2)求下列各式的值： ①cos415－sin415；②1－2sin275；③； ④－. 【導(dǎo)學(xué)號：84352329】 (1)D　[(1)∵cos＝－cos，cos＝－cos，

4、 ∴coscoscos＝coscoscos＝＝＝＝＝－. (2)①cos415－sin415＝(cos215－sin215)(cos215＋sin215)＝cos215－sin215＝cos 30＝. ②1－2sin275＝1－(1－cos 150)＝cos 150＝－cos 30＝－. ③＝2 ＝2＝－2. ④－＝ ＝ ＝ ＝＝4.] [規(guī)律方法]　對于給角求值問題，一般有兩類： (1)直接正用、逆用二倍角公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系對已知式子進行轉(zhuǎn)化，一般可以化為特殊角. (2)若形式為幾個非特殊角的三角函數(shù)式相乘，則一般逆用二倍角的正弦公式，在求解過

5、程中，需利用互余關(guān)系配湊出應(yīng)用二倍角公式的條件，使得問題出現(xiàn)可以連用二倍角的正弦公式的形式. [跟蹤訓(xùn)練] 1．求下列各式的值 (1)cos 72cos 36； (2)＋. [解]　(1)cos 36cos 72＝＝＝＝. (2)原式＝ ＝ ＝＝＝4. 給值求值、求角問題 　(1)已知cos＝，≤α＜，求cos的值； (2)已知α∈，且sin 2α＝sin，求α. [思路探究]　依據(jù)以下角的關(guān)系設(shè)計解題思路求解： (1)α＋與2α＋，α－與2α－具有2倍關(guān)系，用二倍角公式聯(lián)系； (2)2α＋與2α差，用誘導(dǎo)公式聯(lián)系． [解]　(1)∵≤α＜，∴≤α＋＜. ∵

6、cos＞0，∴＜α＋＜， ∴sin＝－＝－＝－， ∴cos 2α＝sin＝2sincos＝2＝－， sin 2α＝－cos＝1－2cos2＝1－22＝， ∴cos＝cos 2α－sin 2α＝－＝－. (2)∵sin 2α＝－cos＝－ ＝1－2cos2， sin＝－sin ＝－cos ＝－cos， ∴原式可化為1－2cos2 ＝－cos， 解得cos＝1或cos＝－. ∵α∈， ∴α＋∈， 故α＋＝0或α＋＝， 即α＝－或α＝. 母題探究：1.在例2(1)的條件下，求sin 4α的值． [解]　由例2(1)解析知sin 4α＝2sin 2αcos 2α＝2

7、＝－. 2．將例2(1)的條件改為sin＝，0＜x＜，求的值． [解]　∵0＜x＜，∴－x∈. 又sin＝， ∴cos＝. 又cos 2x＝sin ＝2sincos ＝2＝， cos ＝sin ＝sin＝， ∴原式＝＝. [規(guī)律方法]　解決條件求值問題的方法 (1)有方向地將已知式或未知式化簡，使關(guān)系明朗化；尋找角之間的關(guān)系，看是否適合相關(guān)公式的使用，注意常見角的變換和角之間的二倍關(guān)系. (2)當(dāng)遇到\f(π,4)x這樣的角時可利用互余角的關(guān)系和誘導(dǎo)公式，將條件與結(jié)論溝通. cos 2x＝sin 類似的變換還有： 化簡證明問題 [探究問題]

8、 1．解答化簡證明問題時，如果遇到既有“切”，又有“弦”的情況，通常要如何處理？ 提示：通常要切化弦后再進行變形． 2．證明三角恒等式時，通常的證明方向是什么？ 提示：由復(fù)雜一側(cè)向簡單一側(cè)推導(dǎo)． 　(1)化簡：＋＝________. (2)證明：＝－4. [思路探究]　(1)通分變形． (2)→→ (1)－tan 2θ　[(1)原式＝＝＝－＝－tan 2θ. (2)左邊＝ ＝ ＝＝ ＝－4＝右邊，所以原等式成立．] [規(guī)律方法]　證明三角恒等式的原則與步驟 (1)觀察恒等式兩端的結(jié)構(gòu)形式，處理原則是從復(fù)雜到簡單，高次降低，復(fù)角化單角，如果兩端都比較復(fù)雜，就將兩端

9、都化簡，即采用“兩頭湊”的思想. (2)證明恒等式的一般步驟： ①先觀察，找出角、函數(shù)名稱、式子結(jié)構(gòu)等方面的差異； ②本著“復(fù)角化單角”“異名化同名”“變換式子結(jié)構(gòu)”“變量集中”等原則，設(shè)法消除差異，達到證明的目的. [跟蹤訓(xùn)練] 2．求證：(1)cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B； (2)cos2θ(1－tan2θ)＝cos 2θ. [證明]　(1)左邊＝－ ＝ ＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B) ＝cos 2Acos 2B＝右邊， ∴等式成立． (2)法一：左邊＝

10、cos2θ ＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ＝右邊． 法二：右邊＝cos 2θ＝cos2θ－sin2θ ＝cos2θ＝cos2θ(1－tan2θ)＝左邊． [當(dāng) 堂 達 標(biāo)固 雙 基] 1．下列各式中，值為的是(　　) A．2sin 15cos 15　　　 B．cos215－sin215 C．2sin215 D．sin215＋cos215 B　[2sin 15cos 15＝sin 30＝；cos215－sin215＝cos 30＝；2sin215＝1－cos 30＝1－；sin215＋cos215＝1，故選B.] 2．(2018全國卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝2cos2x－

11、sin2x＋2，則(　　) A．f(x)的最小正周期為π，最大值為3 B．f(x)的最小正周期為π，最大值為4 C．f(x)的最小正周期為2π，最大值為3 D．f(x)的最小正周期為2π，最大值為4 B　[易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝(2cos2x－1)＋＋1＝cos 2x＋，則f(x)的最小正周期為π，當(dāng)x＝kπ(k∈Z)時，f(x)取得最大值，最大值為4.] 3．若sin α＝3cos α，則＝________. 6　[＝＝＝＝6.] 4．設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________. 　[∵sin 2α＝－s

12、in α， ∴2sin αcos α＝－sin α. 由α∈知sin α≠0， ∴cos α＝－，∴α＝， ∴tan 2α＝tan＝tan＝.] 5．已知＜α＜π，cos α＝－. (1)求tan α的值； (2)求sin 2α＋cos 2α的值． [解]　(1)因為cos α＝－，＜α＜π， 所以sin α＝， 所以tan α＝＝－. (2)因為sin 2α＝2sin αcos α＝－， cos 2α＝2cos2α－1＝， 所以sin 2α＋cos 2α＝－＋＝－. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375