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高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第3節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性練習(xí) 新人教A版

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1、 第二章 第3 節(jié) 函數(shù)的奇偶性與周期性 1.(導(dǎo)學(xué)號14577113)(2018長春市二模)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又在(0,+∞)單調(diào)遞增的函數(shù)是(  ) A.y=ex+e-x       B.y=ln(|x|+1) C.y= D.y=x- 解析:D [選項A、B中的函數(shù)為偶函數(shù);選項C中的函數(shù)雖然是奇函數(shù),但是在(0,+∞)上不是單調(diào)遞增函數(shù).故選D.] 2.(導(dǎo)學(xué)號14577114)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.f(x)g(x)是偶函數(shù) B.|f(x)|g(x)是奇函數(shù) C.f(

2、x)|g(x)|是奇函數(shù) D.|f(x)g(x)|是奇函數(shù) 解析:C [因為f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),所以有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),于是f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),即f(x)g(x)為奇函數(shù),A錯; |f(-x)|g(-x)=|f(x)|g(x),即|f(x)|g(x)為偶函數(shù),B錯; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,即f(x)|g(x)|為奇函數(shù),C正確; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,即f(x)g(x)為偶函數(shù),所以D也錯.] 3.(導(dǎo)學(xué)號14577115)(2018保定市一模)已知函數(shù)f(x)=

3、 設(shè)g(x)=,則g(x)是(  ) A.奇函數(shù),在(-∞,0)上遞增,在(0,+∞)上遞增 B.奇函數(shù),在(-∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞減 C.偶函數(shù),在(-∞,0)上遞增,在(0,+∞)上遞增 D.偶函數(shù),在(-∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞減 解析:B [根據(jù)題意,g(x)==其定義域關(guān)于原點對稱. 設(shè)x>0,則-x<0,g(-x)=-=-=-g(x);設(shè)x<0,則-x>0,g(-x)===-g(x),故g(x)為奇函數(shù).又g(x)==x-2在區(qū)間(0,+∞)上遞減,則g(x)在(-∞,0)上也遞減.故選B.] 4.(導(dǎo)學(xué)號14577116)(理科)(2018

4、青島市模擬)奇函數(shù)f(x)的定義域為R,若f(x+1)為偶函數(shù),且f(1)=2,則f(4)+f(5)的值為(  ) A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析:A [∵f(x+1)為偶函數(shù),f(x)是奇函數(shù), ∴f(-x+1)=f(x+1),f(x)=-f(-x),f(0)=0, ∴f(x+1)=f(-x+1)=-f(x-1), ∴f(x+2)=-f(x),f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x),則f(4)=f(0)=0,f(5)=f(1)=2, ∴f(4)+f(5)=0+2=2,故選A.] 4.(導(dǎo)學(xué)號14577117)(文科)已知f(x)=lg 是奇函數(shù)

5、,則使f(x)<0的x的取值范圍是(  ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(-∞,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) 解析:A [∵f(x)=lg 是奇函數(shù),∴f(-x)+f(x)=lg +lg =0,解得a=-1,即f(x)=lg ,由f(x)=lg <0,得0<<1,解得-1

6、=lg. 又∵函數(shù)f(x)是周期為2的奇函數(shù), ∴f=f=-f=-lg , ∴f+lg 18=lg18-lg=lg 10=1.故選A.] 5.(導(dǎo)學(xué)號14577119)(文科)(2018安慶市二模)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足:f(x+1)=f(x-1),且當(dāng)-1<x<0時,f(x)=2x-1,則f(log220)等于(  ) A. B.- C.- D. 解析:D [∵f(x+1)=f(x-1),∴函數(shù)f(x)為周期為2的周期函數(shù), 又∵log232>log220>log216,∴4<log220<5, ∴f(log220)=f(log220-4)=f(log2)

7、=-f(-log2). 又∵x∈(-1,0)時,f(x)=2x-1,∴f=-,f(log220)=.故選D.] 6.(理科)(2015高考新課標(biāo)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)=x ln(x+)為偶函數(shù),則a= ________ . 解析:由題意知f(-x)=f(x),即-xln(-x+)=xln(x+) 化簡得ln(a+x2-x2)=0,解得a=1. 答案:1 6.(文科)若函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數(shù),則f(x)的遞增區(qū)間是 ________ . 解析:函數(shù)f(x)=(m-2)x2+(m-1)x+2是偶函數(shù),所以m=1,則函數(shù)f(x)=-x2+2,其單調(diào)遞增區(qū)間

8、是(-∞,0]. 答案:(-∞,0] 7.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且f(x)-g(x)=x,則f(1),g(0),g(-1)之間的大小關(guān)系是 ________ . 解析:在f(x)-g(x)=x中,用-x替換x,得f(-x)-g(-x)=2x,由于f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),因此得-f(x)-g(x)=2x.于是解得f(x)=,g(x)=-,于是f(1)=-,g(0)=-1,g(-1)=-,故f(1)>g(0)>g(-1). 答案:f(1)>g(0)>g(-1) 8.(2018郴

9、州市一模)已知定義在R上的偶函數(shù)滿足:f(x+4)=f(x)+f(2),且當(dāng)x∈[0,2]時,y=f(x)單調(diào)遞減,給出以下四個命題: ①f(2)=0; ②x=-4為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸; ③函數(shù)y=f(x)在[8,10]單調(diào)遞增; ④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的兩根為x1,x2, 則x1+x2=-8. 上述命題中所有正確命題的序號為 ___________ . 解析:∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù),∴f(-x)=f(x),可得f(-2)=f(2). 在f(x+4)=f(x)+f(2)中令x=-2得f(2)=f(-2)+f(2),∴f(-2)=f(2)=0

10、, ∴f(x+4)=f(x),∴函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù).又當(dāng)x∈[0,2]時,y=f(x)單調(diào)遞減,結(jié)合函數(shù)的奇偶性畫出函數(shù)f(x)的簡圖,如圖所示.從圖中可以得出: ②x=-4為函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸;③函數(shù)y=f(x)在[8,10]單調(diào)遞減; ④若方程f(x)=m在[-6,-2]上的兩根為x1,x2,則x1+x2=-8. 答案:①②④ 9.已知函數(shù)f(x)=是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍. 解:(1)設(shè)x<0,則-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x

11、2-2x. 又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x), 于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2. (2)由(1)知f(x)在[-1,1]上是增函數(shù), 要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增. 結(jié)合f(x)的圖象知 所以1

12、1-x),即有f(-x)=f(x+2). 又函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù), 故有f(-x)=-f(x).故f(x+2)=-f(x). 從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x), 即f(x)是周期為4的周期函數(shù). (2)由函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),有f(0)=0. x∈[-1,0)時,-x∈(0,1],f(x)=-f(-x)=-. 故x∈[-1,0]時,f(x)=-. x∈[-5,-4]時,x+4∈[-1,0], f(x)=f(x+4)=-. 從而,x∈[-5,-4]時,函數(shù)f(x)=-. [能力提升組] 11.函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x+2)=13,若

13、f(1)=2,則f(99)等于(  ) A.13   B.2 C.    D. 解析:D [∵f(x)f(x+2)=13,∴f(x+2)=, 則f(x)=,故f(x)f(x+2)==13, 即f(x)f(x-2)=13,∴f(x+2)=f(x-2), 故函數(shù)f(x)的周期為4, ∴f(99)=f(3)==.] 12.(2018濰坊市一模)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x∈R)為偶函數(shù),且?x∈R,滿足f=f,當(dāng)x∈[2,3]時,f(x)=x,則當(dāng)x∈[-2,0]時,f(x)=(  ) A.|x+4| B.|2-x| C.2+|x+1| D.3-|x+1| 解析:D [∵?x

14、∈R,滿足f=f, ∴?x∈R,滿足f=f, 即f(x)=f(x+2). 若x∈[0,1]時,則x+2∈[2,3],f(x)=f(x+2)=x+2,x∈[0,1] . 若x∈[-1,0],則-x∈[0,1] . ∵函數(shù)y=f(x)(x∈R)為偶函數(shù),∴f(-x)=-x+2=f(x),即f(x)=-x+2,x∈[-1,0] . 若x∈[-2,-1],則x+2∈[0,1], 則f(x)=f(x+2)=x+2+2=x+4,x∈[-2,-1] . 即f(x)=,故選D.] 13.若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在區(qū)間[0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù).如果實數(shù)t滿足f(ln t)+f<

15、2f(1)時,那么t的取值范圍是 ________ . 解析:因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù), 所以f=f(-ln t)=f(ln t)=f(|ln t|). 則有f(ln t)+f<2f(1)?2f(ln t)<2f(1) ?f(|ln t|)

16、(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), ∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù). ∴f(π)=f(-14+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x). 從而可知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱. 又當(dāng)0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如圖所示. 設(shè)當(dāng)-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=4=4. (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k-1,4k+1](k∈Z), 單調(diào)遞減區(qū)間為[4k+1,4k+3](k∈Z). 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375

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