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高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系教師用書 理 選修44

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1、 第一節(jié) 坐標(biāo)系 ☆☆☆2017考綱考題考情☆☆☆ 考綱要求 真題舉例 命題角度   1.了解坐標(biāo)系的作用,了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況; 2.了解極坐標(biāo)的基本概念,會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置,能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化; 3.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形表示的極坐標(biāo)方程。 2016,全國(guó)卷Ⅰ,23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用) 2016,全國(guó)卷Ⅱ,23,10分(直角坐標(biāo)方程化極坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用) 2015,全國(guó)卷Ⅰ,23,10分(圓的極坐標(biāo),求三角形面積) 2015,全國(guó)卷Ⅱ,23,10分(直角坐標(biāo)方程

2、化極坐標(biāo)方程,極坐標(biāo)方程的應(yīng)用)   直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化,求極坐標(biāo)方程,利用極坐標(biāo)方程解決問(wèn)題是本部分的熱點(diǎn)內(nèi)容,主要以解答題的形式出現(xiàn),難度中等。 微知識(shí) 小題練 自|主|排|查 1.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換 設(shè)點(diǎn)P(x,y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn),在變換φ:的作用下,點(diǎn)P(x,y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′(x′,y′),稱φ為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換,簡(jiǎn)稱伸縮變換。 2.極坐標(biāo)的概念 (1)極坐標(biāo)系: 如圖所示,在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O,叫做_極點(diǎn),從O點(diǎn)引一條射線Ox,叫做極軸,選定一個(gè)單位長(zhǎng)度和角及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?,這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系,

3、簡(jiǎn)稱為極坐標(biāo)系。 (2)極坐標(biāo): 對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M,用ρ表示線段OM的長(zhǎng),θ表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度,ρ叫做點(diǎn)M的極徑,θ叫做點(diǎn)M的極角,有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ,θ)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo),記作M(ρ,θ)。 當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí),它的極徑ρ=0,極角θ可以取任意值。 (3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系: 平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無(wú)數(shù)對(duì),當(dāng)k∈Z時(shí),(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,θ+(2k+1)π)表示同一個(gè)點(diǎn),而用平面直角坐標(biāo)表示點(diǎn)時(shí),每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的。 如果規(guī)定ρ>0,0≤θ<2π,或者-π<θ≤π,那么,除極點(diǎn)外,平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了。 3.極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化

4、 (1)互化背景:把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn),x軸的正半軸作為極軸,建立極坐標(biāo)系,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長(zhǎng)度,如圖所示。 (2)互化公式:設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn),它的直角坐標(biāo)是(x,y),極坐標(biāo)是(ρ,θ)(ρ>0,θ∈[0,2π)),于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表: 點(diǎn)M 直角坐標(biāo)(x,y) 極坐標(biāo)(ρ,θ) 互化公式 ρ2=x2+y2 tanθ=(x≠0) 在一般情況下,由tanθ確定角時(shí),可根據(jù)點(diǎn)M所在的象限取最小正角。 4.常見曲線的極坐標(biāo)方程 曲線 圖形 極坐標(biāo)方程 圓心在極點(diǎn),半徑為r的圓 ρ=r(0≤θ<2π) 圓心為(

5、r,0),半徑為r的圓 ρ=2rcosθ 圓心為,半徑為r的圓 ρ=2rsinθ(0≤θ<π) 過(guò)極點(diǎn),傾斜角為α的直線 (1)θ=α(ρ∈R)或 θ=π+α(ρ∈R) (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π+α(ρ≥0) 過(guò)點(diǎn)(a,0),與極軸垂直的直線 ρcosθ=a 過(guò)點(diǎn),與極軸平行的直線 ρsinθ=a(0<θ<π) 過(guò)點(diǎn)(a,0),傾斜角為α的直線 ρsin(α-θ)=asinα 微點(diǎn)提醒 1.應(yīng)用伸縮變換時(shí),要分清變換前的點(diǎn)的坐標(biāo)P(x,y)與變換后的點(diǎn)的坐標(biāo)Q(X,Y)。 2.直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化問(wèn)題,要注意互化時(shí)要將

6、極坐標(biāo)方程作適當(dāng)轉(zhuǎn)化; (1)若是和角,常用兩角和與差的三角公式展開,化為可用公式形式。 (2)為了出現(xiàn)公式形式,兩邊可以同乘以ρ。 小|題|快|練 1.在同一平面直角坐標(biāo)系中,直線x-2y=2經(jīng)過(guò)伸縮變換后,變成直線__________。 【解析】 由伸縮變換得 將其代入x-2y=2得2x′-y′=4。 【答案】 2x-y=4 2.在極坐標(biāo)系中,已知兩點(diǎn)P,Q,則線段PQ的長(zhǎng)度為__________。 【解析】 P,Q在過(guò)極點(diǎn)且與極軸成的直線上,它們位于極點(diǎn)的兩側(cè),因此|PQ|=5+1=6。 【答案】 6 3.直角坐標(biāo)方程x2+y2-8y=0的極坐標(biāo)方程為_______

7、___。 【解析】 因?yàn)閤2+y2=ρ2,y=ρsinθ,所以原方程可化為ρ2-8ρsinθ=0。所以ρ=0或ρ=8sinθ。 經(jīng)檢驗(yàn),得所求的極坐標(biāo)方程為ρ=8sinθ。 【答案】 ρ=8sinθ 4.極坐標(biāo)方程ρ=6cos的直角坐標(biāo)方程為________。 【解析】 原方程可化為ρ=6cosθcos+6sinθsin, 方程兩邊同乘ρ,得ρ2=3ρcosθ+3ρsinθ, 由ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y(tǒng), 得所求的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-3x-3y=0。 【答案】 x2+y2-3x-3y=0 5.在極坐標(biāo)系中,圓心在(,π)且過(guò)極點(diǎn)的圓的方程為__

8、______。 【解析】 如圖,O為極點(diǎn),OB為直徑,A(ρ,θ),則∠ABO=θ-,OB=2=, 化簡(jiǎn)得ρ=-2cosθ。 【答案】 ρ=-2cosθ 微考點(diǎn) 大課堂 考點(diǎn)一 圖形的伸縮變換 【典例1】 求曲線y=sin經(jīng)伸縮變換后的曲線方程。 【解析】 由得① 將①代入y=sin,得 2y′=sin, 即y′=sin。 故變換后的曲線方程為y=sin。 【答案】 y=sin 反思?xì)w納 求經(jīng)伸縮變換后曲線方程的方法 平面上的曲線y=f(x)在變換φ:的作用下的變換方程的求法是將代入y=f(x),得=f,整理之后得到y(tǒng)′=h(x′),即為所求變換之后的方程。

9、 【變式訓(xùn)練】 求雙曲線C:x2-=1經(jīng)過(guò)φ:變換后所得曲線C′的焦點(diǎn)坐標(biāo)。 【解析】 設(shè)曲線C′上任意一點(diǎn)P′(x′,y′),由上述可知,將代入x2-=1得-=1,化簡(jiǎn)得-=1。 即-=1為曲線C′的方程,可見仍是雙曲線, 則焦點(diǎn)F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0)為所求。 【答案】 F1(-5,0),F(xiàn)2(5,0) 考點(diǎn)二 極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 【典例2】 (1)已知直線l的極坐標(biāo)方程為2ρsin=,點(diǎn)A的極坐標(biāo)為A,求點(diǎn)A到直線l的距離。 (2)已知圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρsin-4=0,求圓C的半徑。 【解析】 (1)由2ρsin=, 得2ρ=,∴y-x=1。

10、 由點(diǎn)A的極坐標(biāo)為得點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(2,-2),∴d==。 (2)以極坐標(biāo)系的極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O,以極軸為x軸的正半軸,建立直角坐標(biāo)系xOy。 圓C的極坐標(biāo)方程為 ρ2+2ρ-4=0, 化簡(jiǎn),得ρ2+2ρsinθ-2ρcosθ-4=0。 則圓C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x+2y-4=0, 即(x-1)2+(y+1)2=6, 所以圓C的半徑為。 【答案】 (1) (2) 反思?xì)w納 極坐標(biāo)方程與普通方程互化技巧 1.巧用極坐標(biāo)方程兩邊同乘以ρ或同時(shí)平方技巧,將極坐標(biāo)方程構(gòu)造成含有ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,然后利用公式代入化簡(jiǎn)得到普通方程。 2.巧借兩

11、角和差公式,轉(zhuǎn)化ρsin(θα)或ρcos(θα)的結(jié)構(gòu)形式,進(jìn)而利用互化公式得到普通方程。 3.將直角坐標(biāo)方程中的x轉(zhuǎn)化為ρcosθ,將y換成ρsinθ,即可得到其極坐標(biāo)方程。 【變式訓(xùn)練】 ⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程分別為ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ。 (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程; (2)求經(jīng)過(guò)⊙O1,⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程。 【解析】 以極點(diǎn)為原點(diǎn),極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系,兩坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位。 (1)ρ=4cosθ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=4ρcosθ; ρ=-4sinθ,兩邊同乘以ρ,得ρ2=-4ρsinθ。 由ρc

12、osθ=x,ρsinθ=y(tǒng),ρ2=x2+y2, 得⊙O1,⊙O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0。 (2) ①-②得-4x-4y=0, 即x+y=0為所求直線方程。 【答案】 (1)⊙O1,⊙O2的直角坐標(biāo)方程分別為x2+y2-4x=0和x2+y2+4y=0 (2)x+y=0 考點(diǎn)三 求曲線的極坐標(biāo)方程 【典例3】 (2017鐵嶺模擬)在極坐標(biāo)系Ox中,直線C1的極坐標(biāo)方程為ρsinθ=2,M是C1上任意一點(diǎn),點(diǎn)P在射線OM上,且滿足|OP||OM|=4,記點(diǎn)P的軌跡為C2。 (1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程; (2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線ρc

13、os=距離的最大值。 【解析】 (1)設(shè)P(ρ1,θ),M(ρ2,θ), 由|OP||OM|=4,得ρ1ρ2=4,即ρ2=。 因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn),所以ρ2sinθ=2,即sinθ=2, ρ1=2sinθ。所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2sinθ。 (2)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ,即x2+y2-2y=0, 化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=1, 則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1),半徑為1, 由直線ρcos=, 得:ρcosθcos-ρsinθsin=,即x-y=2, 圓心(0,1)到直線x-y=2的距離為 d==, 所以曲線C2上的點(diǎn)到直線ρcos=距離

14、的最大值為1+。 【答案】 (1)ρ=2sinθ (2)1+ 反思?xì)w納 求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟:(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系,設(shè)P(ρ,θ)是曲線上任意一點(diǎn);(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件,列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑ρ和極角θ之間的關(guān)系式;(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡(jiǎn),得出曲線的極坐標(biāo)方程。 【變式訓(xùn)練】 在極坐標(biāo)系中,已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,圓心為直線ρsin=-與極軸的交點(diǎn),求圓C的極坐標(biāo)方程。 【解析】 在ρsin=-中,令θ=0,得ρ=1, 所以圓C的圓心坐標(biāo)為(1,0)。 如圖所示,因?yàn)閳AC經(jīng)過(guò)點(diǎn)P, 所以圓C的半徑 PC= =1, 于是圓C過(guò)極點(diǎn),所以圓C的極坐標(biāo)方程

15、為ρ=2cosθ。 【答案】 ρ=2cosθ 考點(diǎn)四 極坐標(biāo)方程的應(yīng)用 【典例4】 (2016全國(guó)卷Ⅰ)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù),a>0)。在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C2:ρ=4cosθ。 (1)說(shuō)明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程; (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ=α0,其中α0滿足tanα0=2,若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上,求a的值。 【解析】 (1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2。C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓。 將x=ρcosθ,y=ρsinθ代入C1的普通方程

16、中,得到 C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0。 (2)曲線C1,C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0,由方程組得16cos2θ-8sinθcosθ+1-a2=0,由已知tanθ=2,可得16cos2θ-8sinθcosθ=0,從而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1。 a=1時(shí),極點(diǎn)也為C1,C2的公共點(diǎn),在C3上。 所以a=1。 【答案】 (1)C1是以(0,1)為圓心,a為半徑的圓 C1的極坐標(biāo)方程為ρ2-2ρsinθ+1-a2=0 (2)a=1 反思?xì)w納 運(yùn)用極坐標(biāo)方程的幾何意義可求解交點(diǎn)、長(zhǎng)度、距離、最值等幾何問(wèn)題。近幾年高考在這方面加強(qiáng)了

17、使用極坐標(biāo)解決幾何問(wèn)題的力度。 【變式訓(xùn)練】 在直角坐標(biāo)系xOy中,圓C的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))。以O(shè)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。 (1)求圓C的極坐標(biāo)方程; (2)直線l的極坐標(biāo)方程是2ρsin=3,射線OM:θ=與圓C的交點(diǎn)為O、P,與直線l的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng)。 【解析】 (1)由題意可得圓C的普通方程為(x-1)2+y2=1, 又x=ρcosθ,y=ρsinθ , 所以圓C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ。 (2)設(shè)點(diǎn)P(ρ1,θ1),由 解得 設(shè)點(diǎn)Q(ρ2,θ2),由 解得 所以|PQ|=2。 【答案】 (1)ρ=2cosθ (2)|PQ|=2

18、 微考場(chǎng) 新提升 1.在極坐標(biāo)系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲線ρ(cosθ+sinθ)=1與ρ(sinθ-cosθ)=1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)。 解析 曲線ρ(cosθ+sinθ)=1化為直角坐標(biāo)方程為x+y=1,ρ(sinθ-cosθ)=1化為直角坐標(biāo)方程為y-x=1。聯(lián)立方程組得則交點(diǎn)為(0,1),對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為。 答案  2.在直角坐標(biāo)系xOy中,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos=1,M,N分別為C與x軸、y軸的交點(diǎn)。 (1)寫出C的直角坐標(biāo)方程,并求M、N的極坐標(biāo); (2)設(shè)MN的中點(diǎn)為P,求直線OP的極坐標(biāo)方程。 解析 (1)由ρc

19、os=1 得ρ=1。 從而C的直角坐標(biāo)方程為x+y=1, 即x+y=2。 當(dāng)θ=0時(shí),ρ=2,所以M(2,0)。 當(dāng)θ=時(shí),ρ=,所以N。 (2)M點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2,0)。 N點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。 所以P點(diǎn)的直角坐標(biāo)為。 則P點(diǎn)的極坐標(biāo)為, 所以直線OP的極坐標(biāo)方程為θ=(ρ∈R)。 答案 (1)C的直角坐標(biāo)方程為x+y=2,M(2,0), N (2)θ=(ρ∈R) 3.(2016湖北七市聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin=,曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ=2acos

20、(a>0)。 (1)求直線l與曲線C1的交點(diǎn)的極坐標(biāo)(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π); (2)若直線l與C2相切,求a的值。 解析 (1)曲線C1的普通方程為y=x2,x∈[-,],直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y=2,聯(lián)立,解得或(舍去)。 故直線l與曲線C1的交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(1,1),其極坐標(biāo)為。 (2)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2+y2+2ax-2ay=0, 即(x+a)2+(y-a)2=2a2(a>0)。 由直線l與C2相切,得=a,故a=1。 答案 (1) (2)1 我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟(jì)發(fā)展方式,改變粗放式增長(zhǎng)模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu),實(shí)現(xiàn)經(jīng)濟(jì)健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動(dòng)城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實(shí)挑戰(zhàn)。

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