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高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22

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《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 階段復(fù)習(xí)課 第1課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案 新人教A版選修22(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一課 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 [核心速填] 1.導(dǎo)數(shù)的概念 (1)定義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率 ,稱為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù). (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0,f(x0))處的切線斜率. 2.幾個常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1)若y=f(x)=c,則f′(x)=0. (2)若y=f(x)=x,則f′(x)=1. (3)若y=f(x)=x2,則f′(x)=2x. (4)若y=f(x)=,則f′(x)=-. (5)若y=f(x)=,則f′(x)=. 3.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 (1)若f(x)=c(c為常數(shù)),則f′(

2、x)=0. (2)若f(x)=xα(α∈Q*),則f′(x)=αxα-1. (3)若f(x)=sin x,則f′(x)=cos_x. (4)若f(x)=cos x ,則f′(x)=-sin_x. (5)若f(x)=ax,則f′(x)=axln_a. (6)若f(x)=ex,則f′(x)=ex. (7)若f(x)=logax,則f′(x)=. (8)若f(x)=ln x,則f′(x)=. 4.導(dǎo)數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x). (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x). (3)

3、′=. 5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 (1)復(fù)合函數(shù)記法:y=f(g(x)). (2)中間變量代換:y=f(u),u=g(x). (3)逐層求導(dǎo)法則:y′x=y(tǒng)′u·u′x. 6.函數(shù)的單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù) (1)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 在某個區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果f′(x)<0,那么函數(shù)y=f(x)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. (2)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù) ①極大值:在點x=a附近,滿足f(a)≥f(x),當(dāng)x<a時,f′(x)>0,當(dāng)x>a時,f′(x)<0,則點a叫做函數(shù)的極大值點,f(a)叫做函數(shù)的極大值; ②極小值:

4、在點x=a附近,滿足f(a)≤f(x),當(dāng)x<a時,f′(x)<0,當(dāng)x>a時,f′(x)>0,則點a叫做函數(shù)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)的極小值. 7.求函數(shù)y=f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值. (2)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個為最小值. 8.微積分基本定理 一般地,如果f(x)是區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù),并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a). 9.定積分的性質(zhì) ①kf(x)dx=kf(x)dx; ②[f(x)+g(x)]dx=f(x

5、)dx+g(x)dx; ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b). [體系構(gòu)建] [題型探究] 導(dǎo)數(shù)的幾何意義  已知函數(shù)f(x)=x3+x-16. (1)求曲線y=f(x)在點(2,-6)處的切線方程; (2)直線l為曲線y=f(x)的切線,且經(jīng)過原點,求直線l的方程及切點坐標(biāo); (3)如果曲線y=f(x)的某一切線與直線y=-x+3垂直,求切點坐標(biāo)與切線的方程. 【導(dǎo)學(xué)號:31062107】 [解] (1)∵f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, ∴f(x)在點(2,-6)處的切線的斜率為k=f′(2

6、)=13. ∴切線的方程為y=13(x-2)+(-6), 即y=13x-32. (2)法一:設(shè)切點為(x0,y0), 則直線l的斜率為f′(x0)=3x+1, ∴直線l的方程為 y=(3x+1)(x-x0)+x+x0-16. 又∵直線l過點(0,0), ∴0=(3x+1)(-x0)+x+x0-16. 整理得,x=-8, ∴x0=-2. ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26. k=3×(-2)2+1=13. ∴直線l的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26). 法二:設(shè)直線l的方程為y=kx,切點為(x0,y0), 則k==, 又∵k=f′(x

7、0)=3x+1, ∴=3x+1. 解得,x0=-2, ∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26. k=3×(-2)2+1=13. ∴直線l的方程為y=13x,切點坐標(biāo)為(-2,-26). (3)∵切線與直線y=-+3垂直, ∴切線的斜率k=4. 設(shè)切點坐標(biāo)為(x0,y0), 則f′(x0)=3x+1=4, ∴x0=±1. ∴或 即切點為(1,-14)或(-1,-18). 切線方程為y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18. 即y=4x-18或y=4x-14. [規(guī)律方法] 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一

8、點處的切線方程y-y0=f′(x0)(x-x0),明確“過點P(x0,y0)的曲線y=f(x)的切線方程”與“在點P(x0,y0)處的曲線y=f(x)的切線方程”的異同點. 2.圍繞著切點有三個等量關(guān)系:切點(x0,y0),則k=f′(x0),y0=f(x0),(x0,y0)滿足切線方程,在求解參數(shù)問題中經(jīng)常用到. [跟蹤訓(xùn)練] 1.直線y=kx+b與曲線y=x3+ax+1相切于點(2,3),則b=________. [解析] ∵y=x3+ax+1過點(2,3), ∴a=-3,∴y′=3x2-3, ∴k=y(tǒng)′|x=2=3×4-3=9, ∴b=y(tǒng)-kx=3-9×

9、;2=-15. [答案]?。?5 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)  (1)f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)-f(x)≤0,對任意正數(shù)a,b,若a<b,則必有(  ) 【導(dǎo)學(xué)號:31062108】 A.a(chǎn)f(b)<bf(a)     B.bf(a)<af(b) C.a(chǎn)f(a)<bf(b) D.bf(b)<af(a) (2)設(shè)f(x)=aln x+,其中a為常數(shù),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. (1)A [令F(x)=,則F′(x)=. 又當(dāng)x>0時,xf′(x)-f(x)≤0,∴F′(x)≤0, ∴F(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. 又a<b, ∴F(a

10、)>F(b), ∴>, ∴bf(a)>af(b),故選A.] (2)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞). f′(x)=+=. 當(dāng)a≥0時,f′(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. 當(dāng)a<0時,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, 由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1), ①當(dāng)a=-時,Δ=0, f′(x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ②當(dāng)a<-時,Δ<0,g(x)<0, f′(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ③當(dāng)-<a<0時,Δ>0. 設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個零點, 則x1=,x2=

11、, 由x1==>0, 所以x∈(0,x1)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, x∈(x1,x2)時,g(x)>0,f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, x∈(x2,+∞)時,g(x)<0,f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, 綜上可得:當(dāng)a≥0時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a≤-時,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-<a<0時, 函數(shù)f(x)在, 上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. [規(guī)律方法] 利用導(dǎo)數(shù)確定參數(shù)的取值范圍時,要充分利用f(x)與其導(dǎo)數(shù)f′(x)之間的對應(yīng)關(guān)系,然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等知識求解.求解參數(shù)范圍的步

12、驟為: (1)對含參數(shù)的函數(shù)f(x)求導(dǎo),得到f′(x); (2)若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞增,則f′(x)≥0恒成立;若函數(shù)f(x)在(a,b)上單調(diào)遞減,則f′(x)≤0恒成立,得到關(guān)于參數(shù)的不等式,解出參數(shù)范圍; (3)驗證參數(shù)范圍中取等號時,是否恒有f′(x)=0.若f′(x)=0恒成立,則函數(shù)f(x)在(a,b)上為常函數(shù),舍去此參數(shù)值. [跟蹤訓(xùn)練] 2.若函數(shù)f(x)=x3-ax2+(a-1)x+1在區(qū)間(1,4)上為減函數(shù),在區(qū)間(6,+∞)上為增函數(shù),試求實數(shù)a的取值范圍. [解] 函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=x2-ax+a-1. 令f′(x)=0

13、,解得x=1或x=a-1. 當(dāng)a-1≤1,即a≤2時,函數(shù)f(x)在(1,+∞)上為增函數(shù),不合題意. 當(dāng)a-1>1,即a>2時,函數(shù)f(x)在(-∞,1)上為增函數(shù),在(1,a-1)上為減函數(shù),在(a-1,+∞)上為增函數(shù). 依題意當(dāng)x∈(1,4)時,f′(x)<0, 當(dāng)x∈(6,+∞)時,f′(x)>0. 故4≤a-1≤6,即5≤a≤7. 因此a的取值范圍是[5,7]. 函數(shù)的極值、最值與導(dǎo)數(shù)  已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b的圖象上一點P(1,0)且在點P處的切線與直線3x+y=0平行. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,t](0

14、<t<3)上的最大值和最小值. [解] (1)因為f′(x)=3x2+2ax,曲線在P(1,0)處的切線斜率為f′(1)=3+2a,即3+2a=-3,a=-3. 又函數(shù)過(1,0)點,即-2+b=0,b=2. 所以a=-3,b=2,f(x)=x3-3x2+2. (2)由f(x)=x3-3x2+2, 得f′(x)=3x2-6x. 由f′(x)=0,得x=0或x=2. ①當(dāng)0<t≤2時,在區(qū)間(0,t)上,f′(x)<0,f(x)在[0,t]上是減函數(shù),所以f(x)max=f(0)=2,f(x)min=f(t)=t3-3t2+2. ②當(dāng)2<t<3時,當(dāng)x變化時,f′(x), f(

15、x)的變化情況如下表: x 0 (0,2) 2 (2,t) t f′(x) 0 - 0 + f(x) 2 -2 t3-3t2+2 f(x)min=f(2)=-2,f(x)max為f(0)與f(t)中較大的一個. f(t)-f(0)=t3-3t2=t2(t-3)<0, 所以f(x)max=f(0)=2. 母題探究:(變結(jié)論)在本例條件不變的情況下,若關(guān)于x的方程f(x)=c在區(qū)間[1,3]上恰有兩個相異的實根,求實數(shù)c的取值范圍. [解] 令g(x)=f(x)-c=x3-3x2+2-c, 則g′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 在x∈

16、[1,2)上,g′(x)<0;在x∈(2,3]上,g′(x)>0. 要使g(x)=0在[1,3]上恰有兩個相異的實根, 則解得-2<c≤0. [規(guī)律方法] (1)求極值時一般需確定f′(x)=0的點和單調(diào)性,對于常見連續(xù)函數(shù),先確定單調(diào)性即可得極值點,當(dāng)連續(xù)函數(shù)的極值點只有一個時,相應(yīng)的極值點必為函數(shù)的最值點. (2)求閉區(qū)間上可導(dǎo)函數(shù)的最值時,對函數(shù)極值是極大值還是極小值可不再作判斷,只需要直接與端點的函數(shù)值比較即可獲得. [跟蹤訓(xùn)練] 3.已知a,b為常數(shù)且a>0,f(x)=x3+(1-a)x2-3ax+b. (1)函數(shù)f(x)的極大值為2,求a,b間的關(guān)系式; (2)

17、函數(shù)f(x)的極大值為2,且在區(qū)間[0,3]上的最小值為-,求a,b的值. 【導(dǎo)學(xué)號:31062109】 [解] (1)f′(x)=3x2+3(1-a)x-3a=3(x-a)(x+1), 令f′(x)=0,解得x1=-1,x2=a, 因為a>0,所以x1<x2. 當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況如下表: x (-∞,-1) -1 (-1,a) a (a,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 極大值 極小值 所以當(dāng)x=-1時,f(x)有極大值2,即3a+2b=3. (2)當(dāng)0<a<3時,由(1)知,f(x)在[0,a

18、)上為減函數(shù),在(a,3]上為增函數(shù), 所以f(a)為最小值, f(a)=-a3-a2+b. 即-a3-a2+b=-. 又由b=,于是有a3+3a2+3a-26=0, 即(a+1)3=27,所以a=2,b=-. 當(dāng)a>3時,由(1)知f(x)在[0,3]上為減函數(shù),即f(3)為最小值,f(3)=-, 從而求得a=,不合題意,舍去. 綜上,a=2,b=-. 生活中的優(yōu)化問題  某企業(yè)擬建造如圖1­1所示的容器(不計厚度,長度單位:米),其中容器的中間為圓柱體,左右兩端均為半球體,按照設(shè)計要求容器的體積為立方米.假設(shè)該容器的建造費用僅與其表面積有關(guān).已知圓柱體部分

19、每平方米建造費用為3千元,半球體部分每平方米建造費用為4千元.設(shè)該容器的總建造費用為y千元. 圖1­1 (1)將y表示成r的函數(shù),并求該函數(shù)的定義域; (2)確定r和l為何值時,該容器的建造費用最小,并求出最小建造費用. [解] 由題意可知 +πr2l=,∴l(xiāng)=-. 又圓柱的側(cè)面積為2πrl=-, 兩端兩個半球的表面積之和為4πr2. 所以y=×3+4πr2×4=+8πr2. 又l=->0?r<2,所以定義域為(0,2). (2)因為y′=-+16πr=, 所以令y′>0,得2<r<2; 令y′<0,得0<r<2. 所以當(dāng)r=2米時,

20、該容器的建造費用最小,為96π千元,此時l=米. [規(guī)律方法] 解決優(yōu)化問題的步驟 (1)要分析問題中各個數(shù)量之間的關(guān)系,建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型,并確定函數(shù)的定義域. (2)要通過研究相應(yīng)函數(shù)的性質(zhì),如單調(diào)性、極值與最值,提出優(yōu)化方案,使問題得以解決,在這個過程中,導(dǎo)數(shù)是一個有力的工具. (3)驗證數(shù)學(xué)問題的解是否滿足實際意義. [跟蹤訓(xùn)練] 4.現(xiàn)有一批貨物由海上A地運往B地,已知輪船的最大航行速度為35海里/小時,A地至B地之間的航行距離約為500海里,每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成,輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數(shù)為0.6),其余費用為每小時960元.

21、 (1)把全程運輸成本y(元)表示為速度x(海里/小時)的函數(shù); (2)為了使全程運輸成本最小,輪船應(yīng)以多大速度行駛? [解] (1)依題意得y=(960+0.6x2)=+300x,函數(shù)的定義域為(0,35],即y=+300x(0<x≤35). (2)由(1)知y=+300x(0<x≤35),所以y′=-+300.令y′=0,解得x=40或x=-40(舍去).因為函數(shù)的定義域為(0,35],所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有極值.又當(dāng)0<x≤35時,y′<0,所以y=+300x在(0,35]上單調(diào)遞減,故當(dāng)x=35時,函數(shù)y=+300x取得最小值. 故為了使全程運輸成本最小,輪船應(yīng)以35海里/小時

22、的速度行駛. 函數(shù)方程思想  設(shè)函數(shù)f(x)=x3-6x+5,x∈R. (1)求f(x)的極值點; (2)若關(guān)于x的方程f(x)=a有3個不同實根,求實數(shù)a的取值范圍; (3)已知當(dāng)x∈(1,+∞)時,f(x)≥k(x-1)恒成立,求實數(shù)k的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號:31062110】 [解] (1)f′(x)=3(x2-2),令f′(x)=0, 得x1=-,x2=. 當(dāng)x∈(-∞,-)∪(,+∞)時,f′(x)>0,當(dāng)x∈(-,) 時,f′(x)<0, 因此x1=-,x2=分別為f(x)的極大值點、極小值點. (2)由(1)的分析可知y=f(x)圖象的大致形狀及走向如

23、圖所示.要使直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點需5-4=f()<a<f(-)=5+4.則方程f(x)=a有3個不同實根時,所求實數(shù)a的取值范圍為(5-4,5+4). (3)法一:f(x)≥k(x-1), 即(x-1)(x2+x-5)≥k(x-1), 因為x>1,所以k≤x2+x-5在(1,+∞)上恒成立, 令g(x)=x2+x-5,由二次函數(shù)的性質(zhì)得g(x)在(1,+∞)上是增函數(shù),所以g(x)>g(1)=-3, 所以所求k的取值范圍是為(-∞,-3]. 法二:直線y=k(x-1)過定點(1,0)且f(1)=0, 曲線f(x)在點(1,0)處切線斜率f′(1)=-3,

24、 由(2)中草圖知要使x∈(1,+∞)時,f(x)≥k(x-1)恒成立需k≤-3.故實數(shù)k的取值范圍為(-∞,-3]. [規(guī)律方法] 討論方程根的個數(shù),研究函數(shù)圖象與x軸或某直線的交點個數(shù)、不等式恒成立問題的實質(zhì)就是函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)極(最)值的應(yīng)用.問題破解的方法是根據(jù)題目的要求,借助導(dǎo)數(shù)將函數(shù)的單調(diào)性與極(最)值列出,然后再借助單調(diào)性和極(最)值情況,畫出函數(shù)圖象的草圖,數(shù)形結(jié)合求解. [跟蹤訓(xùn)練] 5.已知函數(shù)f(x)=ex+,a∈R,試討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù). [解] 函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠a}. (1)當(dāng)x>a時,ex>0,x-a>0,∴f(x)>0, 即f

25、(x)在(a,+∞)上無零點. (2)當(dāng)x<a時,f(x)=, 令g(x)=ex(x-a)+1,則g′(x)=ex(x-a+1). 由g′(x)=0得x=a-1. 當(dāng)x<a-1時,g′(x)<0; 當(dāng)x>a-1時,g′(x)>0, ∴g(x)在(-∞,a-1)上單調(diào)遞減,在(a-1,+∞)上單調(diào)遞增, ∴g(x)min=g(a-1)=1-ea-1. ∴當(dāng)a=1時,g(a-1)=0,∴x=a-1是f(x)的唯一零點; 當(dāng)a<1時,g(a-1)=1-ea-1>0,∴f(x)沒有零點; 當(dāng)a>1時,g(a-1)=1-ea-1<0,∴f(x)有兩個零點. 我國經(jīng)濟發(fā)展進(jìn)入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu),實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進(jìn)區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進(jìn)新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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