《高中數(shù)學 第2章 推理與證明階段復習課學案 新人教A版選修12》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高中數(shù)學 第2章 推理與證明階段復習課學案 新人教A版選修12(6頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、
第二課 推理與證明
[核心速填]
1.合情推理
(1)歸納推理:由部分到整體、由個別到一般的推理.
(2)類比推理:由特殊到特殊的推理.
(3)合情推理: 歸納和類比是常用的合情推理,都是根據已有的事實,經過觀察、分析、比較、聯(lián)想,再進行歸納類比,然后提出猜想的推理.
2.演繹推理
(1)演繹推理是由一般到特殊的推理.
(2)三段論是演繹推理的一般模式,包括:
①大前提——已知的一般原理;
②小前提——所研究的特殊情況;
③結論——根據一般原理,對特殊情況做出的判斷.
3.直接證明與間接證明
(1)直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法: ①綜合法是從條件推導出結
2、論的證明方法;
②分析法是由結論追溯到條件的證明方法;
(2)間接證明一種方法是反證法,它是從結論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法.
[題型探究]
合情推理
(1)觀察下列等式:
1-=,
1-+-=+,
1-+-+-=++,
……,
據此規(guī)律,第n個等式可為____________________________________.
(2)類比三角形內角平分線定理:設△ABC的內角A的平分線交BC于點M,則=.若在四面體PABC中,二面角BPAC的平分面PAD交BC于點D,你可得到的結論是________,并加以證明.
【導學
3、號:48662093】
1-+-+…+-=++…+ (2)= [(1)等式的左邊的通項為-,前n項和為1-+-+…+-;右邊的每個式子的第一項為,共有n項,故為++…+.
(2)畫出相應圖形,如圖所示.
由類比推理得所探索結論為=.
證明如下:由于平面PAD是二面角BPAC的平分面,所以點D到平面BPA與平面CPA的距離相等,所以=.①
又因為==.②
由①②知=成立.]
[規(guī)律方法]
1.歸納推理的特點及一般步驟
2.類比推理的特點及一般步驟
[跟蹤訓練]
1.(1)觀察下圖21中各正方形圖案,每條邊上有n(n≥2)個點,第
4、n個圖案中圓點的總數(shù)是Sn.
圖21
按此規(guī)律,推出Sn與n的關系式為________.
(2)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,則S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差數(shù)列.類比以上結論有:設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則T4,_______,
________,成等比數(shù)列.
(1)Sn=4n-4(n≥2,n∈N*) (2) [(1)依圖的構造規(guī)律可以看出:
S2=2×4-4,
S3=3×4-4,
S4=4×4-4(正方形四個頂點重復計算一次,應減去).
……
猜想:Sn=4n-4(n≥2,n∈N*).
5、
(2)等差數(shù)列類比于等比數(shù)列時,和類比于積,減法類比于除法,可得類比結論為:設等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn,則T4,,,成等比數(shù)列.]
綜合法與分析法
若a、b、c是△ABC的三邊長,m>0,求證:+>.
【導學號:48662094】
思路探究:根據在△ABC中任意兩邊之和大于第三邊,再利用分析法與綜合法結合證明不等式成立.
[證明] 要證明+>,
只需證明+->0即可.
∵+-=
∵a>0,b>0,c>0,m>0,
∴(a+m)(b+m)(c+m)>0,
∵a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+
6、am2+abc+abm+bcm+bm2-abc-bcm-acm-cm2=2abm+am2+abc+bm2-cm2=2abm+abc+(a+b-c)m2,
∵△ABC中任意兩邊之和大于第三邊,
∴a+b-c>0,∴(a+b-c)m2>0,
∴2abm+abc+(a+b-c)m2>0,
∴+>.
母題探究:1.(改變條件)本例刪掉條件“m>0”,證明:>.
[證明] 要證>.只需證a+b+(a+b)c>(1+a+b)c.
即證a+b>c.而a+b>c顯然成立.
所以>.
2.(改變條件)本例增加條件“三個內角A,B,C成等差數(shù)列”,求證:+=.
7、
[證明] 要證+=.
即證+=3,即證+=1.
即證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),
即證c2+a2=ac+b2.
∵△ABC三個內角A,B,C成等差數(shù)列.
∴B=60°.
由余弦定理,有b2=c2+a2-2cacos 60°,
即b2=c2+a2-ac.
∴c2+a2=ac+b2成立,命題得證.
[規(guī)律方法] 分析法,綜合法的應用
綜合法由因導果,分析法執(zhí)果索因,因此在實際解題時,常常把分析法和綜合法結合起來使用,即先利用分析法尋找解題思路,再利用綜合法有條理地表述解答過程.
反證法
已知x∈R,a=x2+,b
8、=2-x,c=x2-x+1,試證明a,b,c至少有一個不小于1.
【導學號:48662095】
[證明] 假設a,b,c均小于1,即a<1,b<1,c<1,
則有a+b+c<3,
而a+b+c=2x2-2x++3=2+3≥3,
兩者矛盾,所以假設不成立,
故a,b,c至少有一個不小于1.
[規(guī)律方法] 反證法的關注點
(1)反證法的思維過程:否定結論?推理過程中引出矛盾?否定假設肯定結論,即否定——推理——否定(經過正確的推理導致邏輯矛盾,從而達到新的“否定”,即肯定原命題).
(2)反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”
9、“至多……”等形式的命題時,也常用反證法.
[跟蹤訓練]
2.若x,y,z∈(0,2),求證:x(2-y),y(2-z),z(2-x)不可能都大于1.
[證明] 假設x(2-y)>1,且y(2-z)>1,且z(2-x)>1均成立,則三式相乘有xyz(2-x)(2-y)(2-z)>1, ①
由于0<x<2,所以0<x(2-x)≤ 1,
同理0<y(2-y)≤1,0<z(2-z)≤1,
三式相乘得0<xyz(2-x)(2-y)(2-z)≤1, ②
②與①矛盾,故假設不成立.
所以x(2-y),y(2-z),z(2-x)不
10、可能都大于1.
轉化與化歸思想的應用
已知α,β≠kπ+,(k∈Z)且sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin2β.
求證:=.
【導學號:48662096】
[證明] 要證=成立,
即證=.
即證cos2α-sin2α=(cos2β-sin2β),
即證1-2sin2α=(1-2sin2β),
即證4sin2α-2sin2β=1,
因為sin θ+cos θ=2sin α,sin θcos θ=sin 2 β,
所以(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=4sin2α,所以1+2sin2β=4sin2α,即4sin2α
11、-2sin2 β=1.故原結論正確.
[規(guī)律方法] 轉化與化歸思想
轉化與化歸的思想方法是數(shù)學中最基本的思想方法,數(shù)學中的一切問題的解決都離不開轉化與化歸.轉化與化歸的原則是將不熟悉的或難解的問題轉化為熟知的、易解或已經解決的問題;將抽象的問題轉化為具體的直觀的問題;
將復雜的問題轉化為簡單的問題;將一般性的問題轉化為直觀的特殊問題;將實際問題轉化為數(shù)學問題.本章中無論是推理過程還是用分析法、綜合法、反證法、數(shù)學歸納法證明問題的過程中都用到了轉化與化歸思想.
[跟蹤訓練]
3.已知函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù),a,b∈R.
(1)求證:如果a+b≥0,那么f(a)+f(b)≥f(-a
12、)+f(-b);
(2)判斷(1)中的命題的逆命題是否成立?并證明你的結論.
[解] (1)證明:當a+b≥0時,a≥-b且b≥-a.
∵f(x)在R上是增函數(shù),
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a),
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).
(2)(1)中命題的逆命題為“如果f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),那么a+b≥0”,此命題成立.
用反證法證明如下:
假設a+b<0,則a<-b,∴f(a)<f(-b).
同理可得f(b)<f(-a).
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),這與f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,故假設不成立,
∴a+b≥0成立,即(1)中命題的逆命題成立.
我國經濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉變經濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經濟結構,實現(xiàn)經濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。