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安徽省長豐縣高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.3 導數(shù)在研究函數(shù)中的應用 3.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)教案 新人教A版選修11

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1、 3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 項目 內(nèi)容 課題 (共 2 課時) 修改與創(chuàng)新 教學 目標 1.了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系; 2.能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,對多項式函數(shù)一般不超過三次。 教學重、 難點 教學重點:利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學難點: 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 教學 準備 多媒體課件 教學過程 一、導入新課: 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型,研究函數(shù)時,了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值

2、或最小值等性質(zhì)是非常重要的.通過研究函數(shù)的這些性質(zhì),我們可以對數(shù)量的變化規(guī)律有一個基本的了解.下面,我們運用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),從中體會導數(shù)在研究函數(shù)中的作用. 二、講授新課: 1.問題:圖3. 3-1(1),它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù)的圖像,圖3.3-1(2)表示高臺跳水運動員的速度隨時間變化的函數(shù)的圖像. 運動員從起跳到最高點,以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別? 通過觀察圖像,我們可以發(fā)現(xiàn): (1) 運動員從起點到最高點,離水面的高度隨時間的增加而增加,即是增函數(shù).相應地,. (2) 從最高點到入水,運動員離水面的高度隨時間的增加而減少,即是減函數(shù)

3、.相應地,. 2.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系 觀察下面函數(shù)的圖像,探討函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)正負的關(guān)系. 如圖3.3-3,導數(shù)表示函數(shù)在點處的切線的斜率. 在處,,切線是“左下右上”式的,這時,函數(shù)在附近單調(diào)遞增; 在處,,切線是“左上右下”式的,這時,函數(shù)在附近單調(diào)遞減. 結(jié)論:函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系 在某個區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 說明:(1)特別的,如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù). 3.

4、求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟: (1)確定函數(shù)的定義域; (2)求導數(shù); (3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間; (4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間. 三.典例分析 例1.已知導函數(shù)的下列信息: 當時,; 當,或時,; 當,或時, 試畫出函數(shù)圖像的大致形狀. 解:當時,,可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; 當,或時,;可知在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減; 當,或時,,這兩點比較特殊,我們把它稱為“臨界點”. 綜上,函數(shù)圖像的大致形狀如圖3.3-4所示. 例2.判斷下列函數(shù)的單調(diào)性,并求出單調(diào)區(qū)間. (1); (2) (3); (4) 解:(

5、1)因為,所以, 因此,在R上單調(diào)遞增,如圖3.3-5(1)所示. (2)因為,所以, 當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增; 當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減; 函數(shù)的圖像如圖3.3-5(2)所示. (3)因為,所以, 因此,函數(shù)在單調(diào)遞減,如圖3.3-5(3)所示. (4)因為,所以 . 當,即 時,函數(shù) ; 當,即 時,函數(shù) ; 函數(shù)的圖像如圖3.3-5(4)所示. 注:(3)、(4)生練

6、 例3.如圖3.3-6,水以常速(即單位時間內(nèi)注入水的體積相同)注入下面四種底面積相同的容器中,請分別找出與各容器對應的水的高度與時間的函數(shù)關(guān)系圖像. 分析:以容器(2)為例,由于容器上細下粗,所以水以常速注入時,開始階段高度增加得慢,以后高度增加得越來越快.反映在圖像上,(A)符合上述變化情況.同理可知其它三種容器的情況. 解: 思考:例3表明,通過函數(shù)圖像,不僅可以看出函數(shù)的增減,還可以看出其變化的快慢.結(jié)合圖像,你能從導數(shù)的角度解釋變化快慢的情況嗎? 一般的,如果一個函數(shù)在某一范圍內(nèi)導數(shù)的絕對值較大,那么函數(shù)在這個范圍內(nèi)變化的快,這時,函數(shù)的圖像就

7、比較“陡峭”;反之,函數(shù)的圖像就“平緩”一些. 如圖3.3-7所示,函數(shù)在或內(nèi)的圖像“陡峭”, 在或內(nèi)的圖像“平緩”. 例4.求證:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 證明:因為 當即時,,所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù). 說明:證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性步驟: (1)求導函數(shù); (2)判斷在內(nèi)的符號; (3)做出結(jié)論:為增函數(shù),為減函數(shù). 例5.已知函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù),求實數(shù)的取值范圍. 解:,因為在區(qū)間上是增函數(shù),所以對恒成立,即對恒成立,解之得: 所以實數(shù)的取值范圍為. 說明:已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍是一種常見的題型,常利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系:即“若函數(shù)單調(diào)遞增,則;

8、若函數(shù)單調(diào)遞減,則”來求解,注意此時公式中的等號不能省略,否則漏解. 例6.已知函數(shù)y=x+,試討論出此函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 解:y′=(x+)′ =1-1x-2= 令>0. 解得x>1或x<-1. ∴y=x+的單調(diào)增區(qū)間是(-∞,-1)和(1,+∞). 令<0,解得-1<x<0或0<x<1. ∴y=x+的單調(diào)減區(qū)間是(-1,0)和(0,1) 四.課堂練習 1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1.f(x)=2x3-6x2+7 2.f(x)=+2x 3. f(x)=sinx , x 4. y=xlnx 2.課本 練習 課堂小結(jié): (1)函數(shù)的單調(diào)性與

9、導數(shù)的關(guān)系 (2)求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間 (3)證明可導函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)性 布置作業(yè): P98 1,2 板書設計 3.3.1函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系 在某個區(qū)間內(nèi),如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 說明:(1)特別的,如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)是常函數(shù). 2.求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟: (1)確定函數(shù)的定義域; (2)求導數(shù); (3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間; (4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間. 例1、例2、例3、 例4、例5、例6 教學反思 函數(shù)是客觀描述世界變化規(guī)律的重要數(shù)學模型,研究函數(shù)時,了解函數(shù)的贈與減、增減的快與慢以及函數(shù)的最大值或最小值等性質(zhì)是非常重要的. 利用導數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性是非常有效的方法,因此,教師應結(jié)合圖像,分析單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系,得出由導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調(diào)性。在得出結(jié)論后要用一定量的例題和學習,使學生熟練掌握這一結(jié)論和求解步驟。 我國經(jīng)濟發(fā)展進入新常態(tài),需要轉(zhuǎn)變經(jīng)濟發(fā)展方式,改變粗放式增長模式,不斷優(yōu)化經(jīng)濟結(jié)構(gòu),實現(xiàn)經(jīng)濟健康可持續(xù)發(fā)展進區(qū)域協(xié)調(diào)發(fā)展,推進新型城鎮(zhèn)化,推動城鄉(xiāng)發(fā)展一體化因:我國經(jīng)濟發(fā)展還面臨區(qū)域發(fā)展不平衡、城鎮(zhèn)化水平不高、城鄉(xiāng)發(fā)展不平衡不協(xié)調(diào)等現(xiàn)實挑戰(zhàn)。

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