《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學畢業(yè)論文 矩陣的應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學畢業(yè)論文 矩陣的應(yīng)用（29頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 學科分類號 0701 本科生畢業(yè)論文(設(shè)計) 題目（中文）： 矩陣的應(yīng)用 （英文）： The Application of Matrix 學生姓名： 學　　號： 系　　別： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 專　　業(yè)： 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 指導教師： 起止日期： 2011.11—2012. 2012 年 月 8 日 懷化學院本科畢業(yè)論文(設(shè)計)誠信聲明 作者鄭重聲

2、明：所呈交的本科畢業(yè)論文(設(shè)計)，是在指導老師的指導下，獨立進行研究所取得的成果，成果不存在知識產(chǎn)權(quán)爭議．除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的成果．對論文的研究做出重要貢獻的個人和集體均已在文中以明確的方式標明．本聲明的法律結(jié)果由作者承擔． 本科畢業(yè)論文（設(shè)計）作者簽名： 年 月 日  目 錄 摘 要 I 關(guān)鍵詞 I Abstract II Key words II 1 前言 1 2 矩陣 3 2.1 矩陣的概念 3 2.2 矩陣的結(jié)論 5 3 矩陣的應(yīng)用 8 3.1 矩陣的逆矩陣 8 3.

3、2 矩陣的smith標準形 10 3.3 矩陣的相似對角化 12 3.4 若當標準形 14 3.5 零化多項式、特征多項式和最小多項式的關(guān)系 20 結(jié)論 22 參考文獻 23 致 謝 24 矩陣的應(yīng)用 摘 要 本文討論矩陣的應(yīng)用.首先給出了矩陣的逆的兩種計算方法及矩陣的smith標準形的三種計算方法,然后利用矩陣的性質(zhì)、定理得到了一般矩陣的相似對角化、若當標準形的兩種求解方法，以及同步求解若當標準形和過渡矩陣的三種方法，最后利用矩陣的性質(zhì)得到計算一般矩陣的最小多項式和若當標準形的方法，并由此探討了最小多項式、零化多項式和特征多項式的關(guān)系. 關(guān)鍵詞 矩陣；若當標

4、準形；相似對角化；最小多項式 The Application of Matrix Abstract This paper discusses some applications of matrix. Firstly, two calculation methods of inverse matrix as well as three calculation methods of smith normal form about matrix are given in the paper. Secondly, we use pro

5、perties and theorems of matrix to discuss similarity diagonalization of general matrix, and there are two calculation methods of Jordan canonical form as well as three solutions to synchronously calculate Jordan canonical form. Finally, we use properties of matrix to calculate minimal polynomial a

6、nd Jordan canonical form of general matrix, and thereby the relations between minimal polynomial, annihilation polynomial and characteristic polynomial are discussed. Key words matrix; Jordan canonical form; Similarity diagonalization; Minimal matrix 24 1 前言 在矩陣論中，我們把矩陣定義為數(shù)的陣列，即它的元素是數(shù)域上的數(shù)，

7、統(tǒng)稱數(shù)字矩陣．現(xiàn)在，把數(shù)字矩陣加以推廣，設(shè)是數(shù)域上的一個未定元，我們引進矩陣．由于的多項式可作加法、減法、乘法三種運算，并且它們與數(shù)的運算有相同的運算規(guī)律；而矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法的定義僅用到其元素的加法、減法、乘法，因此，我們可以同樣定義矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法，并且矩陣的這些運算同數(shù)字矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)量乘法具有相同的運算規(guī)律．矩陣行列式的定義也僅用到其元素的加法和乘法，因此，我們可以同樣定義一個階矩陣的行列式．一般來說，矩陣的行列式是的多項式，矩陣的行列式與數(shù)字矩陣的行列式有相同的性質(zhì)，有了矩陣行列式的概念，可以同樣定義矩陣的子式、余子式、代數(shù)余子式[1].還有

8、矩陣的其它性質(zhì)和結(jié)論可以參考文獻[2-5]，文獻[6]、[7]研究了矩陣的逆矩陣的求法，文獻[8]研究了矩陣的smith標準形的求法，文獻[9]、[10]利用矩陣研究了一般矩陣的若當標準形的求法，文獻[11]、[12]利用矩陣研究了如何同步求解矩陣的若當標準形和過渡矩陣． 矩陣的標準形問題不僅在矩陣理論和矩陣計算中有著重要地位，而且在力學、控制理論等學科中也有著廣泛的應(yīng)用．通常涉及的矩陣標準形有兩種：1.對角矩陣；2.若當標準形．一個階矩陣如果有個線性無關(guān)的特征向量，則必相似于對角矩陣，如果的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)小于，則一定不能和對角矩陣相似．這個問題就是我們要討論的矩陣在相似條件下

9、的若當標準形問題，一個階矩陣總可以相似于若當矩陣．若當矩陣在數(shù)值計算中經(jīng)常采用，利用它不僅容易求出矩陣的方冪，還在矩陣函數(shù)、矩陣級數(shù)、微分方程等方面有著廣泛的應(yīng)用．求矩陣到其若當標準形及過渡矩陣自然成為一個重要性的研究課題，由于過渡矩陣涉及到復雜的計算問題，在眾多的包含矩陣理論的著作中，有些只討論了矩陣的若當標準形而未討論過渡矩陣的求法，有些給了算法，但較為繁瑣，由此可見，為了更全面地掌握矩陣的理論，我們有必要對其進行研究． 在本文中，我們側(cè)重的是利用矩陣的性質(zhì)定理研究矩陣的應(yīng)用問題：包括求解矩陣的逆矩陣、矩陣的smith標準形，一般矩陣的相似對角化問題，矩陣的若當標準形的求解方法，

10、同步求解一般矩陣的若當標準形和過渡矩陣的方法，探討最小多項式、零化多項式及特征多項式的關(guān)系．本文以矩陣的應(yīng)用為中心點，將主體部分分為三部分，第一章論述是第二章的基礎(chǔ)，第三章根據(jù)第二章推導出論文的結(jié)論． 本文從知識的歸納到一些證明題的證明方法和計算題的方法技巧，都可以用來借鑒，無論是考研，還是學習矩陣．但是，本文也有待完善，需要添加更多的有關(guān)矩陣的應(yīng)用知識，或者可以將有關(guān)矩陣的延伸知識加進去． 2 矩陣 本節(jié)由兩部分組成．第一部分介紹了矩陣的概念，第二部分介紹了矩陣的性質(zhì)和定理，重點是了解矩陣的標準形理論，不變因子、行列式因子及初等因子這三個重要的概念． 2.1 矩陣的概

11、念 定義2.1[1] 設(shè)是一個數(shù)域,是一個文字,作多項式環(huán).一個矩陣,如果它的元素是的多項式,即的元素，就稱為矩陣. 與數(shù)字矩陣類似,對矩陣也可以引入秩、逆矩陣、初等變換、等價關(guān)系的定義. 定義2.2 如果矩陣中有一個級子式不為零,而所有級子式(如果有的話)全為零,則稱的秩為.零矩陣的秩規(guī)定為零. 如是階數(shù)字矩陣,則的秩為. 定義2.3 一個的矩陣稱為可逆的,如果有一個的矩陣使,這里是級單位矩陣,其中稱為的逆矩陣,記為. 如果階矩陣可逆,則它的逆矩陣是唯一的,這和數(shù)字矩陣是一樣的. 定義2.4 下面的三種初等變換叫做矩陣的初等變換:⑴矩陣的兩行（列）互換位置;

12、⑵矩陣的某一行(列）乘以非零的常數(shù);⑶矩陣的某一行（列）加另一行（列）的倍,是一個多項式. 與數(shù)字矩陣一樣,上面三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣:⑴;⑵;⑶,它們都是可逆初等矩陣. 下面介紹矩陣三個重要的概念,即行列式因子、不變因子、初等因子,它們?yōu)槲覀兒竺嬗懻摼仃嚨南嗨茖腔瘲l件和矩陣的標準形理論做準備. 定義2.5 任意一個非零的的矩陣都等價于下列形式的矩陣 (2.1) 其中,是首項系數(shù)為1的多項式,且 .最后化成的這個矩陣就稱為的smith標準形[2],且是唯一的.在上述標準形中,稱為的不變因子. 定義2.6 設(shè)矩陣的秩為,對正整數(shù)

13、,,中必有非零的階子式.中全部級子式的首項系數(shù)為1的最大公因式稱為的級行列式因子. 定義2.7[2] 將矩陣的所有不變因子在數(shù)域上分解為標準分解式,則在標準分解式中出現(xiàn)的全部不可約因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為的初等因子． 特別地,在復數(shù)域上,由代數(shù)基本定理，的初等因子都是一次因式的方冪． 矩陣中幾乎涉及高等代數(shù)的各個部分,如下面介紹的零化多項式和最小多項式． 定義2.8[3] 設(shè)為階矩陣,如果存在多項式使得,則稱為的零化多項式． 顯然，特征多項式是零化多項式． 定義2.9 階矩陣的所有零化多項式中,次數(shù)最低且首項系數(shù)為1的多項式稱為的最小多項

14、式． 2.2 矩陣的結(jié)論 這一節(jié)我們主要介紹有關(guān)矩陣的一些性質(zhì)、定理（由于部分是參考文獻中的主要結(jié)論或者推廣，所以沒有全部給出證明）, 在熟悉有關(guān)矩陣的重要性質(zhì)及定理的基礎(chǔ)上，下一章我們將介紹矩陣的一些應(yīng)用. 定理2.1[1] 一個的矩陣是可逆的充分必要條件為行列式是一個非零的數(shù). 在數(shù)字矩陣中,級矩陣可逆的充分必要條件是(或滿秩).當矩陣可逆時,必有,即是滿秩的.但滿秩的矩陣不一定是可逆的,因為滿秩矩陣的行列式可以是不恒為零的的多項式,只有當它的行列式為非零的數(shù)時,才稱為可逆的. 性質(zhì)2.1[2] 行列式因子與不變因子的關(guān)系:設(shè)是秩為的的矩陣,是的行列式因子,而是

15、的不變因子,則 (2.2) 由此性質(zhì)可知,行列式因子和不變因子是相互確定的. 下面給出矩陣相似的幾個條件. 定理2.2[1] 設(shè)是數(shù)域上兩個矩陣,與相似的充分必要條件是它們的特征矩陣與等價. 推論2.1[1] 矩陣與相似的充分必要條件是它們有相同的不變因子或行列式因子. 特殊的，在復數(shù)域上，不可約因式只有一次因式,由推論2.1得定理2.3. 定理2.3[1] 兩個同級復數(shù)矩陣相似的充分必要條件是它們有相同的初等因子. 下面給出矩陣相似于對角矩陣的條件. 定理2.4[1] 階矩陣與對角矩陣相似的充要條件是A的最小多項式無重根. 定理2.5 復數(shù)矩陣的最小

16、多項式就是的最后一個不變因子. 證明　設(shè)的全部初等因子為 其中互不相同,則.另一方面, 由若當定理知 ～=, 其中,,而 .則 定理2.6[4] 矩陣相似于對角矩陣的充分條件為 1)的某一個零化多項式無重根; 2)特別是的特征多項式無重根. 性質(zhì)2.2 級若當矩陣的全部初等因子為 . 由性質(zhì)2.2可得定理2.7. 定理2.7 復數(shù)域上的每個級矩陣都與一個若爾當形矩陣相似,這個若爾當形矩陣除去其中若當塊的排列次序外是被矩陣惟一確定的,稱為的若爾當標準形. 定理中被矩陣惟一決定就指的是被的初等因子及初等因子的方冪所惟一決定. 3

17、矩陣的應(yīng)用 這一章利用2.2中的性質(zhì)、定理討論矩陣的應(yīng)用,考研中出現(xiàn)的很多關(guān)于矩陣的題目都是涉及到這些性質(zhì)、定理. 3.1 矩陣的逆矩陣 本節(jié)重點介紹求可逆矩陣的逆矩陣的一種新方法． 例1 判斷是否可逆，若可逆,求出它的逆矩陣. 解 由定理2.1知是可逆的.由求逆矩陣公式知道， 新方法[6] 設(shè)是的可逆矩陣，構(gòu)造分塊矩陣, ,其中是的單位矩陣,是的矩陣.由得, ,即,故. 例2 用新方法求例1中的逆矩陣. 解

18、 ∴ . 從例2可見,新方法盡管篇幅大一點,但整個計算過程簡潔、自然,因而較之傳統(tǒng)方法而言,它是一個行之有效的簡便方法. 3.2 矩陣的smith標準形 矩陣的標準形是矩陣理論中一項重要而基礎(chǔ)的內(nèi)容,求矩陣的標準形具有很強的靈活性和技巧性.下面我們介紹兩種基本的方法:初等變換法和不變因子法. 方法一 初等變換法,即對矩陣進行一系列初等行(列)的變換,使得最后化成的矩陣如定義2.6中2.1的形式. 例3 求的標準形. 解 對進行初等變換 最后一個矩陣即為所求的標準形. 方法二[8] 不變因子法.我們

19、分以下兩種類型． 類型一 利用性質(zhì)2.1中行列式因子與不變因子的關(guān)系2.2求出矩陣的不變因子即可求出矩陣的smith標準形. 例4 求的標準形. 解 由于故.的非零的二階子式有三個: 故.而. 于是的不變因子為: .故的標準形為:. 類型二 利用初等因子和不變因子的關(guān)系求smith標準形. 例5 求的標準形. 解 已是對角形,但還不是標準形.此時矩陣的秩為3,且全部初等因子為:.于是矩陣的不變因子為.故標準形為:. 3.3 矩陣的相似對角化 為了研究矩陣的相似對角化問題，直接處理矩陣的相似關(guān)系是比較困難的,本節(jié)將利用定理2.4、推論2.1

20、、定理2.5、定理2.7、定理2.10來研究矩陣的相似對角化,使得問題具體化. 例6 設(shè)是實矩陣. . 證明彼此相似. 證明　 . 這說明與等價,由定理2.2得:～. 類似可證明～.再由于相似是一種等價關(guān)系,得:～.從而彼此相似. 例7 證明與相似. 證明　與對應(yīng)的級子式互為轉(zhuǎn)置,因而對應(yīng)的級子式相等.這樣與有相同的各級行列式因子,由推論2.1得:與相似. 例8 判斷下列矩陣中,哪些與相似?其中 . 解 ,的初等因子為;,的初等因子為，;,的初等因子為;,的初等因子為. 由定理2

21、.3得:僅有～. 例9 設(shè)復數(shù)矩陣的最小多項式為.證明:與對角陣相似. 證明　因為.即的最小多項式無重根,定理2.4得:相似于對角陣. 例10 級矩陣稱為周期矩陣,如果存在正整數(shù),使,其中為單位矩陣.證明:復數(shù)域上的周期矩陣一定可以對角化. 證 由已知條件知,有零化多項式:. 而,即的零化多項式無重根.由定理2.6中的1)得可對角化. 在實數(shù)域上的矩陣不一定可對角化,比如,,則.但無實特征值. 例11 設(shè),試證明:在復數(shù)域上可對角化. 證明計算可得， , 用輾轉(zhuǎn)相除法可得,即的特征多項式無重根.由定理2.6中的2)得相似

22、于對角陣. 3.4 若當標準形 矩陣的若當標準形理論在數(shù)學、力學和計算方法中有廣泛的應(yīng)用.本節(jié)將介紹兩種方法求解若當標準形:初等因子法;波爾曼法.并且還給出了同步求解若當標準形和過渡矩陣的三種方法:一般方法;行列互逆初等變換法;矩陣初等變換法. 首先我們討論求解若當標準形的兩種方法． 方法一[9] 初等因子法.由性質(zhì)2.2和定理2.7,知道了矩陣的初等因子即可求出矩陣的若當標準形. 例12 設(shè),求出的初等因子,并寫出的若當標準形. 解 ,則的初等因子為:. 由的初等因子知道,的若當標

23、準形為. 方法二 波爾曼法.其基本步驟如下: 第一步，求出的所有特征值. 第二步，對每個不同的特征值和每個求的秩,記為 在計算秩時,若對某個,使 則對所有,都有 第三步，對每個求關(guān)于的若當塊的階數(shù)和若當塊的個數(shù). 這里需要說明的是,若求出,則說明有個關(guān)于的階若當塊. 第四步，寫出與相似的若當標準形,它由的每個特征值的個關(guān)于的階若當塊的直和組成. 下面以例13來說明波爾曼法. 例13 求矩陣的若當標準形. 解 第一步，求的特征值 特征值為:. 第二步，求的秩 第三步，求若當塊的個數(shù)和階數(shù) 這說明的若當標準形必有1個關(guān)于的1階若當塊和1個關(guān)

24、于的2階若當塊,它們的直和已是3階,故不必再求了.所以的若當標準形為. 接下來，如何把矩陣到若當標準形的過渡矩陣求出來呢？我們有三種方法． 方法一[11] ：一般方法. 設(shè),的全部根為(互異),其中的重數(shù)為,,對每個求齊次線性方程組基礎(chǔ)解系,,若,令,再解方程組　,求出個解,記為(的廣義特征向量),令,則. 例14 已知,求的若當標準形,并求可逆矩陣,使. 解 ,所以, (二重). 對特征根,求相應(yīng)的特征向量:解方程組得基礎(chǔ)解系. 對特征根,求相應(yīng)的特征向量:解方程組,得基礎(chǔ)解系. 因為,再求廣義特征向量,解方程組,得基礎(chǔ)解系 .

25、 令,則. 方法二：行列互逆初等變換法. 設(shè)為任意階方陣,先作一個矩陣,對的列施以若干次初等變換,記相應(yīng)的初等矩陣依次為,在每次(第次)列變換后立即對行施以一次與初等矩陣相對應(yīng)的初等行變換,使的子塊化為若當標準形矩陣,此時的子塊即變?yōu)檫^渡矩陣. 例15 我們利用方法二解答例14. 解 所以. 方法三：矩陣初等變換法. 設(shè)為任意階方陣,對進行矩陣初等變換,化為對角矩陣形如,并進而化為的形式,求出,于此同時對單位矩陣進行上述變換中的列變換,當變?yōu)闀r,變成了,令,則可逆,且滿足． 例16 我們利用方法三解答例14.

26、 解 所以. 方法二與方法三都可以實現(xiàn)矩陣若當標準形及過渡矩陣的同步求解,比方法一要來的簡單,特別是方法二,當?shù)碾A數(shù)不大時,每一步初等變換的選取都不難.這兩種方法最后求得的若當標準形,除了若當塊的排列次序外是唯一的,但過渡矩陣一般不唯一. 3.5 零化多項式、特征多項式和最小多項式的關(guān)系 本節(jié)主要應(yīng)用定理2.5求矩陣的最小多項式及若當標準形(例17、18),還探討了有關(guān)零化多項式、特征多項式及最小多項式的關(guān)系(例19、20). 例17 求的最小多項式 解 對矩陣作初等變換,可得 由于,由定理2.5得:的

27、最小多項式為. 例18 設(shè)的特征多項式及最小多項式 ,試求出的可能的若當標準形. 解 首先由假設(shè)和定理2.5知道是7階方陣,且最后一個不變因子為． (1)當時,,因此的初等因子為,故的若當標準形為 (2)當時,,因此的初等因子為,從而的若當標準形為 例19 設(shè)矩陣的最小多項式為,是任意多項式.證明. 證明　“”:若,則是矩陣的零化多項式,設(shè),其中或. 因,若,而,　,由定義2.9知這與次數(shù)的最小性矛盾,故,. “”:若,則. 例20 設(shè)是階矩陣,證明 (1)的特征多項式與最小多項式的根相同; (2)若的特征根

28、互異,則. 證明　(1)因,其中 是的不變因子,且. 設(shè)是的任一特征根,則,一定存在某一個,而,所以,即的根都是的根.故有相同的根. (2)由(1)和題設(shè),,所以. 4 結(jié)論 矩陣的運用比較廣泛，在很多數(shù)學分支中都有著廣泛的應(yīng)用，尤其是在高等代數(shù)方面的應(yīng)用顯得很重要，雖然矩陣的相關(guān)概念比較簡單，但是我們在做有關(guān)習題的時候發(fā)現(xiàn)很多地方都需要靈活轉(zhuǎn)變，所以有關(guān)矩陣的內(nèi)容一直是一些學生不容易領(lǐng)會和掌握的． 本文深入總結(jié)有關(guān)矩陣的一些性質(zhì)定理，并運用這些性質(zhì)定理解決了有關(guān)矩陣的問題：1.如何計算可逆矩陣的逆矩陣．2.怎樣計算矩陣的smith標準形．3.矩陣的相似對角化的判定．4.

29、如何求解矩陣的若當標準形，有哪些方法？以及如何同步求解矩陣的若當標準形和過渡矩陣．5.探討了最小多項式、零化多項式及特征多項式的關(guān)系．我在研究的過程中，加強了我對矩陣的認識，并且這個工作有利于今后對矩陣的進一步研究.這個過程并不能止于此，我們需要更多地應(yīng)用矩陣去解決相關(guān)的問題． 參考文獻 [1] 北京大學數(shù)學系.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版,2003:328-358. [2] 徐仲.高等代數(shù)導教.導學.導考[M].西安:西安工業(yè)大學出版社,2006:451-492. [3] 戴華.矩陣論[M].北京:科學出版社,2001:82-110. [4] 錢吉林.高等代數(shù)題解精粹[M

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