《高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 柯西不等式應(yīng)用例析素材 新人教A版選修45》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 柯西不等式應(yīng)用例析素材 新人教A版選修45（3頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 柯西不等式應(yīng)用例析 柯西不等式(＋＋…＋)≤(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b) (等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)==……=時(shí)成立)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，在證明有些不等式時(shí)十分奏效．下面介紹幾例． 例1 已知a、b、c，求證：(＋＋)(＋＋)≥9． 證明：由柯西不等式得 (＋＋)(＋＋) = [＋＋][＋＋]≥(·＋·＋·)= (1＋1＋1)= 9． 例2 在△ABC中，設(shè)其各邊長(zhǎng)為a、b、c，外接圓半徑，求證：(＋＋)(＋＋)≥． 證明：∵===，∴由柯西不等式得 (＋＋)(＋＋) = (＋＋)= (＋＋)=． 例3 已知a、b、cR+，a＋b＋c = 1，求證

2、：＋＋≤4． 證明：∵a＋b＋c = 1，∴由柯西不等式得 (＋＋)= (1·＋1·＋1·)≤(1＋1＋1)(13a＋1＋13b＋1＋13c＋1) = 3[13(a＋b＋c)＋3] = 48， ∵＋＋＞0， ∴ ＋＋≤= 4． 例4 設(shè)a、b、cR+，a＋b＋c = 1，求證：(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥． 證明：∵a＋b＋c = 1，∴由柯西不等式得 (a＋)＋(b＋)＋(c＋) =(1＋1＋1)[(a＋)＋(b＋)＋(c＋)] ≥[1·(a＋)＋1·(b＋)＋1·(c＋)] =[( a＋b＋c)＋(＋＋)

3、] =[1＋( a＋b＋c)(＋＋)] ={[1＋()＋()＋()] [()＋()＋()]} ≥[1＋(·＋·＋·)] =(1＋3) =． 例5 設(shè)，，，…，為正數(shù)，求證：＋＋＋…＋＋≥＋＋＋…＋． 證明：由柯西不等式得 (＋＋＋…＋＋)(＋＋…＋＋) ≥(·＋·＋…＋·＋·) = (＋＋＋…＋)， ∴＋＋＋…＋＋≥=＋＋＋…＋． 例6 已知，，，…，為兩兩不相等的正整數(shù)，求證：對(duì)任何正整數(shù)n，不等式＋＋…＋≥＋＋…＋成立． 證明：∵，，，…，是兩兩不相等的正整數(shù)， ∴＋＋…＋≥＋＋…＋， 由柯西不等式得 (＋＋…＋)(＋＋…＋) ≥(·＋·＋…＋·) = (＋＋…＋)， ∴＋＋…＋≥≥=＋＋…＋． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375