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1、
第二講 證明不等式的基本方法
單元整合
知識網(wǎng)絡
專題探究
專題一 比較法
比較法證明不等式的依據(jù)是:不等式的意義及實數(shù)比較大小的充要條件.作差比較法證明的一般步驟是:①作差;②恒等變形;③判斷結(jié)果的符號;④下結(jié)論.其中,變形是證明推理中一個承上啟下的關(guān)鍵,變形的目的在于判斷差的符號,而不是考慮差能否化簡或值是多少,變形所用的方法要具體情況具體分析,可以配方,可以因式分解,可以運用一切有效的恒等變形的方法.
設a≠b,求證:a2+3b2>2b(a+b).
提示:用作差比較法證明.作差比較法的步驟是:①作差;②變形;③判斷差與0的大小關(guān)系;④下結(jié)論,其中最關(guān)鍵的步驟是②③.
2、
證明:(a2+3b2)-2b(a+b)=a2+3b2-2ab-2b2=a2-2ab+b2=(a-b)2.
因為a≠b,所以a-b≠0.
從而(a-b)2>0,
于是(a2+3b2)-2b(a+b)>0.
所以a2+3b2>2b(a+b).
若a=,b=,c=,則( )
A.a(chǎn)<b<c B.c<b<a
C.c<a<b D.b<a<c
提示:作商比較法的步驟是:①作商;②變形;③判斷商與1的大小關(guān)系;④下結(jié)論.其中②③是關(guān)鍵步驟,同時要注意分子、分母的正負.
解析:∵==log89>1,且a>0,b>0,∴b>a.
又∵==log2532>1,且a
3、>0,c>0,
∴a>c.∴c<a<b.
答案:C
專題二 綜合法
綜合法證明不等式的依據(jù):已知的不等式以及邏輯推證的基本理論.證明時要注意:作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同,應用時要先考慮是否具備應有的條件,避免錯誤,如一些帶等號的不等式,應用時要清楚取等號的條件,即對重要不等式中“當且僅當……時,取等號”的理由要理解掌握.綜合法證明不等式的思維方面是“順推”,即由已知的不等式出發(fā),逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?,最后推導出所要證明的不等式成立.
已知a,b,c為△ABC的三條邊,求證:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
提示:應用余弦定
4、理解決.
證明:設a,b兩邊的夾角為θ,則由余弦定理,得:
cos θ=
因為0<θ<π,∴cos θ<1,
∴<1,即a2+b2-c2<2ab.
同理可證:b2+c2-a2<2bc,
c2+a2-b2<2ac,
將上面三個同向不等式相加,即得:
a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)
專題三 分析法
分析法證明不等式的依據(jù):不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論.分析法證明不等式的思維方向是“逆求”(但絕不是逆推),即由待證的不等式出發(fā),逐步逆求使其成立的充分條件(執(zhí)果索因),最后得到充分條件是已知(或已證)的不等式.當要證的不等式不知從何入手時,可考慮
5、用分析法去證明,特別是對于條件簡單而結(jié)論復雜的題目往往更為有效.分析法是“執(zhí)果索因”,步步尋求上一步成立的充分條件,而綜合法是“由因?qū)Ч保鸩酵茖С霾坏仁匠闪⒌谋匾獥l件,兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法,一般說來,對于較復雜的不等式,直接用綜合法往往不易入手,因此,常用分析法探索證題途徑,然后用綜合法加以證明,所以分析法和綜合法可結(jié)合使用.
設a>0,b>0,求證:a5+b5≥a3b2+a2b3.
提示:此題可以用分析法、綜合法和比較法來證明,這里我們用分析法證明.
證明:要證a5+b5≥a3b2+a2b3成立,
即證(a5-a3b2)+(b5-a2b3)≥0成立,
即證a3(a2-b2)
6、+b3(b2-a2)≥0成立,
即證(a3-b3)(a2-b2)≥0成立.
而a>0,b>0,當a≥b>0或b≥a>0時,
a3-b3與a2-b2的符號都相同,
所以(a3-b3)(a2-b2)≥0成立.
所以原不等式成立.
專題四 反證法
運用反證法證明不等式,主要有以下兩個步驟:①作出與所證不等式相反的假設;②從條件和假設出發(fā),應用正確的推理方法,推出矛盾的結(jié)論,否定假設,從而證明原不等式成立.
反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題.涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命題,也常用反證法.
用反證法證明鈍角三角形最大邊上的中線小于該邊長
7、的一半.
解:已知:如圖,在△ABC中,∠CAB>90,D是BC的中點.
求證:AD<BC.
證明:假設AD≥BC.
(1)若AD=BC,由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半,那么,這條邊所對的角為直角”,知∠CAB=90,與題設矛盾.
所以AD≠BC.
(2)若AD>BC,因為BD=DC=BC,
所以在△ABD中,AD>BD,
從而∠B>∠BAD.同理∠C>∠CAD.
所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD,
即∠B+∠C>∠CAB.
因為∠B+∠C=180-∠CAB,
所以180-∠CAB>∠CAB,
則∠CAB<90,這與題設矛盾.
由(1)
8、(2)知AD<BC.
專題五 放縮法
在證明不等式時,有時我們要把所證不等式的一邊適當?shù)胤糯?或縮小)以方便化簡,并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯,從而得到欲證的不等式成立,這種證明的方法稱為放縮法.它是證明不等式的特殊方法.
已知a,b,c為三角形的三邊,求證:
,,也可以構(gòu)成一個三角形.
證明:設f(x)=,x∈(0,+∞),0<x1<x2,
則f(x2)-f(x1)=-=
>0,f(x2)>f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).
∵a,b,c為三角形三邊,
∴a+b>c,
∴<=+<+,即<+,
同理可證:<+,<+,
∴以,,為邊可構(gòu)成一個三角形.
6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375