高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1
《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 2.2 函數(shù)的簡單性質(zhì)名師導(dǎo)航學(xué)案 蘇教版必修1(11頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、 2.1.3 函數(shù)的簡單性質(zhì) 名師導(dǎo)航 知識梳理 1.基礎(chǔ)知識圖表 2.函數(shù)的單調(diào)性 如果對于屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時,都有__________,那么就說f(x)在這個區(qū)間上是增函數(shù). 如果對于屬于定義域A內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當x1<x2時,都有__________,那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數(shù). 如果函數(shù)f(x)在某個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性,這一區(qū)間叫做f(x)的__________. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,必須先
2、求函數(shù)的定義域. 討論函數(shù)y=f[φ(x)]的單調(diào)性時要注意兩點: (1)若u=φ(x),y=f(u)在所討論的區(qū)間上都是增函數(shù)或都是減函數(shù),則y=f[φ(x)]為________; (2)若u=φ(x),y=f(u)在所討論的區(qū)間上一個是增函數(shù),另一個是減函數(shù),則y=f[φ(x)]為__________. 若函數(shù)f(x)、g(x)在給定的區(qū)間上具有單調(diào)性,利用增(減)函數(shù)的定義容易證得在這個區(qū)間上: (1)函數(shù)f(x)與f(x)+C(C為常數(shù))具有__________的單調(diào)性. (2)C>0時,函數(shù)f(x)與Cf(x)具有的單調(diào)性;C<0時,函數(shù)f(x)與Cf(x)具有_
3、_________的單調(diào)性. (3)若f(x)≠0,則函數(shù)f(x)與具有__________的單調(diào)性. (4)若函數(shù)f(x)、g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)+g(x)仍是增(減)函數(shù). (5)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)g(x)也是增(減)函數(shù);若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)與g(x)都是增(減)函數(shù),則f(x)g(x)是減(增)函數(shù). 使用上述結(jié)論,可以簡便地求出一些函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.根據(jù)定義討論(或證明)函數(shù)增減性的一般步驟是: (1)設(shè)x1、x2是給定區(qū)間內(nèi)的任意兩個值且x1<x2; (2)作差f(x1)-f(
4、x2),并將此差化簡、變形; (3)判斷f(x1)-f(x2)的正負,從而證得函數(shù)的增減性. 利用函數(shù)的單調(diào)性可以把函數(shù)值的大小比較的問題轉(zhuǎn)化為自變量的大小比較的問題. 函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.這即是說,函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集. 3.函數(shù)的奇偶性 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有________________,那么f(x)叫做奇函數(shù). 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有________________,那么f(x)叫做偶函數(shù). 奇函數(shù)的圖象關(guān)于_________對稱;偶函數(shù)的圖象關(guān)于___
5、_______對稱. 如果函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或是偶函數(shù),那么就說函數(shù)f(x)具有奇偶性. 函數(shù)按是否具有奇偶性可分為四類:奇函數(shù),偶函數(shù),既奇且偶函數(shù)(既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)),非奇非偶函數(shù)(既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)). 函數(shù)的奇偶性是針對函數(shù)的整個定義域而言的,因此奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì). 由于任意x和-x均要在定義域內(nèi),故奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點對稱.所以,我們在判定函數(shù)的奇偶性時,首先要確定函數(shù)的定義域(函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.如果其定義域關(guān)于原點不對稱,那么它沒有奇偶性),然后再判斷f(-x)與f(
6、x)的關(guān)系,從而確定其奇偶性. 判斷函數(shù)的奇偶性有時可用定義域的等價形式f(-x)f(x)=0或=1〔f(x)≠0〕來代替.存在既奇且偶函數(shù),例如f(x)=. 當f(-x)與f(x)之間的關(guān)系較隱蔽時,容易產(chǎn)生“非奇非偶”的錯覺,萬萬不可草率下結(jié)論. 函數(shù)的圖象能夠直觀地反映函數(shù)的奇偶性.f(x)為奇函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,f(x)為偶函數(shù)的充要條件是函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱. 奇函數(shù)和偶函數(shù)還具有以下性質(zhì): (1)兩個奇函數(shù)的和(差)仍是奇函數(shù),兩個偶函數(shù)的和(差)仍是偶函數(shù). (2)奇偶性相同的兩個函數(shù)的積(商、分母
7、不為零)為偶函數(shù),奇偶性相反的兩個函數(shù)的積(商、分母不為零)為奇函數(shù). (3)奇函數(shù)在其定義域的對稱區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其定義域的對稱區(qū)間上單調(diào)性相反. (4)定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的和,即f(x)=. (5)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函數(shù),則f(0)=0. 疑難突破 1.怎樣理解函數(shù)的增減性? 函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù),是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的.有的函數(shù)在一些區(qū)間上是增函數(shù),而在另一些區(qū)間上不是增函數(shù).例如函數(shù)y=x2,當x∈[0,+∞)時是增函數(shù),當x∈(-∞,0)時是減函數(shù). 2.對于函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)
8、間,你是怎樣理解的?
由定義,在單調(diào)區(qū)間上,增函數(shù)的圖象是上升的,減函數(shù)的圖象是下降的.
說明:(1)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是其定義域的子集.
(2)應(yīng)是該區(qū)間內(nèi)任意的兩個實數(shù),忽略需要任意取值這個條件,就不能保證函數(shù)是增函數(shù)(或減函數(shù)),例如,右圖中,在x1、x2那樣的特定位置上,雖然使得f(x1)>f(x2),但顯然此圖象表示的函數(shù)不是一個單調(diào)函數(shù).
(3)除了嚴格單調(diào)函數(shù)外,還有不嚴格單調(diào)函數(shù),它的定義類似上述的定義,只要將上述定義中的“f(x1)
9、延: 內(nèi)涵是用自變量的大小變化來刻畫函數(shù)值的變化情況; 外延:①一般規(guī)律:自變量的變化與函數(shù)值的變化一致時是單調(diào)遞增,自變量的變化與函數(shù)值的變化相對應(yīng)時是單調(diào)遞減. ②幾何特征:在自變量取值區(qū)間上,若單調(diào)函數(shù)的圖象上升,則為增函數(shù),圖象下降則為減函數(shù). 若f(x)、g(x)都為增函數(shù)(減函數(shù)),則f(x)+g(x)為增函數(shù)(減函數(shù)). 若f(x)為增函數(shù),g(x)為減函數(shù),則f(x)-g(x)為增函數(shù);若f(x)為減函數(shù),g(x)為增函數(shù),則f(x)-g(x)為減函數(shù). 奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同;偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反. 3.
10、怎樣理解函數(shù)的奇偶性? 奇函數(shù)或偶函數(shù)都是定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的函數(shù),且等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是定義在對稱區(qū)間上的恒等式,而不是只對自變量的部分值成立的方程,所以,只要出現(xiàn)以下兩種情況之一,函數(shù)就不是偶函數(shù)或奇函數(shù): (1)定義域不是關(guān)于原點對稱的區(qū)間; (2)f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)不是定義在定義域上的恒等式. 問題探究 問題1 在函數(shù)的單調(diào)性定義中,你認為哪些詞語最為關(guān)鍵? 探究思路:函數(shù)的單調(diào)性定義中有這樣幾個關(guān)鍵詞語:(1)“對于‘區(qū)間I’內(nèi)”,這“區(qū)間I”應(yīng)滿足“IA”,即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有時是函數(shù)定義區(qū)間的某個子
11、區(qū)間.(2)“如果對于區(qū)間I內(nèi)的‘任意’兩個值x1、x2”,這里x1、x2的任意性是非常重要的,這是把區(qū)間上無限多個函數(shù)的大小問題轉(zhuǎn)化為任意兩個函數(shù)值大小的關(guān)鍵.(3)“當x1<x2時,‘都有’f(x1)<f(x2)”,“都有”的意思是無一例外. 問題2 如果一個函數(shù)在兩個區(qū)間上同增減,那么在這兩個區(qū)間的并集上是不是還符合原來的增減性? 探究思路:對某一函數(shù)y=f(x),它在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都是單調(diào)增(減)函數(shù),不能說y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是單調(diào)增(減)函數(shù).比如說,函數(shù)y=在(-∞,0)、(0,+∞)內(nèi)都是減函數(shù),但在(-∞,0)∪(0,+∞)上不能說
12、是減函數(shù),這是因為取個特例x1=1,x2=-1,可見y1=1,y2=-1,這時變成x1>x2時,卻有y1>y2,不再符合減函數(shù)的定義. 問題3 你認為函數(shù)奇偶性定義中的哪些詞語最為關(guān)鍵?一個函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),你能說出它們的定義域有什么共同的特征嗎? 探究思路:定義中“定義域內(nèi)的任意一個x”即x是定義域內(nèi)任意的,不可只對部分特殊值滿足條件.如f(x)=x2,x∈(-2,2],f(-1)=f(1),f(-)=f(),f(2)雖然存在,但f(-2)無定義,故f(-2)=f(2)不成立,所以f(x)是無奇偶性的. 定義中“都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)”,即遍布定
13、義域內(nèi)的所有x都滿足f(-x)是否等于f(x). 問題4 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的區(qū)別是什么? 探究思路:根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義我們知道:函數(shù)的單調(diào)性反映函數(shù)值的變化趨勢,反映在圖象上,是曲線的上升或下降.它通過定義區(qū)間(或子區(qū)間)內(nèi)的任意兩點x1、x2所對應(yīng)的函數(shù)值大小的比較,推斷定義區(qū)間(或其子區(qū)間)內(nèi)無限多個函數(shù)值間的大小關(guān)系;函數(shù)的奇偶性反映函數(shù)的整體性態(tài),即函數(shù)的奇偶性是函數(shù)圖象對稱性的代數(shù)描述. 問題5 函數(shù)的奇偶性反映在函數(shù)圖象上表現(xiàn)為圖象的對稱性,你能說出奇偶性與對稱性之間的對應(yīng)關(guān)系嗎?用定義來判斷函數(shù)的奇偶性的一般步驟是什么? 探究思路:奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點
14、成中心對稱圖形,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對稱圖形;反之也成立.所以可用函數(shù)圖象的對稱性來判斷函數(shù)的奇偶性. 判斷函數(shù)奇偶性的一般方法是利用定義,通常是先求函數(shù)的定義域,觀察定義域是否關(guān)于原點對稱,然后驗證f(-x)是否等于f(x);有時也可利用定義的變形形式,如驗證f(-x)f(x)=0,或=1〔f(x)≠0〕是否成立. 典題精講 例1 證明函數(shù)y=x+在(1,+∞)上為增函數(shù). 思路解析 證明函數(shù)的增減性,先在定義域上取x1<x2,然后作差f(x1)-f(x2),判斷這個差的符號即可. 證明:設(shè)x1、x2是(1,+∞)上的任意兩個實數(shù),且x1<x2,則f(x1)-f(x
15、2)=x1+-(x2+)=x1-x2 +(-)=x1-x2-=(x1-x2)(). ∵x1-x2<0,x1x2-1>0,x1x2>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). ∴函數(shù)y=x+在(1,+∞)上為增函數(shù). 例2 借助計算機作出函數(shù)y=-x2+2|x|+3的圖象并指出它的單調(diào)區(qū)間. 思路解析 計算機中有好多程序可以畫圖,但要注意的是,選用最常用的比較方便,如選用《幾何畫板》. 解答:用幾何畫板畫的函數(shù)圖象如下圖,由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(-∞,-1)、(0,1);函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(-1,0)、(1,+∞). 例3 已知函數(shù)f(x)=
16、,x∈[1,+∞). (1)當a=時,求函數(shù)的最小值; (2)若對任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍. 思路解析 先來解決第(1)問,當a的值給定時,函數(shù)變?yōu)閒(x)=x++2,它類似于函數(shù)f(x)=x+,所以可以利用函數(shù)的單調(diào)性來判斷最值. 解答:(1)當a=時,f(x)=x++2. f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),所以f(x)在[1,+∞)上的最小值為f(1)=. (2)f(x)=x++2,x∈[1,+∞). 當a≥0時,函數(shù)f(x)的值恒為正; 當a<0時,函數(shù)f(x)在[1,+∞)上為增函數(shù),故當x=1時,f(x)有最小值3+a,于是當3
17、+a>0時,函數(shù)f(x)>0恒成立,故0>a>-3. 綜上可知,當a>-3時,f(x)>0恒成立. 例4 判斷下列函數(shù)的奇偶性. (1)f(x)=;(2)f(x)=x3-2x;(3)f(x)=a(x∈R);(4)f(x)= 思路解析 按奇函數(shù)或偶函數(shù)的定義或幾何特征進行判斷即可. 解答:(1)函數(shù)的定義域為{x|x≠-1},不關(guān)于原點對稱,所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù). (2)函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù). (3)函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱, 當a=0時,f(x)既是奇函數(shù)又是偶
18、函數(shù); 當a≠0時,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函數(shù). (4)函數(shù)的定義域為R,關(guān)于原點對稱, 當x>0時,-x<0,此時f(-x)=-x[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x); 當x<0時,-x>0,此時f(-x)=-x[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x); 當x=0時,-x=0,此時f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x). 綜上,f(-x)=-f(x),所以f(x)為奇函數(shù). 例5 已知f(x)是奇函數(shù),在(-1,1)上是減函數(shù),且滿足f(1-a)+f(1-a2)<0,求實數(shù)a的范圍. 思路解析 要求a的取值范圍,先要列出關(guān)于a
19、的不等式,這需要根據(jù)原條件,然后根據(jù)減函數(shù)的定義由函數(shù)值逆推出自變量的關(guān)系. 解答:由f(1-a)+f(1-a2)<0,得f(1-a)<-f(1-a2). ∵f(x)是奇函數(shù),∴-f(1-a2)=f(a2-1). 于是f(1-a)<f(a2-1). 又由于f(x)在(-1,1)上是減函數(shù), 因此,解得0<a<1. 例6 對定義域內(nèi)的任意x1、x2都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),且當x>1時f(x)>0,f(2)=1, (1)求證:f(x)是偶函數(shù); (2)證明f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù); (3)解不等式f(2x2-1)<2. 思路解析 這里的函數(shù)f(x
20、)沒有給出具體的解析式,所以需要對已知條件f(xy)=f(x)+f(y)中的x、y進行恰當?shù)馁x值. 解答:(1)證明:令x1=x2=1,得 f(1)=2f(1),∴f(1)=0.令x1=x2=-1,得f(-1)=0, ∴f(-x)=f(-1x)=f(-1)+f(x)=f(x). ∴f(x)是偶函數(shù). (2)證明:設(shè)x2>x1>0,則 f(x2)-f(x1)=f(x1)-f(x1) =f(x1)+f()-f(x1)=f(). ∵x2>x1>0,∴>1. ∴f()>0,即f(x2)-f(x1)>0. ∴f(x2)>f(x1). ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù). (3)解
21、:∵f(2)=1,∴f(4)=f(2)+f(2)=2.
∵f(x)是偶函數(shù),∴不等式f(2x2-1)<2可化為f(|2x2-1|) 22、x),所以f(x)是偶函數(shù).
(3)f(-x)=(-x)3+(-x=-(x3+)=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).
(4)f(x)=x+1中,既沒有f(-x)=f(x),也沒有f(-x)=-f(x),所以f(x)為非奇非偶函數(shù).
知識導(dǎo)學(xué)
1.函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
函數(shù)的單調(diào)性是對區(qū)間而言的,它是“局部”性質(zhì),不同于函數(shù)的奇偶性,函數(shù)的奇偶性是對整個定義域而言的,即是“整體”性質(zhì).對某一函數(shù)y=f(x),它在某區(qū)間上可能有單調(diào)性,也可能沒有單調(diào)性;即使是同一個函數(shù)它在某區(qū)間上可能單調(diào)增,而在另外一區(qū)間上可能單調(diào)減;對某一函數(shù)y=f(x),它在區(qū)間(a,b)與(c,d)上都 23、是單調(diào)增(減)函數(shù),不能說y=f(x)在(a,b)∪(c,d)上一定是單調(diào)增(減)函數(shù),即函數(shù)的單調(diào)性是針對定義域內(nèi)的某個區(qū)間而言的.例如函數(shù)y=在(-∞,0)上是減函數(shù),在(0,+∞)上也是減函數(shù),但不能說它在整個定義域即(-∞,0)∪(0,+∞)上是減函數(shù),因為當取x1=-1,x2=1時,對應(yīng)的函數(shù)值為f(x1) =-1,f(x2)=1,顯然有x1<x2,但f(x1)<f(x2),不滿足減函數(shù)的定義.
有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)具有單調(diào)性.例如函數(shù)y=x就是這樣.有些函數(shù)在定義域內(nèi)某個區(qū)間上是增函數(shù),而在另一個區(qū)間上是減函數(shù).例如函數(shù)y=x2在(-∞,0)上是減函數(shù),在[0,+∞]上 24、是增函數(shù).
中學(xué)階段我們所討論的函數(shù),只要它們在區(qū)間的端點有定義,那么在考慮單調(diào)區(qū)間時,包括端點、不包括端點都可以.
函數(shù)的單調(diào)性所刻畫的是當自變量變化時其對應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢,是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì),函數(shù)圖象能直觀地顯示函數(shù)的這個性質(zhì).在單調(diào)區(qū)間上的增函數(shù),它的圖象是沿x軸正方向逐漸上升的;在單調(diào)區(qū)間上的減函數(shù),它的圖象是沿x軸正方向逐漸下降的.
2.奇偶性的判斷
(1)定義域不關(guān)于原點對稱的函數(shù)一定不是奇、偶函數(shù);
(2)定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)也不一定是奇、偶函數(shù);
(3)定義域關(guān)于原點對稱,且滿足f(-x)=f(x)或f(-x)= -f(x)的函數(shù)才是偶 25、函數(shù)或奇函數(shù).
3.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
(1)利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)值;
(2)利用奇偶性求有關(guān)函數(shù)的解析式;
(3)利用奇偶性研究函數(shù)的其他性質(zhì).
奇偶性、單調(diào)性等常常與函數(shù)方程、不等式結(jié)合在一起,具有較強的綜合性,這些知識的綜合與應(yīng)用,一直是高考的熱點.
另外,由奇(偶)函數(shù)圖象的特征并結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義不難得到:
(1)奇(偶)函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上,具有相同(反)的單調(diào)性;
(2)若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0
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