《高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 2.2.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)Ⅰ2.2 對(duì)數(shù)函數(shù) 2.2.1 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修1（20頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.2.1　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 教學(xué)內(nèi)容分析 本節(jié)課是新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)A版必修1中第二章對(duì)數(shù)函數(shù)內(nèi)容的第1課時(shí)，也就是對(duì)數(shù)函數(shù)的入門．對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于學(xué)生來說是一個(gè)全新的函數(shù)模型，學(xué)習(xí)起來比較困難．而對(duì)數(shù)函數(shù)又是本章的重要內(nèi)容，在高考中占有一定的分量，它是在指數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)上，對(duì)函數(shù)類型的拓廣，同時(shí)在解決一些日常生活問題及科研中起著十分重要的作用．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)的概念，從而進(jìn)一步深化對(duì)對(duì)數(shù)模型的認(rèn)識(shí)與理解，為學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)做好準(zhǔn)備．同時(shí)，通過對(duì)對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力都具有重要的意義． 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析 現(xiàn)階段

2、大部分學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性較差，主動(dòng)性不夠，學(xué)習(xí)有依賴性，且學(xué)習(xí)的信心不足，對(duì)數(shù)學(xué)存在或多或少的恐懼感．通過對(duì)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算的學(xué)習(xí)，學(xué)生已多次體會(huì)了對(duì)立統(tǒng)一、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的思想，并且探究能力、邏輯思維能力得到了一定的鍛煉．因此，學(xué)生已具備了探索、發(fā)現(xiàn)、研究對(duì)數(shù)定義的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，故應(yīng)通過指導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生獨(dú)立思考、大膽探索和靈活運(yùn)用類比、轉(zhuǎn)化、歸納等數(shù)學(xué)思想的學(xué)習(xí)方法． 設(shè)計(jì)思想 學(xué)生是教學(xué)的主體，本節(jié)課要給學(xué)生提供各種參與機(jī)會(huì)．為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生化被動(dòng)為主動(dòng)，本節(jié)課可利用多媒體輔助教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)例中認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性．在教學(xué)重難點(diǎn)上，步步設(shè)問、啟發(fā)學(xué)生的思

3、維，通過課堂練習(xí)、探究活動(dòng)、學(xué)生討論的方式來加深理解，更好地突破難點(diǎn)和提高教學(xué)效率．讓學(xué)生在教師的引導(dǎo)下，充分地動(dòng)手、動(dòng)口、動(dòng)腦，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)． 教學(xué)目標(biāo) 1．理解對(duì)數(shù)的概念，了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系；掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化；理解對(duì)數(shù)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)并形成技能． 2．通過實(shí)例使學(xué)生認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)模型，體會(huì)引入對(duì)數(shù)的必要性；通過師生觀察分析得出對(duì)數(shù)的概念及對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化． 3．通過學(xué)生分組進(jìn)行探究活動(dòng)，掌握對(duì)數(shù)的重要性質(zhì)．通過做練習(xí)，使學(xué)生感受到理論與實(shí)踐的統(tǒng)一． 4．培養(yǎng)學(xué)生的類比、分析、歸納能力，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)以及在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)． 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：

4、(1)對(duì)數(shù)的概念；(2)對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化． 難點(diǎn)：(1)對(duì)數(shù)概念的理解；(2)對(duì)數(shù)性質(zhì)的理解． 教學(xué) 環(huán)節(jié) 教學(xué)程序及設(shè)計(jì) 設(shè)計(jì)意圖 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 引例(3分鐘) 1．一尺之錘，日取其半，萬世不竭． (1)取5次，還有多長(zhǎng)？ (2)取多少次，還有0.125尺？ 分析：(1)為同學(xué)們熟悉的指數(shù)函數(shù)模型，易得5＝， (2)可設(shè)取x次，則有x＝0.125， 抽象出：x＝0.125?x＝？ 2．2002年我國(guó)GDP為a億元，如果每年平均增長(zhǎng)8%，那么經(jīng)過多少年GDP是2002年的2倍？ 分析：設(shè)經(jīng)過x年，則有(1＋8%)x＝2，抽象出：(1＋8%)x＝2

5、?x＝？ 讓學(xué)生根據(jù)題意，設(shè)未知數(shù)，列出方程．這兩個(gè)例子都出現(xiàn)指數(shù)是未知數(shù)x的情況，讓學(xué)生思考如何表示x，激發(fā)其對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)．生活及科研中還有很多這樣的例子，因此引入對(duì)數(shù)是必要的． 講授新課 一、對(duì)數(shù)的概念(3分鐘) 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)． 注意：(1)底數(shù)的限制：a＞0且a≠1； (2)對(duì)數(shù)的書寫格式. 正確理解對(duì)數(shù)定義中底數(shù)的限制，為以后對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的確定做準(zhǔn)備．同時(shí)注意對(duì)數(shù)的書寫格式，避免因書寫不規(guī)范而產(chǎn)生的錯(cuò)誤． 二、對(duì)

6、數(shù)式與指數(shù)式的互化：(5分鐘) 冪底數(shù)←a→對(duì)數(shù)底數(shù) 指數(shù)←b→對(duì)數(shù) 冪←N→真數(shù) 思考： (1)為什么對(duì)數(shù)的定義中要求底數(shù)a＞0且a≠1? (2)是否是所有的實(shí)數(shù)都有對(duì)數(shù)呢？ 負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù) 讓學(xué)生了解對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，明確對(duì)數(shù)式與指數(shù)式形式的區(qū)別，a，b和N位置的不同，及它們的含義．互化體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化這個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想. 三、兩個(gè)重要對(duì)數(shù)(2分鐘) (1)常用對(duì)數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)log10N，簡(jiǎn)記為lg N； (2)自然對(duì)數(shù)：以無理數(shù)e＝2.718 28…為底的對(duì)數(shù)logeN，簡(jiǎn)記為lnN.(在科學(xué)技術(shù)中，常常使用以e為底的對(duì)數(shù)) 注意：兩個(gè)重要對(duì)數(shù)的書寫

7、 這兩個(gè)重要對(duì)數(shù)一定要掌握，為以后的解題以及換底公式作準(zhǔn)備． 課堂練習(xí)(7分鐘) 1．將下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)式： (1)24＝16；(2)3－3＝；(3)5a＝20；(4)b＝0.45. 2．將下列對(duì)數(shù)式寫成指數(shù)式： (1)log5125＝3；(2)＝－2；(3)log10a＝－1.069. 3．求下列各式的值： (1)log264；(2)log927. 本練習(xí)讓學(xué)生獨(dú)立閱讀課本例1和例2后思考完成，從而熟悉對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的相互轉(zhuǎn)化，加深對(duì)對(duì)數(shù)概念的理解．并要求學(xué)生指出對(duì)數(shù)式與指數(shù)式互化時(shí)應(yīng)注意哪些問題，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)． 四、對(duì)數(shù)的性質(zhì)(12分鐘) 探究活動(dòng)1 求下

8、列各式的值： (1)log31＝0；(2)lg 1＝0； (3)log0.51＝0；(4)ln1＝0. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ “1”的對(duì)數(shù)等于零，即loga1＝0(a＞0且a≠1)，類比：a0＝1(a＞0且a≠1)． 探究活動(dòng)由學(xué)生獨(dú)立完成后，通過思考，然后分小組進(jìn)行討論，最后得出結(jié)論．通過練習(xí)與討論的方式，讓學(xué)生自己得出結(jié)論，從而能更好地理解和掌握對(duì)數(shù)的性質(zhì)．培養(yǎng)學(xué)生類比、分析、歸納的能力. 探究活動(dòng)2 求下列各式的值： (1)log33＝1；(2)lg 10＝1；(3)log0.50.5＝1；(4)lne＝1. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”，即logaa＝

9、1(a＞0且a≠1)，類比：a1＝a(a＞0且a≠1)． 探究活動(dòng)3 求下列各式的值： (1)＝3；(2)＝0.6；(3)＝89. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 對(duì)數(shù)恒等式：＝N(a＞0且a≠1)． 探究活動(dòng)4 求下列各式的值： (1)log334＝4；(2)log0.90.95＝5；(3)lne8＝8. 思考：你發(fā)現(xiàn)了什么？ 對(duì)數(shù)恒等式：logaan＝n(a＞0且a≠1). 講 授 新 課 小結(jié) 負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)； “1”的對(duì)數(shù)等于零，即loga1＝0； 底數(shù)的對(duì)數(shù)等于“1”，即logaa＝1； 對(duì)數(shù)恒等式：＝N； 對(duì)數(shù)恒等式：logaan＝n.(a＞0且a≠

10、1) 將學(xué)生歸納的結(jié)論進(jìn)行小結(jié)，從而得到對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)． 歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想 (3分鐘) 1．引入對(duì)數(shù)的必要性——對(duì)數(shù)的概念 一般地，如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)(logarithm)，記作x＝logaN. 2．指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系 3．對(duì)數(shù)的基本性質(zhì) 負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)；loga1＝0；logaa＝1； 對(duì)數(shù)恒等式：＝N；logaan＝n. 總結(jié)是一堂課內(nèi)容的概括，有利于學(xué)生系統(tǒng)地掌握所學(xué)內(nèi)容．同時(shí)，將本節(jié)內(nèi)容納入已有的知識(shí)體系中，發(fā)揮承上啟下的作用．為下一課時(shí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算打下扎實(shí)的基礎(chǔ)． 作業(yè) 布置 一、課本習(xí)題2.2A組第1,2

11、題． 二、已知loga2＝x，loga3＝y(tǒng)，求a3x＋2y的值． 三、求下列各式的值： ；； ；. 作業(yè)是學(xué)生信息的反饋，教師可以在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)學(xué)生在學(xué)習(xí)中存在的問題，彌補(bǔ)教學(xué)中的不足． 板書 設(shè)計(jì) 2.2.1　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算 第1課時(shí) 引例1 引例2 一、對(duì)數(shù)的定義 二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的 互化練習(xí) 三、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì) 四、小結(jié) 五、作業(yè)布置 本教學(xué)設(shè)計(jì)先由引例出發(fā)，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)興趣；在講授新課部分，通過結(jié)合多媒體教學(xué)以及一系列的課堂探究活動(dòng)，加深學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)；最后通過課堂練習(xí)來鞏固學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)的掌握． 第2課時(shí) 教學(xué)

12、目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 (1)通過實(shí)例推導(dǎo)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算、求值、化簡(jiǎn)，并掌握化簡(jiǎn)求值的技能． (2)運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解決有關(guān)問題． (3)培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力． 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度． 2．過程與方法 (1)讓學(xué)生經(jīng)歷并推導(dǎo)出對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． (2)讓學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識(shí)． 3．情感態(tài)度與價(jià)值觀 讓學(xué)生感覺對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的重要性，增加學(xué)生的成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性． 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)與對(duì)數(shù)知識(shí)的應(yīng)用． 難點(diǎn)：正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 導(dǎo)入新課 思路1．上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)

13、容： 1．對(duì)數(shù)的定義． 2．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化． ab＝N?logaN＝b. 3．重要性質(zhì)： (1)負(fù)數(shù)與零沒有對(duì)數(shù)；(2)loga1＝0，logaa＝1；(3)對(duì)數(shù)恒等式＝N. 下面我們接著講對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)〔教師板書課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)〕． 思路2.我們?cè)趯W(xué)習(xí)指數(shù)的時(shí)候，知道指數(shù)有相應(yīng)的運(yùn)算法則，即指數(shù)運(yùn)算法則： am·an＝am＋n；am÷an＝am－n；(am)n＝amn；＝.(a＞0且a≠1) 從上節(jié)課我們還知道指數(shù)與對(duì)數(shù)都是一種運(yùn)算，而且它們互為逆運(yùn)算，對(duì)數(shù)是否也有和指數(shù)相類似的運(yùn)算法則呢？答案是肯定的，這就是本堂課的主要內(nèi)容，點(diǎn)出課題：

14、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(2)． 推進(jìn)新課 (1)在上節(jié)課中，我們知道，對(duì)數(shù)運(yùn)算可看作指數(shù)運(yùn)算的逆運(yùn)算，你能從指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系以及指數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，得出相應(yīng)的對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)嗎？ (2)如我們知道am＝M，an＝N，am·an＝am＋n，那m＋n如何表示，能用對(duì)數(shù)式運(yùn)算嗎？ (3)在上述(2)的條件下，類比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)能得出其他對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？ (4)你能否用最簡(jiǎn)練的語(yǔ)言描述上述結(jié)論？如果能，請(qǐng)描述. (5)上述運(yùn)算性質(zhì)中的字母的取值有什么限制嗎？ (6)上述結(jié)論能否推廣呢？ (7)學(xué)習(xí)這些性質(zhì)能對(duì)我們進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算帶來哪些方便呢？ 討論結(jié)果：(1)通過問題(2)來說明．

15、 (2)若am·an＝am＋n，M＝am，N＝an，于是MN＝am＋n，由對(duì)數(shù)的定義得到M＝am?m＝logaM，N＝an?n＝logaN，MN＝am＋n?m＋n＝logaMN，logaMN＝logaM＋logaN. 因此m＋n可以用對(duì)數(shù)式表示． (3)令M＝am，N＝an，則＝am÷an＝am－n，所以m－n＝loga. 又由M＝am，N＝an，所以m＝logaM，n＝logaN. 所以logaM－logaN＝m－n＝loga，即loga＝logaM－logaN. 設(shè)M＝am，則Mn＝(am)n＝amn.由對(duì)數(shù)的定義， 所以logaM＝m，logaMn＝mn.

16、所以logaMn＝mn＝nlogaM，即logaMn＝nlogaM. 這樣我們得到對(duì)數(shù)的三個(gè)運(yùn)算性質(zhì)： 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則有 loga(MN)＝logaM＋logaN；① loga＝logaM－logaN；② logaMn＝nlogaM(n∈R)．③ (4)以上三個(gè)性質(zhì)可以歸納為： 性質(zhì)①：兩數(shù)積的對(duì)數(shù)，等于各數(shù)的對(duì)數(shù)的和； 性質(zhì)②：兩數(shù)商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)； 性質(zhì)③：冪的對(duì)數(shù)等于冪指數(shù)乘以底數(shù)的對(duì)數(shù)． (5)利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，所以要求a＞0，a≠1，M＞0，N＞0. (6)性質(zhì)①可以推廣到n個(gè)數(shù)的情形： 即loga(M1

17、M2M3…Mn)＝logaM1＋logaM2＋logaM3＋…＋logaMn(其中a＞0，a≠1，M1，M2，M3，…，Mn均大于0)． (7)縱觀這三個(gè)性質(zhì)我們知道， 性質(zhì)①的等號(hào)左端是乘積的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的和，從左往右看是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算． 性質(zhì)②的等號(hào)左端是商的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的差，從左往右是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級(jí)運(yùn)算． 性質(zhì)③從左往右仍然是降級(jí)運(yùn)算． 利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)①②可以使兩正數(shù)的積、商的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩正數(shù)的各自的對(duì)數(shù)的和、差運(yùn)算，方便了對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)和求值． 例1 用logax，logay，logaz表示下列各式： (1)loga；(2)loga. 活動(dòng)：學(xué)

18、生思考觀察，教師巡視，檢查學(xué)生解題情況，發(fā)現(xiàn)問題及時(shí)糾正． 利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把整體分解成部分． 對(duì)(1)loga，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和． 對(duì)(2)loga，可先利用性質(zhì)②，轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的差，再利用性質(zhì)①，把積的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩數(shù)對(duì)數(shù)的和，最后利用性質(zhì)③，轉(zhuǎn)化為冪指數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的積． 解：(1)loga＝loga(xy)－logaz＝logax＋logay－logaz； (2)loga＝loga(x2)－loga ＝logax2＋loga－loga＝2logax＋logay－logaz. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)實(shí)質(zhì)上是把積

19、、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算． 變式訓(xùn)練 1．若a＞0，a≠1，x＞0，y＞0，x＞y，下列式子正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①logax·logay＝loga(x＋y)；②logax－logay＝loga(x－y)； ③loga＝logax÷logay；④loga(xy)＝logax·logay. A．0 B．1 C．2 D．3 答案：A 2．若a＞0，a≠1，x＞y＞0，n∈N*，下列式子正確的個(gè)數(shù)為(　　) ①(logax)n＝nlogax；②(logax)n＝logaxn；③logax＝－loga； ④

20、＝loga；⑤＝logax；⑥logax＝loga； ⑦logaxn＝nlogax；⑧l(xiāng)oga＝－loga. A．3 B．4 C．5 D．6 答案：B 例2 求值：(1)；(2)log3. 解：(1)解法一：設(shè)，則()x＝3＝()3，所以x＝3. 解法二：. (2)解法一：令x＝log3，則3x＝，即3x＝3－3，所以x＝－3. 解法二：log3＝log33－3＝－3. 例3 計(jì)算： (1)lg 14－2lg ＋lg 7－lg 18；(2)；(3). 解：(1)解法一：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg(2×7)－2(lg 7

21、－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0. 解法二：lg 14－2lg＋lg 7－lg 18＝lg 14－lg2＋lg 7－lg 18＝lg＝lg 1＝0. (2)＝＝＝. (3)＝＝＝. 點(diǎn)評(píng)：此例題體現(xiàn)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的綜合運(yùn)用，應(yīng)注意掌握變形技巧，如(3)題各部分變形要化到最簡(jiǎn)形式，同時(shí)注意分子、分母的聯(lián)系；(2)題要避免錯(cuò)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的靈活運(yùn)用、運(yùn)算性質(zhì)的逆用常被學(xué)生所忽視． 例4 設(shè)x＝log23，求的值． 活動(dòng)：學(xué)生思考觀察，教師引導(dǎo)，學(xué)生有困難及時(shí)提示并評(píng)價(jià)學(xué)生的思

22、考過程．本題主要考查對(duì)數(shù)的定義及其運(yùn)算性質(zhì)．先利用對(duì)數(shù)的定義求2x，再求23x，從而可求，或先化簡(jiǎn)再代入求值． 解法一：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，所以＝＝32＋3×＋2＝. 解法二：由x＝log23，得2x＝3,2－x＝，所以＝＝22x＋1＋2－2x＝32＋1＋2＝. 課本本節(jié)練習(xí)第1,2,3題． 【補(bǔ)充練習(xí)】 1．用logax，logay，logaz，loga(x＋y)，loga(x－y)表示下列各式： (1)loga；(2)loga；(3)；(4)loga； (5)loga；(6)loga3. 解：(1)loga＝loga－logay2z＝log

23、ax－(2logay＋logaz)＝logax－2logay－logaz； (2)loga＝logax＋loga＝logax＋(logaz3－logay2) ＝logax－logay＋logaz＝logax－logay＋logaz； (3)＝logax＋＋＝logax＋logay－logaz； (4)loga＝logaxy－loga(x2－y2)＝logax＋logay－loga(x＋y)(x－y) ＝logax＋logay－loga(x＋y)－loga(x－y)； (5)loga＝loga＋logay＝loga(x＋y)－loga(x－y)＋logay； (6)loga3＝3[

24、logay－logax－loga(x－y)]＝3logay－3logax－3loga(x－y)． 2．已知f(x6)＝log2x，則f(8)等于(　　) A． B．8 C．18 D． 解析：因?yàn)閒(x6)＝log2x，x＞0，令x6＝8，得，所以f(8)＝＝. 另解：因?yàn)閒(x6)＝log2x＝log2x6，所以f(x)＝log2x. 所以f(8)＝log28＝log223＝. 答案：D 已知x，y，z＞0，且lg x＋lg y＋lg z＝0，求的值． 活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教師可以引導(dǎo)．大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．由于所求的式子是三項(xiàng)積的

25、形式，每一項(xiàng)都有指數(shù)，指數(shù)中又有對(duì)數(shù)，因此想到用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，如果能對(duì)所求式子取對(duì)數(shù)，那可能會(huì)好解決些，故想到用參數(shù)法，設(shè)所求式子的值為t. 解：令，則lg t＝lg x＋lg y＋lg z＝＋＋＋＋＋＝＋＋＝＋＋＝－3，所以t＝10－3＝即為所求． 1．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)． 2．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的綜合應(yīng)用，特別是性質(zhì)的逆向使用． 3．對(duì)數(shù)與指數(shù)形式比較： 式子 ab＝N logaN＝b 名稱 a——冪的底數(shù) b——冪的指數(shù) N——冪值 a——對(duì)數(shù)的底數(shù) b——以a為底的N的對(duì)數(shù) N——真數(shù) 運(yùn)算 性質(zhì) am·an＝am＋n； am÷an

26、＝am－n； (am)n＝amn； (a＞0，a≠1，m，n∈R) loga(MN)＝logaM＋logaN； loga＝logaM－logaN； logaMn＝nlogaM(n∈R)； (a＞0，a≠1，M＞0，N＞0) 課本習(xí)題2.2A組　3,4,5. 在前面研究了對(duì)數(shù)概念的基礎(chǔ)上，為了運(yùn)算的方便，本節(jié)課我們借助指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，推出了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生自己完成推導(dǎo)過程，加深對(duì)公式的理解和記憶，對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的認(rèn)識(shí)類比指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)來理解記憶，強(qiáng)化性質(zhì)的使用條件，注意對(duì)數(shù)式中每一個(gè)字母的取值范圍，由于它是以后學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的基礎(chǔ)，所以安排教學(xué)時(shí)，要反復(fù)練習(xí)，加大練習(xí)的

27、量，多結(jié)合信息化的教學(xué)手段，順利完成本堂課的任務(wù)． 第3課時(shí) 作者：劉菲 教學(xué)目標(biāo) 1．知識(shí)與技能 推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和科學(xué)分析問題的精神和態(tài)度． 2．過程與方法 讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)對(duì)數(shù)的換底公式的過程，歸納整理本節(jié)所學(xué)知識(shí)． 3．情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)換底公式的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的探究意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S品質(zhì)；感受對(duì)數(shù)的廣泛應(yīng)用． 重點(diǎn)難點(diǎn) 重點(diǎn)：對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式及其應(yīng)用． 難點(diǎn)：正確使用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式． 導(dǎo)入新課 思路1．問題：你能根據(jù)對(duì)數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式

28、嗎？a＞0，且a≠1，c＞0，且c≠1，b＞0，logab＝.教師直接點(diǎn)出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)——對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用． 思路2．前兩節(jié)課我們學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容：1．對(duì)數(shù)的定義及性質(zhì)；2．對(duì)數(shù)恒等式；3．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)我們能就同底數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，那么不同底數(shù)的對(duì)數(shù)集中在一起，如何解決呢？這就是本堂課的主要內(nèi)容．教師板書課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)——對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用． 思路3．從對(duì)數(shù)的定義可以知道，任意不等于1的正數(shù)都可作為對(duì)數(shù)的底，數(shù)學(xué)史上，人們經(jīng)過大量的努力，制作了常用對(duì)數(shù)表和自然對(duì)數(shù)表，只要通過查表就能求出任意正數(shù)的常用對(duì)數(shù)或自然對(duì)數(shù)，這樣，如果能將其他底

29、的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換為以10為底或以e為底的對(duì)數(shù)就能方便地求出任意不等于1的正數(shù)為底的對(duì)數(shù)，那么，怎么轉(zhuǎn)化呢？這就需要一個(gè)公式，即對(duì)數(shù)的換底公式，從而引出課題：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(3)——對(duì)數(shù)的換底公式及其應(yīng)用． 推進(jìn)新課 (1)已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，求log23的值； (2)根據(jù)(1)，如a＞0，a≠1，你能用含a的對(duì)數(shù)式來表示log23嗎？ (3)更一般地，我們有l(wèi)ogab＝，如何證明？ (4)證明logab＝的依據(jù)是什么？ (5)你能用自己的話概括出換底公式嗎？ (6)換底公式的意義是什么？有什么作用？ 活動(dòng)：學(xué)生針對(duì)提出的問題，交流討論，回顧

30、所學(xué)，力求轉(zhuǎn)化，教師適時(shí)指導(dǎo)，必要時(shí)提示學(xué)生解題的思路，給學(xué)生創(chuàng)造一個(gè)互動(dòng)的學(xué)習(xí)環(huán)境，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力．對(duì)(1)目前還沒有學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式，它們又不是同底，因此可考慮對(duì)數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化成方程來解；對(duì)(2)參考(1)的思路和結(jié)果的形式，借助對(duì)數(shù)的定義可以表示；對(duì)(3)借助(1)(2)的思路，利用對(duì)數(shù)的定義來證明；對(duì)(4)根據(jù)證明的過程來說明；對(duì)(5)抓住問題的實(shí)質(zhì)，用準(zhǔn)確的語(yǔ)言描述出來，一般是按照從左到右的形式；對(duì)(6)換底公式的意義就在于對(duì)數(shù)的底數(shù)變了，與我們的要求接近了． 討論結(jié)果：(1)因?yàn)閘g 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，所以100.301 0

31、＝2,100.477 1＝3. 不妨設(shè)log23＝x，則2x＝3，所以(100.301 0)x＝100.477 1,100.301 0×x＝100.477 1， 即0.301 0x＝0.477 1，x＝＝.因此log23＝＝≈1.585 0. (2)根據(jù)(1)我們看到，最后的結(jié)果是log23用lg 2與lg 3表示，是通過對(duì)數(shù)的定義轉(zhuǎn)化的，這就給我們以啟發(fā)，本來是以2為底的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)換成了以10為底的對(duì)數(shù)， 不妨設(shè)log23＝x，由對(duì)數(shù)定義知道，2x＝3， 兩邊都取以a為底的對(duì)數(shù)，得loga2x＝loga3，xloga2＝loga3，x＝， 也就是log23＝. 這樣log

32、23就表示成了以a為底的3的對(duì)數(shù)與以a為底的2的對(duì)數(shù)的商． (3)證明logab＝. 證明：設(shè)logab＝x，由對(duì)數(shù)定義知道，ax＝b； 兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)，得logcax＝logcb?xlogca＝logcb； 所以x＝，即logab＝. 一般地，logab＝(a＞0，a≠1，c＞0，c≠1，b＞0)稱為對(duì)數(shù)的換底公式． (4)由(3)的證明過程來看，換底公式的證明要緊扣對(duì)數(shù)的定義，證明的依據(jù)是：若M＞0，N＞0，M＝N，則logaM＝logaN. (5)一個(gè)數(shù)的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的真數(shù)的對(duì)數(shù)與底數(shù)的對(duì)數(shù)的商，這樣就把一個(gè)對(duì)數(shù)變成了與原來對(duì)數(shù)的底數(shù)不同的兩個(gè)對(duì)數(shù)的商． (6

33、)換底公式的意義就在于把對(duì)數(shù)式的底數(shù)改變，把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題，為使用運(yùn)算性質(zhì)創(chuàng)造條件，更方便化簡(jiǎn)求值． 說明：我們使用的計(jì)算器中，“l(fā)og”通常是常用對(duì)數(shù)，因此要使用計(jì)算器計(jì)算對(duì)數(shù)，一定要先用換底公式轉(zhuǎn)化為常用對(duì)數(shù)．如log23＝， 即計(jì)算log23的值的按鍵順序?yàn)椋骸發(fā)og”→“3”→“÷”→“l(fā)og”→“2”→“＝”． 再如：在前面要求我國(guó)人口達(dá)到18億的年份，就是要計(jì)算x＝log1.01， 所以x＝log1.01＝＝≈＝32.883 7≈33(年)． 可以看到運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，有時(shí)要方便得多． 例1 求log89·log2732的值． 活動(dòng)：

34、學(xué)生觀察題目，思考討論，互相交流，教師適時(shí)提示，學(xué)生板演，利用換底公式統(tǒng)一底數(shù)；根據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，可以化成常用對(duì)數(shù)或以2為底的對(duì)數(shù)，以3為底的對(duì)數(shù)也可． 解法一：log89·log2732＝·＝·＝. 解法二：log89·log2732＝·＝·＝. 解法三：log89·log2732＝·＝·＝. 點(diǎn)評(píng)：靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)的換底公式是解決問題的關(guān)鍵． 例2 計(jì)算：(1)；(2)log43·log92－. 活動(dòng)：學(xué)生積極交流，教師引導(dǎo)，學(xué)生展示自己的思維過程，教

35、師對(duì)學(xué)生的表現(xiàn)及時(shí)評(píng)價(jià)．先利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)和換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后再求值；對(duì)(1)根據(jù)題目的特點(diǎn)，底數(shù)不同，所以考慮把底數(shù)統(tǒng)一起來，再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)．對(duì)(2)利用換底公式把底數(shù)統(tǒng)一起來，再化簡(jiǎn)求值． 解：(1)原式＝＝＝－3. (2)log43·log92－＝·－＝log23·log32＋log22 ＝＋＝. 點(diǎn)評(píng)：在利用對(duì)數(shù)的換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí)，一般情況是根據(jù)題中所給的對(duì)數(shù)式的具體特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)牡讛?shù)進(jìn)行換底，如果題目中所給的真數(shù)和底數(shù)互不相同，我們常選擇以10為底的對(duì)數(shù)進(jìn)行換底． 例3 (1)證明＝1＋logab； (2)已知＝＝…＝＝λ

36、，求證：. 活動(dòng)：學(xué)生思考、討論，教師適當(dāng)提示：(1)運(yùn)用對(duì)數(shù)換底公式，統(tǒng)一成以a為底的對(duì)數(shù)可直接得解，或利用對(duì)數(shù)的定義，分別把三個(gè)式子設(shè)出，再由定義轉(zhuǎn)化成指數(shù)形式，利用指數(shù)冪的性質(zhì)得解；(2)這是條件證明問題，應(yīng)在現(xiàn)有條件下利用換底公式，轉(zhuǎn)化成積的形式，從題目的結(jié)論來看，真數(shù)是積的形式，因此要?jiǎng)?chuàng)造對(duì)數(shù)的和的形式，這就想到先換底，再利用等比性質(zhì)來解． (1)證法一：設(shè)logax＝p，logabx＝q，logab＝r，則x＝ap，x＝(ab)q＝aqbq，b＝ar. 所以ap＝(ab)q＝aq(1＋r)，從而p＝q(1＋r)． 因?yàn)閝≠0，所以＝1＋r，即＝1＋logab. 證法二：顯

37、然x＞0且x≠1，x可作為底數(shù)，左邊＝＝＝logaab＝1＋logab＝右邊． (2)證明：因?yàn)閘oga1b1＝loga2b2＝…＝loganbn＝λ，所以由換底公式得＝＝…＝＝λ.由等比定理，所以＝λ.所以＝λ. 所以＝＝λ. 點(diǎn)評(píng)：在解題過程中，根據(jù)題目的需要，把底數(shù)轉(zhuǎn)化，換底公式可完成不同底數(shù)的對(duì)數(shù)式之間的轉(zhuǎn)化，該公式既可正用，又可逆用，使用時(shí)的關(guān)鍵是選擇底數(shù)，換底的目的是實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)． 例4 20世紀(jì)30年代，里克特(C.F.Richter)制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測(cè)震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大．這就是我們常說的里

38、氏震級(jí)M，其計(jì)算公式為M＝lg A－lg A0，其中，A是被測(cè)地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅(使用標(biāo)準(zhǔn)地震振幅是為了修正測(cè)震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差)． (1)假設(shè)在一次地震中，一個(gè)距離震中100千米的測(cè)震儀記錄的地震最大振幅是20，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級(jí)(精確到0.1)； (2)5級(jí)地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震的最大振幅的多少倍(精確到1)? 活動(dòng)：學(xué)生審題，教師引導(dǎo)，學(xué)生交流，展示自己的思維過程，教師強(qiáng)調(diào)實(shí)際問題的注意事項(xiàng)．根據(jù)題目給出的數(shù)學(xué)模型及其含義來解決．這是實(shí)際問題，但題目給出了數(shù)學(xué)模型即關(guān)系式，關(guān)系

39、式是以常用對(duì)數(shù)的形式給出，因此要利用對(duì)數(shù)的定義和運(yùn)算性質(zhì)，同時(shí)注意要使實(shí)際問題有意義． 解：(1)M＝lg 20－lg 0.001＝lg＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 因此，這是一次約為里氏4.3級(jí)的地震． (2)由M＝lg A－lg A0可得M＝lg，即＝10M，所以A＝A0·10M. 當(dāng)M＝7.6時(shí)，地震的最大振幅為A1＝A0·107.6； 當(dāng)M＝5時(shí)，地震的最大振幅為A2＝A0·105. 所以，兩次地震的最大振幅之比是＝＝107.6－5＝102.6≈398. 答：7.6級(jí)地震的最大振幅大約是5級(jí)地震的最大振幅的398倍．

40、 點(diǎn)評(píng)：利用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)． 課本本節(jié)練習(xí)4. 【補(bǔ)充練習(xí)】 (1)已知lg 2＝a，lg 3＝b，則等于(　　) A． B． C． D． (2)已知2lg(x－2y)＝lg x＋lg y，則的值為(　　) A．1 B．4 C．1或4 D．4或－1 (3)若3a＝2，則log38－2log36＝__________. (4)lg 12.5－lg＋lg 0.5＝__________. 答案：(1)C　(2)B　(3)a－2　(4)1 探究換底公式的其他證明方法： 活動(dòng)：學(xué)生討論、交流、思考，教

41、師可以引導(dǎo)，大膽設(shè)想，運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)． 證法一：設(shè)logaN＝x，則ax＝N，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得logcax＝logcN，所以xlogca＝logcN，即x＝.故logaN＝. 證法二：由對(duì)數(shù)恒等式，得，兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得logcN＝logaN·logca，所以logaN＝. 證法三：令logca＝m，logaN＝n，則a＝cm，N＝an，所以N＝(cm)n＝cmn. 兩邊取以c(c＞0且c≠1)為底的對(duì)數(shù)，得mn＝logcN，所以n＝，即logaN＝. 對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用：換底公式logaN＝(c

42、＞0且c≠1，a＞0且a≠1，N＞0)的應(yīng)用包括兩個(gè)方面，即由左端到右端的應(yīng)用和由右端到左端的應(yīng)用，前者較為容易，而后者則易被學(xué)生忽視，因此，教學(xué)時(shí)應(yīng)重視后者的用法，下面僅就后者舉例說明： 例：化簡(jiǎn)：＋＋＋. 解：原式＝logNM＋logNM＋logNM＋logNM＝4logNM. 1．對(duì)數(shù)換底公式； 2．換底公式可用于對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值或證明．若對(duì)數(shù)式的底數(shù)和真數(shù)可轉(zhuǎn)化成同底數(shù)的冪的形式，則該冪底數(shù)可被選作換底公式的底數(shù)，也可把對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成以10為底的常用對(duì)數(shù)或以任意數(shù)a(a＞0且a≠1)為底的對(duì)數(shù)式的形式． 課本習(xí)題2.2A組　6,11,12. 【補(bǔ)充作業(yè)】 1．已知

43、，，求log81175的值． 解：因?yàn)椋絣og277＝log37＝a，所以log37＝3a. 又因?yàn)椋絣og35＝b， 所以log81175＝log3(25×7)＝(log325＋log37)＝(2log35＋log37)＝. 2．求證：(log23＋log49＋log827＋…＋)log9＝. 證明：左邊＝(log23＋log49＋log827＋…＋log2n3n)log9 ＝()·log932 ＝nlog23·log3＝log23·log32＝＝右邊． 本堂課主要是學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的換底公式，它在以后的學(xué)習(xí)中有著非常重要的應(yīng)用，由于對(duì)數(shù)的

44、運(yùn)算性質(zhì)是在同底的基礎(chǔ)上，因此利用對(duì)數(shù)換底公式把不同底數(shù)的對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為同底顯得非常重要，有時(shí)也可以逆用對(duì)數(shù)的換底公式達(dá)到我們的目的，特別是實(shí)際問題的應(yīng)用十分廣泛，因此要反復(fù)訓(xùn)練，強(qiáng)化記憶，所以設(shè)計(jì)了大量的例題與練習(xí)，授課時(shí)要加快速度，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，多運(yùn)用多媒體的教學(xué)手段． 【備選例題】 【例1】化簡(jiǎn)：···. 解：原式＝···＝logNM·logNM·logNM·logNM＝(logNM)4. 【例2】求證：logab＝(a＞0，b＞0且a≠1，b≠1)． 證法一：logab＝＝. 證

45、法二：＝＝logab. 【例3】試證：＋＋＋…＋＝. 證明：＋＋＋…＋＝logx(2×3×4×…×n) ＝logx(1×2×3×4×…×n)＝logxn?。? 【知識(shí)拓展】 對(duì)數(shù)的創(chuàng)立 對(duì)數(shù)是中學(xué)初等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，那么當(dāng)初是誰(shuí)首創(chuàng)“對(duì)數(shù)”這種高級(jí)運(yùn)算的呢？在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為對(duì)數(shù)的發(fā)明者是16世紀(jì)末到17世紀(jì)初的蘇格蘭數(shù)學(xué)家——納皮爾(J.Napier，1550—1617)男爵．在納皮爾所處的年代，哥白尼的“太陽(yáng)中心說”剛剛開始流行，這導(dǎo)致天文學(xué)成為當(dāng)時(shí)的熱門學(xué)科．可是由于當(dāng)時(shí)常量數(shù)學(xué)的局

46、限性，天文學(xué)家們不得不花費(fèi)很大的精力去計(jì)算那些繁雜的“天文數(shù)字”，因此浪費(fèi)了若干年甚至畢生的寶貴時(shí)間．納皮爾也是當(dāng)時(shí)的一位天文愛好者，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，他多年潛心研究大數(shù)字的計(jì)算技術(shù)，終于獨(dú)立發(fā)明了對(duì)數(shù)． 當(dāng)然，納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)，在形式上與現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的對(duì)數(shù)理論并不完全一樣．在納皮爾那個(gè)時(shí)代，“指數(shù)”這個(gè)概念還尚未形成，因此納皮爾并不是像現(xiàn)行代數(shù)課本中那樣，通過指數(shù)來引出對(duì)數(shù)，而是通過研究直線運(yùn)動(dòng)得出對(duì)數(shù)概念的．那么，當(dāng)時(shí)納皮爾所發(fā)明的對(duì)數(shù)運(yùn)算，是怎么一回事呢？在那個(gè)時(shí)代，計(jì)算多位數(shù)之間的乘積，還是十分復(fù)雜的運(yùn)算，因此納皮爾首先發(fā)明了一種計(jì)算特殊多位數(shù)之間乘積的方法．讓我們來看看下面這個(gè)例子：

47、 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、… 1、2、4、8、16、32、64、128、256、512、1 024、2 048、4 096、8 192、16 384、… 這兩行數(shù)字之間的關(guān)系是極為明確的：第一行表示2的指數(shù)，第二行表示2的對(duì)應(yīng)冪．如果我們要計(jì)算第二行中兩個(gè)數(shù)的乘積，可以通過第一行對(duì)應(yīng)數(shù)字的和來實(shí)現(xiàn)． 比如，計(jì)算64×256的值，就可以先查詢第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)字：64對(duì)應(yīng)6,256對(duì)應(yīng)8；然后再把第一行中的對(duì)應(yīng)數(shù)字加起來：6＋8＝14；第一行中的14，對(duì)應(yīng)第二行中的16 384，所以有64×256＝16 384.納皮爾的這種計(jì)算

48、方法，實(shí)際上已經(jīng)完全是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中“對(duì)數(shù)運(yùn)算”的思想了．回憶一下，我們?cè)谥袑W(xué)學(xué)習(xí)“運(yùn)用對(duì)數(shù)簡(jiǎn)化計(jì)算”的時(shí)候，采用的不正是這種思路嗎？計(jì)算兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積，先查《常用對(duì)數(shù)表》，找到這兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的常用對(duì)數(shù)，再把這兩個(gè)常用對(duì)數(shù)值相加，再通過《常用對(duì)數(shù)的反對(duì)數(shù)表》查出值的反對(duì)數(shù)值，就是原先那兩個(gè)復(fù)雜數(shù)的乘積了．這種“化乘除為加減”，從而達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的思路，不正是對(duì)數(shù)運(yùn)算的明顯特征嗎？ 經(jīng)過多年的探索，納皮爾男爵于1614年出版了他的名著《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，向世人公布了他的這項(xiàng)發(fā)明，并且解釋了這項(xiàng)發(fā)明的特點(diǎn)．所以，納皮爾是當(dāng)之無愧的“對(duì)數(shù)締造者”，理應(yīng)在數(shù)學(xué)史上享有這份殊榮．偉大的導(dǎo)師恩格斯在他的

49、著作《自然辯證法》中，曾經(jīng)把笛卡兒的坐標(biāo)、納皮爾的對(duì)數(shù)、牛頓和萊布尼茨的微積分共同稱為17世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明．法國(guó)著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749—1827)曾說：“對(duì)數(shù)，可以縮短計(jì)算時(shí)間，在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長(zhǎng)了許多倍”． 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375